文科数学测试 立体几何解答题（1）
1．（14分）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC
AB ⊥，
E 是A 1C 的中点，
ED A C ⊥1且交
AC 于D ，
A A A
B B
C 12
2
==
(如图11) ． （I ）证明：B C 11//平面A BC 1；
（II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．
2. （14分）如图，四棱锥P ABCD -
中，底面
ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；
（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
3.(14分)如图5所示，在四棱锥P ABCD -
中，
AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且
1
2
DF AB =，PH 为PAD ?中AD 边上的
高。
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1,2,1PH
AD FC ===，
求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF
⊥平面PAB ．
文科数学测试 立体几何解答题（1）
参考答案
1．证明：（I ）证明： 三棱柱ABC A B C -111中B C BC 11//，
又BC ?平面A BC 1，且B C 11?/平面A BC 1，
∴B C 11//平面A BC 1
（II ）证： 三棱柱ABC A B C -111中A A AB 1⊥，
∴Rt A AB ?1中，AB A B =
2
2
1，∴=∴BC A B A BC 11，?是等腰三角形． E 是等腰?A BC 1底边A C 1的中点，
∴⊥A C BE
1①
又依条件知 A C ED
1⊥② 且ED BE E
=③
由①，②，③得A C 1⊥平面EDB ． 2.解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，
由余弦定理得BD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥A D ①
又PD ⊥底面ABCD ，ABCD BD 面?，可得BD ⊥PD ② 又D PD AD ＝ ，由①②可得，BD ⊥平面PAD. 又PAD PA 面?，故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。
已知PD ⊥底面ABCD ，ABCD BC 面?，则PD ⊥BC 。 由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥B D
图11
D
E A 1
C
B
A
C 1 B 1
故BC ⊥平面PBD ，又PBD DE 面?，所以BC ⊥DE 又DE ⊥PB ，B BC PB ＝ ，则DE ⊥平面PBC 。 由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD ，得DE=
2
3
， 即棱锥D —PBC 的高为
.2
3 3.【解析】（1）AB ⊥平面PAD ，PH ?面PAD PH AB ?⊥ 又,PH AD AD AB A PH ⊥=?⊥ 面ABCD （2）E 是PB 中点?点E 到面BCF 的距离1122
h PH == 三棱锥E BCF -的体积
11111
13326212
BCF V S h FC AD h ?=?=????=?=
（3）取PA 的中点为G ，连接,DG EG PD AD DG PA =?⊥，
又AB ⊥平面PAD ，PAB AB 面?，则面PAD ⊥面PAB 又PA PAB PAD ＝面面 DG ?⊥面PAB
点,E G 是棱,PB PA 的中点
11
//,//////22
EG AB DF AB EG DF DG EF ???
得：EF ⊥平面PAB