第5讲直线、平面垂直的判定及性质
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理
3．直线与平面垂直的性质定理
考点2 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理
2．平面与平面垂直的性质定理
[必会结论]
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一个平面的两平面平行．( )
(2)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
(4)二面角是指两个相交平面构成的图形．( )
(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )
答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×
2．[2018·浙江模拟]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
答案 C
解析对于选项A，B，D，均能举出m⊥α的反例；对于选项C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，∴m⊥α.故选C.
3．[课本改编]若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
答案 C
解析A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，所以D错误．故选C.
4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
答案 A
解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB 与CD夹角的正切值为 2.故选A.
板块二典例探究·考向突破
考向有关垂直关系的判断
例1 [2017·广州模拟]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
答案 B
解析若α⊥β，m?α，n?β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m?α，n?β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；
若α∥β，m?α，n?β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选B.
触类旁通
判断垂直关系需注意的问题
(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．
(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了．
(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
【变式训练1】[2018·北京东城模拟]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两
个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析因为α⊥β，m?α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.
考向直线与平面垂直的判定与性质
命题角度1 利用线线垂直证明线面垂直
例2 [2018·湖北宜昌模拟]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝
2BB1，E，F，M分别为A1C1，AB1，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面BB1C1C；
(2)求证：EF⊥平面AB1M.
证明(1)连接A1B，BC1.
因为E，F分别为A1C1，AB1的中点，
所以F为A1B的中点，所以EF∥BC1.
因为BC1?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，
所以EF∥平面BB1C1C.
(2)在矩形BCC1B1，BC＝2BB1，
所以tan∠CBC1＝
2
2
，tan∠B1MB＝ 2.
所以tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1.
所以∠CBC1＋∠B1MB＝π
2
.所以BC1⊥B1M.
因为EF∥BC1，所以EF⊥B1M.
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC⊥平面BB1C1C.
因为M为BC的中点，AB＝AC，所以AM⊥BC.
因为平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，
所以AM⊥平面BB1C1C.
因为BC1?平面BB1C1C，所以AM⊥BC1
因为EF∥BC1，所以EF⊥AM.
又因为AM∩B1M＝M，AM?平面AB1M，B1M?平面AB1M，所以EF⊥平面AB1M.
命题角度2 利用线面垂直证明线线垂直
例3 [2017·江苏高考]如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，
BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF ⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
触类旁通
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a ⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
考向面面垂直的判定与性质
例4 [2017·全国卷Ⅰ]如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为8
3
，求该四棱锥的侧
面积．
解(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝
2
2
x.
故四棱锥P －ABCD 的体积
V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13
x 3.
由题设得13x 3＝8
3
，故x ＝2.
从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为
12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋1
2BC 2sin60°＝6＋2 3. 触类旁通
判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ?α?α⊥β)．
【变式训练2】 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC ＝BC ＝1
2
AB ＝1，点M 在线段EC 上．
(1)证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；
(2)若AE ∥平面MDB ，求三棱锥E －BDM 的体积． 解 (1)证明：∵DC ＝BC ＝1，DC ⊥BC ，∴BD ＝ 2. 在梯形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝2， ∴AD 2
＋BD 2
＝AB 2
，∴∠ADB ＝90°. ∴AD ⊥BD .
又平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BD ⊥平面ADEF . 又BD ?平面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ADEF .
(2)如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接MO ，
∵平面EAC ∩平面MBD ＝MO ，AE ∥平面MDB ，AE ?平面EAC ， ∴AE ∥OM . 又AB ∥CD ，
∴EM MC ＝
AO OC ＝AB
CD
＝2，
S △EDM ＝23
S △EDC ＝23×12
×1×2＝
23
. ∵ADEF 为正方形，∴ED ⊥AD . 又∵平面ADEF ⊥平面ADCB ，
∴ED ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴DE ⊥BC .
∵AB∥CD，AB⊥BC，∴BC⊥CD. 又ED∩DC＝D，∴BC⊥平面EDC.
∴V E－BDM＝V B－EDM＝1
3
S△EDM·BC＝
1
3
×
2
3
×1＝
2
9
.
核心规律
转化思想：垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
满分策略
1.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
板块三启智培优·破译高考
题型技法系列 12——等体积法求点到平面的距离
[2018·内蒙古模拟]如图，在直三棱柱ABC－DEF中，底面ABC的棱AB⊥BC，且AB＝BC＝2.点G，H在侧棱CF上，且CH＝HG＝GF＝1.
(1)证明：EH⊥平面ABG；
(2)求点C到平面ABG的距离．
解题视点(1)证明直线与平面垂直的常用方法为证明直线与平面内的两条相交直线都垂直；(2)等体积法是求解点到平面的距离的常用方法．
解(1)证明：∵ABC－DEF是直三棱柱，
∴FC⊥平面ABC，而AB?平面ABC，∴FC⊥AB.
又∵AB⊥BC，BC∩FC＝C.
∴AB⊥平面BCFE，
又∵EH?平面BCFE，∴AB⊥EH.
由题设知△EFH与△BCG均为直角三角形，
∵EF＝2＝FH，BC＝2＝CG，
∴∠EHF＝45°，∠BGC＝45°.
设BG ∩EH ＝P ，则∠GPH ＝90°，即EH ⊥BG . 又AB ∩BG ＝B ，∴EH ⊥平面ABG . (2)∵AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝1
2
AB ×BC ＝2.
∵CG ⊥平面ABC ，∴V G －ABC ＝13S △ABC ×CG ＝4
3.
由(1)知AB ⊥BG ，CG ＝2＝BC ，
BG ＝BC 2＋CG 2＝22＋22＝22，
∴S △ABG ＝1
2
AB ×BG ＝2 2.
设点C 到平面ABG 的距离为h ，则 ∴V C －ABG ＝13S △ABG ·h ＝223h ＝V G －ABC ＝4
3，
∴h ＝ 2.
即点C 到平面ABG 的距离为 2.
答题启示 (1)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质；(2)用等体积法求点到平面距离时，通过换顶点和底面转化为底面积和高易求的锥体体积是关键.
跟踪训练
已知三棱锥A －BCD 中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，BC ＝2，AD ⊥平面BCD ，
AD ＝1.
(1)求证：平面ABC ⊥平面ACD ；
(2)若E 为AB 的中点，求点A 到平面CED 的距离．
解 (1)证明：因为AD ⊥平面BCD ，BC ?平面BCD ，所以AD ⊥BC ，又因为AC ⊥BC ，AC ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面ACD ，BC ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .
(2)由已知可得CD ＝3，取CD 中点为F ，连接EF ，由于ED ＝EC ＝1
2
AB ＝2，所以△
ECD 为等腰三角形，从而EF ＝
52，S △ECD ＝154
，由(1)知BC ⊥平面ACD ，所以E 到平面ACD 的距离为1，S △ACD ＝32，令A 到平面CED 的距离为d ，有V A －ECD ＝13·S △ECD ·d ＝V E －ACD ＝1
3
·S △ACD
·1，解得d ＝
255
.
板块四模拟演练·提能增分
[A级基础达标]
1．[2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
答案 C
解析∵α∩β＝l，∴l?β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.
2．[2015·福建高考]若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l ∥α”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l?α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
3．[2017·天津河西模拟]设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
答案 B
解析对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l?β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B.
4.[2018·济南模拟]已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( )
A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
答案 D
解析A中，因为CD∥AF，AF?平面PAF，CD?平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；
B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，
又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，
又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；
C中，因为CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD 不垂直．故选D.
5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，α与β相交．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B，C.故选D.
6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
答案 3
解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.
但AB不一定垂直于BC.
7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b；
②若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；
③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；
④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.
上面命题中，所有真命题的序号是________．
答案②③④
解析①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l?β就可以．
8.[2018·广东模拟]如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
答案③
解析由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明(1)∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD ⊥PA .
又CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， 故CD ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC . 故CD ⊥AE .
(2)∵PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，故PA ＝AC . ∵E 是PC 的中点，故AE ⊥PC . 由(1)知CD ⊥AE ，由于PC ∩CD ＝C ， 从而AE ⊥平面PCD ，故AE ⊥PD . 易知BA ⊥PD ，故PD ⊥平面ABE .
10.[2018·湖南永州模拟]如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.
(1)证明：SD ⊥平面SAB ； (2)求四棱锥S －ABCD 的高．
解 (1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，DB ，
则四边形BCDE 为矩形， ∴DE ＝CB ＝2， ∴AD ＝BD ＝ 5.
∵侧面SAB 为等边三角形，AB ＝2， ∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，
∴SA 2
＋SD 2
＝AD 2
，SB 2
＋SD 2
＝BD 2
，
∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，SA ∩SB ＝S ， ∴SD ⊥平面SAB .
(2)设四棱锥S －ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S －ABD 的高． 由(1)，知SD ⊥平面SAB .
由V S －ABD ＝V D －SAB ，得13S △ABD ·h ＝1
3S △SAB ·SD ，
∴h ＝
S △SAB ·SD S △ABD
. 又S △ABD ＝12AB ·DE ＝1
2
×2×2＝2，
S △SAB ＝
34AB 2＝3
4
×22＝3，SD ＝1， ∴h ＝
S △SAB ·SD S △ABD ＝3×12＝3
2
. 故四棱锥S －ABCD 的高为
3
2
. [B 级 知能提升]
1．[2018·青岛质检]设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( )
A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β
B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β
C ．a ?α，b ⊥β，α∥β
D ．a ?α，b ∥β，α⊥β
答案 C
解析 对于C 项，由α∥β，a ?α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b .故选C. 2．[2018·河北唐山模拟]如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是
EF 的中点，现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，
重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )
A.AG ⊥平面EFH B ．AH ⊥平面EFH C ．HF ⊥平面AEF D ．HG ⊥平面AEF
答案 B
解析 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，
∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥
EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ?平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H
作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B.
3.如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．
答案 ①②④
解析 ①AE ?平面PAC ，BC ⊥AC ，BC ⊥PA ?AE ⊥BC ，故①正确；②AE ⊥PC ，AE ⊥BC ?AE ⊥平面PBC ，PB ?平面PBC ?AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，EF ?平面AEF ?EF ⊥PB ，故②正确；③若AF ⊥BC ?AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确．
4．[2018·江西九江模拟]如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面
ABCD ，DF ∥BE ，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3.
(1)证明：平面ACF ⊥平面BEFD .
(2)若cos ∠BAD ＝1
5，求几何体ABCDEF 的体积．
解 (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，
∵BE ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ， ∴BE ⊥AC .
∴AC ⊥平面BEFD ，AC ?平面ACF . ∴平面ACF ⊥平面BEFD .
(2)设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝a (a >0)，
由(1)得AC ⊥平面BEFD ，
∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ， ∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ，
∴BD 2
＝EF 2
－(DF －BE )2
＝8，∴BD ＝22， ∴S 四边形BEFD ＝1
2(BE ＋DF )·BD ＝32，
∵cos ∠BAD ＝1
5
，
∴BD 2＝AB 2＋AD 2
－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝85a 2＝8，
∴a ＝5，
∴OA 2
＝AB 2
－OB 2
＝3，∴OA ＝3， ∴V ABCDEF ＝2V A －BEFD ＝2
3
S 四边形BEFD ·OA ＝2 6.
5．[2017·全国卷Ⅲ]如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .
(1)证明：AC ⊥BD ；
(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
解 (1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .
因为AD ＝CD ， 所以AC ⊥DO .
又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO .
从而AC ⊥平面DOB ，又BD ?平面DOB ， 故AC ⊥BD . (2)连接EO .
由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2
＋AO 2
＝AB 2
.
又AB ＝BD ，所以BO 2
＋DO 2
＝BO 2
＋AO 2
＝AB 2
＝BD 2
，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝1
2AC .
又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝1
2
BD .
故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1
2，四面体ABCE
的体积为四面体ABCD 的体积的1
2
，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.
2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π
2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D.
高考数学备考心得体会 高考数学备考心得体会篇一 这一学期的拓展课是“高中数学思想学习的方法好研究”。老师最少的题量为我们分析讲解最典型和常见的题型，帮助我们摆脱题海之苦，提高数学成绩。 通过本学期拓展课的学习，我能大概了解、掌握了部分的高中数学的学习方法。多层次、多角度、多交叉、多广度，深度上对知识加以拓展和提高，并且能在平日学习数学的过程中有所拓宽和发展，对课堂内容知识的归纳，总结，梳理等方面有进步，培养了自己对数学学习的兴趣好良好的习惯。 在学习到解决数学问题的方法和思路的同时，对一些在课堂上或是平时不懂、迷惑的地方进行探讨，更好地加强了对知识点的理解和应用。例如数学思想中的“分类讨论”，“函数数学在不等式中的应用”，“参数问题”等有了深一步的研究好拓展，便于让我在今后的数学学习中加以应用和解答。臂如：①对于参数问题的学习，我们通过学习不同的例题，通过研究、分析得到解决这一问题的主要方法与途径------分离参数，变换主元等常用的解题方法。②对分类讨论这一问题的研究：引起分类讨论的原因主要是由于存在不确定的元素及公式，概念的分类……，并研究了基本步骤等等。 总之进入高中以后，数学学习的方法好内容都有了很大 转变，题目的难易程度也比以前有了很大的提高，及时消化吸收新知识，复习巩固旧知识也成了我的困扰。但通过此次学习，我发现数学学习其实是有径可循。对于一些问题要予以归纳总结，并作一些相配套的练习，以达到巩固效果。一学期来，我收获了很多，尤其在学习方法上有了系统的概念，能够更好地高中的数学学习。 高考数学备考心得体会篇二 一直以来，我都在不断反思、探索，寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题：
2019年数学高考试题(附答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ） A ． 1.2308?.0y x =+ B ．0.0813?.2y x =+ C ． 1.234?y x =+ D ． 1.235?y x =+ 4．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 718 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，||BC u u u r =1，则AB BC ?u u u r u u u r = A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121223 ()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷） 理科数学 一、选择题 1. 设集合{} 065|2 >+-=x x x A ，{}01|<-=x x B ，则=?B A ( ) A. )1,(-∞ B. )1,2(- C. )1,3(-- D. ),3(+∞ 答案： A 解答： {2|<=x x A 或}3>x ，{}1|<=x x B ，∴）（1,∞-=?B A . 2. 设i z 23+-=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案： C 解析： i 23z --=，对应的点坐标为） ，（2-3-,故选C. 3．已知(2,3)AB =，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB BC ?=（ ） A.3- B.2- C.2 D.3 答案： C 解答： ∵(1,3)BC AC AB t =-=-， ∴2||11BC ==，解得3t =，(1,0)BC =，
∴2AB BC ?=. 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为 ，月球质量为 ， 地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程 121223()()M M M R r R r r R +=++。设= r R α。由于α的值很小，因此在近似计算中345 32 3+331ααααα+≈+（） ，则r 的近似值为（ ） A B C D 答案： D 解答： 121121 2232222()(1)()(1)M M M M M M R r R r r R R r R αα+=+?+=+++ 所以有23211222 22 1 33[(1)](1)(1)M M M r R R αααααα++=+-=?++ 化简可得22333 122122 1333(1)3M r M M M R M αααααα++=?=??=+ ，可得r =。 5. 演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始 评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ． 中位数
2019年高考备考：如何成功拿下高考数学数学要想在高考考场上考出优异的成绩，不但需要扎实的基础知识、较高的数学解题能力做基础，临场考试的技巧更是无数学子圆梦所必备的。针对数学学科特点，谈高考答题技巧，仅供参考: 1.调整好状态，控制好自我。 (1)保持清醒。数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己:只有静心休息才能确保考试时清醒。 (2)按时到位。今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。建议同学们提前15-20分钟到达考场。 2.通览试卷，树立自信。 刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。面对偏难的题，要耐心，不能急。 3.提高解选择题的速度、填空题的准确度。 数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选
择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。 4.审题要慢，做题要快，下手要准。 题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。 找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。 5.保质保量拿下中下等题目。 中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。 6.要牢记分段得分的原则，规范答题。 会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。 难题要学会: (1)缺步解答:聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已
2019年高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 2．定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ． C ． D ． 3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2 x y = C ．2y log x = D ．() 2 112 y x = - 4．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 5．若满足 sin cos cos A B C a b c ==，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形
C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形 6．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 7．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b = ，则 c =( ) A ．23 B ．2 C ．2 D ．1 8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 9．函数y =2x sin2x 的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 10．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（ ） A ． 12 B ． 12 2 ± C ． 110 2 ± D ． 32 2 ±
2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。
一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷
2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与 c 所成的角的大小为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 2．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{ } 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{} 12x x ≤< 3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5 y x =± D ．53 y x =± 6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．328．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
2019年上海高考数学试卷 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1．函数1()2 f x x = -的反函数为1 ()f x -= . 2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤U ，则U C A = . 3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线 22 19 y x m -=的一个焦点，则m = . 4.不等式 1 3x x +≤的解为 . 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示） 6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=o o ，则A 、C 两点之间的距离为 千米. 7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 8.函数sin cos 26y x x ππ???? =+- ? ????? 的最大值为 . 9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表： x 1 2 3 ()P x ξ= ！ 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= . 10.行列式 (,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-所有可能的值中，最大的是 . 11.在正三角行ABC 中，D 是BC 上的点.若AB =3，BD =1，则AB AD =u u u r u u u r g . 12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到）. 13. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的
长江高中2019年高考数学备考计划 张向荣 一.背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、学情分析 本届学生学习态度较好，但水平差异较大，更多学生基础知识比较薄弱，遗忘率高，知识漏洞多。因此我们在复习课中加强双基训练，并注意蕴含在基础知识中的能力培养，特别是要求学生要学会把基础知识放在新情境中去分析、应用。把复习的重点放在教材
中典型例题、习题上，放在体现通性、通法的例题、习题上，放在各部分知识网络之间的内在联系上，抓好课堂教学质量以及课后辅导。 三、教学计划与要求 （一）第一轮复习第一轮复习(2018年8月到2019年3月中旬),为基础知识复习阶段。在这一阶段,重温高中阶段所学的数学知识,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一高二学习时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,大家学到的往往是零碎的、散乱的知识点。而在第一轮复习时,主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,侧重点在各个知识点之间的融会贯通。 所以在复习过程中1.立足课本,快速理清学过的各个知识点,加深对知识点的理解,特别是知识点交汇分析，其次要把书上的例题、习题再做一遍,很多数学高考题就是由这些题目演变而来的。有针对性的“回归”课本,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度。2.注意所做题目知识点覆盖范围的变化,有意识地引导思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。3.明确课本从前到后的知识结构,将整个知识体系框架化、网络化。4.将常用的知识点总结起来,研究重点知识所在章节,并了解各章节在课本中的地位和作用。5.在这一阶段适当做一些高考真题,这样既可以明确
2019届高三数学复习备考计划 一、指导思想 按照新课程标准的要求，根据数学高考试题“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点和本校学生的实际，在高三数学复习中我们以潜心钻研新课标、仔细研究新考纲、有效落实双基、科学组织备考为指导思想，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益，以加强双基教学为主线，以提高学生数学能力为目标，加强学生对知识的有效理解、联系应用，同时，结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。 二、复习依据 根据新课程指导实施意见，以人教社新教材、普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）为复习依据，仔细阅读研究新课程标准，同时参考近几年高考试题及新课程标准和教材。 三、复习计划 1、一轮基础复习（2018年8月初-----2019年3月上旬）【以《创新大课堂》为蓝本】 第一阶段复习，基础知识复习阶段，要体现基础性、全面性、熟练性，有效性。 （1）基础性：根据数学新课程标准，强调复习内容应是数学课程标准要求的数学基础知识，它包括数学基础知识、基本技能和基本方法。 （2）全面性：根据考纲的要求，对高中数学中的每个知识点进行全面的复习，对常用数学方法进行全面的总结。 （3）熟练性：即指通过复习，学生对数学基础知识和基本数学方法要熟练地掌握和运用，要加强运算求解、数据处理的能力，为以后进一步复习打下扎实的基础。 （4）有效性：即指通过复习，学生能够科学有效的解答试题，得到试卷的有效分数。 要到达目的： （1）深化对“双基”的掌握和运用； （2）形成有效的知识模块 （3）归纳总结常用的数学思想方法； （4）帮助学生积累解题经验，提高解题水平； （5）训练学生的数学运算求解、数据处理能力，特别是有条理的书面表达能力。 具体做法：按照资料章节讲练，安排见附表。 2、二轮专题复习（2019年3月中旬-----2019年5月初）【专题和试题】 第二阶段复习注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。同时要重点研究新的考纲，严格落实考纲对知识点的要求，要体现“深刻性、拓展性和发散性”。
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则A B = ． 2．计算2 2231lim 41 n n n n n →∞-+=-+ ． 3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．已知2 221 4x y x a y a +=-??+=? ，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7 ．在6 x ? ? 的展开式中，常数项等于 ． 8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1 cos 4 C = ，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数1 2 y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ． 11．在椭圆22 142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称， 若有121F P F P ?…，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ． 12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ?，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a λ ∈， 则t 的值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是 （ ） A ．2x y = B ．1 2 y x = C ．tan y x = D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α?，b β?，c γ?，则直线 a b c 、、不可能满足以下哪种关系 （ ） A ．两两垂直 B ．两两平行 C ．两两相交 D ．两两异面 16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ， 且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ?? ??? 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．如图，在正三棱锥P ABC - 中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积． 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无--------------------效 ----------------
2019年高考数学模拟试题(附答案) 一、选择题 1．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设函数()()21,0 4,0 x log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15 3．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ． 4 9 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．26 D ．426．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 7．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+ )2π α B ．s(+ )2 co π α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+ 8．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ） A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 10．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（ ） A ． 12 B ． 12 2 ± C ． 110 2 ± D ． 32 2 ± 12．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =AC =（ ） A 3B 3 C ．23D ．43二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23 π 的扇形，则此圆锥的高为________cm . 16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
广东省2019年高考数学复习备考指导 ?2019年广东省高考数学知识考点有哪些，怎么做好广东2019高考数学的复习备考工作？2019年广东省普通高考使用教育部考试中心统一命题的试卷（新课标卷）（简称全国卷）。为便于各高中学校在暑假期间做好新学年高三备考计划，广东省教育考试院发布了高中各学科研制的针对全国卷的简要备考指导意见，提供给各校参考。以下是2019年广东高考数学学科备考指导意见 从2019年开始，广东高考数学采用全国卷（全国卷均指全国课标卷）已毫无悬念，为了应对2019届的高考数学备考，以下作一些初步分析。 一、全国卷与广东卷的异同点 1.题型结构与满分相同 试题都是由“选择题、填空题、解答题”构成；满分均为150分。 2.题量与赋分不同 广东卷总题量为21题（考生解答20题），其中选做题为2 选1，客观题占70分，解答题占80分。 全国卷总题量为24题（考生解答22题），其中选做题为3 选1，客观题占80分，解答题占70分。 3.试题分布不同 广东卷理科选择题8道，填空题7做6，解答题6道；文科
选择题10道，填空题5做4，解答题6道。全国卷文、理科选择题12道，填空题4道，解答题6道（选做题3选1）。广东卷选做题为填空题（2选1，满分5分）。全国卷选做题为解答题（3选1，满分10分） 在解答题中，广东卷为6道必做题，全国卷为5道必做题和1道选做题。 4.试题难度（顺序）不同 2019—2019年广东卷理科解答题顺序： 年份 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题 2019 三角 概率与统计 立体几何 数列 解析几何 函数与导数
2019年高考数学试题分类汇编 集合部分(共12道试题) 试题编号2019001 (2019北京文1)(共20题的第1题 8道选择题第1题 150分占5分) 已知集合{}12A x x =-<<，{}1B x x =>，则A B =U ( ) A.()1,1- B.()1,2 C.()1,-+∞ D.()1,+∞ 答案：C 解：因为{}12A x x =-<<，{}1B x x =>，所以{}1A B x x =>-U ， 故选C 。 试题编号2019002 (2019全国卷Ⅱ文1)(共23题的第1题 12道选择题第1题 150分占5分) 已知集合{}=1A x x >-，{}2B x x =<，则A B =I ( ) A.()1,-+∞ B.(),2-∞ C.()1,2- D.? 答案：C 解：{}{}{}=1212A B x x x x x x >-<=-<2019年高考理科数学全国2卷(附答案)
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国II 卷 本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟 (适用地区：内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南) 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选 项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ?= A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为 R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532 333(1) ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p =
高考数学备考：把握中等题，碾压简单题2019年高考数学备考策略： 1、你究竟练熟了吗? 年年都有一大票人栽在高考数学上，究其原因，不是其不会做，而是其做题做不精，做题做不熟。其实高考数学有一个天大的误区，就是很多人认为数学考不好是因为自己不会做，这是件非常可笑的事情，不信你每回卷子发下来之后，你会发现你考试的最大的敌人是会做的题没做对，会做的题没练熟。数学最大的忌讳就是自己认为会做了，在平时的习题中觉得有解题思路的题就跳过去了，殊不知你其实是一瓶子不满，半瓶子晃荡。一旦真上战场，仅仅会做是不够看的，关键是看谁做得熟。 2、把握中等题，碾压简单题 现在数学不到120分的都醒醒吧，不要再沉浸在“高精尖”的“创新题”中了，你之所以没有上120分，不是你不会做导致的，更多的是你压根就没把握好中等难度的题，怎样把握住中等难度的习题?最最简单的就是通过经典题型牢记解题方法，通过解题方法干掉一票习题。大家都知道记单词要放在句子里，文章里记忆，那么数学也是如此，若是你心中不能熟记一些经典习题，那么你的数学肯定难以拔尖。什么?你问我什么是经典习题?我建议你就把历年高考题和海淀西城的一模、二模题搞熟就可以了。
3、重在基础 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。数学是一门极其重视基础的学科，切勿好高骛远。我最多说的一句话就是数学素养，这个和文学素养是一个东西，很多家长甚至包括一部分老师都认为数学是可以“突击”上来的，这个思想是极不靠谱的，还是那句话，把题给你整会了是件非常容易的事情，但是要是把你整对了，这就是需要大量的练习与积累了，目前，只要是数学稳定在100分以上的孩子都要重视基础起来，一步步走踏实了比什么都强。大家可以好好看看高考考纲，一个知识点一个的对，迅速找出你的基础薄弱点并迅速歼灭之。一旦你的数学素养积累上去，那就什么创新题与难题都不怕了。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有