三元一次方程及其解法 Prepared on 22 November 2020
三元一次方程组及其解法
1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程
2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组
3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元
4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．
例题解析
一、三元一次方程组之特殊型
例1：解方程组??
???==++=++③②①y x z y x z y x 4225212
分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。
解法1：代入法，消x.
把③分别代入①、②得?
??=+=+⑤④2256125z y z y 解得2,2.
y z =??=?
把y=2代入③，得x=8.
∴8,2,2.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式，用代入法型.
针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.
①×5得 5x+5y+5z=60 ④
④-② 得 4x+3y=38 ⑤
由③、⑤得???=+=⑤
③38344y x y x
解得8,2.x y =??=?
把x=8,y=2代入①得z=2.
∴8,2,2.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：
类型二：缺某元，消某元型.
例2：解方程组?????=++=++=++③
②①17216
2152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，
即x+y+z=12 .④
①-④得 x=3，
②-④得 y=4，
③-④得 z=5，
∴3,4,5.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
典型例题举例：解方程组20,19,
21.x y y z x z +=??+=??+=?①②③
解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ，
即x+y+z=30 .④
④-①得 z=10，
④-②得 y=11，
④-③得 x=9，
∴9,11,10.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型三：轮换方程组，求和作差型.
例3：解方程组???=+-=②①21327:2:1::z y x z y x
分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即
2,7,2321.y x z x x y z =??=??-+=?
①②
③
，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。 解法1：由①得y=2x ，z=7x ，并代入②，得x=1.
把x=1，代入y=2x ，得y=2；
把x=1，代入z=7x ，得 z=7.
∴1,2,7.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k ，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。
解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k ，并代入②，得k=1.
把k=1，代入x=k ，得x=1；
把k=1，代入y=2k ，得y=2；
把k=1，代入z=7k ，得 z=7.
∴1,2,7.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
典型例题举例：解方程组?????===++③②
①4:5:2:3:111z y x y z y x
分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =
23
y ； 由③得z=45y .从而利用代入法求解。 解法1：略.
分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z 的形式呢通过观察发现②、③中都有y 项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y 比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。
解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12.
设x=10k,y=15k,z=12k ，并代入①，得k=3.
把k=3，代入x=10k ，得x=30；
把k=3，代入y=15k ，得y=45；
把k=3，代入z=12k ，得 z=36.
∴30,45,36.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.
二、三元一次方程组之一般型
例4：解方程组34,6,
2312.x y z x y z x y z -+=??++=??+-=?①②③
分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：
（一） 消元的选择
1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；
2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。
（二） 方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。 解：??????
∨=-+?=++∨=+-③②①12326
43z y x z y x z y x （明确消z ，并在方程组中体现出来——画线）
①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√)
②+③ 得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)
由④、⑤得5216,3418.x y x y +=??+=?④⑤
解得2,3.x y =??=?
把x=2 ，y=3代人②，得 z=1.
∴2,3,1.x y z =??=??=?
是原方程组的解.
典型例题举例：解方程组2439,32511,
56713.x y z x y z x y z ?++=∨??-+=∨???-+=?
??①②③ 分析：通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消y 。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。
解：②×2 得 6x －4y+10z=22， ④
2x +4y+ 3z=9， ①
①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤
②×3 得 9x －6y+15z=33 ，⑥
5x －6y+7z =13， ③
⑥－③得 4x +8z =20 .
x +2z=5 . ⑦
由⑤、⑦得81331,2 5.x z x z +=??+=?⑤⑦
解得1,3.
x z =-??=?
把x=-1 ，z=3代人① ，得 2
1=
y . ∴1,1,23.x y z =-???=??=?? 是原方程组的解. 在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。
课堂练习
1.解下列方程组
（1）2000x x y y z -=??+=??-=? （2）6810x y y z x z +=??+=??+=?
2．解下列方程组
（1）63z x y x y z x y =+??++=??-=? （2）17221343x y z x y z x y z ++=??--=??+-=?
3．有这样一个数学题：在等式2y ax bx c =++中，当x=1时，y=1；当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.
（1）请你列出关于a,b,c 的方程组.这是一个三元三次方程组吗
（2）你能求出a,b,c 的值吗
4.解方程组
44
228
25
x y z
x y z
x y z
++=
?
?
-+=
?
?+-=-
?
5.解方程组
3248
2348
55622
x y z
x y z
x y z
++=
?
?
++=
?
?++=
?
6.解方程组
21
2314
38
x y z
x y z
x y z
+-=
?
?
++=
?
?++=
?
7. 解方程组
3
4
5
a b
b c
a c
+=
?
?
+=
?
?+=
?
，
三元一次方程组的实际应用
EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套共有多少套解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得
x+y+z=60
24x/9=20y/15=16z/12
解得x=12,y=24,z=24
24×12/9=32
答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.
EG02: 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。
解: 设甲是x，乙是y，丙是z
则x+y+z=35 (1)
甲数的2倍比乙数大5
2x-y=5 (2)
乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2
y/3=z/2 (3)
由(2)和(3)得到
y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3
代入(1)
x+2x-5+4x/3-10/3=35
13x/3=130/3
x=10
y=2x-2=15
z=2y/3=10
所以
甲是10，乙是15，丙是10
EX:
1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要元。问甲乙丙每件各多少元
2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里去时上下坡路各有多少公里
3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人AW: 1式子：3x+7y+z= 4x+10y+z=42 x+y+z=
答案：这题有问题，多解的（只要符合x+3y=就行，真不知楼上怎么算出来的。。
2：去时上坡x平路y下坡z
x+y+z=142 x/28+y/30+z/35= z/28+y/30+x/35= 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y= x= 答案：x=231 y=220 z=200
训练集中营1。现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚
2。甲地到乙地全称是，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少
3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量如果某居民某月用水量是立方米，则他需要交水费多少元
4。某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少
6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨
7。小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚
8。运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨
9。1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个10。、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张，问两种邮票各买多少张
11。有甲乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和是47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，求这两个数。
12。某车队运一批货物，若每辆装吨，就有2吨运不走，若每辆多装吨，则还可以装其他货物1吨，问有多少辆车多少吨货物
13。已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．
（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；
（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少米
7.3 三元一次方程组及其解法 【教学目标】 知识与能力 （1）了解三元一次方程组的概念. （2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． （3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． 过程与方法 通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路. 情感、态度、价值观 通过本节的教学，应该使学生体会通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想，认识到数学的价值。 【教学重点】 （1）使学生会解简单的三元一次方程组． （2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． 【教学难点】 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 【教学过程】 一、回顾旧知，引入新课 在7.2节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在我们的小世界杯足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。 问题回顾 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛。比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分。 那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 解：设勇士队胜了x场，平了y场，则 胜 每场得分
?? ?=+=++17 39 2y x y x 解得???==25y x 提出问题： 在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？ 解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则 0 ?? ? ??+==+=++z y x y x z y x 18310 引出定义：像这种含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程组。一般情况下，三元一次方程组有三个方程，但不一定每个方程都出现三个未知数。 二、自主探究--------三元一次方程组的解法 探究一： 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言) 解方程?? ? ??+==+=++③②① z y x y x z y x 18 310 解:把③分别带入①②得???=++=+++18)(310 y z y z y z y 整理得???=+=+⑤④18341022z y z y 由?????12⑤④得? ??=+=+⑦⑥ 18342044z y z y 由⑦⑥-得2=z 把2=z 代入④得1042=+y ， 即 3=y
#include
y[0]=hl(q); for(k=0;k<3;k++) { for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) c[i][j]=a[i][j]; for(i=0;i<3;i++) c[i][k]=b[i]; for(i=0;i<3;i++) q[i]=c[i]; y[k+1]=hl(q); } /*printf("\n"); for(i=0;i<4;i++) printf("y[%d]=%.2f\n",i,y[i]);*/ for(i=0;i<3;i++) x[i]=y[i+1]/y[0]; printf("\nthe answer of the problem is:\n"); for(i=0;i<3;i++) printf("x[%d]=%.2f\n",i,x[i]); printf("\n"); //检测结果是否正确 for(i=0;i<3;i++) { for(j=0;j<3;j++) t[i]+=a[i][j]*x[j]; t[i]-=b[i]; } if(fabs(fabs(t[0])<1e-7&&fabs(t[1])<1e-7&&fabs(t[2])<1e-7) printf("congratulations! the answer is right!\n"); else printf("sorry, you should try again.\n"); } } double hl(double *p[]) { double x; x=p[0][0]*p[1][1]*p[2][2]+p[0][1]*p[1][2]*p[2][0]+p[0][2]*p[1][0]*p[2][1]-p[0][2]*p[1][1] *p[2][0]-p[0][1]*p[1][0]*p[2][2]-p[0][0]*p[1][2]*p[2][1];
常见的三元一次方程组的解法 三元一次方程组的常规解法是：通过代入法或加减法把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再把二元一次方程组转化为一元一次方程从而解出方程组.但有时我们也可根据三元一次方程组的结构特点采取非常规的方法来解方程组.常见的方法有： 一、缺项型的解法 例1 解方程组4917(1)31518(2)232(3)x z x y z x y z -=??++=??++=? 分析：由于方程（1）缺少未知数y ，这方程时只要在方程（2）（3）中消去未知数y 即可把三元一次方程组转化为二元一次方程组，从而顺利地解出方程组. （2）2(3)?-得：52734(4)x z += （1）3(4)?+得：1785x = 5x = 把5x =代入（1）得：20917z -= 13z = 把5x =，13 z =代入（3）得：5212y ++=， 2.y =- ∴方程组的解为：5213x y z ??=?=-???=? 二、标准型的要选择确当的未知 例2 解方程组34(1)2312(2)6(3)x y z x y z x y z -+=??+-=??++=? 解：要消去三个未知数中的一个，相对而言消未知数z 比较方面. （1）+（2）得：5216(4)x y += （3）+（2）得：3418(5)x y += (5)(4)2-?得：20x =
把20x =代入（4）得：100216y += 42y =. 把20x =，42y =代入（1）得：60424z -+= 14z =-. ∴方程组的解为：204214x y z =??=??=-? . 三、轮换的特殊解法 例3 解方程组2(1)4(2)6(3)x y y z z x +=??+=??+=? 解：这样轮换缺少未知数的方程可以采用下面特殊方法来解. （1）+（2）+（3）得：22212x y z ++= ∴6(4)x y z ++= （4）-（1）得：4z = （4）-（2）得：2x = （4）-（3）得：0y = ∴方程组的解为：204x y z =??=??=? . 四、有比巧设参数 x ：y=2：1 （1） 例4 解方程组 y ：z=1：3 （2） 23414x y z +-=- （3） 解：由（1）得：设其中的一份为k ，则2x k =，y k =. 把y k =代入（2）得：3z k =. 把2x k =，y k =，3z k =代入（2）得：431214k k k +-=-.
三元一次方程组及其解法说课稿 东华附校代修勇 教学内容：沪教版初中数学六年级下册第六章第4节第一课时（教材第74页）一、说教材： (一)教材简析 沪教版教材开门见山直接给出三元一次方程组的定义，然后，引导学生通过消元（代入、加减）的思想方法，解一些特殊的三元一次方程组。上本节课前，学生已学习一元一次方程和二元一次方程组的概念及解法，也深刻体会解二元一次方程组中“消元”的思想，这为过渡到本节课的学习起到铺垫作用。同时这节课是对“代入”和“加减”消元的再次检验，也为学生未来类比学习解高次方程（降次）提供思维上的启迪。 (二)学情分析 学生总体比较听话，上课认真，虽然思维不是很活跃，但有较好的理解能力和基础。在上课前，学生已较熟练的掌握二元一次方程组的概念及解法，对用方程（组）解决问题的建模思想有初步的认识。 (三)教学目标 1.知识与技能： （1）了解三元一次方程组的概念。 （2）会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”，进而化为“一元”方程来解决。 2.过程与方法： 经历认识三元一次方程组并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会“消元”思想。 3.情感态度与价值观： 培养分析问题、解决问题的能力与探索精神。 (四)教学重难点 根据以上分析，我将本节课的教学重点确定为：三元一次方程组的概念及解法。教学难点确定为：三元一次方程组向二元一次方程组的转化。 二、说教法、学法
（一）说教法 现代教学理论认为，学生是学习的主体，教师是学习的组织者。根据这一理念，本节课我采用启发引导、讲练结合及分组竞赛的教学方法，以提出问题、解决问题为主线，让学生去观察、类比、探索并及时的反思，从真正意义上完成对知识的自我建构。另外，在教学中我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 （二）说学法 三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性太强，因此在解前必须认真观察方程组中各个方程的特征，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键，一般来说，要引导学生先消去系数最简单的未知数。 三、说教学过程 (一)创设情境、引入新课 设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题。 提出问题：小明春节收到12张面额分别1元、2元、5元的微信红包，共计22元，其中1元红包的数量是2元红包的4倍，求1元、2元、5元红包各多少个？ 【通过学生实际生活中的问题，提高数学的学习兴趣，激发学生强烈的探究欲望。】 教师提问：这里有三个要求的量，直接设出三个未知数列方程组，顺理成章，直截了当，容易理解。如果设1元、2元、5元红包分别为x个、y个、z个，用它们可以表示哪些等量关系？ 预测学生回答： 教师活动设计：强调审题抓住的三个等量关系，从而表示成以上三个方程，这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，这三个方程联立起来，成 为
---一次性方程序言：方程 含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式 用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。则： ［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ ［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ 等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是等式 ３若a=b,则b=a（等式的对称性） ４若a=b,b=c则a=c（等式的传导性） 方程：含有未知数的等式叫做方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程叫做解方程 移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质１。 一元一次方程 一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b 为常数，a不等于零） １去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数 ２去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率 ３移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边
移项时别忘记了要变号。 ４合并同类项将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式 ５系数化１方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程 方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程 ２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程 列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题 ２分析已知和未知的量 ３找一个等量关系 ４解方程 ５检验 ６写出答，解 二元一次方程 二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。 二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解 消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想 消元的方法有两种：
三元一次方程组的解法及技巧解析初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。优立方数学为大家提供了三元一次方程组的解法知识点，希望对大家有所帮助。 1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如， 等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一
个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. (2)怎样解三元一次方程组? 解三元一次方程组例题 解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解. 解：由(2)，得x=y+1.(4) 将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得 把y=9代入(4)，得x=10. 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：(3)-(1)，得x-2y=-8(4) 由(2)，(4)组成方程组
解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得z=7. 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由(1)+(2)-(3)，得y=9. 把y=9代入(2)，得x=10. 把x=10，y=9代入(1)，得z=7. 因此，方程组的解是 注意： (1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. (2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程的定义: 含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点诠释： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． (2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建 立三元一次方程组求解 要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二 元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的 解法 要点三、三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组 类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．
三元一次方程组及其解法（2） 一．选择题（共3小题） 1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔1支，练习本2本共需4元，购1本练习本比1支圆珠笔多花1元，那么购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（） A．3元 B．2元 C．1元 D．0．9元 2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（） A．105元 B．95元 C．85 元 D．88元 3．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来，将其中只有一人会做的题目叫做难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多（） A．30道 B．25道 C．20道 D．15道 二．填空题（共4小题） 4.已知y＝ax2＋bx＋c. (1)当x＝1时，y＝5，得到等式______________； (2)当x＝－2时，y＝5，得到等式______________； 5．有甲乙丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共420元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共520元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需元．6．纸箱里有有红黄绿三色球，红球与黄球的比为1：2，黄球与绿球的比为 3：4，纸箱内共有68个球，则黄球有个． 7．已知a，b，c是有理数，观察表中的运算，并在空格内填上相应的数． a+6b 2a﹣5c a﹣2b+7c 2a+2b+c a，b，c的运 算 运算的结果﹣4 9 ﹣3
三．解答题（共3小题） 8.在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝－3；当x＝3时，y＝0.求a，b，c的值. 9．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金 水稻4人1万元 棉花8人1万元 蔬菜5人2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 10.陈滴有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，求1元、2元、5元的纸币各多少张.
初三中考数学复习 三元一次方程组的解法 专题复习练习 1．下列方程组是三元一次方程组的是( ) A.?????2x ＝5x 2＋y ＝7x ＋y ＋z ＝6 B.? ????3x －y ＋z ＝－2x －2y ＋z ＝9y ＝－3 C.?????x ＋y －z ＝7xyz ＝1x －3y ＝4 D.?????x ＋y ＝2y ＋z ＝1x ＋z ＝9 2. 解方程组?????3x －y ＋3z ＝3，2x ＋y －4z ＝11，7x ＋y －5z ＝1 时，若要使运算简便，消元的方法应选( ) A ．消去x B ．消去y C ．消去z D ．以上说法都不对 3. 下列四组数值中，是方程组?????x ＋2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝1，3x －y －z ＝2 的解的是( ) A.?????x ＝0y ＝1z ＝－2 B.?????x ＝1y ＝0z ＝1 C.?????x ＝1y ＝－1z ＝0 D.?????x ＝1y ＝－2z ＝3 4. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；若购甲1件、乙2件、丙3件共需285元；若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物每件( ) A ．50元，65元，35元 B ．35元，50元，65元 C ．50元，35元，65元 D ．35元，65元，50元 5. 已知?????x ＝1，y ＝2，z ＝3是三元一次方程组?????ax ＋by ＝2，by ＋cz ＝3，cx ＋az ＝7 的解，则a ＋b ＋c 的值是( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定 6. 有甲、乙、丙三种布料，已知每米甲种布料比乙种贵2元，每米乙种布料比丙种贵3元，且3米长的甲种布料、2米长的乙种布料与4米长的丙种布料的总价为156元，则甲、乙、丙三种布料的售价分别是每米( ) A ．20元，18元，15元 B ．22元，20元，12元 C ．19元，17元，14元 D ．25元，23元，14元 7. 下列方程是三元一次方程的是____．(填序号) ①x ＋y －z ＝1； ②4xy＋3z ＝7； ③2x ＋y －7z ＝0； ④6x ＋4y －2＝0； ⑤x＋1y ＋z ＝4. 8. 已知关于x ，y ，z 的三元一次方程组?????x ＋y ＝7，x ＋z ＝8，y ＋z ＝9， 则它的解是_______． 9. 在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝0； 当x ＝2时，y ＝12，则a ＝____，b ＝____，c ＝____． 10. 单项式12a x ＋y －z b 5c x ＋z －y 与－12 a 11 b y ＋z －x c 的和等于0，则x ＝____，y ＝____，z ＝____． 11. 解方程组： ?????2x ＋y ＝3，3x －z ＝7，x －y ＋3z ＝0； 12. 为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a ，b ，c 时，则接收方对应收到的密码为A ，B ，C.双方约定： A ＝2a －b ， B ＝2b ， C ＝b ＋c ，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.
《三元一次方程组的解法》练习题 林东六中初一备课组 知识点： 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三 元”转化为“二 元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 同步练习： 3101.021_______33020_______21________32__________ 20,21,32 x x x y y y z z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ììì?===????????镲 ==-=-眄 镲 镲 =-==镲 ?????? ++=--=--=ì++=??? --=í??--=???在①②③这三组数值中， 是方程的解，是方程的解，是方程的解，因此是方程组的解。 2.若三元一次方程2x －3y ＋mz =0,其中x =1,y =2,z =3,则m 的值为__________ 223,3.451,110 __________ x y z x y z x y x y z ì-+=-??? +-=-í??++=???若满足方程组的的值是，的值是， 则该方程组的解是 11,4.5,1.A. B.C. D.x y z y z x z x y x y z ì+-=??? +-=í??+-=???解方程组若要使运算简便，消元的方法应 选取（ ） 先消去先消去先消去以上说法都对
3,5.1,11 A.3423. 13 25.2 .1 236 6,6.4,210A. B.1 C.2 .0 25,7.589,A x y z x y z B x y z x C x y z D y z x y x z x y z D x y z x y x y z ì=??? =í??=-???-+=-+=-+-=---=ì-=??? +=í??-+=???ì-+=??+í?+-=??以为解建立三元一次方程组，不正确的是（ ） 三元一次方程组的解的个数为（ ） 无数多个 已知方程组则的值为（） .14 .2 .14 .2 38.54 0113A.2.2.0.1 3331 B C D x y y z z x x x x x y B y C y D y z z z z --ì+=??? +=í??+=???祆祆====镲镲镲镲镲镲====眄眄镲镲镲镲====镲镲镲镲铑铑 三元一次方程组的解是（ ） 2 29.1321)50,________, _______,_______. x y y z x y z -+++--====已知（）（则
3.5 三元一次方程组及其解法说课稿 张集中学数学组魏俊廷 本节是选学内容，原先是第八章第四节内容，现在编排在这里，完成了一次方程的衔接。 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．知道什么是三元一次方程． 2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． 3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路． （二）能力训练点 1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象． 2．培养学生的计算能力、训练解题技巧． （三）德育渗透点 渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美． 二、学法引导 1．教学方法：观察法、讨论法、练习法． 2．学生学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键．一般来说应先消去系数最简单的未知数． 三、重点·难点·疑点分析及解决办法 本节教学重点：使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组 时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．教学难点：是解法的灵活运 用．针对方程组的特点，选择最好的解法．能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用，以及一次不等式组的解法的基础。疑点：如何进行消元．解决办法：加强理解二元及三元一次方程组的解题思想是“消元”，故在求解中为便于计算应选择系数较简单的未知数将它消去． 1．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 3．如何消元，首先要认真观察方程组中各方程系数的特点，然后选择最好的解法．4．有些特殊方程组，可用特殊的消元方法，有时一下子可消去两个未知数，直接求出一个未知数值来． 5．解一次方程组的消元“转化”基本思想，可以推广到“四元”、“五元”等多元方程组，这是今后要学习的内容． 四、知识结构
*8.4 三元一次方程组的解法 【教学目标】 1．理解三元一次方程组的含义． 2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． 3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路． 【教学重点与难点】 1．使学生会解简单的三元一次方程组． 2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． 3. 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 【教学过程】 一、导入新课 前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题． 二、推进新课 出示引入问题 小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张． 1．题目中有几个未知数，你如何去设？ 2．根据题意你能找到等量关系吗？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？ 请大家分组讨论上述问题． （教师对学生进行巡回指导） 学生成果展示： 1．设1元，2元，5元各x 张，y 张，z 张．（共三个未知数） 2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍． 3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组12,2522, 4.x y z x y z x y ++=??++=??=? 师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？ （学生小组交流，探索如何消元．） 可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了： 8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =?++=+=???=???++=+=???=?即解得 解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x ． 教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程． 即三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元一元一次方程 三、例题讲解 例1：解三元一次方程组347,239,5978.x z x y z x y z +=??++=??-+=? （让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．） 解：②×3+③，得11x+10z=35． ①与④组成方程组347,5,111035. 2.x z x x z z +==????+==-??解得 把x=5，z=-2代入②，得y=13． 因此，三元一次方程组的解为5,1,32.x y z =???=??=-?? 归纳：此方程组的特点是①不含y ，而②③中y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成关于x 和z 的二元一次方程组的解法最合理．?反之用代入法运算较烦琐． 例2：在等式y=ax2+bx+c 中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a ，b ，?c 的值． （师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．） 解：由题意，得三元一次方程组0,423,25560.a b c a b c a b c -+=??++=??++=? ②-①，得a+b=1， ④ ③-①，得4a+b=10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组1,410.a b a b +=??+=?． 解得3,2a b =??=-? 把a=3，b=-2代入①，得c=-5． 因此3,2,5.a b c =??=-??=-?，
《三元一次方程组及其解法》例题与讲解 1.三元一次方程及三元一次方程组 (1)三元一次方程： 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程. (2)三元一次方程组： ①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如： ??? x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5，??? x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7 等都是三元一次方程组. ②拓展理解： a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程； b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数. 【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ). A.??? x 2－y ＝1， y ＋z ＝0，xz ＝2 B.????? 1 x ＋y ＝1， 1 y ＋z ＝2， 1z ＋x ＝6 C.??? a ＋ b ＋ c ＋ d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3 D.??? m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0 解析：A ，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有D 符合三元一次概念内涵，故选D. 答案：D 2.三元一次方程组的解 (1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，
叫做三元一次方程的解. 和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解. (2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数. (3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解. 释疑点 检验三元一次方程组的解 三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解. 【例2】 判断??? x ＝2， y ＝－3， z ＝－3是不是方程组??? x ＋y －2z ＝5， 2x －y ＋z ＝4， 2x ＋y －3z ＝10 的解. 答：__________(填是或不是). 解析：把??? x ＝2， y ＝－3， z ＝－3 代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左 右两边都相等，所以是方程组的解. 答案：是 3.三元一次方程组的解法 (1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程. (2)步骤： ①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数； ②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值； ⑤写出三元一次方程组的解.
三元一次方程组解法举例教学设计 一、教材分析 本课的主要内容是学习三元一次方程组的解法，由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，所以先结合实例运用类比法学习三元一次方程组的有关概念，然后利用消元思想解三元一次方程组 .尽管三元一次方程组与二元一次方程组的解法有许多类似之处，毕竟三元一次方程组复杂得多，所以在学习的过程中，重点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节，在比较的过程中学习新知识，使学生对消元思想有更深层次的认识，能将这种思想迁移到解决四元一次方程组、五元一次方程组等问题中.列三元一次方程组解决实际问题虽然不是这节课的重点，不过它有助于学生理解为什么要学习一元高次方程组的解法以及数学与生活的密切联系，同时也可以为以后学习二次函数做一些准备，所以有必要做一部分较简单的实际应用题. 在理解运用消元思想方法的同时，观察分析及运算能力也是这节课训练的重点内容，注意在应用的过程中培养学生的良好思维、表达习惯. 二、【课时分配】2课时 三、【教学重点与难点】 教学重点：会准确、迅速地解三元一次方程组 教学难点：根据方程组的特点确定先消哪个元，怎么消? 四、【教学目标】 1. 会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，提高运算技能. 2. 通过解三元一次方程组，进一步体会“消元化归”思想. 3. 通过学习体会前后知识之间、数学与生活之间的密切联系，发展应用意识. 五、【教学方法】 利用一个具体问题，在复习已有知识的基础上类比学习学习新内容.教师为学生提供部分学习素材，创设和谐融洽积极向上的学习氛围，学生在独立思考的
基础上与同学交流合作，教师的指导与学生的探索有机结合，使学生在尝试中发展、提高. 六、【教学过程】 （一）、创设情境提出问题 （设计说明：利用一个既能用二元一次方程组解决，又能用三元一次方程组解决的问题，让学生在解决问题的过程中，自然过渡到新知识的学习.） 导语：通过以上几节课的学习，我们不仅知道了什么是二元一次方程、二元一次方程组，而且还能利用他们来解决许多实际问题，这些问题中的未知数有两个.如果问题中的未知数多于两个，你能解决吗?请大家尝试解决下面的问题. 问题：在前面的学习中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。 在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜，平，负的场数各是多少？ 这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或二元一次方程组）来解决。 小明同学提出了一个新的思路： 问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜，平，负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？ 分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得X+Y+Z=10 3X+Y=18 X=Y+Z （教学说明：教师提出问题，学生尝试解决，教师结合学生的具体情况灵活调控：或顺势进入新课学习，或提出新的问题将学生引导到先课内容上来．） （二）、探索新知解决问题 1.三元一次方程组的有关概念： 像这样的方程组称为三元一次方程组。
6.10 三元一次方程组及其解法 【学习目标/难点重点】 1.理解三元一次方程组的概念， 2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路. 一、课前复习： 1.解方程组： 1）?? ?=+=+42302y x y x 2）? ??=-=+5231284y x y x 2.解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ 3.解二元一次方程组的基本思想是什么？ 二、新课学习 1.思考：观察下面的方程组有什么特点： 1）?????=+=+=16253z x y x x 2）?? ???=-+=--=++30724622523z y x z y x z y x 2.归纳定义： 三元一次方程组： 叫做三元一次方程组. 3.思考：我们怎样解三元一次方程组呢？ )()( )()(?????→?????→?三元一次方程组 4.【例题】解方程组： 1）?????=+=+=16253z x y x x 2）?? ???=-+=--=++30724622523z y x z y x z y x 3）?????=+-=+-=+19714z x z y y x
课课精炼 一、填空题： 1.解三元一次方程组的基本思想是 ，把三元一次方程组转化成 ，再转化成 . 2.在方程325=+-z y x 中，若2,1-=-=y x ，则=z . 3.解三元一次方程组?? ???=+-=+-=-+84916023z y x z y x z y x ，较简单的方法是：先用 法消去未知数 ， 得到关于 的二元一次方程组. 二、选择题： 4.解方程组?? ???=-+=-+=-+1511y x z x z y z y x ，若要使运算简便，消元的方法应选取 （ ） A .先消去x B .先消去y C .先消去z D .以上说法都不对 5.若15234,1032=++=++z y x z y x ，则z y x ++的值为 ( ) A.2 B.3 B.4 D.5 三、解方程组： 1）?????=++=+-=82239322z y x z y x x 2） ?????=+-+=-=1023122z y x x z x y 3）?? ???=+-=+-=+9714m b b n n m 4） ?? ???-=-+-=++=+-1153914 49559z y y z y x z y x
三元一次方程及其解法 Prepared on 22 November 2020
三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程 2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组 3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元 4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析 一、三元一次方程组之特殊型 例1：解方程组?? ???==++=++③②①y x z y x z y x 4225212 分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。 解法1：代入法，消x. 把③分别代入①、②得? ??=+=+⑤④2256125z y z y 解得2,2. y z =??=? 把y=2代入③，得x=8. ∴8,2,2.x y z =??=??=? 是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2：消z.
①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤ 由③、⑤得???=+=⑤ ③38344y x y x 解得8,2.x y =??=? 把x=8,y=2代入①得z=2. ∴8,2,2.x y z =??=??=? 是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型. 例2：解方程组?????=++=++=++③ ②①17216 2152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3， ②-④得 y=4， ③-④得 z=5， ∴3,4,5.x y z =??=??=? 是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组20,19, 21.x y y z x z +=??+=??+=?①②③ 解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④