第十五章 波与粒子
15-1 在恒星演化过程中，当能源耗尽时，星体将在万有引力作用下发生坍缩，而成为密度极高的星体。同时，由于先前的核燃烧，这种星体的温度仍然很高，因而发出白光，故得名为白矮星。天狼星的一个伴星，是人们发现的第一颗白矮星，如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为0.352m μ，试根据维恩位移律估计它的表面温度。
解 根据维恩位移律：m T b λ= 可以计算这颗白矮星的表面温度，为：38.2310m b
T k λ==?
15-2 三个大小相同并可看作为黑体的球体，测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为0.300m μ、0.400m μ和0.500m μ，试求它们的温度以及它们在单位时间内向空间辐射的能量之比。
解 根据维恩位移律可以求得它们的温度，分别为：
3119.6610m b
T k λ==?，3227.2510m b T k λ==?，333 5.8010m b T k λ==?.
根据斯特藩-玻耳兹曼定律：()4
0M T T σ=和上面已经得到的温度，就可以求出它们的辐出度0M 。辐出度是表示该黑体在单位时间内从其表面单位面积上辐射出的能量，因为三个球体大小相同，它们在单位时间内向空间辐射的能量之比，就等于它们的辐出度之比，即：
444123*********::::::8.71:2.76:1.13E E E M M M T T T ===
15-3 试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式，在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。 解：黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示：()20521
1
hc kT hc M T e λλπλ=- (1)
（1）在短波近似情况下，有：hc kT λ<< , 所以：1hc kT e λ>> 这样就可以在普朗克公式中略去1，而成为下面的形式：()2
052hc kT hc M T e λλπλ-= （2）
令：2
12c hc π=、2hc c k =，并代入上式，得：()2105c T c M T e λλλ-= 这正是维恩公式。 （2）在长波近似情况下，有：hc kT λ>>，所以：1hc kT hc e kT
λλ≈+ 于是，普朗克公式称为下面的形式：()205422hc kT ckT M T hc λπλπλλ??== ???
这正是瑞利金斯公式。 15-4什么是光电效应？光电效应有哪些重要规律？在解释这些规律时经典理论遇到什么困难？在这些困难中，你认为最突出的是什么？
答：金属中的自由电子在光的照射下，吸收光能而逸出金属表面，这种现象称为光电效应。
光电效应有下列四条重要规律：（1）单位时间内逸出金属表面的光电子数与入射光强成正比。（2）光电子的初动能随入射光的频率上升而线性增大，与入射光强无关。（3）如果入射光的频率低于该金属的红限，则无论入射光强多大，都不会使这种金属产生光电效应。（4）只要入射光的频率大于该金属的红限，当光照射到这种金属的表面时，几乎立即产生光电子，而无论光强多小。
从波动论看，作为电磁波的光波投射到金属表面上，引起金属中自由电子的受迫振动，当自由电子从入射光波中吸收到足够的能量后，就可以克服金属表面的约束而逸出，成为光电子，用这个观点解释光电效应的实验规律，所遇到的主要困难有以下几点。(1)光电子初动能问题：从上述观点看，光电子初动能应正比于入射光的强度，光强度又正比于光波振幅的平方，所以光电子的初动能应正比于入射光的振幅的平方。而实际上光电子的初动能正比于入射光的频率ν，与入射光的强度无关，与人射光的振幅无关。 (2)光电效应的红限问题：按照波动论，光强度正比于光波振幅的平方，如果入射光的频率较低，总可以用增大振幅的方法，使入射光达到足够的强度，使自由电子获得足够的能量而逸出金属表面。所以，按波动论的观点，光电效应不应该存在红限0ν。而实际上每一种金属都存在确定的红限值，当入射光的频率低于该金属的红限时，无论光强多大，都无电子逸出。(3)发生光电效应的时间问题：根据波动论的解释，自由电
子从入射光波中获得能量需要一个积累的过程，特别是当入射光强度较弱时，更需要较长的时间积累能量。而实际上光电子出现的时间均小于
910-s ，且与人射光的强弱无关。
其中最突出的问题是：光电效应的红限问题和发生光电效应的时间问题。
15-5 试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量：(1)波长为3
1.210nm ?的红外线；(2)波长为26.210nm ?的可见光；(3)波长为20.3410nm ?的紫外线；(4)波长为21.610nm -?的X 射线；(5)波长为
31.110nm -?的γ射线。
解：(1)对于波长为31.210nm ?的红外线，能量为：191.710hc
h J ενλ-===?； 动量为：2815.510p kg m s c ε
--==???；质量为：361.810p m kg c
-==?. (2)对于波长为2
6.210nm ?的可见光，能量为: 193.210hc h J ενλ
-===? 动量为：2711.110p kg m s c ε
--==???；质量为：363.610p m kg c
-==? (3)对于波长为2
0.3410nm ?的紫外线，能量为：185.810hc h J ενλ
-===?； 动量为：2511.910p kg m s c ε
--==???；质量为：341.510p m kg c
-==? (4)对于波长为2
1.610nm -?的X 射线，能量为：141.210hc h J ενλ
-===?； 动量为：2314.110p kg m s c ε
--==???；质量为：311.410p m kg c
-==? (5)对于波长为3
1.110nm -?的γ射线，能量为：131.810hc h J ενλ
-===?； 动量为：2216.010p kg m s c ε
--==???；质量为：302.010p m kg c
-==?
15-6 已知金属钨的逸出功为4.38 eV ，若用波长为429 nm 的紫光照射其表面，问能否产生光电子？若在钨的表面涂敷一层铯，其逸出功变为2.61 eV ，结果又将如何？若能产生光电子，求光电子的最大初动能。
解：入射光子的能量为：348
1976.62610 2.99810 4.63104.2910hc
h J νλ---???===?? 金属钨的逸出功为：19194.38 1.602107.0110A J --=??=? 因为h A ν<，所以不能产生光电子。
当在钨表面涂敷铯，逸出功变为：1919' 2.61 1.60210 4.1810A J --=??=?
这时，'h A ν>所以能够产生光电子。根据光电效应的爱因斯坦方程：21'2
h mu A ν=+ 光电子的最大出动能为：2201' 4.5102
mu h A J ν-=-=? 15-7 金属钾的红限为144.6210Hz ?，若用波长为436 nm 的光照射，求光电子的最大初速度。
解：根据红限的定义，可以求得金属钾的逸出功：3414190 6.62610 4.6210 3.0610A h J ν--==???=? 光电子的最大初动能为：()219191'' 4.56 3.0610 1.5102hc mu h A A J J νλ
--=-=-=-?=?
光电子的最大初速度为：515.7410u m s -==?? 15-8 金属钠的红限为14
4.3910Hz ?，求：(1)金属钠的逸出功；(2)用波长为500 nm 的光照射时的遏止电势差。 解：(1)金属钠的逸出功为：3414190 6.62610 4.3910 2.9110A h J ν--==???=?
(2)因为遏止电势差表征了光电子的最大初动能，故有：212
a eU mu =
将此关系代入光电效应的爱因斯坦方程，得：a h eU A ν=+ 于是有：0.666a hc
A h A U V e e
νλ--=== 所以，遏止电势差为 -0.666 V 。 15-9 什么是康普顿效应？康普顿效应有些什么规律？经典理论是如何解释光散射的？
答：1．康普顿效应及其规律
(1)短波射线(如x 射线、Y 射线)经物质散射后，在散射线中除有与入射线同波长的成分外，还有比入射线波长更长的射线产生出来。这就是康普顿效应。波动论对这个效应同样无法解释，而再次陷入困难的境地。
(2)康普顿效应的核心之点就是在散射波中存在波长变长的部分。但从波动论看，入射波的散射是物质中的带电粒子在入射波的作用下发生受迫振动，而向四周发出的辐射。我们知道，稳定的受迫振动与驱动力同频率，所以散射波一定与入射波同频率，不可能发生波长变长的现象。
2．光子论对康普顿效应的解释
(1)从光子论看，入射光是能量为h ν的光子流，进入物质内的光子将与物质粒子发生弹性碰撞，碰撞过程遵从能量守恒定律和动量守恒定律。光子与点阵离子和自由电子的弹性碰撞，将分别得到波长不变和波长变长的散射波成分，从而圆满地解释了康普顿效应。 (2)认为碰撞前自由电子是静止的，其总能量等于静能20m c ，碰撞后其总能量变为2mc ；碰撞前光子的动量为0h c ν，碰撞后变为h c
ν。这些能量和动量的表示都是从相对论关系中得到的。由于运用了这些关系，康普顿效应才得到圆满解释，所以说，康普顿效应是一种相对论效应。
15-10 在康普顿效应中，入射X 射线的波长是25.0010nm -?，求在散射角0
45?=、090和0180的方向上散射线的波长。
解：根据波长改变公式：()001cos h m c
λλλ??=-=-
散射线的波长可以表示为：()()1211001cos 2.4261cos 10 5.0010h m m c
λ?λ?--=-+=-?+? 对于045?=：(
)121120.71210 5.0010 5.0710m nm λ---=?+?=? 对于090?=：()
121122.24610 5.0010 5.2410m nm λ---=?+?=? 对于0180?=：()
121124.85210 5.0010 5.4910m nm λ---=?+?=? 15-11 波长为101.6010m -?的X 射线被某散射体所散射，求在散射角为060的方向上散射X 射线的波长和引起这种散射的反冲电子所获得的动能。
解 在散射角为0
60的方向上散射X 射线的波长为： ()()121010001cos 2.4261cos 10 1.6010 1.6110h m m m c
λ?λ?---=-+=-?+?=? 反冲电子所获得的动能等于X 光子损失的能量，即：
()
221800009.341058.3k hc E mc m c h h J eV λννλλλ-?=-=-==?=+? 15-12 波长为3
4.210nm -?的入射光子与散射物质中的自由电子发生碰撞，碰撞后电子的速度达到了811.510m s -?? 。求散射光子的波长和散射角。
解 先求波长的改变量λ?，再求散射光子的波长，最后求散射角。
求波长的改变量λ?，
反冲电子的质量：01.16m m ==
反冲电子获得的动能k E ?为：()22214001.161 1.2710k E mc m c m c J
-?=-=-=?
反冲电子获得的动能就等于光子损失的能量，而光子损失的能量与波长的改变量λ?有如下关系：
()
220000k hc E mc m c h h λννλλλ?=-=-=+? 则得：121.5410m λ-?=? 由波长改变量即可求得散射光子的波长，为：
12121230 4.210 1.5410 5.710 5.710m nm λλλ----=+?=?+?=?=? 由波长改变量可求得散射角：()01cos h m c λ??=
- 即得：()1100cos 1cos 10.633768.5m c h λ?--??
?=-=-= ???
15-13 如何理解光的波、粒两重性问题？
答：光子论被黑体辐射、光电效应和康普顿效应以及其他实验所证实，说明它具有一定的正确性。而早已被大量实验证实了的光的波动论以及其他经典物理理论的正确性, 也是无可非议的。因此，在对光的本性的解释上，不应该在光子论和波动论之间进行取舍，而应该把它们同样地看作是光的本性的不同侧面的描述。光在传播过程中表现出波的特性，而在与物质相互作用的过程中表现出粒子的特性。这就是说，光具有波和粒子这两方面的特性，这称为光的波粒二象性。
既是粒子，也是波，这在人们的经典观念中是不容易接受的。但是, 用统计的观点可以把两者统一起来。光是由具有一定能量、动量和质量的微观粒子组成的，在它们运动的过程中，在空间某处发现它们的概率却遵从波动的规律。
实际上，这里所说的粒子和波，都是人们经典观念中对物质世界认识上的一种抽象和近似。这种抽象和近似是不能用来对微观世界的事物作出恰当的描述的，因为微观世界的事物有着与宏观世界的事物不同的性质和规律。从这个意义上说，光既不是粒子，也不是波，即既不是经典观念中的粒子，也不是经典观念中的波。
15-14 从α粒子散射实验中可以得到哪些关于原子结构的信息？
答：α粒子是氦原子核，是由放射性物质发射出来的带正电的微观粒子，α粒子的散射实验表示了。粒子与原子的相互作用，可以为原子的结构提供有用的信息：
a)绝大多数。粒子几乎按原方向出射，偏转角只有02一0
3这表示原子内部是空旷的，α粒子从这个空间穿越，几乎不受到原子中电荷的作用；
b)个别α粒子发生了大角度散射，甚至被反弹的现象表明，原子中心存在一个很小的坚实体，它集中了原子的几乎全部质量，并且带有正电荷，这个坚实体就是原子核。同时可以推断，既然原子核带正电，那么原子中等量的负电荷一定分布在原子核周围的空旷空间里。
根据α粒子散射实验，可以得到原子的核型结构模型假设；反之，根据原子的核型结构模型假设，又可以从理论上计算出散射。粒子数随散射角的分布规律，并且由计算所得的规律与实验观测的结果的一致性，进一步证实了原子的核型模型假设的正确性。
15-15原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？
答：原子的核型结构模型与经典概念是不相容的，表现在下面两点：
a)按照经典理论，电子绕原子核旋转必定要辐射电磁波，并且所发射的电波是连续谱。实际上，通常情况下的原子并不辐射电磁波，只有从外界吸收了能量之后，才可能发射电磁波，并且发射的电磁波频谱是分立谱，不是连续谱；
b)随着系统自身能量的不断减少，电子绕核运动的轨道半径将随之减小，最后电子必定落在原子核上，可见，按照经典理论，原子的核型结构不是稳定结构。实际上，正常情况下的原于是十分稳定的。 15-16 计算氢原子光谱的莱曼系谱线和巴耳末系谱线的波长范围。
解：(1)巴耳末系谱线的波长范围： 巴耳末系可以表示为：22113,4,2R n n ν??=-= ???
当3n =时，对应与长波限的波数： 7122110.15231023L R m ν-??=-=? ???
波长为：1656.5L nm λν== 当n =∞时，对应于短波限的波数：7122110.2742102S R m ν-??=-=? ?∞??
波长为：1364.7S nm λν== (2)莱曼系谱线的波长范围： 莱曼系可以表示为：22112,3,4,1R n n ν??=-= ??
?
当2n =时，对应与长波限的波数：7122110.82261012L R m ν-??=-=? ???
波长为：1121.6L nm λν== 当n =∞时，对应于短波限的波数：712211 1.0968101S R m ν-??=-=?
?∞?? 波长为：191.2S nm λν== 15-17 在氢原子的紫外光谱中有一条波长为121.57 nm 的谱线，问这条谱线属于哪个线系？它是原子在哪两个能级之间跃迁产生的？
解：波长为121.57 nm 的谱线属于莱曼系，是从能级2n =到能级1n =的跃迁产生的。
15-18 依照玻尔理论求出处于基态的氢原子的下列各量：量子数、轨道半径、角动量和动量、电子所受的力、电子的角速度、速率、加速度、动能、势能以及总能量。
解：量子数：1n = ； 轨道半径：22
11012 5.2810e n h r m m e
επ-==? ； 角动量：34211.05102h L n
kg m s π--===???； 动量：2411 1.9910L p kg m s r --==???；
速率：612.1810e p v m s m -==??； 角速度：1611
4.1310v rad s r ω-==??； 受力：2
82018.25104e F N r πε-==? 加速度： 2
22219.0010n v a m s r -==??; 动能：2218011 2.181024k e e E m v J r πε-===? 势能：2
1801
2 4.36104p k e E E J r πε-=-=-=-?； 总能量：2
1801 2.18108k p e E E E J r πε-=+=-=-?
15-19 计算8n =的氢原子的直径和电子的运动速率。
解 将8n =代入半径的表达式，得：22
290812 3.3810e n h r n r m m e
επ-===? 原子的直径为：92 6.7610n d r m -==? 动量为：2022e n e n n m e h p m v n r n h πε=== 所以：2
510 2.73102n e v m s n h
ε-==?? 15-20 若氢原子处于激发态的平均时间为8
1.010s -?，问氢原子中电子在2n =的轨道上运行多少圈才跃迁到基态并放出光子？ 解：由以下两式：2n e n n h p m v n r π== 22
02n e n h r m e
επ= 可以求得电子的运动速率：2
02n e v n h
ε=
当原子处于2n =时，电子的运动速率为：22
6100 1.091024n e e v m s n h h
εε-===?? 电子在此轨道上运行一周所用的时间为：2152122
222 1.2210r r t s v v ππ-??===? 电子在2n =激发态运行的平均周数为：68.210t τ
=??
15-21 求处于以下两种状态的氢原子的电离能 (以eV 为单位)：
(1)基态； (2) 6n =的激发态。
解：(1)基态的电离能，就是将电子从基态(1n =)激发到完全自由态(n =∞)所需要的能量，可如下求得
441812222000 2.171013.6881
e e m e m e E E E J eV h n h εε-∞???=-=--==?= ??? (2) 6n =的激发态的电离能：
442062222000 6.02100.378886
e e m e m e E E E J eV h n h εε-∞???=-=--==?= ??? 15-22 一个具有5.6 eV 动能的中子，与一个处于基态的静止氢原子相碰撞，问这种碰撞是弹性碰撞，还是非弹性碰撞？
解：当具有一定动能的中子与处于基态的静止氢原子相碰撞时，如果中子的动能的大小正好等于氢原子从基态跃迁到某一激发态所需要的能量，碰撞后该中子的动能就全部 被氢原子吸收，而使氢原子从基态跃迁到激发态，中子和氢原子的动能都等于零。这样的碰撞是完全非弹性的，否则碰撞就是弹性的。
氢原子从基态跃迁到最低的激发态(2n =)所需要的能量是：
442122220012.88281e e m e m e E E E eV h h εε???=-=---= ???
因为中子的动能5.612.8eV eV <, 所以，碰撞不足以使氢原子从基态跃迁到激发态，碰撞是完全弹性的。
15-23 求在温度为3.0 K 的液氦中冷冻着的中子的德布罗意波长。
解：将冷冻中子系统看成理想气体系统，该系统处于平衡态时，中子的平均动能为：
233 6.2102
k kT J ε-==?
中子的动量为：2514.610p kg m s --==??? 于是可求得中子的波长为：91.510 1.5h m nm p
λ-==?= 15-24 分别计算动能为0.10 MeV 和1.0 GeV 的电子的德布罗意波长。
解 设电子的静质量为0m ，根据相对论关系：220k mc m c ε=- 和
m =可以解得：
0k u = 和 202k m c m c ε+=
于是可以求得电子的波长：h h p mu λ===(1) 对于动能为140.1 1.6010k MeV J ε-==?的电子，将动能和其他有关量代入式(1)，可求得德布罗意波
长，为：1233.710 3.710m nm λ--=?=?。
对于动能为101.0 1.6010k GeV J ε-==?的电子，由于20k m c ε>>，式(1)可以简化为：k ch
λε= (2)
所以，其德布罗意波长为：1561.210 1.210m nm λ--=?=?
15-25 如果电子和光子的波长都是0.20 nm ，那么它们的动量和能量各为多大？
解：(1)动量：由公式：h p
λ= 可以看到，无论什么粒子，只要波长相等，其动量的大小就相同。所以电子和光子的动量都为： 2413.310h
p kg m s λ--==???
(2)能量：对于光子，与波长l 相对应的能量是其总能量，因为它没有静能。169.910hc h J ενλ-===?
对于电子，与波长λ相对应的能量是其动能。2
180
6.010372k p J eV m ε-==?= 15-26 电子运动速率为1
300m s -?，其测量准确度为0.01%，若要确定这个电子的位置，求位置的最小不确定量。 解：根据：x p h ??≥ 电子位置的最小不确定量为：22.4210h h x m p m v
-?≥==??? 15-27 若电子和质量为10.0 g 的子弹都以1
300m s -?的速率运动，并且速率的测量准确度都为0.01%，试比较它们的位置的最小不确定量。 解：上面已经求得了电子位置的最小不确定量为2
2.4210m -? 子弹位置的最小不确定量为302.2110h h x m p m v
-?≥==??? 两者相比可见，由于子弹的质量比电子大得多，所以子弹的位置完全可以准确测定。 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！