河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.1充分条件与必要条件学
案 新人教A 版选修1-1
【学习目标】
1. 理解必要条件和充分条件的意义；
2. 能判断两个命题之间的关系.价关系转化.
【重点难点】理解必要条件和充分条件的意义
【学习内容】
一、课前准备
复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.
复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
二、新课导学
1、自学探究： 充分条件和必要条件的概念
①. 命题“若22x a b >+，则2x ab >”
（1）判断该命题的真假；
（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则
P ： q ：
（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读作： ②命题“若0ab =,则0a =”
（1）判断该命题的真假；
（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则
P ： q ：
（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读作：
一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出
q ,记作________，并且说p 是q 的 ,q 是p 的
【当堂练习】：用符号“?”与“”填空：
（1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；
（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4） ac bc = a b =.
【例题研讨】：
例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若1x =，则2430x x -+=；
（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；
（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.
【当堂练习】：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >
例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？
（1）若x y =，则22x y =；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（3）若a b >，则ac bc >
【当堂练习】：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？
（1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.
【反思】：1、判别条件的关键是什么？
2、设,A B 为两个集合,集合A B ?，那么x A ∈是x B ∈的 条件，x B ∈是
x A ∈的 条件.
【当堂练习】:
练1. 判断下列命题的真假.
（1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.
练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？
（1）p ：1x =，q ：11x x -=-； （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；
（3）p ：2x =，q ：33x x -=-； （4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.
三、总结提升：
这节课你学到了哪些知识？
课后作业
班级 姓名 学号
1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.
A.平行四边形对角线相等
B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分
D.四边形的对角线垂直
2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.
A.0x y +=
B.220x y +>
C.0x y -=
D.330x y +≠
3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.
A.存在一条直线,//,//a a a αβ
B.存在一条直线,,//a a a αβ?
C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα??
D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα??
4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.
5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.
6. 判断下列命题的真假
（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“||||a
b >”是“22a b >”的必要条件. §1.2.2 充要条件
【学习目标】
1. 理解充要条件的概念；
2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性【重点难点】充要条件的概念
【学习内容】
一、课前准备
复习1：什么是充分条件和必要条件?
复习2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件?
二、新课导学
1、自学探究：充要条件概念
问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q 又是p 的什么条件?
一般地，若p 推出q ,且q 推出p ，记作________，并且说p 与q 互为
【当堂练习】：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？
（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；
（2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.
【反思】：充要条件的实质是原命题和逆命题均为________. 【例题研讨】：
例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?
(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy >
(3) p : a b > ， q :a c b c +>+
【反思】：判断是否充要条件的方法
（1）p q ?且q p ?；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.
【当堂练习】：在下列各题中, 哪些为p 是q 的充要条件?
(1) p :234x x =+ , q :34x x =+ (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=
(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ , q :20(0)ax bx c a ++=≠
(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根 q :0a b c ++=
例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .
求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.
【反思】：证明充要条件既要证明_______又要证明________.
【当堂练习】：
练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？
（1）p ：1x =，q ：11x x -=-；（2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ；
（3）p ：2x =，q ：33x x -=-;（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.
练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.
【反思】：
1、判别充要条件的关键是什么？
2、设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈?∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为 件.
三、总结提升： 这节课你学到了哪些知识？
课后作业
班级 姓名 学号
1. 下列命题为真命题的是（ ）.
A.a b >是22a b >的充分条件
B.||||a b >是22a b >的充要条件
C.21x =是1x =的充分条件
D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件
2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）.
A.132x -<<
B.102x -<<
C.132
x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.
(1).3x >是5x >的 (2).3x =是2230x x --=的 ( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的
6.求证：ABC ?是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ?的三边.