2020年高三理科数学测试题

xx 年高三理科数学测试题

命题：覃明富 孙红波 王圣忠 审题：杨天文 王圣忠 xx.2.23

满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填在试卷的答题卡上。

2． 选择题务必用2B 铅笔填涂，解答题必须使用黑色墨水的签字笔作答；字迹工整，笔迹清晰。 3． 请在答题区域内作答，超出答题区域黑色边框的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知i z +=1，则2

11z

z

++等于（ ） A ．4355i + B ．43

55i - C ．i D ．i -

2．9

3

lim 23-+-→x x x =（ ）

A ．31

B ．0

C ．61

D ．6

1

-

3．若sin(

)

2

π

α+=

cos2α的值为 （ ） A ．

23 B ．13 C ．13- D ．23

-

4．已知向量)1 ,1(-=x a ρ

，=b ρ(1, x x -1)，则||b a ρρ+的最小值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

5．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=（ ）

A ．．．3

-

6．已知p ：{|||4}A x x a =-<，q:{|(2)(3)0}B x x x =-->,若p ?是q ?的充分条件，则a 的取值范围为（ ）

A ． 16a -<<

B ．16a -≤≤

C ．1a <-或6a >

D ．1a ≤-或6a ≥ 7．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：

①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；

③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．

其中真命题的序号是 （ ）

A ．①②

B ．③④

C ．①④

D ．②③ 8．把函数)3

π

4cos(+

=x y 的图象沿x 轴平移||?个单位，所得图象关于原点对称，则||? 的最小值是（ ）

A ．

6π5 B ．6π C ．32π D ．3

4π 9．过双曲线M:22

21y x b

-=()0>b 的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条

渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是（ ） A.10 B.5 C.

10 D.5 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,0(,)1,1(,)0,1(C B A ，映 射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系

v uO '上的点),2('2

2y x xy P -，则当点P 沿着折线C B A --运 动时，在映射f 的作用下，动点'P 的轨迹是（ ）

O'u

v 21-1

O'

u

v

21-1 O'

u

v

2

1-1

O'u v

2

1-1 A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置

11．=ο

555cos

12．设中心在原点的双曲线与椭圆22x 2

y +=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，

则该双曲线的方程是

13．如图，目标函数y kx z +=的可行域为四边形OABC （含边界），

(1,0)A 、(0,1)C ，若)3

2

,43(B 为目标函数取最大值的最优解，则

k 的取值范围是

14．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，构成以A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥，当点D 到

平面ABC 的距离最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为

O x

y A

B C

15．关于函数2,0

()21,0

x e x f x ax x -?-≤=?->?（a 为常数，且0a >）对于下列命题：①函数()f x 的

最小值为-1；②函数()f x 在每一点处都连续；③函数()f x 在R 上存在反函数；④函数()f x 在0x =处可导；⑤对任意的实数120,0x x <<且12x x <，恒有1212()()

(

)22

x x f x f x f ++<

其中正确命题的序号是___________________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本题满分12分）已知向量(2cos ,tan()),a x x α=+r

(2sin(),tan()),b x x αα=+-r

已知角((,))22

ππ

αα∈-的终边上一点(,)(0)P t t t --≠，记()f x a b =?r r

。

⑴求函数()x f 的最大值，最小正周期； ⑵作出函数()x f 在区间[0，π]上的图象。

17．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.

（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π.

18．（本小题满分12分）随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的

4

3

，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

19．（本题满分12分）已知数列{}n a 的首项113a ==2，a ，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、

1n S -分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，点B 分AC uuu r 所成的比为21n n

a a +，设11

b =

12log (1)n n n b a b +=++。

⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设11

1

14

n b n n n n c a a +-++=，证明：11

<∑=n

k k C 。

20．（本题满分13分）已知半圆)0(42

2

≥=+y y x ，动圆M 与此半圆相切且与x 轴相切。 （1）求动圆圆心M 的轨迹方程。

（2）是否存在斜率为31

的直线l ，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A 、B 、C 、D 四

个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由。 21．（本题满分14分）对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()

f x 的不动点。如果函数2()(,*)x a

f x b c N bx c

+=

∈-有且仅有两个不动点0、2，且1

(2)2

f -<-。

（1）试求函数()f x 的单调区间；

（2）已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =g ，求证：1111

ln n n

n a n a ++-<<-；

（3）设1

n n

b a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<。

宜昌市三校联合体xx 届高三二月统考

数学（理科）试题 参考答案

1——10 BDCBA BDBAA 11．

426+ 12．12222=-y x 13．48,93??????

14．ο

45 15．①②⑤ 16．解：⑴角((,))22

ππ

αα∈-

的终边上一点(,)(0)P t t t --≠

tan 14

π

αα?=?=

……………2分

∴()sin()tan()()444

f x a b x x x x πππ

=?=+++-r r

2

2cos sin 2cos 1sin 2cos 2)4

x x x x x x π

=+-=+=

+……………6分

()x f 的最大值为2， 最小正周期π=T ……………8分

⑵略。……………12分

17．（1）证明：连1AD ，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1AD 为1D E 在平面1AD 的射影， 而AD=AA 1=1，则四边形11ADD A 是正方形11A D AD ?⊥， 由三垂线定理得D 1E ⊥A 1D ……………3分

（2）解：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立如图所示的直角坐标系。则(1,0,0)A

(1,1,0)E 、(1,2,0)B 、(0,2,0)C 、1(0,0,1)D 则(0,1,0)AE =u u u r ，(1,1,0)EC =-u u u r

，

1

(0,2,1)DC =-u u u u r ，设平面1D EC 的法向量为1(,,)n x y z =u r ∴11100::1:1:2200n EC x y x y z y z n D C ??=-+=????=??-=?=???u r u u u r u r u u u u

r ，记1(1,1,2)n =u r ∴点A 到面ECD 1

的距离11||6||AE n d n ?===u u u r u r

u r ……………7分

（3）解：设0

(1,,0)E y 则0(1,2,0)EC y =--u u u r ，设平面1D EC 的法向量为1(,,)n x y z =u r

∴100110(2)0::(2):1:2200n EC x y y x y z y y z n D C ??=-+-=????=-??-=?=?

??u r u u u r

u r u u u u

r ，记10((2),1,2)n y =-u r 而平面ECD 的法向量2(0,0,1)n =u u r ，则二面角D 1—EC —D 的平面角12,4

n n π

θ=<>=u r u u r

∴12

12

cos2

2

||||

n n

y

n n

θ

?

===?=

?

u r u u r

u r u u r。

∴当

AE=2-时，二面角D1—EC—D的大小为

4

π

。……………12分

18．解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则

ab

x

a

x

b

bx

bx

b

x

a

y2

]

)

70

(2

[

100

4.0

)

01

.0

)(

2(2+

-

-

-

=

-

+

-

=……………4分依题意

.

210

70

,

420

2

140

.

2

2

4

3

2<

<

<

<

≤

<

∴

?

≥

-a

a

a

x

a

x

a又……………6分（1）当y

a

x

a

a

a,

70

,

140

70

,

2

70

0-

=

≤

<

≤

-

<时

即取到最大值；……………8分（2）当y

a

x

a

a

a,

2

,

210

140

,

2

70=

<

<

>

-时

即取到最大值；……………10分

答：当人

裁员

时70

,

140

70-

≤

a，人

裁员

时

2

,

210

140

a

a≤

<……………12分

19．⑴由题意得1

1

1

21

21

n n n

n n

n n n

S S a

a a

S S a

+

+

-

-+

=?=+

-

……………3分

∴

1

12(1)

n n

a a

+

+=+

∴数列{1}

n

a+是以

1

12

a+=为首项，以2为公比的等比数列。………………6分

[则12n

n

a+=∴21

n

n

a=-（*

n N

∈）]

⑵由21

n

n

a=-及

12

log(1)

n n n

b a b

+

=++得

1

n n

b b n

+

=+

∴(1)

1

2

n

n n

b

-

=+，……………………………………………………………8分则

1

1

1

1

1

42

(21)(21)

n

b

n

n

n n n

n n

c

a a

+

-

+

+

+

==

--1

2

1

1

2

1

1-

-

-

=

+

n

n

……………………10分

?

?

?

?

?

-

-

-

+

+

?

?

?

?

?

-

-

-

+

?

?

?

?

?

-

-

-

+

?

?

?

?

?

-

-

-

=

+

=

∑

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

4

3

3

2

2

1

n

n

n

k

k

CΛ

1

1

2

1

1

1

<

-

-

=

+

n

………………12分

20．（1）设动圆圆心)

,

(y

x

M，作MN⊥x轴于点N

①若两圆外切：2

|

||

|+

=MN

MO，则2

2

2+

=

+y

y

x化简得：

44222++=+y y y x ? )1(42+=y x )0(>y ……………3分

②若两圆内切： ||2||MN MO -=，则y y x -=+222? 2

2

2

44y y y x +-=+

? )1(42--=y x )0(>y ……………5分

综上，动圆圆心的轨迹方程是

)1(42+=y x )0(>y 及)1(42--=y x )0(>y ……………6分

其图象为两条抛物线位于x 轴上方的部分，如图所示。 （2）假设直线l 存在，可设l 的方程为=y 31

b x +。

依题意得，它与曲线)1(42

+=y x 交于点D A ,，与曲线)1(42

--=y x 交于点C B ,。 即

01212432=---b x x ① 01212432=-++b x x ②

=||AD 231)(1+||D A x x -， =||BC 23

1)(1+||C B x x - Θ=||AD 2||BC ∴||D A x x -=2||C B x x -

即234)(+3

4

)1212(+b =4[234)(－3

4

)1212(-b 得=

b 32

……………11分

将其代入方程①得 2-=A x =D x 310

因为曲线)1(42

+=y x 的横坐标范围为),2()2,(+∞--∞Y ，所以这样的直线l 不存在。 ……………13分

21．（1）设

22(1)0(1)x a

x b x cx a b bx c

+=?-++=≠- 201201c b

a b ?

+=-??-????=?-?

∴012a c b =???=+?? ∴2()(1)2x f x c x c =+- 由21

(2)1312

f c c --=<-?-<<+ 又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b ==

∴2

()(1)2(1)

x f x x x =

≠- …… 3分 于是2222

22(1)22()4(1)2(1)x x x x x

f x x x ---'==--

g g

由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x <<

=

y 3

1b x +

)1(42+=y x

=

y 3

1b x +

)1(42--=y x

故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，

单调减区间为(0,1)和(1,2) ……4分

（2）由已知可得22n n n S a a =-， 当2n ≥时，2

1112n n n S a a ---=-

两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+=

∴1n n a a -=-或11n n a a --=-

当1n =时，2

111121a a a a =-?=-，若1n n a a -=-，则21a =这与1n a ≠矛盾

∴11n n a a --=- ∴n a n =- ……6分

于是，待证不等式即为111ln 1n n n n

+<<+。 为此，我们考虑证明不等式111

ln ,01x x x x x

+<<>+

令11,0,t x x +=>则1t >，11

x t =-

再令()1ln g t t t =--，1

()1g t t

'=- 由(1,)t ∈+∞知()0g t '>

∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于是1ln t t -> 即11ln ,0x x x x

+>> ① 令1()ln 1h t t t =-+，22111

()t h t t t t

-'=-= 由(1,)t ∈+∞知()0h t '>

∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是1

ln 1t t

>-

即11ln ,01

x x x x +>>+ ②

由①、②可知111

ln ,01x x x x x

+<<>+ ……10分

所以，

111

ln 1n n n n

+<<+，即1111ln

n n n a n a +-<<- ……11分 （3）由（2）可知1n b n =

则111

123n T n

=++++L 在

111ln 1n n n n +<<+中令1,2,3,,2007n =L ，并将各式相加得 111232008111

ln ln ln 1232008122007232007

+++<+++<++++L L L

即200820071ln 2008T T -<< ……14分