2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
【提出问题】
已知：实数a,b,c,
求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
证明：
因为a2＋b2≥2ab
b2＋c2≥2bc
a2＋c2≥2ca
上面三个式子相加，得a2＋b2+ b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ca
再除以2，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
上述推理过程，若记
p1：因为a2＋b2≥2ab
p2：b2＋c2≥2bc
p3：a2＋c2≥2ca
p4：上面三个式子相加，得a2＋b2+ b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ca
q：再除以2，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
则可以看出，我们是根据p1，p2，p3三个条件为真，依据不等式的性质推出p4为真，进而得到q为真。
【获得新知】
由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理。
与合情推理不同的是，演绎推理的特征是当前提为真时，结论必然为真。
常见的演绎推理规则有假言推理、三段论推理、传递关系推理、完全归纳推理．
假言推理：如果一个推理规则能用符号“若p?q，p真，则q真”，那么这种推理规则叫做假言推理．
假言推理的本质是：通过验证结论的充分条件为真，从而判断结论为真．其一般的推理
步骤为：
①确定命题中p能推出命题q；
②判断命题p的真题，若p为真，则q为真．
演绎推理中经常使用的是由大前提，小前提得到结论的三段论推理。例如
所有平行四边形对角线互相平分
菱形是平行四边形
__________________________
所以,菱形的对角线互相平分
就是一个典型的三段论推理，其中大前提是“所有平行四边形对角线互相平分”，小前提是“菱形是平行四边形”，结论是“菱形的对角线互相平分”。
一般地，三段论可表示为
M是P
S是M
_______
所以,S是P
其中大前提“M是P”提供一般性原理，小前提“S是M”，指出一个特殊的对象，大前提和小前提结合，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系，从而得出结论“S是P”。
在实际使用三段论推理时，为了简洁起见，大家经常略去大前提或者小前提，有时甚至这两者都略去。
【概念领悟】
从集合的观点来看，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，则S中的所有元素也都具有性质P.三段论推理的结论是否正确，取决于两个前提(大前提与小前提)是否正确，推理形式是否正确．
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
【经典例题】
例1将“正四棱柱的侧棱垂直底面”写成三段论的形式．
解：
大前提：直棱柱的侧棱垂直底面．
小前提：正四棱柱是直棱柱．
结论：正四棱柱的侧棱垂直底面．
【规律技巧】三段论是由大前提、小前提、结论组成，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
例2用三段论的形式证明：
已知：122
+=x x f )(，且b a ,同号，1=+b a ，
求证：对任意的实数q p ,恒有)()()(bq ap f q bf p af +≥+成立。
证明：若a －b≥0，则a≥b(大前提)． 121212222-+-+++=++)()()(()()(bq ap q b p a bq ap f q bf p af ）－
＝124222222222+---+b q abpq p a bq ap
＝14121222+--+-abpq b bq a ap )()(
＝122+-)(q p ab
由于b a ,同号，所以122+-)(q p ab 0≥(小前提)，
∴对任意的实数q p ,恒有)()()(bq ap f q bf p af +≥+成立。
【规律技巧】通过演绎推理三段论式推理的练习，掌握严格的逻辑推理过程，正确认识演绎推理的特点及思维方式.
例3 设实数a ，b ，c 满足{b +c =6?4a +3a 2(1)c ?b =4?4a +a 2(2)
,试确定实数a ，b ，c 的大小关系。 解：因为c-b=4-4a+a 2=(a-2)2≥0
所以c ≥b
(1)-(2)得b=1+a 2
所以b-a=1-a+a 2=(a ?12)2+34>0 所以b>a
所以c ≥b>a
【规律技巧】如果一个推理规则能用符号表示为“若aRb ，bRc ，则aRc ”，那么这种推理规则称为传递性关系推理，其中“R”表示具有传递性的关系，如几何中的平行关系，不等式中的“>”，“≥”，“<”，“≤”或“＝”等关系．
例4 已知||||,0b a ab >> 比较
a 1与
b 1的大小． 解：a 1-b 1ab
a b -= 当0,0>>b a 时
∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴
0<-ab
a b ∴a 1
∵||||b a >即b a < 0>-a b 0>ab ∴
0>-ab
a b ∴a 1>b 1 【规律技巧】把所有的情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．
完全归纳推理有两个规则 ：
一个前提中被判断的对象必须是该类事物全部对象；
二是前提中的所有判断必须都是真实的．
【总结提炼】四种规则尽管在模式上有细微的区别，但在实际应用时并不需要严格区分，只要证明的过程是简洁、流畅、严密的就是达到了目标，尤其是在一些综合问题的证明中往往综合应用多种推理规则，并且推理中的“假言”、“大前提”、“小前提”常被省略掉以使证明过程简洁、清晰.
学习数学和研究数学最令人感到困惑，也是最引人入胜的环节之一，就是如何发现新的规律和事实与怎样证明规律和事实，发现新的规律和事实，我们更多的使用合情推理，而证明规律和事实一般运用演绎推理。