一、权重的确定方法
在统计理论和实践中，权重是表明各个评价指标（或者评价项目）重要性的权数，表示各个评价指标在总体中所起的不同作用。权重有不同的种类，各种类别的权重有着不同的数学特点和经济含义，一般有以下几种权重。
按照权重的表现形式的不同，可分为绝对数权重和相对数权重。相对数权重也称比重权数，能更加直观地反映权重在评价中的作用。
按照权重的形成方式划分，可分为人工权重和自然权重。自然权重是由于变换统计资料的表现形式和统计指标的合成方式而得到的权重，也称为客观权重。人工权重是根据研究目的和评价指标的内涵状况，主观地分析、判断来确定的反映各个指标重要程度的权数，也称为主观权重。
按照权重形成的数量特点的不同划分，可分为定性赋权和定量赋权。如果在统计综合评价时，采取定性赋权和定量赋权的方法相结合，获得的效果更好。
按照权重与待评价的各个指标之间相关程度划分，可分为独立权重和相关权重。
独立权重是指评价指标的权重与该指标数值的大小无关，在综合评价中较多地使用独立权重，以此权重建立的综合评价模型称为“定权综合”模型。
相关权重是指评价指标的权重与该指标的数值具有函数关系，例如，当某一评价的指标数值达到一定水平时，该指标的重要性相应的减弱；或者当某一评价指标的数值达到另一定水平时，该指标的重要性相应地增加。相关权重适用于评价指标的重要性随着指标取值的不同而发生变化的条件下，基于相关权重建立的综合评价模型被称为“变权模型”。比如评估环境质量多采用“变权综合”模型。
确定权重的方法较多，这里介绍统计平均法、变异系数法和层次分析法，这些也是实际工作种常用的方法。
(一) 统计平均法
统计平均数法（Statistical average method）是根据所选择的各位专家对各项评价指标所赋予的相对重要性系数分别求其算术平均值，计算出的平均数作为各项指标的权重。其基本步骤是：
第一步，确定专家。一般选择本行业或本领域中既有实际工作经验、又有扎实的理论基础、并公平公正道德高尚的专家；
第二步，专家初评。将待定权数的指标提交给各位专家，并请专家在不受外界干扰的前提下独立的给出各项指标的权数值；
第三步，回收专家意见。将各位专家的数据收回，并计算各项指标的权数均值和标准差；
第四步，分别计算各项指标权重的平均数。
如果第一轮的专家意见比较集中，并且均值的离差在控制的范围之内，即可以用均值确定指标权数。如果第一轮专家的意见比较分散，可以把第一轮的计算结果反馈给专家，并请他们重新给出自己的意见，直至各项指标的权重与其均值的离差不超过预先给定的标准为止，即达到各位专家的意见基本一致，才能将各项指标的权数的均值作为相应指标的权数。
(二) 变异系数法
变异系数法(Coefficient of variation method)是直接利用各项指标所包含的信息，通过计算得到指标的权重。是一种客观赋权的方法。此方法的基本做法是：在评价指标体系中，指标取值差异越大的指标，也就是越难以实现的指标，这样的指标更能反映被评价单位的差距。例如，在评价各个国家的经济发展状况时，选择人均国民生产总值(人均GNP)作为评价的标准指标之一，是因为人均GNP 不仅能反映各个国家的经济发展水平，还能反映一个国家的现代化程度。如果各个国家的人均GNP 没有多大的差别，则这个指标用来衡量现代化程度、经济发展水平就失去了意义。
由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下：
i i
i x V σ=
()n i ,,2,1 = （14—1）
式中：i V 是第i 项指标的变异系数、也称为标准差系数；i σ是第i 项指标的标准差；i x 是第i 项指标的平均数。
各项指标的权重为：
∑==
n
i i
i
i V
V W 1
（14—2）
例如，英国社会学家英克尔斯提出了在综合评价一个国家或地区的现代化程度时，其各项指标的权重的确定方法就是采用的变异系数法。
【例14.2】试利用变异系数法综合评价一个国家现代化程度时的指标体系中的各项指标的权重。数据资料是选取某一年的数据，包括中国在内的中等收入水平以上的近40个国家的10项指标作为评价现代化程度的指标体系，计算这些国家的变异系数，反映出各个国家在这些指标上的差距，并作为确定各项指标权重的依据。其标准差、平均数数据及其计算出的变异系数等见表14-3。
表14-3 现代化水平评价指标的权重
指
人均
农业
第三
非农
城市
人口
平均
成人
大学
每千人
总
标GNP
(美元)
占
GDP
的比
重
(%)
产业
占
GDP
比重
(%)
业劳
动力
比重
(%)
人口
比重
(%)
自然
增长
率
(%)
预期
寿命
(岁)
识字
率
(%)
生占
适龄
人口
比重
（%）
拥有医
生
(人)
和
平均数11938.4 9.352 54.86 0.826 69.792 0.7214 72.632 93.34 36.556 2.446 —标准差7966.27 7.316 12.94 0.170 19.339 0.8319 5.375 9.050 20.477 1.314 —变异
系数
0.667 0.782 0.236 0.206 0.277 1.153 0.074 0.097 0.560 0.537 4.590 权重0.145 0.170 0.051 0.045 0.060 0.251 0.016 0.021 0.122 0.117 1.000 数据来源：曾五一、庄赞：《中国现代化进程的统计考察》，《中国统计》2003年第1 期
计算过程如下：
(1)先根据各个国家的指标数据，分别计算这些国家每个指标的平均数和标准差；
(2)根据均值和标准差计算变异系数，
即：这些国家人均GNP的变异系数为：
7 966.27
0.667
11 938.4
i
i
i
V
x
σ
===
农业占GDP比重的变异系数：
782
.0
352
.9
316
.7
=
=
=
i
i
i x
V
σ
其他类推。
(3)将各项指标的变异系数加总：
0.6670.7820.2360.560.537 4.59
+++++=
(4)计算构成评价指标体系的这10个指标的权重：
人均GNP的权重：
145
.0
59
.4
667
.0
1
=
=
=
∑
=
n
i
i
i
i
V
V
W
农业占GDP比重的权重：
1704
.0
59
.4
782
.0
1
=
=
=
∑
=
n
i
i
i
i
V
V
W
其他指标的权重都以此类推。计算的结果见表14-3所示。
(三)层次分析法
层次分析法又称AHP构权法(Analytic hierarchy process，简写为AHP)，是将复杂的评价对象排列为一个有序的递阶层次结构的整体，然后在各个评价项目之间进行两两的比较、判断，计算各个评价项目的相对重要性系数，即权重。AHP 构权法又分为单准则构权法和多准则构权法，在此介绍单准则构权法及具体步骤。
1.确定指标的量化标准。
层次分析法的核心问题是建立一个构造合理且一致的判断矩阵，判断矩阵的合理性受到
标度的合理性的影响。所谓标度是指评价者对各个评价指标（或者项目）重要性等级差异的量化概念。确定指标重要性的量化标准常用的方法有：比例标度法和指数标度法。比例标度法是以对事物质的差别的评判标准为基础，一般以5种判别等级表示事物质的差别。当评价分析需要更高的精确度时，可以使用9种判别等级来评价，见表14-4。
表14-4 比例标度值体系别（重要性分数
ij x ）
取值含义
1~9标度
5/5~9/1标度 9/9~9/1标度 i 与j 同等重要 1 1 (5/5=) 1 (9/9=) i 比j 较为重要 3 1.5 (6/4=) 1.286 (9/7=) i 比j 更为重要 5 2.33 (7/3=) 1.8 (9/5=) i 比
j 强烈重要
7 4 (8/2=) 3 (9/3=) i I 比j 极端重要
9
9 (9/1=) 9 (9/1=) 介于上述相邻两级之间
重要程度的比较
2、4、6、8
1.222 (5.5/4.5=)
1.875 (6.5/3.5=) 3 (7.5/
2.5=) 5.67 (8.5/1.5=) 1.125 (9/8=) 1.5 (9/6=) 2.25 (9/4=) 4.5 (9/2=) j 与i 比较
上述各数的倒数
上述各数的倒数
上述各数的倒数
2.确定初始权数。
初始权数的确定常常采用定性分析和定量分析相结合的方法。一般是先组织专家，请各位专家给出自己的判断数据，再综合专家的意见，最终形成初始值。具体操作步骤如下：
第一步，将分析研究的目的、已经建立的评价指标体系和初步确定的指标重要性的量化标准发给各位专家，请专家们根据上述的比例标度值表所提供的等级重要性系数，独立地对各个评价指标给出相应的权重。
第二步，根据专家给出的各个指标的权重，分别计算各个指标权重的平均数和标准差。 第三步，将所得出的平均数和标准差的资料反馈给各位专家，并请各位专家再次提出修改意见或者更改指标权重数的建议，并在此基础上重新确定权重系数。
第四步，重复以上操作步骤，直到各个专家对各个评价项目所确定的权数趋于一致、或者专家们对自己的意见不再有修改为止，把这个最后的结果就作为初始的权数。
3.对初始权数进行处理。
第一步，建立判断矩阵A 。通过专家对评价指标的评价，进行两两比较，其初始权数形成判断矩阵A ，判断矩阵A 中第i 行和第j 列的元素ij x 表示指标i x 与j x 比较后所得的标度系数。
第二步，计算判断矩阵A 中的每一行各标度数据的几何平均数，记作i w 。
第三步，进行归一化处理。归一化处理是利用公式∑=
'i i
i W W W 计算，依据计算结果确
定各个指标的权重系数。
4.检验判断矩阵的一致性。
检验判断矩阵的一致性是指需要确定权重的指标较多时，矩阵内的初始权数可能出现相互矛盾的情况，对于阶数较高的判断矩阵，难以直接判断其一致性，这时就需要进行一致性检验。本节省略了对于判断矩阵一致性检验的步骤。
【例14.3】现有3个评价指标，其判断矩阵A 见表14-5所示，试确定这3个指标的权数。
表14-5 3个指标的判断矩阵A
指标
1x
2x
3x
1x
1 6/4 4 2x 4/6 1 1/5 3x
1/4
5
1
解：根据表14-5中的数据计算i W ：
1 1.817 1W =
=
20.510 9W =
=
3 1.077 2W =
=
进行归一化处理：
3
1
1.817 10.510 9 1.077 2 3.405 2
i
i W ==++=∑
求出这3个指标各自的权重：
11 1.817 1
0.533 63.405 2i W W W '===∑ 220.510 9
0.150 03.405 2i W W W '=
==∑
33 1.077 2
0.316 33.405 2i W W W '=
==∑
通过以上计算结果看出：初步确定1x 、2x 、3x 这3个指标的权重分别为：0.533 6、0.15和0.316 3。全部指标的权重之和等于1或100%。
三、对评价指标的同度量处理
在评价指标体系建立之后，有可能因为各个指标的计量单位不同，即因为具有不同的量纲而不能进行直接比较。因此，一般在收集了相关资料后，还需要进行无量纲化处理，即同度量处理。
在统计综合评价中，对有些事物的评价是采用定性指标来评价的、对有些事物的评价是采取定量指标来评价的，例如对建筑工程项目的质量评价，一般是以优秀、良好、合格、不合格作为评价标准的；顾客对住房质量的评价常常是以满意、比较满意、不满意等来反映的。对企业或部门的综合经济效果的综合评价是定量的评价。
定性指标主要有两类数据：即定类尺度计量的数据和定序尺度计量的数据。对于定类尺度计量的数据，是无法真正量化的；对于定序指标的量化主要采取名次序数百分比和统计综合评分法来处理。
对于定量指标的无量纲化处理常常采用的方法有：相对化处理法、功效系数法和变异系数法等。
(一)统计综合评分法
统计综合分析最常用的方法是综合评分法，一般用来分析评价的项目是根据其品质划分等级的，对其进行量化处理。其核心内容是对评价的不同等级赋予不同的分值，并以此为基础进行综合评价。其分析评价的步骤如下：
1.根据被分析评价对象的特点和分析的目的选择若干指标组成评价的指标体系，并确定各项指标的评分标准、计分方法。
综合评分法的核心是评价标准和计分方法的确定，一般采用如下两种计分方法： 名次计分法：是先根据各个评价指标的优劣排出被评价对象的名次，名次越在前面的得分越高，名次在后的则得分低，然后对同一总体各项指标的得分加总，并以此排定顺序。
百分法：是以100分为标准总分，然后分别确定各个指标占多少分。也需要确定计分标准，每项指标达到什么程度可以得多少分，再根据实际数据依照规定标准分别计分，再将各项指标得分加总就得到了总评价值。最后，以总评价值与评价标准进行对照比较，即可排列出名次顺序、或者确定优劣。
2.对选定的评价指标的实际数据依照评分标准进行评分，由所有指标的分值得出总分。
3.与评价标准进行比较，做出全面综合的评价分析，以确定优劣、排序、或者划分等级。 【例1
4.4】某品牌电视机厂商，需要了解消费者对该厂某型号电视机的评价，采用评分法综合评价。选择了5个评价指标，评分分为四个等级，收回有效答卷2000份， 所选的评价指标和评分结果见表14-6所示，请对该型号的电视机进行综合评价分析。
表14-6 消费者对电视机质量的评分结果统计表
评价指标 得票数
平均得分 100分 80分 60分 40分 清晰度 1 000 600 350 50 85.5 耗电量 600 800 400 200 79.0 外观效果 500 1 200 200 100 89.0 故障率
700
900
330
70
84.4
解：要计算出消费者对该电视机的综合评价得分，需要分以下两部分计算： 第一步：分别计算每项评价指标的2000份答卷的平均得分： 清晰度的平均得分：
100100080600603504050171 000
85.5()
2 000 2 000?+?+?+?=
==分 耗电量的平均得分；
100600808006040040200158 000
78.0(2 000 2 000?+?+?+?=
==分）
外观效果的平均得分：
10050080 1 2006020040100178 000
81.0(2 000 2 000?+?+?+?=
==分）
故障率的平均得分：
10070080900603304070168 800
82.3(2 000 2 000?+?+?+?=
==分）
第二步：计算出该电视机的综合得分：
假定根据分析确定各项指标的重要程度不同，确定清晰度、耗电量、外观效果和故障率的权重分别为：0.35、0.20、0.15、0.3。则综合加权得分为：
()85.50.3578.00.281.00.1582.30.382.365?+?+?+?=分
本例题在计算时要注意的是：清晰度和外观效果越好得分越高、耗电量和故障率越高得分越低，所以消费者的综合评价的得分越高说明电视机的质量评价越好。
应用以上计算结果，直接可以进行综合评价。得分越高评价越好。
综合评分法简单易行，容易掌握和应用，因此在实践中被广泛使用。但由于权重的确定是主观分析的结果，因此，本方法的主观因素影响较大；其权重系数可以采取其他更科学的方法计算。
(二)相对化处理法
相对化处理是进行指标间同度量处理常用的方法之一。进行相对化处理，需要先对每个评价指标确定一个标准值，然后计算实际值。
因为指标有“正指标”和“逆指标”之分，一般来说，正指标是指指标数值越大越好的指标，例如产值、收入、利润、劳动生产率等指标；逆指标是指指标数值越小越好的指标，例如单位产品成本、单位GDP 的能耗率、产品生产的物耗率等指标。对于正指标和逆指标的相对化处理的公式如下：
正指标的相对化处理公式：
i i
i x x x =' （14—3） 逆指标的相对化处理公式：
i i
i x x x =
' （14—4）
公式中：i x '为标准化后的数据；i x 为各被评价单位的实际值；i x 为标准值。 公式中标准值可以根据研究目的和比较的标准水平的不同，选择一定时期的平均数、计划规定水平、历史最高水平、行业平均水平、国际先进水平等作为标准值。
【例14.5】现假定2007年某地区工业部门的四个同类企业的经济效益指标及行业平均水平指标见表14-7所示，试对这些指标进行相对化处理。
表14-7 四个企业的经济效益指标数据表
企业名称 全员劳动生产率 (元/人年增加值)
百元净资产增加值
(元) 销售收入 （万元） 销售收入利税率
（%） 行业平均水平
8 000 55 10 000 20 A 12 000 68.0 15 000 16.5 B 8 500 65.1 7 000 12.6 C 6 000 66.2 6 500 13.5 D
11 000
70.1
16 000
17.0
解：表14-7所列的指标都是正指标，指标的计量单位不同，因此需要进行同度量处理。
表中的第1行给出的是各项指标的标准值。可以利用公式
i i
i x x x =
'，将实际值与标准值对比，
将原来不同度量的指标转化为无量纲的相对指标。计算结果见表14-8所列数据。
表14-8 四个企业的相对化处理数据表
企业名称 全员劳动生产率
百元净资产增加值
销售收入 销售收入利税率
行业平均水平
8 000 55 10 000 20 A 1.500 0 1.236 4 1.500 0.825 B 1.062 5 1.183 6 0.700 0.630 C 0.750 0 1.203 6 0.650 0.675 D
1.375 0
1.274 5
1.600
0.850
(三)功效系数法
功效系数是指各项评价指标的实际值与该指标允许变动范围的相对位置。功效系数法是在进行综合统计评价时，先运用功效系数对各指标进行无量纲同度量转换，然后再采用算术平均数或几何平均法，对各项功效系数求总动效系数，作为对总体的综合评价值，并进行比较判定。其评价分析的步骤是：
(1)确定反映总体特征的各项评价指标：()n i x i ,,2,1 =。
(2)确定各项评价指标的允许范围，即满意值h i x 和不允许值s
i x 。满意值是指在目前条件
下能够达到的最优值；不允许值是该指标不应该出现的最低值。允许变动范围的参照系就是满意值与不允许值之差。
(3)计算各项评价指标的功效系数i f 对指标进行无量纲化处理。其计算公式如下：
s
i h
i s
i i i x x x x f --= （14—5）
(4)根据各项指标的重要程度，确定各项评价指标的权数。
(5)最后计算评价总体的总功效系数F 。一般应用加权算术平均法计算。然后根据F 值的大小排列其顺序或优劣。
n
f
F n
i i
∑==
1
（14—6）
【例14.6】假定评价某地区工业部门的四个优质企业，现在要对这四个企业进行综合效益评价并排序比较。运用功效系数法进行综合分析评价并排序，为了计算简便只选定了四个指标及数据见表14-9。
表14-9 假定四个企业的经济效益指标数据表
企业名称 全员劳动生产率 (元/人年增加值)
百元净资产增加值
(元) 销售收入 （万元） 销售收入利税率
（%） 满意值 12 000 70.1 16 000 17.0 不允许值
6 000 65.1 6 500 12.6 A 12 000 68.0 15 000 16.5 B 8 500 65.1
7 000 12.6 C 6 000 66.2 6 500 13.5 D
11 000
70.1
16 000
17.0
具体计算和评价过程如下： (1)确定各指标的满意值和不允许值
假定各项指标的最好值为满意值，最差的值为不允许值。则全员劳动生产率的满意值是A 企业的12 000元、不满意值为C 企业的6 000元；百元净资产增加值的满意值是D 企业
的70.1元、不满意值是B 企业的65.1元；销售收入的满意值是D 企业16 000万元、不满意值是C 企业的6 500万元；销售收入利税率的满意值是D 企业的17%、不满意值是12.6%，并将满意值和不允许值都列在表14-9中。
(2)计算各企业各项指标的功效系数 计算B 企业的全员劳动生产率的功效系数：
8 500 6 000
0.416 7
12 000 6 000s i i i h s i i x x f x x --===--
计算A 企业的百元净资产的增加值的功效系数：
58
.01.651.701.650.68=--=--=s i h i s i i i x x x x f
其他计算过程类推，功效系数见表14-10所列数据。
表14-10 企业的功效系数表
企业名称
功效系数
1f
2f
3f
4f
A 1.000 0 0.580 0 0.894 7 0.886 4
B 0.416 7 0.000 0 0.052 6 0.000 0
C 0.000 0 0.220 0 0.000 0 0.204 5 D
0.833 3
1.000 0
1.000 0
1.000 0
(3)分别计算各个企业的总功效系数
如果假设本例的所有指标的权数相同，因此采用算术平均法计算，采用公式 n
f
F n
i i
∑==
1
进行计算各企业的功效系数：
第十四章 统计综合分析
教学目的和要求：通过本章学习，掌握综合统计分析的程序和方法；掌握权重的确定方法；能够熟练应用综合评分法、功效系数法、平均指数法；掌握统计比较及其方法，了解统计分析报告的内容和写作要求。
第一节统计综合分析的概述
统计综合分析可以对事物的多方面进行综合分析评价，具有重要作用。本节首先对统计分析的概念、作用、特点进行概述，然后介绍统计综合分析的程序及其在分析时存在的局限性。
一、统计综合分析的概念
(一) 统计综合分析的概念
统计综合分析简称综合评价(Comprehensive statistical analysis)，是指根据分析研究的目的，依据统计资料，运用统计方法，结合现象所处的具体环境和条件，对事物总体的规模、水平、速度、质量等方面做出的综合分析评价。综合分析和评价是对事物的定性分析和定量分析的结合，是在定性分析的前提下，对研究现象进行更全面、更深刻的认识。
统计综合分析是统计工作的重要内容，关系着能否充分发挥统计的信息、咨询和监督的全部职能作用的一项重要工作，特别是对一个国家（或地区）、部门进行统计综合分析和评价，对把握宏观经济发展态势、对制定正确的方针政策等都具有重要意义。
现实社会经济活动中，如果需要对某客观现象进行综合分析和评价时，一般会应用多个指标组成的指标体系进行综合分析，但是，因为这些指标之间有些是不能直接加总的，还是难以进行综合的评价分析。例如，决定消费者选购何种品牌电视机的主要因素有：价格、耐用时间、耗电量、外观、售后服务等。这样，在评价消费者对某型号、某品牌电视机的欢迎程度时，就需要采用对以上各个主要指标的综合分析和评价的方法。
(二) 统计综合分析的作用
统计综合分析的作用归纳为以下两点。
1．统计综合分析是实现对被研究的客观事物的综合评价和认识。统计综合分析是采取对多指标综合的评价方法，即通过对事物的不同角度观察的评价指标综合在一起，实现对事物整体性的、综合的认识。例如，对企业进行效益考核评价时，就需要将企业的主要经济指标（如：劳动消耗的效益、资金使用的效益、投资效果效益、新产品开发效益、产品质量效益等）运用某种综合评价分析的方法进行综合分析，最后获得对企业经济效益状况的总体评价或结果。
2．统计综合分析是实现对不同国家、不同地区、不同单位之间的综合对比分析或排序。如果需要对不同地区或单位之间的综合评价结果进行比较分析或者排序，就必须运用统计综合分析方法。即对一个地区或单位的经济发展态势在同类地区或同类单位之间的的地位、差
距的对比，用以比较各个被评价主体的差异状况、分析差距水平。比如，可以运用统计综合评价方法，进行国家之间的综合国力的比较和排序、同行业各个企业的综合经济效益评价和排名等。
(三) 统计综合分析的特点
统计综合分析与其他的评价分析方法相比较，具有数量性、综合性和相对性的特点。
1．统计综合分析具有数量性
数量性是统计综合分析评价方法区别于其他分析方法的显著特征。虽然在分析研究时要以定性分析为基础，但其目的还是为了进行定量分析，是通过定性的界定来研究事物的数量表现；同时，在分析时也常常将客观事物的性质区别过渡到数量的差异，是通过事物的数量表现，对被研究现象的总体进行更加深刻、更全面的认识，以综合掌握和评价事物的联系和变化过程。
2．统计综合分析具有综合性
综合性是指统计综合分析的评价方法具有综合性。统计综合评价除了具有多因素、多层次的综合性以外，其评价方法本身就具有综合性特征。在进行综合分析时不局限在统计分析方法的应用，还综合应用如系统工程学、计量经济学等方法，以便更科学、公正、客观的评价被研究现象。
3．统计综合分析具有相对性
统计综合评价的结果具有相对性，并不是绝对的结论。统计综合评价采用相应的数学模式、计量方法取得的结果用数值表示，但这些数据只有相对的意义。综合评价的结果一般适用于性质相同的客观事物之间的比较或排序。另外，采取不同的评价结果也有可能得出不同的结论。例如，评价一个国家的经济发展实力，采用汇率法和购买力评价法的结果就是不一致的。
需要指出的是，上述综合统计分析的概念和特点是针对统计综合评价的实践活动而言的。统计学中所阐述的统计综合分析是以统计数据为基础，采取定性和定量分析相结合，综合运用多种方法，对客观事物进行分析研究，是认识事物本质和规律性的方法论。
二、统计综合分析的程序
综合统计分析是一种具体的统计方法，具有系统性和完整性。根据研究目的和任务的不同，可能采取不同的方法。但是，综合统计分析不论采取何种形式，其基本程序和步骤大致相同。统计综合分析一般分为以下基本步骤。
(一) 确定评价的目标
确定评价目标就是指明确分析的目的或确定选题。统计综合分析是具体性工作，必须在
开始就确定研究目的，明确需要解决什么问题，然后才能根据研究目的的需要，搜集相关资料、确定评价指标和选择分析方法等，提高统计综合分析的效益和质量。
(二) 确立评价的指标体系
进行统计综合分析，必须建立一个能够从不同角度、不同侧面反应评价目的的一个项目系列或指标体系。这个项目系列，可以是研究目的需要的指标组成的体系，也可以是一些无法形成统计指标的项目。
根据评价的目的和复杂程度的不同，评价项目体系可以是单一层次的，也可以是多层次的。例如，我国在评价工业企业的经济效益时，一般具体指标有：工业增加值率、产品销售率、资产负债率、流动资产周转次数、工业成本费用利润率等，这样构成的评价指标体系是单层次的。对于复杂的被研究事物，就可以在第一层次的基础上进一步构建第二层次甚至多层次的指标体系进行综合分析。一般选择评价指标要遵守以下原则：
（1）要根据研究目的选择评价指标。选择的指标要符合研究目的的需要，指标能确切的反映分析评价的内容，对评价目标有明确的指导性。
（2）评价指标要能反映客观实际。评价指标要能反映被研究现象的本质特征。
（3）评价指标要具有全面性。构成评价指标体系的各个指标要能从不同方面或者不同角度全面、综合地反映事物，指标要有较强的覆盖面。
（4）评价指标要具有敏感性。所选定的指标具有敏感性，即能敏感地反映事物的变化。
（5）评价指标之间要相互独立性。要尽量选择相关程度低的指标，如果指标之间的相关程度高，说明指标具有可替代性，即相近。如果相关程度高的指标选择多了，实际上是增加了此类指标的权重。
（6）评价指标具有可比性。评价指标的可比性是指评价指标要意义明确、计量口径一致、并能达到纵向可比和横向可比。
（7）评价指标具有可操作性。可操作性是指选择的评价指标要考虑到收集资料的可能，评价方法也要简便、易操作和计算，并能为社会各方面接受。
(三)选择合适的综合评价方法
综合统计分析的方法有多种，他们的特点和应用条件多有不同。综合分析评价的主要目的是使不能同度量的指标同度量化，并将各个指标的评价值综合为总评价值。一般常用的方法有综合评分法、功效系数法、综合指数法等。
(四)确定评价指标的权重系数
评价指标的权重系数是表示评价指标在整个统计指标体系中的作用程度的。权重系数越大的指标，表示其作用程度越强；权重系数越小的指标，其作用程度越弱。权重系数也称权重、权数。
由于所选择的作为综合评价的指标都是反应总体的某一方面特征的数值，但是，各个指标在总评价中的重要程度是不同的，所以，需要对各个指标在总体中的重要程度赋予其不同的权重系数。如果某项指标在总体中的重要程度越高，则对其赋予的权数越大；反之则小。但是各个指标的权重系数的综合必须等于1。
确定权重的方法有统计平均法、变异系数法和层次分析法等。
(五)选择合适的评价标准
选择确定合适的评价标准，可以客观、科学、合理地对分析对象进行准确评价。一般综合评价标准有历史评价标准、时间评价标准、空间评价标准、计划（或定额）评价标准和经验评价标准等。在进行统计综合分析时，可以根据具体情况和研究目的的需要，确定适当的评价标准。
(六)提出改进意见
将各项指标的评价值综合为总的评价值，并将其与选定的评价标准进行对比分析，判别优劣或排序等，以便发现问题，提出对策和建议。
统计综合分析的程序中，最重要的是评价指标的确定、权重系数的确定和评价方法的选择。本节将重点介绍。
三、综合统计分析的局限性
由于目前综合统计分析的理论和方法还不够成熟，分析时存在一定的局限性，主要有如下三点：
1．综合评价的结果具有相对性。综合评价尽管采用了一定的数学方法、结果也是用数值表示的，但是大部分具有相对意义，因此大多适用于在性质相同的对象之间进行比较和排序。
2．综合评价的结果具有不唯一性。采用不同的综合评价方法，可能得出不同的结果、结论、排序，评价的结果并不是绝对唯一。
3．综合评价的结果可能受主观因素影响。在综合评价中，评价指标的选择、指标权重的确定、及评价模型的建立等常常需要依靠相关专家来确定，不同的专家给出的选择标准和权重可能有差异，因此，综合评价的结论往往也可能带有一定的主观性。
所以，在进行综合统计评价时，必须正确选择适合评价内容的评价方法、了解各种评价方法的特点和适用条件，尽量采用多种方法进行比较和分析，以尽可能的减少主观因素的影响，提高评价结果的客观性、科学性和稳定性。
第二节统计综合分析的方法
统计综合分析的方法包括综合分析指标体系中各项指标的选择方法、各项指标权重系数的确定方法、对度量指标的无量纲化处理等。以下分别介绍。
一、选择评价指标的方法
构成评价指标体系的一般根据需要有若干个指标，这些指标的选择和确定的方法分为定性法和定量法。
(一)定性法
定性方法主要有综合法和分析法。
综合法(Synthesis method)是采取征集专家意见的方法来确定评价指标。一般采取研讨会或征询意见的方式来征集专家的意见。这种方法是借助于专家们的智力优势或经验来选择统计评价指标。由于专家可能比较集中、也可能比较分散，针对具体情况可以采取一次或者多次的形式选择确定。当专家们对选择指标的意见分散时，要进行客观的原因分析，是由于专家们对被评价现象的了解程度不同、还是对现象的认识不同，在准确分析的基础上，以获得客观的选择指标。
分析法(Analysis Method)是将被评价对象划分为若干部分、不同的组、或不同的侧面，明确各个部分评价的问题的内涵和外延，然后对每个部分分别选择一个或几个指标来反映评价对象的特征。这种方法的应用更能充分利用人们的工作经验，反映客观实际的工作态度。
(二) 定量法
常用的定量法有试算法和系统聚类法。
1．试算法。
试算法（Test Algorithm）是通过对历史数据的试算来判断指标的有效性。例如，要评价2007年全国耕地可持续利用的实施效果，可以以2006年的数据进行试算，通过试算结果判断所选指标是否合适，然后对相关指标进行科学比较分析，把代表性强的指标确定下来，不断筛选，直到满意为止。
2．系统聚类法。
系统聚类法（System clustering method）是通过判断指标之间的相似程度来筛选指标的方法。例如，假设有N个指标，将每个指标作为一类，根据指标之间的相似程度，通过各
N 类中，再选择各类之间距离类之间距离的比较，把距离最小的两类进行合并；然后在1
最小的进行合并；如此连续的进行，逐步选择出所需要的评价指标。被研究总体中所有指标
的亲疏关系和并类选择的情况可以绘制成一张系统聚类图，这样，我们可以选择评价指标体系中所需要的各个指标。系统聚类法的步骤如下：
第一步，度量指标(或类)之间的相似程度。
度量指标各类之间的相似程度常用的方法是相关系数法或判定系数法。其过程是：根据N个指标的历史资料，分别计算各个指标中的两个之间的相关系数或者判定系数，并形成相关系数矩阵R、或判定系数矩阵2R，以此表示各个指标之间的相关关系。
第二步，度量指标(或类)之间的距离。
利用相关系数矩阵R或判定系数矩阵2R表示指标(类)之间的相似程度时，可以将其转换为指标距离d，d值越小，表示两个指标(或类)之间的关系越密切，在统计评价中就表示两者之间具有可替代性。
第三步，根据聚类情况确定指标(或类)的个数。
所选择的指标个数的多少，可以根据相关系数的大小来确定。如果指标之间的相关系数较大，表明具有显著的相关性，则可以在不影响科学评价的条件下，可以适当的少一些评价指标；反之，如果指标(类)之间的相关系数较小，就需要多选择评价指标(或类)构成评价的指标体系。
第四步，选择最具有代表性的评价指标
在具有显著相关的指标中，选择哪个指标更加合适？首先要分析选择指标的科学性，再考虑人们对指标的理解和可接受程度，还应考虑指标的可接受性。
系统聚类法的具体操作见以下举例。
【例14.1】假如现在有6个指标，根据历史资料计算每两个指标的相关系数并建立相关系数矩阵R，见表14-1所示；再对相关系数矩阵R的数据经计算，转换为距离矩阵见表14-2。并以此比较分析选择确定评价指标。
表14-1 相关系数矩阵R
表14-2 距离矩阵表
d=0.10，由此在距离矩阵表14-2中，找到距离最小的两个指标。距离0.10最小，是34
可知，指标3和指标4的关系最密切，可以聚为一类。然后在距离矩阵中再找到第二小的两
d=0.15可知，指标1和指标2的关系较为密切，也可以聚为一类。如此继续个指标，从12
这样的过程，逐步选择较小距离的指标，直到指标聚为一类为止。
通过定性和定量分析，根据评价的目的、实际的可操作性以及各个指标之间相关的密切
程度确定指标体系的容量。
例如，本例中，如果研究该现象需要选择四个评价指标，可以在指标3和4之间选择一
个指标，将其确定为第一个评价指标；又在指标1和2中选择一个指标，并将其作为第二个
选择指标；再确定指标5为第三个评价指标、指标6为第四个评价指标。
如果本例中只要求选择两个评价指标，则先在指标3、4、1、2中选择一个指标，作为
第一个评价指标，然后在指标5和6中选择一个指标作为第二个评价指标。
二、权重的确定方法
在统计理论和实践中，权重是表明各个评价指标（或者评价项目）重要性的权数，表示
各个评价指标在总体中所起的不同作用。权重有不同的种类，各种类别的权重有着不同的数
学特点和经济含义，一般有以下几种权重。
按照权重的表现形式的不同，可分为绝对数权重和相对数权重。相对数权重也称比重权
数，能更加直观地反映权重在评价中的作用。
按照权重的形成方式划分，可分为人工权重和自然权重。自然权重是由于变换统计资料
的表现形式和统计指标的合成方式而得到的权重，也称为客观权重。人工权重是根据研究目
的和评价指标的内涵状况，主观地分析、判断来确定的反映各个指标重要程度的权数，也称
为主观权重。
按照权重形成的数量特点的不同划分，可分为定性赋权和定量赋权。如果在统计综合评
价时，采取定性赋权和定量赋权的方法相结合，获得的效果更好。
按照权重与待评价的各个指标之间相关程度划分，可分为独立权重和相关权重。
独立权重是指评价指标的权重与该指标数值的大小无关，在综合评价中较多地使用独立
权重，以此权重建立的综合评价模型称为“定权综合”模型。
相关权重是指评价指标的权重与该指标的数值具有函数关系，例如，当某一评价的指标
数值达到一定水平时，该指标的重要性相应的减弱；或者当某一评价指标的数值达到另一定
水平时，该指标的重要性相应地增加。相关权重适用于评价指标的重要性随着指标取值的不
同而发生变化的条件下，基于相关权重建立的综合评价模型被称为“变权模型”。比如评估环境质量多采用“变权综合”模型。
确定权重的方法较多，这里介绍统计平均法、变异系数法和层次分析法，这些也是实际工作种常用的方法。
(一) 统计平均法
统计平均数法（Statistical average method ）是根据所选择的各位专家对各项评价指标所赋予的相对重要性系数分别求其算术平均值，计算出的平均数作为各项指标的权重。其基本步骤是：
第一步，确定专家。一般选择本行业或本领域中既有实际工作经验、又有扎实的理论基础、并公平公正道德高尚的专家；
第二步，专家初评。将待定权数的指标提交给各位专家，并请专家在不受外界干扰的前提下独立的给出各项指标的权数值；
第三步，回收专家意见。将各位专家的数据收回，并计算各项指标的权数均值和标准差； 第四步，分别计算各项指标权重的平均数。
如果第一轮的专家意见比较集中，并且均值的离差在控制的范围之内，即可以用均值确定指标权数。如果第一轮专家的意见比较分散，可以把第一轮的计算结果反馈给专家，并请他们重新给出自己的意见，直至各项指标的权重与其均值的离差不超过预先给定的标准为止，即达到各位专家的意见基本一致，才能将各项指标的权数的均值作为相应指标的权数。
(二) 变异系数法
变异系数法(Coefficient of variation method)是直接利用各项指标所包含的信息，通过计算得到指标的权重。是一种客观赋权的方法。此方法的基本做法是：在评价指标体系中，指标取值差异越大的指标，也就是越难以实现的指标，这样的指标更能反映被评价单位的差距。例如，在评价各个国家的经济发展状况时，选择人均国民生产总值(人均GNP)作为评价的标准指标之一，是因为人均GNP 不仅能反映各个国家的经济发展水平，还能反映一个国家的现代化程度。如果各个国家的人均GNP 没有多大的差别，则这个指标用来衡量现代化程度、经济发展水平就失去了意义。
由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下：
i i
i x V σ=
()n i ,,2,1 = （14—1）
式中：i V 是第i 项指标的变异系数、也称为标准差系数；i σ是第i 项指标的标准差；i
x
是第i 项指标的平均数。
各项指标的权重为：
∑==
n
i i
i
i V
V W 1
（14—2）
例如，英国社会学家英克尔斯提出了在综合评价一个国家或地区的现代化程度时，其各项指标的权重的确定方法就是采用的变异系数法。
【例14.2】试利用变异系数法综合评价一个国家现代化程度时的指标体系中的各项指标的权重。数据资料是选取某一年的数据，包括中国在内的中等收入水平以上的近40个国家的10项指标作为评价现代化程度的指标体系，计算这些国家的变异系数，反映出各个国家在这些指标上的差距，并作为确定各项指标权重的依据。其标准差、平均数数据及其计算出的变异系数等见表14-3。
表14-3 现代化水平评价指标的权重
指 标
人均GNP
(美元)
农业占GDP 的比重 (%) 第三产业占GDP 比重 (%) 非农业劳动力比重 (%) 城市人口比重 (%)
人口自然增长率 (%)
平均预期寿命 (岁)
成人识字率 (%) 大学生占适龄人口比重 （%） 每千人拥有医生 (人) 总 和
平均数 11938.4 9.352 54.86 0.826 69.792 0.7214 72.632 93.34 36.556 2.446 — 标准差 7966.27 7.316 12.94 0.170 19.339 0.8319 5.375 9.050 20.477 1.314 — 变异 系数 0.667 0.782 0.236 0.206 0.277 1.153 0.074 0.097 0.560 0.537 4.590 权重
0.145
0.170
0.051
0.045
0.060
0.251
0.016
0.021
0.122
0.117
1.000 数据来源：曾五一、庄赞：《中国现代化进程的统计考察》，《中国统计》2003年第1 期
计算过程如下：
(1)先根据各个国家的指标数据，分别计算这些国家每个指标的平均数和标准差； (2)根据均值和标准差计算变异系数，
即：这些国家人均GNP 的变异系数为：
7 966.27
0.667
11 938.4i
i i
V x σ=
=
=
农业占GDP 比重的变异系数：782.0352.9316
.7==
=
i
i
i x V σ
其他类推。
(3)将各项指标的变异系数加总：
0.6670.7820.2360.560.537 4.59+++++=
(4)计算构成评价指标体系的这10个指标的权重：
人均GNP 的权重：
145.059
.4667
.01
==
=
∑=n
i i
i
i V
V W
农业占GDP 比重的权重：
1704.059
.4782
.01
==
=
∑=n
i i
i
i V
V W
其他指标的权重都以此类推。计算的结果见表14-3所示。
(三)层次分析法
层次分析法又称AHP 构权法(Analytic hierarchy process ，简写为AHP)，是将复杂的评价对象排列为一个有序的递阶层次结构的整体，然后在各个评价项目之间进行两两的比较、判断，计算各个评价项目的相对重要性系数，即权重。AHP 构权法又分为单准则构权法和多准则构权法，在此介绍单准则构权法及具体步骤。
1.确定指标的量化标准。
层次分析法的核心问题是建立一个构造合理且一致的判断矩阵，判断矩阵的合理性受到标度的合理性的影响。所谓标度是指评价者对各个评价指标（或者项目）重要性等级差异的量化概念。确定指标重要性的量化标准常用的方法有：比例标度法和指数标度法。比例标度法是以对事物质的差别的评判标准为基础，一般以5种判别等级表示事物质的差别。当评价分析需要更高的精确度时，可以使用9种判别等级来评价，见表14-4。
表14-4 比例标度值体系别（重要性分数
ij x ）
取值含义
1~9标度
5/5~9/1标度 9/9~9/1标度 i 与j 同等重要 1 1 (5/5=) 1 (9/9=) i 比j 较为重要 3 1.5 (6/4=) 1.286 (9/7=) i 比j 更为重要 5 2.33 (7/3=) 1.8 (9/5=) i 比
j 强烈重要
7 4 (8/2=) 3 (9/3=) i I 比j 极端重要
9
9 (9/1=) 9 (9/1=) 介于上述相邻两级之间
重要程度的比较
2、4、6、8
1.222 (5.5/4.5=)
1.875 (6.5/3.5=) 3 (7.5/
2.5=) 5.67 (8.5/1.5=) 1.125 (9/8=) 1.5 (9/6=) 2.25 (9/4=) 4.5 (9/2=) j 与i 比较
上述各数的倒数
上述各数的倒数
上述各数的倒数
2.确定初始权数。
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
第八章 层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层O 选择旅游地 准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途 措施层P 1P 2P 3P 1.2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
数学建模10种常用算法 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行
编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组 求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库 函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关， 即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些 图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通 常使用Matlab进行处 参数估计 C.F. 20世纪60年代,随着电子计算机的 。参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。在一定条件下，后面三个方法都与极大似然法相同。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法. 基本介绍 参数估计（parameter 尽可能接近的参数 误差 平方和 θ,使已知数据Y 最大,这里P(Y│θ)是数据Y P(Y│θ)。在实践中这是困难的，一般可假设P（Y│θ
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
数学建模有下面十种常用算法, 可供参考： 1.蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问 题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数 据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多 数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算 法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算 法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些 问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7.网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很 多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计 算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9.数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分 析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10.图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中 也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）
数学建模中常见的十 大模型
精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
数学建模方法详解--三种最常用算法 一、层次分析法 层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案 排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理 层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍． 1．递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这 些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配 关系．具有这种性质的层次称为递阶层次． 2．测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对 于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理
层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1] ． 1．成对比较矩阵和权向量 为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因 素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度． 假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比， 全部比较 结 果 可 用 成 对 比 较 阵 1 ,0,ij ij ji n n ij A a a a a 表示，A 称为正互反矩阵．一般地，如果一个正互反阵 A 满足： , ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n （1） 则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；②A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量． 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,, 1对 上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记
数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 （ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。 （iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响；否则是相关的。 （iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数；
数学建模方法详解--三十四种常用算法 目录 一、主成分分析法 (2) 二、因子分析法 (5) 三、聚类分析 (9) 四、最小二乘法与多项式拟合 (16) 五、回归分析（略） (22) 六、概率分布方法（略） (22) 七、插值与拟合（略） (22) 八、方差分析法 (23) 九、逼近理想点排序法 (28) 十、动态加权法 (29) 十一、灰色关联分析法 (31) 十二、灰色预测法 (33) 十三、模糊综合评价 (35) 十四、隶属函数的刻画（略） (37) 十五、时间序列分析法 (38) 十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型 (42) 十七、BP神经网络方法 (44) 十八、数据包络分析法（DEA） (51) 十九、多因素方差分析法（）基于SPSS） (54) 二十、拉格朗日插值 (70) 二十一、回归分析（略） (75) 二十二、概率分布方法（略） (75) 二十三、插值与拟合（略） (75) 二十四、隶属函数的刻画（参考《数学建模及其方法应用》） (75) 二十五、0-1整数规划模型（参看书籍） (75) 二十六、Board评价法（略） (75) 二十七、纳什均衡（参看书籍） (75) 二十八、微分方程方法与差分方程方法（参看书籍） (75) 二十九、莱斯利离散人口模型（参看数据） (75) 三十、一次指数平滑预测法（主要是软件的使用） (75) 三十一、二次曲线回归方程（主要是软件的使用） (75) 三十二、成本-效用分析（略） (75) 三十三、逐步回归法（主要是软件的使用） (75) 三十四、双因子方差分析（略） (75)
一、主成分分析法 一）、主成分分析法介绍： 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 二）、主成分分析法的基本思想： 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 三）、主成分分析法的数学模型： 其中：
高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有化简得，所以25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b a b 4 5=，即x a bx y ??==2.0452.0+ ∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：，图略。 ?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：，图略。 ?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。