随机过程测试题二答案
1．以1T 表示泊松过程}0),({≥t t N 中事件首次发生的时刻，则对于t s ≤，求条件概率}1)(|{1=≤t N s T P
解： ==≤}1)(|{1t N s T P t
s .（细节请查书） （5分） 2．设{N (t ), t ≥0}是强度为λ的泊松过程，N (t )表示到时刻t 为止事件A 发生的次数，则对任意t s <≤0，求),(),(t DN t EN )).(),(cov(s N t N
解：t t DN t EN λ==)()(； （5分） .))(),(cov())(),(-)(cov())(),(cov(s s N s N s N s N t N s N t N λ=+= （5分）
3．设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出．从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时．假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立．
求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率；
（2）这两小时内到车站的乘客平均数．
解：以N (t )表示0时到t 时到达的乘客数，则
211818885),18(4001400,1400),5(400200)(≤≤<<≤≤⎪⎩
⎪⎨⎧---+=t t t t t t λ,
（1）).21400(~)12()14(⨯-P N N
==-}2000)12()14({N N P !
200028002000
2800⋅-e ； （5分） （2）2800)]12()14([=-N N E ． （5分）
4．假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求
（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率.
（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.
解：（1）设早晨8时为0时刻，以N (t )表示0时到t 时观测到的流星数，则N (t )是强度为3（颗/小时）的泊松过程．).43(~)0()4(⨯-P N N
==-}0)0()4({N N P 12-e ； （5分）
（2）记下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间为1T ，则其密度函数为.0,3)(3≥=-t e t f t
相应的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,
00,1)(3t t e t F t ． （5分） 5．保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程{N (t )，t ≥0}, 每次的赔付金额{Y n }是一族独立随机变量序列，且有相同分布F ，索赔数额与它发生的时刻无关．则在(0,t ]时间内保险公司赔
付的总金额可表示为∑=)
(1t N i i Y
（5分）；若保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求,每次
赔付为均值是2000元的正态分布,则它的年平均赔付金额为48000元（5分）.
解：2000元×2×12=48000元
6． 设到某电影院的观众服从强度为λ的泊松流，如果电影在时刻t 开演，求在(0,t ]时间内到达电影院的观众等待开演的时间总和的均值.
解：假设以强度为λ的泊松过程{N (t )，t ≥0}来到某电影院，火车在时刻t 启程． 计算在(0,t ]时间内到达的乘客的等待时间的总和的期望值.
解1：以T n 记第n 位观众的来到时刻，则所求为∑=-)
(1)(t N i i T t E
.2
2])(|[])(|)([)(1)
(1nt nt nt n t N T E nt n t N T t E t N i i t N i i =-==-==-∑∑== （5分） ∑∑∑+∞=====-=-0
)(1)(1})({])(|)([)(n t N i i t N i i n t N P n t N T t E T t E
.2)!1()(2!)(22
112
0t e n t t e n t nt n t n n t n
λλλλλλ=-==∑∑+∞
=--+∞=- （5分） 7．某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟1人与每分钟2人的泊松过程。
(1) 试计算],0(t 时间内到达商场顾客的总人数服从的分布；
(2) 在已知t 时刻已有50人到达的前提下，问其中有20位男性顾客的概率有多大，平均有多少位男性顾客？
解：(1)分别以)(1t N ,)(2t N 记],0(t 时间内到达商场的男女顾客人数，则}0),({1≥t t N 与}0),({2≥t t N 分别是速率2,121==λλ(单位：均为人/分钟)的泊松过程．从而在],0(t 时间内到达商场的顾客总人数为)()()(21t N t N t N +=,它服从参数为321=+λλ的泊松分布.
(2) 首先在已知t 时刻已有n 人到达的前提下，其中有k 位男性顾客的概率为
{}n t N k t N P ==)(|)(1
{}{}{}{}
n t N P k n t N k t N P n t N P n t N k t N P =-=======)()(,)()()(,)(211 k n k t n t k n t k k n e n t e k n t e k t -+----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=212211)(21212121!
])[()!()(!)(λλλλλλλλλλλλλλ，n k ,,1,0Λ=. 故在已知t 时刻已有50人到达的前提下，其中有20位男性顾客的概率为302032312050⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 平均有3
5050211
=+⨯λλλ位男性顾客. 8．将两个红球四个白球分别放入甲、乙两个盒子里. 每次从两个盒子中各取一球交换，以X n 表示第n 次交换后甲盒中的红球数，则{X n , n =0,1,2，…}是状态空间为I={0,1,2}的时齐马尔可夫链.
（1） 写出其一步转移概率矩阵.（2）求其平稳分布.
解：（1）一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01081218302121P ； （5分） （2）由平稳方程组),,(),,(210210ππππππ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛0108121
83021
21及规范性条件1210=++πππ，得
)15
1,158,52(),,(210=πππ. （5分） 9. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关. 又设今天下雨时明天也下雨的概率为0.7，今天无雨时明天有雨的概率为0.4. 记有雨天气为状态0，无雨天气为状态1, 求今天有雨的条件下，这之后第四天仍有雨的概率.
解：以X n 记第n 天的天气状态，则{X n ，n=0,1,2, … }为时齐马尔可夫链. 其状态空间为I ={0,1}. 一步转移概率矩阵为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=6.04.03.07.0P （5分）
