第2讲 数列求和及综合应用
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，
所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.
所以S 6＝－1×（1－26）1－2
＝－63.
法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案 －63
2.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列????
??
????a n 2n ＋1的前n 项和.
解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①
故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝2
2n －1
，
又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2
2n －1
.
(2)记??????
???
?a n 2n ＋1的前
n 项和为S n ，
由(1)知
a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1
2n ＋1
， 则S n ＝? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1
＝1－
12n ＋1＝2n
2n ＋1
. 3.(2019·天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }满足c n ＝????
?1，n 为奇数，
b n 2，n 为偶数.求a 1
c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *).
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0). 依题意，得???3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得???d ＝3，
q ＝3，
故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .
所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n
＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )
＝???
???n ×3＋n （n －1）2×6
＋(6×31＋12×32＋18×33＋… ＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n ). 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1
＝－3（1－3n ）1－3
＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1
＋32.
所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×（2n －1）3n ＋1
＋3
2
＝
（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92
(n ∈N *
).
考 点 整 合
1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝???S 1 （n ＝1），
S n －S n －1 （n ≥2）.
(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 2.数列求和
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵
消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如?
?????????c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的
等差数列，c 为常数)的数列.
温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.
热点一 a n 与S n 的关系问题
【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1
T n T n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－1
4a n ，
又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－1
4， 所以数列{a n }是公比、首项均为－1
4的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝? ????
－14n
.
(2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2， c n ＝
b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1
（n ＋1）2
， 所以A n ＝1－1
（n ＋1）2.
因此{A n }是单调递增数列，
∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝3
4；A n 没有最大值.
探究提高 给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
【训练1】 (2019·济南调研)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝log 2a n ，求数列{(－1)n b 2n }前2n 项的和T .
解 (1)当n ≥2时，由???S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，得a n ＝2a n －1，又当n ＝1得a 1＝1，于是
{a n }是首项为1，公比为2的等比数列.所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知，b n ＝log 2a n ＝log 22n －1＝n －1， 于是数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列.
T ＝－b 21＋b 22－b 23＋b 24－…－b 22n －1＋b 2
2n
＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1＋b 2n ， 所以T ＝
2n （2n －1）
2
＝n (2n －1).
热点二 数列的求和 角度1 分组转化法求和
【例2－1】 (2019·石家庄调研)已知数列{a n }是等差数列，且a 8＝1，S 16＝24. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }是递增的等比数列且b 1＋b 4＝9，b 2b 3＝8，求(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)＋(a 5＋b 5)＋…＋(a 2n －1＋b 2n －1).
解 (1)由已知得???a 1＋7d ＝1，2a 1＋15d ＝3，解得???a 1＝－6，d ＝1.
∴a n ＝－6＋(n －1)×1＝n －7. (2)∵数列{b n }是递增的等比数列， 由b 2b 3＝8，得b 1b 4＝8，① 又b 1＋b 4＝9，②
联立①，②得b 1＝1，b 4＝8. 因此公比q ＝2，则b n ＝2n －1，
∴(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)＋(a 5＋b 5)＋…＋(a 2n －1＋b 2n －1) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 1＋b 3＋…＋b 2n －1) ＝(－6－4－2＋…＋2n －8)＋(1＋4＋16＋…＋4n －1) ＝n （－6＋2n －8）2＋（1－4n ）1－4
＝n 2－7n ＋4n －1
3.
探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 【训练2】 (2019·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝???a n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，求数列{
c n }的前n 项和P n .
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得???a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得???a 1＝4，
d ＝4，
所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，
所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，
则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.
(2)c n ＝?
??4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，
当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·
n 2
2
＋
6（1－4n
2）1－4
＝2n ＋1＋n 2－2.
当n 为奇数时，
法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.
法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝
（4＋4n ）·n ＋1
2
2
＋6（1－4n －1
2）1－4
＝2n ＋n 2＋2n －1.
所以P n ＝???2n ＋
1＋n 2－2，n 为偶数，
2n ＋n 2
＋2n －1，n 为奇数.
角度2 裂项相消法求和
【例2－2】 (2019·西安质检)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 2
2＝a 3＋a 6，且a 3
为a 1与a 11的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(－1)n
n ? ?
???a n －12? ??
??a n ＋1－12(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 22＝a 3＋a 6，
∴(a 1＋d )2＝a 1＋2d ＋a 1＋5d ，① ∵a 23＝a 1·
a 11， 即(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋10d )，②
∵d ≠0，由①②解得a 1＝2，d ＝3.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *). (2)由题意知，
b n ＝(－1)n
n
? ?
???3n －32·? ????3n ＋32 ＝(－1)n ·16·? ?????13n －
32＋13n ＋32 ＝(－1)n
·19·
? ??
??12n －1＋12n ＋1 T n ＝19???－? ????11＋13＋? ????13＋15－? ??
??
15＋17＋…
?
??
＋（－1）n ? ?
???12n －1＋12n ＋1 ＝19????
??－1＋（－1）n 12n ＋1. 探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【训练3】 设正项等比数列{a n }，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为3
2(a 1＋a 2). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项为S n ，数列{c n }满足c n ＝1
4S n －1，T n 为数列
{c n }的前n 项和，求T n .
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，
由题意及a 2＋a 3＝3(a 1＋a 2)，得???a 4＝a 1q 3＝81，
a 1q ＋a 1q 2
＝3（a 1＋a 1q ）. 解得a 1＝q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3n . (2)由(1)得b n ＝log 332n －1＝2n －1， S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [1＋（2n －1）]2
＝n 2
，
∴c n ＝
14n 2－1＝
12? ??
??12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????1
2n －1－12n ＋1
＝n 2n ＋1
. 角度3 错位相减法求和
【例2－3】 (2019·北京海淀区调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1
2，且a n ＋1a n ＝n ＋12n
(n ∈N *).
(1)求{a n }的通项公式； (2)求{a n }的前n 项和S n .
解 (1)由a n ＋1a n
＝n ＋12n 得，a n ＋1n ＋1＝12·a n
n ，n ∈N *.
又a 1＝12，所以????
??a n n 是以12为首项、1
2为公比的等比数列.
于是a n n ＝12n ，则a n ＝n
2n (n ∈N *) 故{a n }的通项公式为a n ＝n
2n ，n ∈N *. (2)由S n ＝12＋222＋3
23＋…＋n －12n －1＋n 2n ，
得12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n
2n ＋1，
两式相减，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n
2n ＋1
＝?
?
???1－12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. 于是{a n }的前n 项和S n ＝2－n ＋2
2n (n ∈N *).
探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.
2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确
地写出“S n －qS n ”的表达式.
【训练4】 (2019·天津河西区调研)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列????
?
?
b n a n 的前n 项和T n .
解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知???a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2
， 又a n >0，
解得???a 1＝2，q ＝2，
所以a n ＝2n .
(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）
2＝(2n ＋1)b n ＋1，
又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.
令c n ＝b n
a n
，则c n ＝2n ＋12n ，
因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝32＋522＋7
23＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，
又12T n ＝322＋523＋7
24＋…＋2n －12n ＋2n ＋12
n ＋1，
两式相减得12T n ＝32＋? ????12＋1
22＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，
所以T n ＝5－2n ＋5
2n .
热点三 与数列相关的综合问题
【例3】 设f (x )＝1
2x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝1
2x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2. ∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，
因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2
，
等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，∴q ＝3. ∴b n ＝3n －1.
∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －13－1＝3n －1
2.
T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2
. 又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.
故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.
探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.
2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.
【训练5】 已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
1
a n a n ＋1
，设S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求实数m 的最大值.
解 (1)因为等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144，a 1＝1，所以9＋45d ＝144，所以d ＝3.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *).
(2)b n＝
1
a n a n＋1
＝
1
（3n－2）（3n＋1）
＝1
3?
?
?
?
?
1
3n－2
－
1
3n＋1，
所以S n＝b1＋b2＋…＋b n
＝1
3?
?
?
?
?1
1－
1
4＋
1
4－
1
7＋…＋
1
3n－2
－
1
3n＋1
＝1
3?
?
?
?
?
1－
1
3n＋1＝
n
3n＋1
.
因为函数y＝x
3x＋1＝
1
3－
1
3（3x＋1）
(x≥3)是增函数，
所以S n≥S3＝3
10，则m≤3 10.
故实数m的最大值是3 10.
1.错位相减法的关注点
(1)适用题型：等差数列{a n}乘以等比数列{b n}对应项得到的数列{a n·b n}求和.
(2)步骤：①求和时先乘以数列{b n}的公比；②把两个和的形式错位相减；③整理结果形式.
2.裂项求和的常见技巧
(1)
1
n（n＋1）
＝
1
n－
1
n＋1
.(2)
1
n（n＋k）
＝
1
k?
?
?
?
?
1
n－
1
n＋k.
(3)
1
n2－1
＝
1
2?
?
?
?
?
1
n－1
－
1
n＋1.
(4)
1
4n2－1
＝
1
2?
?
?
?
?
1
2n－1
－
1
2n＋1.
3.数列与不等式综合问题
(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；
(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.
巩固提升
一、选择题
1.在等差数列{a n }中，已知a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A.－18 B.9 C.18
D.20
解析 ∵a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点， ∴a 4，a 7是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根， ∴由根与系数的关系可知a 4＋a 7＝4， ∴S 10＝a 1＋a 102×10＝a 4＋a 7
2×10＝20. 答案 D 2.已知
T n 为数列?
????????
?2n ＋12n 的前
n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小
值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024
D.1 023
解析 因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－1
2n ，
则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1
210， 又m >T 10＋1 013，
所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C
3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋m ，且a 1，a 4，a 5－2成等差数列，b n ＝a n （a n －1）（a n ＋1－1），数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >2 019
2 020的最小正整数
n 的值为( ) A.11 B.10 C.9
D.8
解析 根据S n ＝2
n ＋1
＋m 可以求得a n ＝???m ＋4，n ＝1，
2n ，n ≥2，
所以有a 1＝m ＋4，a 4＝16，a 5＝32，
根据a 1，a 4，a 5－2成等差数列，
可得m ＋4＋32－2＝32，从而求得m ＝－2， 所以a 1＝2满足a n ＝2n ， 从而求得a n ＝2n (n ∈N *)，
所以b n ＝a n （a n －1）（a n ＋1－1）＝2n
（2n －1）（2n ＋1－1）
＝
12n －1－12n ＋
1－1
， 所以T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－1
2n ＋1－1，
令1－
12n ＋1
－1
>2 019
2 020，整理得2n ＋1>2 021，
解得n ≥10. 答案 B
4.(2019·海南调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝12，n ＋1a n ＋1＝n
a n ＋2n (n ∈N *)，
则S 100等于( ) A.2－49
2100 B.2－49
299 C.2－512100 D.2－51
299
解析 由
n ＋1a n ＋1＝n a n ＋2n ，得n ＋1a n ＋1－n a n ＝2n ，则n a n ＝? ????n a n －
n －1a n －1＋? ??
??
n －1a n －1－n －2a n －2＋…＋? ????2a 2－1a 1＋1
a 1
＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋21＋2＝2n ， 所以a n ＝n ·1
2
n ，
因此S 100＝1×12＋2×122＋…＋100×1
2100，
则12S 100＝1×122＋2×123＋…＋99×12100＋100×12101， 两式相减得12S 100＝12＋122＋123＋…＋12100－100×1
2101，
所以S 100＝2－? ????1299－100·
? ????
12100
＝2－51
299.
答案 D
5.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9 B.15 C.18
D.30
解析 ∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列. ∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7. 数列{a n }的前n 项和S n ＝
n （－5＋2n －7）2
＝n 2
－6n .
令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥7
2.
∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝ S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案 C 二、填空题
6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ＋1，则a n ＝________. 解析 令n ＝1，则2S 1＝3a 1＋1，又S 1＝a 1，所以a 1＝－1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(3a n －3a n －1)，整理得a n ＝3a n －1，即a n
a n －1＝3(n ≥2).
因此，{a n }是首项为－1，公比为3的等比数列. 故a n ＝－3n －1. 答案 －3n －1
7.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2
n －1
＋2
n －2
＋…＋22
＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n
，所以S n ＝2－2n ＋1
1－2
＝2n ＋1－
2.
答案 2n ＋1－2
8.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的
兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是________.
解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推.设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为
n （1＋n ）
2
，由题，N >100，令n （1＋n ）2>100，则n ≥14且n ∈N *
，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为1－2n
1－2＝2n
－1，n 组总共的和为2（1－2n ）1－2
－n ＝2n ＋1－2－n .
假设满足题设条件的N 出现在第k ＋1组，则前k 组的和为2k ＋1－k －2，这说明k ＋2应为第k ＋1组的数1，2，4，…，2t －1(t ∈N *)的和，即k ＋2＝1＋2＋…＋2t －1＝2t －1，所以k ＝2t －3≥14，即t ≥5，当t ＝5时，k ＝25－3＝29， ∴N ＝
29×30
2＋5＝440.
答案 440 三、解答题
9.(2019·枣庄调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3. (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
1
log 3a n log 3a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)因为2S n ＝3a n －3， 所以2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)， 所以2a n ＝3a n －3a n －1(n ≥2)，即a n
a n －1
＝3(n ≥2). 又2S 1＝3a 1－3，所以a 1＝3.
则数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，故a n ＝3n . (2)由(1)知b n ＝
1log 3a n log 3a n ＋1＝1log 33n log 33n ＋
1＝1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ??
??1n －1n ＋1＝1－
1 n＋1＝
n
n＋1
.
10.(2019·衡水中学检测)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其面积S＝3，B＝60°，a2＋c2＝2b2.在等差数列{a n}中，a1＝a，公差d＝b.数列{b n}的前n项和为T n，且T n－2b n＋1＝0，n∈N*.
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)若c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和为S n.
解(1)由S＝1
2ac sin 60°＝3，得ac＝4.
根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos 60°，且a2＋c2＝2b2，∴b2＝2b2－4，则b2＝4，
从而得a＝b＝c＝2.
∴数列{a n}的通项a n＝2＋2(n－1)＝2n，
又T n－2b n＋1＝0，n∈N*
当n＝1时，b1－2b1＋1＝0，b1＝1，
当n≥2时，T n
－1
－2b n－1＋1＝0，∴b n＝2b n－1，
则{b n}是公比为2，首项为1的等比数列，
所以b n＝2n－1.
(2)c n＝a n b n＝n·2n，S n＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a n b n，
S n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，
2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
两式相减得－S n＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以S n＝(n－1)2n＋1＋2.
能力突破
11.设数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，对于任意的n∈N*，a n，S n，a2n成
等差数列，设数列{b n}的前n项和为T n，且b n＝（ln x）n
a2n，若对任意的实数x∈(1，
e](e为自然对数的底数)和任意正整数n，总有T n 解析由题意得，2S n＝a n＋a2n， 当n≥2时，2S n －1 ＝a n－1＋a2n－1， ∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2 n －1， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是等差数列， 又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *). 又x ∈(1，e]，∴0 ∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋? ? ???1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1n －1－1n ＝2－1n <2，∴r ≥2，即r 的最小值为2. 答案 2 12.(2019·郑州调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，且b 1＝1， (1)证明数列???? ?? b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝(－1) n －1 4（n ＋1） （3＋2log 2a n ）（3＋2log 2a n ＋1） ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ； (3)若d n ＝a n ·b n ，数列{d n }的前n 项和为D n ，对任意的n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，求实数a 的取值范围. 解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)两边同除以n (n ＋1)，得b n ＋1n ＋1－b n n ＝1， 从而数列? ??? ??b n n 是首项为b 1 1＝1，公差为d ＝1的等差数列， 所以b n n ＝n (n ∈N *)， 数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2(n ∈N *). 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －1， 又a 1＝1≠0，所以a n a n －1 ＝2， 从而数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列， 从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)c n ＝(－1) n －1 ·???? ??4（n ＋1）（2n ＋1）（2n ＋3） ＝(－1)n －1? ????1 2n ＋1＋12n ＋3， T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝13＋15－15－1 7＋…－14n ＋1－14n ＋3 ＝13－ 1 4n ＋3 (n ∈N *). (3)由(1)得d n ＝a n b n ＝n ·2n －1， D n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ×2n －1， 2D n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n . 两式相减得－D n ＝1＋2＋22 ＋…＋2n －1 －n ·2n ＝1－2n 1－2 －n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以D n ＝(n －1)·2n ＋1， 由(1)得S n ＝2a n －1＝2n －1， 因为对?n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ， 即(n －1)·2n ＋1≤n (2n －1)－a 恒成立， 所以a ≤2n －n －1恒成立， 记e n ＝2n －n －1，所以a ≤(e n )min ， 因为e n ＋1－e n ＝[2n ＋1－(n ＋1)－1]－(2n －n －1)＝2n －1>0，从而数列{e n }为递增数列， 所以当n ＝1时，e n 取最小值e 1＝0，于是a ≤0. 创新预测 13.(多填题)数列b n ＝a n cos n π 3的前n 项和为S n ，已知S 2 017＝5 710，S 2 018＝4 030，若数列{a n }为等差数列，则a n ＝________，S 2 019＝________. 解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列， a 1cos π3＋a 2cos 2π3＋a 3cos π＋a 4cos 4π3＋a 5cos 5π 3＋a 6cos 2π ＝12(a 1－a 2)＋1 2(a 5－a 4)－a 3＋a 6＝－a 3＋a 6.……. 由S 2 017＝5 710，S 2 018＝4 030， 可得5 710＝－(a 3＋a 9＋…＋a 2 013)＋(a 6＋a 12＋…＋a 2 010＋a 2 016)＋1 2a 2 017， 4 030＝－(a 3＋a 9＋…＋a 2 013)＋(a 6＋a 12＋…＋a 2 010＋a 2 016)＋12a 2 017－1 2a 2 018，两式相减可得a 2 018＝3 360， 由5 710＝1 008d ＋1 2(3 360－d )，解得d ＝4， 则a n ＝a 2 018＋(n －2 018)×4＝4n －4 712， 可得S 2 019＝4 030＋a 2 019cos 2 019π 3＝4 030－a 2 019＝4 030－(4×2 019－4 712)＝ 666. 答案 4n －4 712 666 数列求和、数列的综合应用 挖命题 【考情探究】 考点：1.数列求和； 2.数列的综合应用。 内容解读：①掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. ②能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和. 2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题. 3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 破考点 【考点集训】 考点一数列求和 1.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{a n}中,a4=5,a7=11.设b n=(-1)n·a n,则数列{b n}的前100项之和S100=( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 答案 D 2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S n为{a n}的前n项和,若a n(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),则S88等于. 答案2332 3.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足 a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为. 答案 1 009 2 020 考点二数列的综合应用 1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比 均为3,则a b 1+a b 2 +a b 3 =( ) A.64 B.32 C.38 D.33 答案 D 2.(2017陕西西安铁一中第五次模拟,9)已知数列{a n}满足a n=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有“优数”的和为( ) A.1024 B.2003 C.2026 D.2048 答案 C 3.已知a n=3n(n∈N*),记数列{a n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,(T n+3 2 )k≥3n-6恒成立,则实数k的取值范围是. 答案k≥2 27 炼技法 【方法集训】 方法1 错位相减法求和 1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na n}的前n项和为S n,且a n=2n,则使得S n-na n+1+50<0的最小正整数n的值为. 答案5 2.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记b n=a n(a2n-1+1),求数列{b n}的前n项和T n. 解析(1)设数列{a n}的公差为d, 则S n=na1+n(n-1) 2d=d 2 n2+(a1-d 2 )n, 又S n=n2+Bn+C-1,两式对照得{d 2 =1, C-1=0, 解得{ d=2, C=1, 所以a1=1, 所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*). (2)由(1)知b n=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n, 常见的数列求和及应用 常见的数列求和及应用 一、自主探究 1、等差数列的前n项和公式：。 2、等比数列的前n项和公式： ①当时，； ②当时， = 。 3、常见求和公式有： ①1+2+3+4+…+②1+3+5+…+（2n-1）= ※③※④ 二、典例剖析 （一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。 例1 已知，求数列｛｝的前n项和。 变式练习：已知，求数列｛｝的前n项和。 （二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如，其中是等差数列，可采用此法 例2 求和：（） 变式练习：已知数列的通项公式，求数列｛｝的前n 项和。 （三）、奇偶并项法：当数列通项中出现时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。 例3 求和： （四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。 例4 求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。 变式练习：已知且 .求 （五）错位相减法：一般地，如果数列时等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用此法，在等式的两边乘以或，再错一位相减。 例5 求和： 变式练习：求和： 三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：① = ； 考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（ ） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=， 所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题 2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3 132+=n n a S ，则 }{n a 的通项公式是=n a _________ 数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 专题04 数列求和及综合应用 【要点提炼】 1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1） 6. 2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝???S 1 （n ＝1）， S n －S n －1 （n ≥2）. (2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和 (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加 抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如? ???????? ?c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为 零的等差数列，c 为常数)的数列. 温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题. 考点一 数列求和及综合应用 考向一 a n 与S n 的关系问题 【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1 T n T n ＋1 . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 数列求和 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1]，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 题1.等比数列 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = 二、错位相减法求和 { a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n . 练习题2 的前n 项和为____ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 题1 已知函数 （1）证明：； （2）求 的值. 练习、求值： 四、分组法求和 第2讲 数列求和及数列的综合应用 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??? ? ? ? 1a n a n ＋1的前100项和为 A. 100101 B.99101 C.99100 D.101 100 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴? ???? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－1 2d ＝15，， ∴???? ? a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列{1 a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101 . 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋， 等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重 要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法. 《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（ ） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=， 所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题 1、1+2+3+4+5+6……+100 2、1+3+5+7+9……+97+99 3、求数列5、8、11、14……中的第33项是多少？ 4、求数列3、 5、7、9……中的第26项是多少？ 5、求末项为2011，公差为5，项数为201项的等差数列的首项。 6、一个项数为15的等差数列，公差为2，末项为148，求首项。 7、求首项是5，公差为3的等差数列的前25项的和。 8、求公差为3，末项为107，共30项的等差数列的和。 9、有一堆粗细均匀的圆木堆成下图的形状。最上面一层有6根，每向下一层增加一根。共堆了25层。问这堆圆木一共多少根？ 10、用3根等长的火柴棒摆成一个等边三角形。用这样的等边三角形按下图所示摆成一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形底边是10根火柴。那么这个大的等边三角形中一共要放根火柴？ 11、时钟在每个整点敲打。敲打的次数等于该时刻的时钟钟面数。每半点也敲一下。时钟一昼夜总共敲打多少次？ 12、2+6+10+……+98+102 13、1+4+7+10+……+97 14、求所有被4除余数是1的两位数的和。 15、求所有除以5余3的两位数的和。 16、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。 17、在20和68之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写 出插入的5个数。 18、15个连续奇数的和是2025。其中最大的奇数是多少？ 19、8个连续偶数的和是200。其中最大的偶数是几？最小的呢？ 20、1-50中所有不能被5或7整除的数的和是多少？ 21、在1-80这80个数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？ 22、1234+2345+3456+4567+5678+6789+7900= 数列求和与综合应用 【考纲要求】 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式 3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法； 4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题. 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等. 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题. 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】 类型一：数列与函数的综合应用 例1.(2015 菏泽一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()( )* 1n S n n n N =+∈. 综合应用 与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等 数列前n 项和 公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消 分组求和 数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 22 1 231 123(1)2 135(21)12222111111122222 n n n n n n n n n -++++= ++++ +-=++++=-++++=- 还要记住一些正整数的幂和公式： 2 233332222)1(41 321)12)(1(6 1 321+=++++++= ++++n n n n n n n 例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤?>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时， 512 322)()()(21616161817162121+-=-=--=+++++++=+++=n n S S S S S a a a a a a a a a T n n n n n 所以 2 2 32(1,2,,16) 32512 (17,) n n n n T n n n n * ?-=?=?-+≥∈??N 且 例2 求1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n . 解 设2 )1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和. 第二讲数列求和及综合应用 高考考点 考点解读 求数列的通项公式1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式；已知等差(比)的某些项或前几项的和，求其通项公式 2．考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等 求数列的前n项和1.以等差(比)数列为命题背景，考查等差(比)的前n项和公式、分组求和 2．以递推数列、等差(比)数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法 与数列的和有关的综合应用1.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 2．常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法． (2)掌握等差(比)数列求和公式及方法． (3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． (4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略． 预测2020年命题热点为： (1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式． (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和． (3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立． Z 知识整合 hi shi zheng he 1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． 2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n＝f(n＋1)－f(n)的形式，然 后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{c a n a n＋1 }(其中{a n}是公差d≠0且各项均不为0 高考数学专题-数列求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? ????a n 2n ＋1的前n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2 2n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2 2n －1 . (2)记?????? ??? ?a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1 2n ＋1 ， 则S n ＝? ? ???1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 2.(·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列???? ? ?b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知???a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2 ， 求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是 第2讲 数列的求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列?????? ??? ?a n 2n ＋1的前 n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2 2n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2 2n －1 . (2)记?????? ??? ?a n 2n ＋1的前 n 项和为S n ， 由(1)知 a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1 2n ＋1 ， 则S n ＝? ? ???1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝1－ 12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列???? ? ? b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，数列求和、数列的综合应用
常见的数列求和及应用
考点25 数列求和及综合应用
数列求和7种方法(方法全例子多)
专题04 数列求和及综合应用(原卷版)
数列求和7种方法(方法全-例子多)
2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案
等差数列求和教案
数列求和公开课教案(1)
考点25 数列求和及综合应用
简单数列求和习题
41总复习：数列求和及其综合应用(基础)知识梳理
数列求和的七种基本方法
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第二讲 数列求和及综合应用
高考数学专题-数列求和及综合应用
数列求和的8种常用方法(最全)
第2讲 数列的求和及综合应用
2019年奥数小学三年级精讲与测试第3讲简单数列求和