一、考点突破
绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每年高考必考的。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B级，而对其能量特征的要求为A级。本讲将重点针对弹簧模型进行研究。
二、重难点提示
1. 掌握三种模型的特点和区别。
2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。
3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。
在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。
1. 轻绳（或细绳）
中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征：
①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等；
②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子；
③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。
2. 轻杆
轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征：
①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等；
②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向；
③轻杆不能伸长或压缩。
3. 轻弹簧
中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征：
①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等；
②轻弹簧既能承受拉力也能承受压力，其受力方向与弹簧的形变方向相反；
③轻弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时弹簧的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变入手分析，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。
④因轻弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，则在瞬间内的形变量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不发生突变。
能力提升类 例1 如图所示，斜面与水平面间的夹角θ=30 ，物体A 和B 的质量分别为
m kg A =10、m kg B =5。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：
（1）如A 和B 对斜面的动摩擦因数分别为μA =06.，μB =02.时，两物体的加速度各为多少？绳的张力为多少？
（2）如果把A 和B 位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？
（3）如果斜面光滑，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？
一点通：解答该题的关键在于对物体进行受力分析，连接物体的绳子中是否存在拉力是分析的难点所在，所以首先必须对物体的运动过程进行分析，判断A 、B 两物体的运动快慢，当A 运动的速度大于B 时，则两物体有共同的速度，绳子绷紧且有张力，反之则绳子松弛，绳子中的张力为0。
解答：（1）设绳子的张力为F T ，物体A 和B 沿斜面下滑的加速度分别为a A 和a B ，根
据牛顿第二定律：
对于A 有m g F m g m a A T A A A A sin cos θμθ--= ①
对于B 有m g F m g m a B T B B B B sin cos θμθ+-= ②
设F T =0，即假设绳子中没有张力，联立①②式求解得g a a A B B A cos ()θμμ-=-，因μμA B >，故a a B A >
说明物体B 运动得比物体A 快，绳松弛，所以F T =0的假设成立。故有，a g m s A A =-=-(sin cos )./θμθ01962，因与实际不符，则A 静止。
a g m s B B =-=(sin cos )./θμθ3272
（2）如B 与A 互换位置，则g a a A B B A cos ()θμμ-=->0，即B 物体运动得比A 快，所以A 、B 之间有拉力且共速，用整体法可得m g m g m g m g m m a A B A A B B A B sin sin cos cos ()θθμθμθ+--=+代入数据求出a m s =0962./，用隔离法对B 进行分析，可得：m g m g F m a B B B T B sin cos θμθ--=，代入数据求出F N T =115.
（3）如斜面光滑不计摩擦，则A 和B 沿斜面的加速度均为a g m s ==sin /θ52
，故两物体间无作用力。
例2 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有一质量为m 的小球，下列关于杆对球的作用力F 的判断中，正确的是（ ）
A. 小车静止时，F mg =sin θ，方向沿杆向上
B. 小车静止时，F mg =cos θ，方向垂直杆向上
C. 小车向右以加速度a 运动时，一定有F ma =/sin θ
D. 小车向左以加速度a 运动时，F ma mg =
+()()22，方向 斜向左上方，与竖直
方向的夹角为α=arctan(/)a g
答案：D
一点通：对物体进行受力分析的过程中，确定杆的弹力的方向是难点，它可以是沿杆的方向，也可以不沿杆方向，所以首先计算出弹力沿着杆的方向时所对应的临界加速度，再来比较运动时间和临界加速度的关系。
解答：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向为竖直向上，且大小等于球的重力mg 。
小车向右以加速度a 运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为α，如下图所示，根据牛顿第二定律有：F ma sin α=，F mg cos α=，两式相除得：tan /α=a g 。
只有当球的加速度a g =tan θ且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有F ma =/sin θ。
小车向左以加速度a 运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg 和杆对球的作用力F 的合力大小为ma ，方向水平向左。根据力的合成知F ma mg =
+()()22，方向斜向左上
方，与竖直方向的夹角为：α=arctan(/)a g 。
例3 如图所示，a 中的A 、B 用轻绳相连系于天花板上；b 中的C 、D 用轻杆相连置于水平面上；c 中的E 、F 用轻弹簧相连置于水平面上；d 中的G 、H 用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在剪断a 中系于天花板的绳；在b 、c 中撤掉支持面；剪断d 中系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？
一点通：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。
只要抓住绳、杆、弹簧的特点就可以准确解题。
解答：在a 、b 两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，A 、B 、C 、D 均做自由落体运动，故有A B C D a a a a g ====。
在c 情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能可发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间），E 受到的合力仍为零，F 受到的合力为2mg ，故0E a =，2F a g =。
在d 情景中，解除外界约束的瞬间，G 受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为2mg ，而系于G 、H 之间的弹簧的弹力不可能发生突变，仍为原来的值，则H 受到的合力仍为零，故2G a g =，0H a =。
综合运用类
例1 用如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上运动时的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装了一个压力传感器a 和b 。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量m ＝2.0kg 的滑块，滑块可无摩擦滑动；两弹簧的另一端分别压在a 、b 上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。当弹簧作用在传感器上的力为压力时，示数为正；当弹簧作用在传感器上的力为拉力时，示数为负。现将装置沿汽车运动方向固定在汽车上。汽车静止时，a 、b 的示数均为10N （取g ＝10m/s 2）。
⑴若传感器b 的示数为14N ，a 的示数应该是多少？
⑵当汽车以什么样的加速度运动时，传感器b 的示数为零？
⑶若传感器b 的示数为－5N ，汽车的加速度大小和方向如何？
一点通：该题以压力传感器为栽体，考查涉及到弹簧弹力的牛顿运动定律的计算。 解答：⑴由题意知：
F a0＝F b0＝kx 0＝10N ，
F b ＝k （x 0＋Δx）＝14N
解之得：ΔF b ＝kΔx＝4N
代入得：F a ＝k （x 0－Δx ）＝10N －4N ＝6N
⑵传感器b 的示数为零时，ΔF b ′＝10N
则F a ′＝F a0＋ΔF b ′＝10N ＋10N ＝20N
对m 应用牛顿第二定律得F a ′＝m a
得a ＝0
.220=m F m/s 2＝10m/s 2 加速度的方向向左。
⑶若当F b ′＝ －5N 时，ΔF b ″＝15N
则F a ″＝F a0＋ΔF b ″＝10N ＋15N ＝25N
m 受到的合力大小为F′＝ F a ″＋'
b F ＝25N ＋5N ＝30N ，
此时m 的加速度为： 2
30'==
m F a m/s 2＝15m/s 2 方向向左。 例2 将金属块用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，如图所示，在箱的上顶板和下底板安有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以a ＝2.0m/s 2的加速度做竖直向上的匀减速运动时，上顶板的传感器显示的压力为6.0N ，下底板的传感器显示的压力为10.0N （g ＝10m/s 2）
⑴若上顶板的传感器的示数是下底板的传感器示数的一半，试判断箱的运动情况。
⑵要使上顶板传感器的示数为0，箱沿竖直方向的运动可能是怎样的？
一点通：该题和例1类似，也是涉及到压力传感器的问题，其解题要点仍然在于通过对研究对象的受力分析，应用牛顿运动定律求解其加速度，从而判断箱子的运动情况。
解答：（1）取向下为正方向，设金属块质量为m，由ma
mg
F
F=
+
-
下
上
将a＝2.0m/s2代入
解得m＝0.5kg
因上、下传感器都有压力，所以弹簧长度不变，弹簧弹力仍为10N，上顶板对金属块压力为.
5
2
10
N
F=
=
'
上
根据
1
'ma
mg
F
F=
+
-
'
下
上
解得a1＝0，即箱子处于静止或做匀速直线运动状态。
（2）要使上顶板无压力，弹簧只能等于或小于目前长度，则下底板压力只能等于或大于10N，即ma
mg
F=
-
下
，F下≥10N 解得a≥10m/s2。即箱以a≥10m/s2的加速度向上做匀加速运动或向下做匀减速运动，传感器示数为0。
思维拓展类
例1 （全国理综III·24）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，它们的质量分别为
B
A
m
m、，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时，物块A的位移d。
一点通：分析该题的难点在于物体运动过程分析，首先要注意，初始情况下物体静止，则弹簧处于压缩状态，随着B离开挡板则弹簧必定拉长，所以A物体的位移可以通过弹簧
B
N1
kx1
kx1
A
N2
F
m B g
m A g
对于B有：θ
?
=sin
g
m
kx
B
1
对于A有：a
m
kx
sin
g
m
F
A
1
A
=
-
θ
?
-，解得
A
B
A
sin
g)
m
m
(
F
a
θ
?
+
-
=
刚开始运动时，A的受力情况如图所示
处于静止。P 的质量为12kg ，弹簧的劲度系数k ＝800N/m 。现给P 施加一个竖直向上的力
F ，使P 从静止开始向上做匀加速运动。已知在前0.2s 内F 是变化的，在0.2s 以后F 是恒力，则F 的最小值是多少，最大值是多少？
一点通：该题求解时最容易犯的错误在于对题且所叙述的过程不理解。通过运动过程分
析找出题目的隐含条件，0.2s 是外力变化的转折点，0～0.2s 内F 是变力，物体做匀加速直线运动，0.2s 后F 是恒力，物体脱离秤盘，此时拉力为最大值。
解答：以物体P 为研究对象。物体P 静止时受重力G 、秤盘给的支持力N 。
因为物体静止，∑F＝0
则N ＝G ＝0 ①
N ＝kx 0②
设物体向上做匀加速直线运动的加速度为a 。
此时物体P 受力情况如图所示，其受重力G ，拉力F 和支持力N′作用
据牛顿第二定律有：F ＋N′－G ＝ma ③
当0.2s 后物体所受拉力F 为恒力，即为P 与盘脱离，即弹簧无形变，由0～0.2s 内物
体的位移为x 0。物体由静止开始运动，则
④
将式①，②中解得的x 0＝ 0.15m 代入式④解得a ＝7.5m/s 2
F 的最小值由式③可以看出，即为N′最大时，即初始时刻N′＝N ＝kx 。
代入③式得
F min ＝ ma ＋ mg －kx 0＝12×（7.5＋10）－800×0.15＝90（N ）
F 最大值即N ＝0时，F max ＝ma ＋mg ＝210（N ）
强调：本题若秆盘质量不可忽略，在分析中应注意物体P 与秆盘分离时，弹簧的形变不为0，物体P 的位移就不等于x 0，而应等于x 0－x （其中x 即秆盘对弹簧的压缩量）。
绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在中学物理习题中经常出现,尤其在曲线运动问题中更是频繁，与此有关的问题较多涉及临界和突变问题，因此易成为学生学习的障碍。究其原因，症结在于：不清楚这三种模型弹力产生的机理及特点；不清楚物理过程，尤其是由一种物理状态突变到另一种物理状态时，突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。对这三种模型的特点可以简单总结为： 一、力的方向有异
1. 轻绳提供的作用力只能沿绳并指向绳收缩的方向；
2. 轻弹簧提供的作用力只能沿弹簧的轴线方向，与弹簧发生形变的方向相反；
3. 轻杆提供的作用力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。
二、力的效果有异
1. 轻绳只能提供拉力；
2. 轻杆、轻弹簧既可以提供拉力，又可以提供推力。
三、力的突变性有异
轻绳、轻杆的作用力可以发生突变，轻弹簧的作用力有些情况下不能发生突变。
在这三种模型中，弹簧类问题是高考的难点，因为弹簧本身的特性复杂，在弹力相等的情况下还有伸长和压缩两种情况，与弹簧相连接的物体的受力情况和运动状态的综合性和隐蔽性比较强，再者弹簧压缩和伸长过程中涉及的过程复杂、规律多，因此在解题的时候一定要加以注意。
连接体类问题解题的一般思路和方法是什么？
我们称两个或两个以上物体组成的系统连接体，处理这一类问题的基本方法是——整体
法与隔离法（如能力提升类例1） 整体法：当系统中各物体有相同的加速度时，可以把系统内的物体当做一个整体，当系统受到的外力为F 时，可以用牛顿运动定律求解出整体的加速度。
隔离法：从研究方便出发，求解系统内物体间相互作用力的大小，常把某个物体从系统中隔离出来，单独分析其受力情况，再应用牛顿运动定律求解。连接体问题的求解过程经常采用整体法和隔离法交替使用，以快速解题。
（答题时间：60分钟） 1. （全国卷Ⅰ，15）如图所示，轻弹簧上端与一质量为m 的木块1相连，下端与另一质量为M 的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为1a 、2a 。重力加速度大小为g 。则有（ ）
A. 10a =，2a g =
B. 1a g =，2a g =
C. 10a =，2m M a g M +=
D. 1a g =，2m M a g M
+=
2. 如图（a ）所示，水平面上质量相等的两木块A 、B 用一轻弹簧相连接，整个系统处于平衡状态。现用一竖直向上的力F 拉动木块A ，使木块A 向上做匀加速直线运动，如图（b ）所示。研究从力F 刚作用在木块A 的瞬间到木块B 刚离开地面的瞬间这一过程，并且选定该过程中木块A 的起点位置为坐标原点，则图（c ）中可以表示为F 和木块A 的位移x 之间关系的是（ ）
c
*3. 如图所示，质量分别为m 1和m 2的木块A 和B 之间用轻弹簧相连，在拉力F 作用下，以加速度为g 竖直向上做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F ，此瞬间A 和B 的加速度为a A 和a B ，则（ ）
A. a A ＝a B ＝－g
B. a A ＝g ，a B ＝－2 m 1＋m 2 m 2
g C. a A ＝g, a B ＝－g
D. a A ＝－g ，a B ＝2 m 1＋m 2 m 2g *4. 如图所示，质量相同的木块A 、B 用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处于自然状态。现用水平恒力F 向右推A ，则从开始推A 到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 两木块速度相同时，加速度a A ＝ a B
B. 两木块速度相同时，加速度a A > a B
C. 两木块加速度相同时，速度v A > v B
D. 两木块加速度相同时，速度v A < v B
*5. （全国·8）惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计。加速度计构造原理的示意图如图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数均为k 的弹簧相连；两弹簧的另一端与固定壁相连。滑块原来静止，弹簧处于自然长度，滑块上有指针，可通过标尺测出滑块的位移，然后通过控制系统进行制导。设某段时间内导弹沿水平方向运动，指针向左偏离O 点的距离为s ，则这段时间内导弹的加速度（ ）
A. 方向向左，大小为m
ks B. 方向向右，大小为
m ks C. 方向向左，大小为m ks 2 D. 方向向右，大小为m ks 2
*6. 如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放一重物，用手将重物
向下压到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中（重物与弹簧脱离之前）重物的运动情况是 （ ）
A. 一直加速运动
B. 匀加速运动
C. 先加速运动后减速运动
D. 先减速运动后加速运动
如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是（）
A. 小球加速度方向始终向上
B. 小球加速度方向始终向下
C. 小球加速度方向先向下后向上
D.小球加速度方向先向上后向下
**8. 如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点。今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是（）
A. 物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小
B. 物体从A到B速度越来越小，从B到C加速度不变
C. 物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动
D. 物体在B点受到的合外力为零
9. （上海高考）如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。
（1）下面是某同学对该题的一种解法：
解：设L1线上拉力为T l，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡，则
T l cosθ＝mg，T l sinθ＝T2，T2＝mgtanθ，
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。
因为mgtanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向上。你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由。
（2）若将图中的细线L l改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与（1）完全相同，即a＝gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由。
*10. （黄冈中学二模）如图所示，在倾角α=30°的光滑斜面上，并排放着质量分别为m A＝10kg和m B＝2kg的A、B两物块。一劲度系数k＝400N/m的轻弹簧一端与物块B 相连，另一端与固定挡板相连。整个系统处于静止状态。现对A施加一沿斜面向上的力F 使物块A沿斜面向上做匀加速运动。已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，g＝10m/s2，求F的最大值和最小值。
**11. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg 和0.40 kg，弹簧的劲度系数k＝100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A 由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g＝10 m/s2）。
求：使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值。
1. C
2. A
3. D 解析：撤去F 之前，弹簧弹力为T －m 1g ＝m 1g ，T ＝2m 1g 。撤去F 瞬间，弹力不
变，故a A ＝g 对B ：T ＋m 2g ＝m 2a B ∴a B ＝m 1＋m 2m 2
g 。故D 正确。 4. C 解析：在F 作用下A 做加速度不断减小的加速运动，B 做加速度不断增大的加速运动，加速度相等时B A v v >，速度相等时有B A a a <
5. D 解析：滑块的运动与导弹的运动完全相同，所以只要研究出滑块的加速度就行了，当指针指在标尺O 点左侧s 处时，对滑块进行受力分析，由牛顿第二定律可知，选D
6. C 解析：物体运动状态的改变取决于所受合外力的作有。所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用。刚放手时，重物所受弹力大于重力，合力向上，物体向上做加速运动，但随着物体上移，重物所受弹簧形变量变小，重物所受弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离。
7. C
8. C 解析：物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，则物体由A 向B 运动的过程中，合力为0的位置必在B 点左侧某点，所以由A 向这一点运动的过程中物体做加速度减小的加速运动，由该点向右的运动过程中一直做加速度增大的减速运动，综合分析该题选择C 项
9. （1）解答：错。因为L 2被剪断的瞬间，L 1上的张力大小发生了变化。此瞬间有 T 2＝mgcosθ， a ＝gsinθ
（2）解答：正确，因为L 2被剪断的瞬间，弹簧L 1的长度未发生变化，T 1大小和方向都不变。
10. 解析：因为在前0.2s 内F 是变力，在t ＝0.2s 以后F 是恒力，所以在t ＝0.2s 时，A 与B 分离，此时A 与B 的作用力N 为零，由于B 的质量m B ＝2kg ，所以此时弹簧不能处于原长。设在0～0.2s 这段时间内A 与B 向上运动的距离为x ，对物体A ，由牛顿第二定律可得：a m g m N F A A =-+αsin ，
对于A 和B 整体应用牛顿第二定律可得：
.)(sin )(sin )(a m m g m m x k g m m k F B A B A B A +=+-??
????-++αα 令N ＝0，并由上述两式求得,sin k a m g m x B A
-=α而,2
12at x = 所以求得2/5s m a =
当A 、B 开始运动时拉力最小，此时对A 和B 整体有.60)(min N a m m F B A =+= 当A 与B 分离时拉力F 最大，N g a m F A 100)sin (max =+=α
11. 解:当F ＝0（即不加竖直向上的力F 时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ，有
kx ＝（m A ＋m B ）g
x ＝（m A ＋m B ）g /k ①
对A 施加F 力，分析A 、B 受力情况如图所示
对A：F＋N－m A g＝m A a ②
对B：kx′－N－m B g＝m B a′ ③
可知，当N≠0时，AB有共同加速度a＝a′，由②式知欲使A做匀加速运动，则随N 减小，F增大。当N＝0时，F取得了最大值F max
即F max＝m A（g＋a）＝4.41 N
轻绳、轻杆、轻弹簧三种模型的特点及其应用 在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，在这里将它们的特点归类，供同学们学习时参考。 一. 三种模型的特点 1. 轻绳（或细绳） 中学物理中的绳和线，是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等； ②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知：绳（或线）与其他物体的相互间作用力的方向总是沿着绳子； ③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳子（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。 2. 轻杆 具有以下几个特征： ①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等； ②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其力的方向不一定沿着杆的方向； ③轻杆不能伸长或压缩。 3. 轻弹簧 中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型。具有以下几个特征： ①轻：即弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，向一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等； ②弹簧既能承受拉力也能承受压力，其方向与弹簧的形变的方向相反； ③由于弹簧受力时，要发生形变需要一段时间，所以弹簧的弹力不能发生突变，但当弹簧被剪断时，它所受的弹力立即消失。
二. 三种模型的应用 例1. 如图1所示，质量相等的两个物体之间用一轻弹簧相连，再用一细线悬挂在天花板上静止，当剪断细线的瞬间两物体的加速度各为多大？ 解析：分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析瞬时前后的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度。此类问题应注意两种模型的建立。先分析剪断细线前两个物体的受力如图2，据平衡条件求出绳或弹簧上的弹力。可知，F mg 2=， F F mg mg 122=+='。剪断细线后再分析两个物体的受力示意图，如图2，绳中的弹力F 1立 即消失，而弹簧的弹力不变，找出合外力据牛顿第二定律求出瞬时加速度，则图2剪断后m 1的加速度大小为2g ，方向向下，而m 2的加速度为零。 例2. 如图3所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m 的小球，下列关于杆对小球的作用力F 的判断中，正确的是（ ） A. 小车静止时，F mg =cos θ，方向沿杆向上；
高考物理专题分析及复习建议： 轻绳、轻杆、弹簧模型专题复习 ， 吊着重为180N的物体，不计摩
例2：如图所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2l .现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为 （ ） A. mg B. 33mg C. 21mg D. 4 1 mg 变式训练1．段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图4-7所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定.若逐渐增加C 端所挂物体的质量，则最先断的绳（ ） A ．必定是OA B.必定是OB C ．必定是OC D.可能是OB ，也可能是OC 变式训练2．如图所示，物体的质量为2kg ．两根轻细绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，当AB 、AC 均伸直时，AB 、AC 的夹角60θ=，在物体上另施加一个方向也与水平线成60θ=的拉力F ，若要使绳都能伸直，求拉力F 的大小范围． 变式训练3.如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA 使连结点A 向上移动而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时 A ．绳OA 的拉力逐渐增大 B ．绳OA 的拉力逐渐减小 C ．绳OA 的拉力先增大后减小 D ．绳OA 的拉力先减小后增大 变式训练4.一轻绳跨过两个等高的定滑轮不计大小和摩擦，两端分别挂上质量为m 1 = 4Kg 和m 2 = 2Kg 的物体，如图所示。在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m ，为使三个物体不可能保持平衡，求m 的取值范围。
物理建模轻杆轻绳轻弹簧 模型 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
物理建模 1.轻杆、轻绳、轻弹簧模型 模型阐述 轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，与这三个模型相关的问题在高中物理中有相当重要的地位，且涉及的情景综合性较强，物理过程复杂，能很好地考查学生的综合分析能力，是高考的常考问题. 为结点) 图2－1－8 【典例2】 一轻弹簧两端分别连接物体a 、b ，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2－1－9所示，在水平面上时，力为F 1，弹簧长为L 1，在斜面上时，力为F 2，弹簧长为L 2，已知a 、b 两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( )． 图2－1－9 A.L 1＋L 2 2 B. F 1L 1－F 2L 2 F 2－F 1 C. F 2L 1－F 1L 2F 2－F 1 D.F 2L 1＋F 1L 2 F 2＋F 1 即学即练 (2013·石家庄质检，18)如图2－1－10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L ，两根相同的橡皮条自由长度均为L ，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k ，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L (弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )． 图2－1－10 A ．kL B ．2kL C. 32kL D.15 2 kL 附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书) 1．(2010·新课标全国卷，15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( )． A. F 2－F 1l 2－l 1 B.F 2＋F 1 l 2＋l 1
绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每年高考必考的。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B级，而对其能量特征的要求为A级。本讲将重点针对弹簧模型进行研究。 二、重难点提示 1. 掌握三种模型的特点和区别。 2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。 3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。 在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。 1. 轻绳（或细绳） 中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等； ②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子； ③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。 2. 轻杆 轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等； ②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向； ③轻杆不能伸长或压缩。 3. 轻弹簧 中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等； ②轻弹簧既能承受拉力也能承受压力，其受力方向与弹簧的形变方向相反； ③轻弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时弹簧的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变入手分析，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。
轻绳、轻杆、轻弹簧的三种模型比较 在力学中有很多的研究对象是通过“轻绳”“轻杆”“轻弹簧”连接的，在实际解题过程中，发现不少同学对这三种模型的特点、区别还不够清楚，容易混淆，造成解题错误。下面就这三种模型的特点和不同之处及应用进行归纳，希望对大家有所帮助。 一、三种模型的主要特点 1. 轻绳 （1）轻绳模型的建立 轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 （2）轻绳模型的特点 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。 2. 轻杆 （l）轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的特点 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反； ②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不会发生突变。 二、三种模型的主要区别 1. 静止或匀速直线运动时 例1. 如图1所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。 图1
高中物理中“轻绳”、“轻杆”和“轻弹簧” 的问题分析 中学阶段常涉及到“轻绳”、“轻杆”和“轻弹簧”模型，这三种模型都是由各种实际情况中的绳、杆和弹簧抽象出来的理想化物理模型。但它们的成因和特性并不完全相同，由此导致这类模型在实际应用中有很多同学混淆出错，下面对这三种模型的特点及区别应用作一些简单的讨论和分析。 一、三个模型的正确理解 1. 轻绳模型 轻绳也称细线，它的质量可忽略不计；轻绳是软的；同时它的劲度系数非常大，可认为在受外力作用时它的形变极微小，看作不可伸长；其弹力的主要特征是：①不能承受压力，不能产生侧向力，只能产生沿绳收缩方向的拉力。②内部张力大小处处相等，且与运动状态无关。③轻绳的弹力大小可发生突变。 2. 轻杆模型 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，它的劲度系数非常大，可认为在受外力作用时形变极微小，看作不可伸长或压缩；其弹力的主要特征是：①轻杆既可产生压力、也可产生拉力，且能产生侧向力（力的方向不一定沿着杆的方向）；②轻杆各处受力大小相等，且与运动状态无关；③轻杆的弹力可发生突变。
3. 轻弹簧模型 轻弹簧的质量可忽略不计，可以被压缩或拉伸。其弹力的主要特征是：①轻弹簧能产生沿弹簧轴线伸缩方向的压力或拉力；②轻弹簧各处受力大小相等，且与弹簧形变的方向相反；③轻弹簧产生的弹力是连续变化的，不能发生突变，只能渐变（除弹簧被剪断外）；④在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比，即F＝kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量。 二、三种模型的主要区别及应用 下面结合例题分析它们的区别及应用： 1. 轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向的拉力，而轻杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。 【例1】如图1所示，轻绳一端系着质量为m的小球，另一端系在固定于小车上一直杆AB的上端；试求当小车以a的加速度水平向左匀加速度直线运动，轻绳对小球作用力的大小和方向？ 解析：如图2所示，小球受两个力作用：重力mg和绳对小球弹力T。因为细绳只能被拉伸，则绳的弹力只能是沿绳方向的拉力，设绳与竖直方向的夹角为α。 则有 可见轻绳对小球的作用力大小随着加速度ａ的改变而改变，但它的方向一定是在绳子的方向上。
高中物理必考模型：轻绳、轻弹簧、轻杆联系与区别全解析 轻绳特点 轻绳模型的建立轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。轻绳模型的特点①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子；②轻绳不能伸长；③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失；④轻绳的弹力会发生突变。 轻杆特点 轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 轻弹簧特点 轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。轻弹簧的特点①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；②弹力的大小为F=kx，其中k 为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；③弹簧的弹力不会发生突变。特别提醒：橡皮筋与轻弹簧极为相似，只是橡皮筋不能被压缩 静止或匀速运动 例1、如图所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速直线运 动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。 解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。由平衡条件可知，绳子对小球的弹力为F=mg，方向是沿着绳子向上。若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。 例2、如图所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车处于静 止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大小和方向。 解析：以小球为研究对象，可知小球受到杆对它一个的弹力和重力作用，由平衡条件可
轻绳、轻杆和轻弹簧模型的应用 一、三个模型的相同点 1、“轻”—不计质量，不受重力。 2、在任何情况下，沿绳、杆和弹簧伸缩方向的张力、弹力处处相等。 二、三个模型的不同点 1、形变特点 轻绳—可以任意弯曲，但不能伸长，即伸长形变不计。 轻杆—不能任意弯曲，不能伸长和缩短，即伸缩形变不计。 轻弹簧—可以伸长，也可以缩短，且伸缩形变不能忽略不计。 2、施力和受力特点 轻绳—只能产生和承受沿绳方向的拉力。 轻杆—不仅能产生和承受沿杆方向的拉力和压力，还能产生和承受不沿杆方向的拉力和压力。 轻弹簧—可以产生和承受沿弹簧伸缩方向的拉力和压力。 3、力的变化特点 轻绳—张力的产生、变化、或消失不需要时间，具有突变性和瞬时性。 轻杆—拉力和压力的产生、变化或消失不需要时间，具有突变性和瞬时性。 轻弹簧—弹力的产生、变化或消失需要时间，即只能渐变，不具有瞬时性，且在形变保持瞬间，弹力保持不变。（注意：当弹簧的自由端无重物时，形变消失不需要时间） 4、连接体的运动特点 轻绳—轻绳平动时，两端的连接体沿绳方向的速度（或速度分量）总是相等，且等于省上各点的平动速度；轻绳转动并拉直时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。 轻杆—轻杆平动时，连接体具有相同的平动的速度；轻杆转动时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。 轻弹簧—在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速率不一定相等；在弹簧形变最大，即弹性势能最大时，两端连接体的速率相等；在弹簧转动时，连接体的转动半径随弹力变化，速度方向不一定垂直于弹力。 5、作功和能量转化特点 轻绳—在连接体作匀速率和变速率圆周运动的过程中，绳的拉力都不作功；在绳突然拉直的瞬间，有机械能转化为绳的内能，即机械能不守恒。 轻杆—在连接体作匀速率和变速率圆周运动的过程中，轻杆的法向力对物体不作功，而切向力既可以对物体作正功，也可以对物体作负功，但系统机械能守恒。 轻弹簧—弹力对物体作功，系统机械能守恒；弹力作正功，弹性势能减少，物体动能 增加；弹力作负功，弹性势能增加，物体动能减少。 1
物理建模 1.轻杆、轻绳、轻弹簧模型 模型阐述 轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，与这三个模型相关的问题在高中物理中有相当重要的地位，且涉及的情景综合性较强，物理过程复杂，能很好地考查学生的综合分析能力，是高考的常考问题. 三种模型轻杆轻绳轻弹簧 模型图示 模型特点 形变特点只能发生微小形变 柔软，只能发生微小形变，各处 张力大小相等 既可伸长，也可压缩，各处弹力 大小相等方向特点 不一定沿杆，可以是任意 方向 只能沿绳，指向绳收缩的方向 一定沿弹簧轴线，与形变方向相 反 作用效果特点可提供拉力、推力只能提供拉力可以提供拉力、推力 大小突变特点可以发生突变可以发生突变一般不能发生突变类型特征受力特征 自由杆可以自由转动杆受力一定沿杆方向 固定杆不能自由转动不一定沿杆方向，由物体所处状态决定 为结点) 图2－1－8 【典例2】一轻弹簧两端分别连接物体a、b，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2－1 －9所示，在水平面上时，力为F1，弹簧长为L1，在斜面上时，力为F2，弹簧长为L2，已知a、b两物体 与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为()．
图2－1－9 A.L1＋L2 2 B. F1L1－F2L2 F2－F1 C.F2L1－F1L2 F2－F1 D. F2L1＋F1L2 F2＋F1 即学即练(2013·石家庄质检，18)如图2－1－10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为()． 图2－1－10 A．kL B．2kL C. 3 2kL D. 15 2kL 附：对应高考题组(PPT课件文本，见教师用书) 1．(2010·新课标全国卷，15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为()． A.F2－F1 l2－l1 B. F2＋F1 l2＋l1 C.F2＋F1 l2－l1 D. F2－F1 l2＋l1 2．(2011·山东卷，19)如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁．开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力F f a≠0，b所受摩擦力F f b＝0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间()． A．F f a大小不变B．F f a方向改变 C．F f b仍然为零D．F f b方向向右 3．(2012·山东基本能力，85)力是物体间的相互作用，下列有关力的图示及表述正确的是()．
物理建模轻杆轻绳轻弹 簧模型 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
物理建模 1.轻杆、轻绳、轻弹簧模型 模型阐述 轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，与这三个模型相关的问题在高中物理中有相当重要的地位，且涉及的情景综合性较强，物理过程复杂，能很好地考查学生的综合分析能力，是高考的常考问题. O点受杆的作用力的方向．(O为结点) 图2－1－8
【典例2】一轻弹簧两端分别连接物体a、b，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2－1－9所示，在水平面上时，力为F1，弹簧长为L1，在斜面上时，力为F2，弹簧长为L2，已知a、b两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( )． 图2－1－9 A.L1＋L2 2 B. F1L1－F2L2 F2－F1 C.F2L1－F1L2 F2－F1 D. F2L1＋F1L2 F2＋F1 即学即练(2013·石家庄质检，18)如图2－1－10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )． 图2－1－10 A．kL B．2kL C. 3 2 kL D.15 2 kL 附：对应高考题组(PPT课件文本，见教师用书) 1．(2010·新课标全国卷，15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1 的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( )． A.F2－F1 l2－l1 B. F2＋F1 l2＋l1 C.F2＋F1 l2－l1 D. F2－F1 l2＋l1
物理建模 1.轻杆、轻绳、轻弹簧模型 模型阐述 轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，与这三个模型相关的问题在高中物理中有相当重要的地位，且涉及的情景综合性较强，物理过程复杂，能很好地考查学生的综合分析能力，是高考的常考问题. 为结点) 图2－1－8 【典例2】 一轻弹簧两端分别连接物体a 、b ，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2－1－9所示，在水平面上时，力为F 1，弹簧长为L 1，在斜面上时，力为F 2，弹簧长为L 2，已知a 、b 两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( )． 图2－1－9 A.L 1＋L 2 2 B. F 1L 1－F 2L 2 F 2－F 1 C. F 2L 1－F 1L 2F 2－F 1 D.F 2L 1＋F 1L 2 F 2＋F 1 即学即练 (2013·石家庄质检，18)如图2－1－10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L ，两根相同的橡皮条自由长度均为L ，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k ，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L (弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )． 图2－1－10 A ．kL B ．2kL C. 32kL D.15 2 kL 附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书) 1．(2010·新课标全国卷，15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( )． A. F 2－F 1l 2－l 1 B.F 2＋F 1 l 2＋l 1
高考物理专题分析及复习建议： 轻绳、轻杆、弹簧模型专题复习 一．轻绳模型 1.轻绳模型的特点： “绳”在物理学上是个绝对柔软的物体，它只产生拉力（张力），绳的拉力沿着绳的方向并指向绳的收缩方向。它不能产生支持作用。它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 2.轻绳模型的规律： ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。 3.绳子的合力一定的情况下，影响绳上拉力大小的因素是绳子的方向而不是绳子的长度。 4.力对绳子做的功，全部转化为绳对物体的做的功。 5.绳连动问题： ①当物体的运动方向沿绳子方向（与绳子平行）时，物体的速度与绳子的速度相同。 ②当物体的运动方向不沿绳子方向（与绳子不平行）时，物体的速度与绳子的速度不相同，一般以物体的速度作为实际速度，绳的速度是物体速度的分速度，当绳与物体的速度夹角为θ 时，= cos v v θ绳物 例1：如图所示，将一根不能伸长、柔软的轻绳两端分别系于A 、B 两点上，一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为1θ，绳子张力为F 1；将绳子B 端移至C 点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为2θ，绳子张力为F 2；将绳子B 端移至D 点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为3θ，绳子张力为F 3，不计摩擦，则（ ） A ．1θ=2θ=3θ B ．1θ=2θ<3θ C ．F 1 >F 2 >F 3 D ．F 1 =F 2 高中物理轻绳、轻杆、轻弹簧三种模型之比较在力学中有很多的研究对象是通过“轻绳”“轻杆”“轻弹簧”连接的，在实际解题过程中，发现不少同学对这三种模型的特点、区别还不够清楚，容易混淆，造成解题错误。下面就这三种模型的特点和不同之处及应用进行归纳，希望对大家有所帮助。 一. 三种模型的主要特点 1. 轻绳 （1）轻绳模型的建立 轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 （2）轻绳模型的特点 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。 2. 轻杆 （l）轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的特点 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反； ②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不会发生突变。 二. 三种模型的主要区别 1. 静止或匀速直线运动时 例1. 如图1所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。 图1 解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。由平衡条 ，方向是沿着绳子向上。 件可知，绳子对小球的弹力为F mg 若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。 例2. 如图2所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车处于 轻绳、轻杆和轻弹簧模型 一、模型解读 “轻绳”是指质量不计的柔软物体，只能产生沿绳方向伸长的弹性形变，阻碍与其相连接的物体沿绳伸长方向的运动，因形变量很小，故在研究具体问题时不考虑绳的伸长，绳上只存在沿绳方向处处相等的拉力，且拉力大小随外界条件变化而变化，这种变化的时间极短，即拉力可以发生突变。 “轻杆”是指质量不计的刚性体，它不仅可以产生拉伸形变，还可以产生压缩、弯曲和扭转形变，因此，轻杆上的力既可以是拉力也可以是压力，而且力的方向不一定沿杆的方向，并认为其内部弹力处处相等，由于轻杆受力时的形变量很小，故处理轻杆问题时不考虑其形变大小，其受力可以发生突变。 “轻质弹簧”是指质量不计、形变量明显的理想模型，可以产生拉伸和压缩形变，其弹力方向沿弹簧纵轴方向，弹力大小在弹性范围内遵循胡克定律，其内部弹力处处相等，由于弹簧形变需要经历一段时间且弹力大小随形变而渐变，因此，弹力不能突变。 二、典例剖析 类型1 静止或匀速直线运动 例1、如图1所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车处于静止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大小和方向。 图1 类型2 匀变速直线运动 例2、如图2所示，一质量为m的小球用轻绳悬挂在小车顶部，小车向左以加速度a做匀 加速直线运动时，求轻绳对小球的作用力的大小和方向。 图2 类型3 弹力的突变问题 例3. 如图3所示，小球在细线OB和水平细线AB的作用下而处于静止状态，则在剪断水平 细线的瞬间，小球的加速度多大？方向如何？ 图3 例4. 如图4所示，一轻质弹簧和一根细线共同提住一个质量为m的小球，平衡时细线是水 平的，弹簧与竖直方向的夹角是，若突然剪断细线，则在剪断的瞬间，弹簧拉力的大小是 __________，小球加速度与竖直方向夹角等于_________。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 图4 专题03 轻绳、轻杆、轻弹簧、接触面模型（2） 3.轻绳、轻杆、接触面形成的临界与极值问题 （i ）轻绳形成的临界与极值 由轻绳形成的临界状态通常有两种,一种是轻绳松弛与绷紧之间的临界状态,其力学特征是绳仍绷直但绳中张力为零;另一种是轻绳断裂之前的临界状态,其力学特征是绳中张力达到能够承受的最大值. （ii ）轻杆形成的临界与极值 与由轻绳形成的临界状态类似,一种杆对物体产生拉力与推力之间的临界状态,力学特征是该状态下杆对物体的作用力为零;另一种是轻杆能承受的最大拉力或最大压力所形成的临界状态. （iii ）接触面形成的临界与极值 由接触面形成的临界状态相对较多: ①接触面间分离形成的临界,力学特征是接触面间弹力为零 ②接触面间滑动形成的临界.力学特征是接触面间静摩擦力达到最大值 ③接触面间翻转、滚动形成的状态，力学特征是接触面间弹力的等效作用点与瞬时转轴重合．或说是接触面间弹力的作用线通过瞬时转轴． 例10.物体A 质量为kg m 2=，用两根轻绳B 、C 连接到竖直墙上，在物体A 上加一恒力F ，若图中力F 、轻绳AB 与水平线夹角均为?=60θ，要使两绳都能绷直，求恒力F 的大小。 【答案】N F N 1.236.11≤≤ 【解析】：要使两绳都能绷直，必须0021≥≥ F F ，，再利用正交分解法作数学讨论。作出A 的受力分析图，由正交分解法的平衡条件： 例10题图 例11.如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为1000N, 轻杆AC能承受的最大压力为2000N, 问：A点最多能悬挂多重的物体？ 【答案】1366N 【解析】：以结点A为研究对象，作出其受力图如图所示。 A点受三个力作用而平衡，且F N和T的合力大小为G。若T取临界值时，G的最大值为G T；若F N取临界值时，G的最大值为G N，那么A点能悬挂的重物的最大值是G T和G N中的较小值。 例11答图 例11题图 轻绳、轻杆、轻弹簧三种模型之比较 一. 三种模型的主要特点 1. 轻绳 （1）轻绳模型的建立 轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 （2）轻绳模型的特点 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。 2. 轻杆 （l）轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的特点 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反； ②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不会发生突变。 二. 三种模型的主要区别 1.静止或匀速直线运动时 例1.如图1所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。 图1 解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。由平衡条件可知，绳子对小球的弹力为F mg =，方向是沿着绳子向上。 若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。 例2.如图2所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车处于静止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大小和方向。 图2 解析：以小球为研究对象，可知小球受到杆对它一个的弹力和重力作用，由平衡条件可知小球受力如图3所示。则可知杆对小球的弹力为F mg =，方向与重力的方向相反即竖直向上。 图3 注意：在这里杆对小球的作用力方向不是沿着杆的方向。 2. 匀变速直线运动时 例3. 如图4所示，一质量为m的小球用轻绳悬挂在小车顶部，小车向左以加速度a做匀加速直线运动时，求轻绳对小球的作用力的大小和方向。 解析：以小球为研究对象进行受力分析，如图4所示。根据小球做匀加速直线运动可得在竖直方向F mg cosθ= 在水平方向F m a sinθ= 解之得F m g a a g =+= 22,tanθ 轻杆、轻绳、轻弹簧的力学特征 模型特点： 1. 轻绳 （1）轻绳模型的特点 “绳”在物理学上是个绝对柔软的物体，它只产生拉力（张力），绳的拉力沿着绳的方向并指向绳的收缩方向。它不能产生支持作用。 它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 （2）轻绳模型的规律 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。 2. 轻杆 （l）轻杆模型的特点 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的规律 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的特点 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的规律 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反； ②弹力的大小为F＝kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不会发生突变。 案例探究： 案例1如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细绳OA、OB上，OB一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，OA水平拉直，物体处于平衡状态，现在将OA剪断，求剪断瞬间物体的加速度，若将绳OB换为长度为L2的弹簧，结果又如何？ 分析与解答： 为研究方便，我们将两种情况对比分析。 （1）剪断前，两种情况小球受力一样，分别如图（1）、（2）所示，利用平衡条件， 高考物理轻绳、轻弹簧、轻杆模型 在力学中有很多的研究对象是通过“轻绳”“轻杆”“轻弹簧”连接的，在实际解题过程中，发现不少同学对这三种模型的特点、区别还不够清楚，容易混淆，造成解题错误。特别提醒：轻杆的弹力方向“三百六十度”无死角。 轻绳特点 轻绳模型的建立轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。轻绳模型的特点①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子；②轻绳不能伸长；③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失；④轻绳的弹力会发生突变。轻杆特点轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 轻弹簧特点 轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。轻弹簧 的特点①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；③弹簧的弹力不会发生突变。特别提醒：橡皮筋与轻弹簧极为相似，只是橡皮筋不能被压缩！ 静止或匀速运动 例1、如图所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速 直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。由平衡条件可知，绳子对小球的弹力为F=mg，方向是沿着绳子向上。若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。例2、如图所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车处于静止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大 小和方向。解析：以小球为研究对象，可知小球受到杆对它一个的弹力和重力作用，由平衡条件可知小球受力如图所示。则可知杆对小球的弹力为F=mg，方向与重力的方向相反即竖直向上。注意：在这里杆对小球的作用力方向不是沿着杆的方向。匀变速直线运动 六、轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的比较--易错点易、混淆点突破 轻绳轻杆弹性绳轻弹簧模型图示 质量大小0000 受外力作用时形变的种类拉伸形变 拉伸形变、压缩 形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩 形变 受外力作用时 形变量大小 微小，可忽略微小，可忽略较大，不可忽略较大，不可忽略 弹力方向沿着绳，指向 绳收缩的方向 不一定沿杆，固 定杆中可以是 任意方向 沿着绳，指向绳 收缩的方向 沿着弹簧，指向 弹簧恢复原长的 方向 作用效 果特点只能提供拉力 可以提供拉力、 支持力 只能提供拉力只能提供拉力 弹力大小突变 特点 可以突变可以突变不能突变不能突变 (1)轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想化模型． (2)分析轻杆上的弹力时必须结合物体的运动状态． (3)讨论轻弹簧上的弹力时应明确弹簧处于伸长还是压缩状态． 1．如图所示的四个图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链连接，且系统均处于静止状态．现用等长的轻绳来代替轻杆，能保持平衡的是() A．图中的AB杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丙 B．图中的AB杆可以用轻绳代替的有甲、丙、丁 C．图中的BC杆可以用轻绳代替的有乙、丙、丁 D．图中的BC杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丁 答案：B 解析：选B.如果杆受拉力作用，可以用与之等长的轻绳代替，如果杆受压力作用，则不可用等长的轻绳代替，题图甲、丙、丁中的AB杆均受拉力作用，而甲、乙、丁中的BC杆均受沿杆的压力作用，故A、C、D均错误，B正确． 2．小车上固定一根弹性直杆A，杆顶固定一个小球B(如图所示)，现让小车从光滑斜面上自由下滑，在下列如图所示的情况中杆发生了不同的形变，其中正确的是() 答案：C 解析：小车在光滑斜面上自由下滑，则加速度a＝g sin θ(θ为斜面的倾角)，由牛顿第二定律可知小球所受重力和杆的弹力的合力沿斜面向下，且小球的加速度等于g sin θ，则杆的弹力方向垂直于斜面向上，杆不会发生弯曲或倾斜，C正确． 3.如图所示，小车上固定着一根弯成θ角的曲杆，杆的另一端固定一个质量为m的小球．重力加速度为g，关于杆对球的作用力F，下列判断正确的是() 一、考点突破 绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每年高考必考的。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B级，而对其能量特征的要求为A级。本讲将重点针对弹簧模型进行研究。 二、重难点提示 1. 掌握三种模型的特点和区别。 2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。 3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。 在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。 1. 轻绳（或细绳） 中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等； ②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子； ③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。 2. 轻杆 轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等； ②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向； ③轻杆不能伸长或压缩。 3. 轻弹簧 中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等； 轻杆、轻绳、轻弹簧的力学特征 模型特点: 1. 轻绳 （1）轻绳模型的特点 “绳”在物理学上是个绝对柔软的物体，它只产生拉力（张力），绳的拉力沿着绳的方向并指向绳的收缩方向。它不能产生支持作用。 它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 （2）轻绳模型的规律 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。 2. 轻杆 （l）轻杆模型的特点 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的规律 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的特点 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的规律 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反； ②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不会发生突变。 案例探究: 【案例1】如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细绳OA 、OB 上，0B 一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，OA 水平拉直，物体处于平衡状态，现在将OA 剪断，求剪断瞬间物体的加速度，若将绳OB 换为长度为L 2的弹簧，结果又如何？ 分析与解答： 为研究方便，我们两种情况对比分析。 （1） 剪断前，两种情况小球受力一样，分别如图（1）、（2）所示，利用平衡条件，则 mg 与F 2的合力与F 1大小相等，方向相反，可以解得F 1=mgtg θ。 （2） （2）剪断后瞬间，绳OA 产生的拉力F 1消失， 对绳来说，其伸长量很微小，可以忽略不计，不需要形变恢复时间，因此，绳子中的张力也立即发生变化，这时F 2将发生瞬时变化，mg 与F 2的合力将不再沿水平方向，而是由于小球下一时刻做单摆运动沿圆弧的切线方向，与绳垂直，如图（3）所示，F 合=mgsin θ，所以a=gsin θ。 对弹簧来说，其伸长量大，形变恢复需要较长时间，认为弹簧的长度还没有发生变化。这时F 2不发生变化，故mg 与F 2的合力仍然保持不变，与F 1大小相等，方向相反，如图（4）所示，所以F 合= F 1=mgstg θ， a=gstg θ。 甲 乙 2 F 合 （3） F 1 （4）高中物理轻绳、轻杆、轻弹簧三种模型之比较专题辅导
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