知识点归纳总结1.等差数列
2.等比数列
⑵ 等比数列｛a n｝的任意连续m项的和构成的数列S m,S2m - S m’S sm - S zm…
【例题精讲】
【1】在等差数列｛a n｝中，已知a4 a8 =16，则该列前11项和S^二（）
A. 58
B.88
C.143
D.176 答案：B
【2】已知｛a n｝为等差数列，若a1 a s a^ ~，则cos（a2 ■ a8）的值为（）
1 A.
2 "J3
B. ?
2
1
C. _
2
、3
D.—
—
答案：B
【3】已知等差数列｛a n｝的前n
项和为S n，
S4 1 S8
且c ，则=( ）
3 S16
1 1 1 3
A.-
B.— c.— D.—
8 3 9 10 答案：C
【4】已知等差数列｛
a n
｝
的前n项和为S n，且S11 = 22 ,则3a1 a21等于（）
A. 2
B.4
C.8
D.16 答案：C
【5】已知等差数列｛
a n
｝
中，a2 = 2, a4 = 8，若a bn = 3n -1，则b2013等于（）答案：
基本性质
仍为等比数列?公比为q m.
⑶若数列｛log a a n｝成等差数列，则｛a n｝成等比数列.
（4）增减性：当
a i >10或'a
0 n ｝ 为递增数列; a i "或 0 < q ci a i q '0时，2n｝为递减数列； 1 q = 1时为常数列; q ::: 0时为摆动数列? D A. 2011 B.2012 C.2013 D. 2014 【6】已知｛a n｝为等差数列，a1 a3■ a5 = 105,a2 - a4 a^ 99，以S n表示｛a n｝的前n 项和，则使得S n达到最大值的门是（） A. 21 B. 20 C.19 D.18 答案：B 【7】已知｛ a n｝为等差数列，若岂：:：-1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n 0的n a 6 的最大值为 ___________ 答案：11 【8】设S n是公差为d（d=0）的无穷等差数列｛a n｝的前n项和，则下列命题错误的是（ ） A.若d :: 0，则数列｛S n｝有最大项 B.若数列｛S n｝有最大项，则d ：0 C.若数列｛S n｝是递增数列，则对任意n ? N*，均有S n 0 D.若对任意n?N*，均有S n?0,则有数列｛S n｝是递增数列 答案：C 【10】公比为q的等比数列｛a n｝的各项为正数，且a?a12 = 16,log q a? = 7，则公比q =_ 答案：2 【11】设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若a201^3S2012 - 2010,a2012 =3S2011 ? 2010，则公比q =（） A. 4 B.1 或4 C.2 D.1 或2 答案：A 1 【12】在等比数列｛a n｝中，已知a4,- a6,24成等比数列且a3吐=64，则｛a.｝的前8项和为_______________: 答案：255或85 【13】设等比数列匕的前n项和为S n，若'=3，则色二（） S3 S6 答案：B 【14】已知l a j 是首项为1的等比数列，S n 是｛%｝的前项和，且9S 3 = ￡，则数列」丄 ＞的 前5项和为（ ） 【15】公比不为1的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n,且- 3a 1,-a 2,a 3成等差数列，若1 , 则 S 4 二（ ） A. -20 答案：A 【16】各项都是正数的等比数列｛a n ｝，若a 2」a 3,a 1成等差数列，则■包的值是（ 2 a4 + a 5 答案：B _____ 1 1 【17 】已知正项等比数列 ｛a n ｝ 满足a 2013 = a 2012 ' 2a 2on ,且.a m ■ a n - 4a 1，则6（—'—）的 m n 最小值为 __________ . 答案：4 A. 2 7 B.- 3 c.8 D.3 31 A. 16 答案：A B.31 或 5 16 D. 15 § B.0 C. 7 D. 40 A. -.5 1 2 B .4 D. .5-1 2 递推数列：数列｛a n｝的任一项a n与它前一项a n-1 （或它的前几项）间关系用一个公式表示. k ■ 6 专题：数列通项公式及求和 常规数列的通项与求和 方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求） 1.等差数列： <1>通项公式： a n = a<|+(n - 1)d =am +(n -m)d, n,m^ N <2> 求和公式： S n 二 n(d +a n ) +n(n — 1). 二 =n a^i 十 d 2 2 2.等比数列： <1>通项公式： a n n 4 n _m .. =印 q =am q ,q 式0 8 (q=1) <2> 求和公 式： S n =* "q n )(q*1) 1 -^q 3. 一些常见的数列求和公式 k 2…32川『川 W 1 n k 3 =13 23 33 ?川 n 3 k 1 【例1】已知等差数列｛a n ｝满足a 4 心6 =10 ? (1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 设等比数列｛b n ｝各项均为正数，其前 n 项和T n ，若a^ b 2 【例2】已知 ｛ a n ｝是等比数列，a^2,且印卍3 1,a 4成等差数列 (1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 若b n = log 2 a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n . 非常规数列的通项公式 常用通项公式的求法有四种： 求法1累加法 适用于a n1二a n ? f(n)型. 特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幕数都相同 【例3】已知数列｛a n ｝满足a n .1二a n ? 2 3 n 1，a^ 3，求数列｛a n ｝的通项公式 n(n 1) 2 -2 3= 7,求 T n . 【例4】已知数列｛a n ｝满足a . =1月2 =2,a n2 = an an 1 ,n N (1 ) 令b n 二a n 1 -a n ，证明：｛b n ｝是等比数列; (2) 求｛a n ｝通项公式? 求法2:累乘法 适用于a n^a n f( n)型 特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商 【例6】已知数列？a n '满足a . = —， a n . = — a n ，求a n . 3 n +1 求法3:公式法 现象：题目中出现 a n 与S n 的关系式. 解决：利用a n =S n -S n j 求解. 【例7】已知数列 乩？满足：S n =1-a n (n ，N *)，其中S n 为数列的前n 项和.求a n . f (n)是可求数列 【同类演练】例15第一问求法4:构造法 类型1构造等比数列 凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比 现象1：a n pa n q,（ p,q为常数） 【例8】已知数列｛a n｝中，a i =1,a n =2a n」1（n亠2），求数列:a n f的通项公式? 【同类演练】例18第一问 现象2：a n pa n q n（ p,q为常数） 【例9】已知数列｛a.｝中，耳i =：a n ? Q）n 1，求a.. 6 3 2 【同类演练】例17第一问 现象3：a n pa n f （n）, p为常数 2 【例10】已知数列｛a n｝满足a n 2a n 3 n ? 4n ? 5, a^1,求数列｛a.｝的通项公式 现象4：a n ^pa n 1 qa n,（ p,q为常数） 【例11】已知数列：a n匚满足6 =1月2 .2 =3a n 1 -2a n（n ? N ）.求a n. 类型2:构造等差数列 题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差 解决办法：取倒数 a * 【例12】已知在数列｛a n ｝中印=1,a n1 巴 (n N ). 2an+1 (1) 求数列｛a n ｝的通项公式； 2 1 (2) 若 1R =(1 bi)(1 b 3)(1 b 5)|l|(1 b 2nj )，求证：P n 、2n 1. b n a n 三.非常规数列的求和 常用的求和方法一般有四种: 方法1 :裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和 1 1 1 常见的拆项公式有：(1) n(n + 1) n n+1 1 1 ( 1 (2n -1)(2n 1) " 2(2n -1 (4) (5) n n!二(n 1)!「n! (2) 1 n(n k) (6) lo g a n 1 a n = log a . 1 - log a . (3) 1 2n 1 【例13】(2011新课标)等比数列的各项均为正数，且2a-\ 3a2 = 1,a32 = 9a2a6. (1)求数列的通项公式； 门〕、 (2) ............................................. 设 b n = log 3 a1 log 3 a2 - log3a n,求数列的前 n 项和 l b n j 【例14】等差数列｛a n｝中a2 =11，2a3二a2 *6-4，其前n项和为S n. (1)求数列｛a n｝的通项公式； 1 3 * (2)设数列｛b n｝满足b n ，其前n项和为T n，求证：T n (n，N ). S n 卅—1 4 【例15】已知数列｛a n｝的前n 项和S n,a1=1,S n= na“ -n(n -1)(n- N ). (1)求数列｛a n｝的通项公式； 5 2 (2)设b n ，求数列｛b n｝的前前n项和为T n . a n a n4t 方法2:错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和即"a .等差,:b n 匚等比,求a1bi ■ a2b^ d I L a n b n 的和S. 解题步骤：(1)S n a?b2 V a n b n，将式子两边同时乘以｛b n｝的公比q ,得到 qS n. (2)用qS n (3)利用等比数列求和公式求解 b1 = 1,b n 1 = 2b n 1. (1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式； (2)设c^^(an~3)(bn 1)，求数列｛C n｝的前n 项和T n. 【例16】(2011辽宁理)已知等差数列｛a n｝满足a2 =0,a6- -10. (1) 求数列｛a n｝的通项公式; (2) 1 n * 【例17】已知数列｛a n｝满足a1 =2,a n 昂勺-2n(N ) (1)求证：数列｛*｝是等差数列； (2)求数列｛a n｝的前n项和S n. 18】已知数列｛a n｝的前 2 * n 项和S n二n 4n(n N )，数列｛b n｝满足的前n项和. 4 方法3:分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并, 形如：｛a n b n ｝, 其中｛a n｝为等差数列,｛b n｝为等比数列 【例19】已知数列等差数列｛a n｝满足：a^9,a2 a^14. (1)求数列｛a n｝的通项公式； (2)若b^ -a n 2an，求数列｛b n｝的前n项和S n. 方法4：倒序相加法 如果一个数列｛a n｝，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和. 【例20】已知lg xy = a，S n = lg x n lg x n°y lg x n° y2亠亠lg y n( x 0、求S n 已知递增等比数列｛a n｝，公比为q，满足a2 a3 a4 = 28，且a3 ' 2是a2,a4的等差中 项? (1)求数列｛a n｝的通项公式； (2)若b n= a n log1a n,S n= d b2b^ b n，求使S n■ n 2n 1- 50 成立的正整 2 数n的最小值. 已知数列｛a n｝为等差数列，a n为正整数，其前n项和为&，数列｛0｝为等比数列，且a^ 3 , d =1，数列｛b a n｝是公比为 64的等比数列，b2S2二64 (1)求a n , b n ； (2)求证：1 1 1 3 + + + < 3 S^ S n 4 1 n +1 在数列｛a n｝中，a =1,a n 1=(1 ? -)a n — n 2 a (1)设b n-，求数列｛b n｝的通项公式； n (2)求数列｛a n｝的前n项和S n 已知数列｛a n｝的前n项和S n =2a n -3 2n 4, n =1,2,3,…. (1)求数列｛a n｝的通项公式; ⑵设T n为数列｛S n -4｝的前n 项和，求T n 等差数列 1.定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字 母d 表示。 用递推公式表示为a .—a .」二d （ d 为常数）（n_2）； 2 ?等差数列通项公式 (1) a n (n -1)d =dn y -d(n N )(首项:a !，公差:d ，末项: 3. 等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2a n = an-1 ■ an 1 (n — 2) = 2a . 1 二 a . a . .2 d 2 1 n (a 1 d )n 2 2 2 =An Bn 等差数列的证明方法 二d 或am-a n=d （常数「N ）= & 是等差数列. 「a, 是等差数列 = 2a . - a n-1 ' a . 1 （n 一 2） = 2a n 1 = a . ' a . 2 ? （3） 数列"a n *是等差数列二a n 二kn ? b （其中k,b 是常数）。 （4） 数列乩1是等差数列二&二A n 2 ? Bn ,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ， (2) a n "m (n —m)d . 从而d =勺屯; n —m a n ) （2 ） 等差 中 项 数列；、和是等差 等差数列的前n 项和公式: n(a 1 +a n ) Sn 厂 （其中A 、B 是常数） （当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为 0) （1）定义法：若a n -a n j 等差数列 1. 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： （1）* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ） （2）d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的证明方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ， 第一讲 数列定义及其性质 一、基本概念： 1、通项公式：n a ； 2、前n 项和：n S 3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质： 1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -= 2、最值： 77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ???????---????> 1、已知数列{}n a 通项公式是231 n n a n =+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列{}n a 满足10a >，112 n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则 实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10,21 n n n a T n +=+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =L ，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ） 5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ） 等差数列知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d) （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈* N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时， () 121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+= =奇 () 22246212 n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 等差数列复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833 d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2 n n n S na d -=+。 如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2*2*12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 等差数列 一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n 项和求法。 1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知5a 1=，13n n n a S +=+，* n ∈N ．设3n n n b S =-， 求数列{}n b 的通项公式； 解：依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． 因此，所求通项公式为n n n n 23-S b ==。 2．设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． 3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则 1392410a a a a a a ++++=13 16 ． 【考点梳理】 1.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 2.补充的一条性质 1）项数为奇数21n -的等差数列有：1s n s n =-奇偶n s s a a -==奇偶中，21(21)n n s n a -=- 2）项数为偶数2n 的等差数列有：1 n n s a s a +=奇偶，s s nd -=偶奇 21()n n n s n a a +=+ 3.等差数列的判定：{a n }为等差数列????? ? ?+=+=+==-?+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a n n n n n n n 22 112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=?=-?-++为常数）｝｛ Bn An s b kn a n n +=?+=?2； 4.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ； 四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d . 5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d= 1 1--n a a n ，d=m n a a m n --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的 斜率.2）点)S (n,n 在没有常数项的二次函数2n S pn qn =+上。其中，公差不为0. 6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?1 00n n a a +≥?? ≤?； （ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?10 n n a a +≤?? ≥?； 数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116 a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d) （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈* N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时， ()121135212 n n n n a a S a a a a na --+=+++???+==奇 第一讲数列定义及其性质 、基本概念: 1通项公式：a n ； 2、前n 项和：S n 3、关系：a n =S n -S n 」(n _ 2) 二、性质： 1单调性：增数列： a n - a nj ；减数列：a n ::： a nj ；常数列：a n =a n 」 2、最值: 最大值：减数列 最小值：增数列 最大值： ------------- +++川(0) 若色最大，贝y a 7 >0^8 c0 若S ^ 1已知数列｛a n｝通项公式是a n ——，那么这个数列是（） 3n +1 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 a 1 2、已知数列｛a n｝满足a i 0 , 亠，那么这个数列是（） a n 2 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2 * 3、已知数列｛a n｝通项公式是a n = n ? kn ? 2，若对任意n ? N，都有a n .1 - a n成立，则实数k的取值范围是（） 4、已知数列｛a n｝通项公式是a*二~~ ,T n是数列｛a*｝的前n项积，即T n=a i a2a3ill a n， 2n +1 当T n取到最大值是，n的值为（） 5、设数列｛a n｝的前n项和S n二n2，则a$的值是（） 数列——等差数列 【考纲解读】 理解等差数列的概念。 掌握等差数列的通项公式n a 及前n 项和公式。 能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n 项和与二次函数的关系。 【知识储备】 — 知识点1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 知识点2、等差数列的通项公式 如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则有d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112， 叠加得到等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数。 例1：已知{}n a 是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。 @ 3a 5a d -5 ； 9 2 -6.5 ) 1a n a 知识点3、等差中项 ^ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 例2：已知{}n a 是等差数列。 （1）有3122a a a +=，那么7352a a a +=是否成立？ 9152a a a +=呢？为什么？ （2）)1(211n >+=+-n a a a n n 是否成立？ （3） （4） )0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 是否成立？据此你能得出什么结论？ ） 知识点4、等差数列的前n 项和 2 )(1n n a a n S += 将d n a a n )1(1-+=带入可得 d n n na S n 2) 1(1-+ = 该公式整理后是关于n 的二次函数。 例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S 。 【 （1）；，，8n 18481=-=-=a a （2）7.0185.141=-==d a a n ，，。 知识点5、等差数列的判定方法 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数 知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为() * 2n n ∈N ，则 ()21n n n S n a a +=+，且 S S nd -=偶奇， 1 n n S a S a +=奇偶．②若项数为( )* 21n n -∈N ，则()21 21n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 等差数列 【知识点】 1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，其中d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】∴ d=n m a a n m -- 3．等差中项 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2. 4．等差数列的前n 项和公式 1： 2)(1n n a a n S += 2：2)1(1d n n na S n -+ = 公式二又可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+= ，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 5. 性质： 等差数列{an}中，公差为d ， 若d ＞0，则{an}是递增数列； 若d=0，则{an}是常数列； 若d ＜0，则{an}是递减数列． {}（）是等差数列，若1a m n p q n +=+ ?+=+a a a a m n p q ?+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211… {}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也 32d a a a a m N n k k m k m ++∈() 成等差数列，且公差为md 。 {}（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列， 4d a n 即，，，…也成等差数列，其公差为。S S S S S m d m m m m m 2322-- （5）等差数列的前n 项和的性质： ①若项数为()* 2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇， 1 n n S a S a +=奇偶． ②若项数为()* 21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S n S n = -奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 6. 充要条件的证明： {}a a a d a a a a dn c n S an bn a b n d d d n n n n n n n n 为等差数列（关于的一次函数）（、为常数，是关于的常数项 为的二次函数）递增数列常数列递减数列?-==+=+=+>?=? 专题二 等差数列巩固 ——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘 一、明确复习目标 1．理解等差数列的概念和性质； 2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能用公式解决简单问题 二．建构知识网络 1．定义：)()(1? +∈=-N n d a a n n 常数 2．通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= d = 11--n a a n ，d =m n a a m n --是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2) 1(2)(11-+=+=21()22 d d n a n =+- 变式： 21n a a +=n S n 4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则 (1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q (2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列. (3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列. (4)当n=2k-1为奇数时，S n =na k ；S 奇=ka k ，S 偶=(k-1)a k (a k =a 中) 6．等差数列的判定方法(n ∈N*) (1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数:d a a d a +-,,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- 8.会从函数角度理解和处理数列问题. 三、双基题目练练手 1.（2006全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 3613s s =，则612 s s = ( ) （A ） 310 （B ）13 （C ）18 （D ）1 9 2. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数 知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或 b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示： 4444444444484444444444476443 4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则 ()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇， 1 n n S a S a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．等差数列知识点总结最新版
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0,a 8=0, a ? ￡0, 最小值:与上面相反 3、前n 项积T n 有最大值: 三、几种常见数列： -1,7,-13,19 HI 2、 7,77,777, HI 1 3 5hJ 3、 2 4 8 4、11，?，4 川 2么2旦 —? ? 3 3 15 35 63 ★随堂训练: 2 n 5、 n等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)
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