矩阵运算性质及其应用

第一讲 矩阵运算性质及其应用

矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.

一 矩阵的概念及其运算方法

首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.

定义1 由m n ?个数字ij a （1,2,,i m =L ，1,2,,j n =L ）排成的m 行n 列的数表，称为一个

m 行n 列矩阵，简称为m n ?型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并

用大写字母表示，即

1112121

22

212

n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

L L M M O M L

位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ?型矩阵A 也记作m n A ?或m n

A ?.m n =时，n n ?型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .

两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B 相等，记作A B =.

有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E （也记作I ），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.

对角矩阵()1

2

12diag ,,,=n n λλλλλλ??

?

?Λ= ? ??

?

L O （与行列式中一样，不写出的元素就是0）.

下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.

定义2 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=，

①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B 相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -. 运算方法规定为

11111212112121

2222

221122+++?? ?+++ ?+= ?

?

+++??L L M M

O

M L n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b

a b a b A B a b a b a b

11111212112121

2222

2211

22---?? ?--- ?-= ?

?

---??

L L M M

O

M L

n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b

a b a b A B a b a b a b

根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.

例如

23342334575710517067++????????+== ? ? ? ?++????????

1

233132(3)2543244234212112211213-----???????? ? ? ? ?-=--=- ? ? ? ?

? ? ? ?-----????????

定义3 数k 与矩阵()ij m n A a ?=相乘的积记作()=kA Ak .

运算方法规定为

()

?=ij m n

kA ka

例如

23452535410152053105(3)5150155

0-?-?-?---??????-== ? ? ?--?--?-?-??????

定义4 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=，

①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B 相乘的积记作AB . 运算方法规定为

AB 的(,)i j 元1122=+++L i j i j in nj a b a b a b

即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.

例如312322314772??

-?? ?- ? ??? ?-??

233(2)(2)72133(2)(2)134(2)77

11437(2)?+?-+-??+?+-?-??= ??+?-+??+?+?-??1415441-??

= ?-??

定义5 设矩阵A 为m n ?型，

①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k

A . 运算方法规定为

1,0

,1,2-=??==??≥?

k k E k A A k A A k ，

例如

32

232323313131??????= ? ? ?---??????

232323()313131??????

= ??? ?

---??????

1332331031????= ???-????

3536361??= ?-??

定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T

A

，即

111212122212

?? ? ?=

?

???L L M M O M L

n n m m mn a a a a a a A a a a 时，1121

11222212??

? ?'= ? ???

L L M M O M L

m m n n

mn a a a a a a A a a a

例如

345123??= ???A 时，314253??

?'= ? ???

A

定义7 设矩阵()ij m n A a ?=，

①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即

=ij

A a .

例如

341200111??

?= ? ?-??

A 时，21341412002(1)611111+==?-=--A

注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，

矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.

定义8 设矩阵()ij m n A a ?=，

①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*

A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为

1121112222*12?? ? ?=

?

???

L L M M O M L

n n n n

nn A A A A A A A A A A 即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.

例如

*

-????= ? ?-????a b d b c d c a *

123005111264200241-???? ? ?-=-- ? ? ? ?--????

22

2312131213323332332223*

11121321231113111321222331333133212331

32

3321221112111231

32

31

32

21

22??-

? ??? ? ? ?=--

? ? ???

? ?-

???

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ?=，

①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1

-A ，并称1

-A

为A 的逆矩阵

运算方法规定为

2=≥m n 时，1

*

1-=A A A

；

1==m n 时，即一阶方阵的逆1

1111

1

()-=a a .

当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。 例如

1

1(3)3-??= ???， 1

2

112421313431222--??-???? ?== ? ?

?---????

??

， 1

123005005111112642641010200241241--??????

- ? ? ?-=--=- ? ? ? ? ? ?---??????

有时，规定一阶矩阵的伴随*11()(1)=a ，这样，求逆公式就统一为1

*1-=A A A

.

定义10 矩阵A 的共轭记作A ，规定为()?=ij m n A a .

例如

__________________

3

34141-????= ? ?+--+????

i i i i i i

习题1

1.计算

（1）1235189190654368321-????

? ?

-+ ? ? ? ?

????；答案 13114744.689?? ?- ? ???

（2）()

???

?

? ??123321；答案 10. （3）()22123?? ?

? ???

；答案

242436?? ? ? ???.（4）01(1,2,3)2014?? ? ? ?-??

；答案 (1,13). 2. 设2412A -??=

?-??,1123,1133B C ????== ? ?-????,计算;AB AC .答案 1326AB AC ??== ???

.

3. 设 ???? ??--=1111A ,???? ??--=1111B ,计算 ;AB BA . 答案,0000???

? ??=AB 2222BA ??

= ?--??.

4. 已知

3435T s t u v A B C D C C ????+=，求,,,s t u v . 答案4,5,3s t v u ====.

5. 设

(0,8,6),T A ααα==，计算 101A .答案

1011000001000644804836A ??

?

= ? ???

.

6. 设33

123(,,),2A A ααα?==-，求3121

2,3,αααα-. 答案6.

7.求矩阵的伴随矩阵以及逆矩阵（1） 2543A -??= ?-??；（2）120213502A -??

?

=- ? ?

-??

. 答案（1）35*42A -??= ?-?? ，1

3514214A --??= ?-??；（2）246*19235103A --?? ?=-- ? ?-??，2461*1923365103A -??

?=- ? ?

--??

.

二矩阵运算的性质

这一部分讲两个问题：

其一，矩阵运算性质的发现方法——类比；

其二，矩阵运算性质的证明方法（定义方法及其简化形式，举反例方法，连续性方法，逆矩阵方法）

其一，矩阵运算性质的发现方法——类比

矩阵运算是与数值运算不同的一种新运算对象的运算.研究它们的性质，当然还是从类比数值运算的性质开始.

注意到，运算的名称是规定的,因此，进行类比时，数值运算的某一运算性质就可能会类比到矩阵的每一个运算上面去.

例如，类比交换性质，就是交换运算中两个运算对象的位置，就可类比出下列等式是否正确的问题：

A B B A

①+=+

A B B A

②-=-

kA Ak(定义中相等)

③=

AB BA

④=

⑤=k A

A k（A k不会算）

①②④这三个等式是否正确的判别就是下面要讲的证明方法。

其二，矩阵运算性质的证明方法

于是要做的事情就很多了.类比数值运算，矩阵有哪些运算性质呢？在这一讲中，我们不可能将所有性质都列举出来，并逐一证明一遍，这也不必要.我们将针对某些类比性质，用举例的形式给出主要用到的证明方法，希望大家学会以后，能举一反三.

①定义方法及其简化形式

例1证明矩阵乘法满足结合律：()()

=.

A BC A

B C

注意矩阵运算的等式是有前提条件的. 运算所要求的所有条件中，有些条件是必须作为前提条件的，有些条件是可由前提条件推出的. 而在等式中往往又写不出这些条件，那么怎么样区分哪些是前提条件呢？一般来说，等式两边的运算中，最基本运算的一边的条件是作为前提条件的，而另

一边（往往可能是复合运算时，更是如此）的条件是应该要推出来的.

证 等式两边都是复合运算，选取左边的运算条件为前提条件.

设B 为n s ?型，则C 必须是s 行，可设C 为s t ?型，从而BC 是n t ?型，则A 必须是n 列，可设A 为m n ?型，于是左边()A BC 为m t ?型.而这时右边()AB C 的运算条件显然就都满足了，且也是m t ?型,等式两边型相同了.

下面再来证明两边对应位置的元素相等.用()ij X 表示矩阵X 的(,)i j 元，这样，左边的(,)i j 元为

(())ij A BC 1122()()()()()()i j i j in nj A BC A BC A BC =+++L

11111221()[()()()()()()]i j j s sj A B C B C B C =+++L 22112222()[()()()()()()]i j j s sj A B C B C B C ++++L

L

1122()[()()()()()()]in n j n j ns sj A B C B C B C ++++L 11122111[()()()()()()]()i i in n j A B A B A B C =+++L 11222222[()()()()()()]()i i in n j A B A B A B C ++++L

L

1122[()()()()()()]()i s i s in ns sj A B A B A B C ++++L 1122()()()()()()i j i j is sj AB C AB C AB C =+++L (())ij AB C =

为右边的(,)i j 元，1,2,,i m =L ，1,2,,j t =L .

根据矩阵相等的定义，我们就证明了乘法结合律.

从这个例子，我们看到，要证明一个矩阵运算的等式，就要做两方面的工作. 一方面找出所需要的前提条件（尽可能少）并推证出其他的运算条件是满足的. 另一方面再证明矩阵运算的等式是成立的，即等式两边型相同，且所有对应位置的元素也相等，这可以叫做矩阵相等的定义方法

仿照例1的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A B B A +=+

②()()A B C A B C ++=++ ③()A B A B -=+- ④()()A A λμλμ= ⑤()A A A λμλμ+=+

⑥()A B A B λλλ+=+ ⑦()()()AB A B A B λλλ==

⑧()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ⑨k l k l A A A +=，()k l

k l

A A =

⑩()T T

A A =

?()T

T

T

A B A B +=+

?()T

T

A A λλ=

?()T

T

T

AB B A =

?________

A B A B +=+ ?_____

A A λλ= ?_____

AB AB =

其中，性质?是类比分配律考虑()=T

T

T

AB A B 成立与否时发现的.

例2 证明伴随矩阵满足**AA A A A E ==.

证 根据行列式展开定理：同行展开等于行列式本身，异行展开等于零.

1112

11121

121

22

212222*

12

12n n n n n n nn n n

nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A ???? ??

? ???= ???

??

?????L L L L M M O M M M O M L

L

A A

A ??

?

?= ? ? ??

?

O

A E = 同理*

A A A E =.

这个证明中，省略了前提条件：A 为方阵且阶2≥，并推出其他运算条件的过程.且矩阵相等不是像例1那样分两步，而是直接计算的.

仿照例2的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A O A +=

②OA O =，AO O =，注意这些零矩阵可能不同型 ③EA A =，AE A =，注意这些单位矩阵可能不同阶

④()()()12121122diag ,,,diag ,,,diag ,,,n n n n a a a b b b a b a b a b ±=±±±L L L ()()()12121122diag ,,,diag ,,,diag ,,,n n n n a a a b b b a b a b a b =L L L

()

()

()1212diag ,,,diag ,,,k

k k k n n a a a a a a =L L

⑤1111123

2222n n n n a b a b a b a b a b a b ??????

*** ??? ? ??? ?= ??? ? ??? ?

?????

?O O O 1

112

2

2k

k

k

k n n a a a a a a ??

??**

? ? ? ?= ? ? ? ? ??

??

?

O

O

对于方阵A 和多项式2012()m

m f x a a x a x a x =++++L ，记

2012()m m f A a E a A a A a A =++++L

并称()f A 为矩阵A 代入多项式()f x 所得的多项式，注意()f A 仍是与矩阵A 同阶的方阵.

⑥对于两个多项式()f x 和()g x 及方阵A ，交换律成立：

()()()()f A g A g A f A =

⑦如果()f x 为多项式，()12diag ,,,n λλλΛ=L ，则

()12()diag (),(),,()n f f f f λλλΛ=L

⑧如果()f x 为多项式，A 为上三角形矩阵，

112n a a A a ??

*

? ?= ? ?

?

?O 则

11

2()

()

()()n f a f a f A f a ??* ?

?= ? ??

?

O

对于下三角形矩阵，上述类似结论也成立.

⑨若1

A P BP -=，()f x 为多项式，则1

()()f A P f B P -=.

⑩11

AA A A E --==.

最后，我们还指出一个很有用的性质.

?对于1阶方阵()k ，总有()A k kA =，()k A kA =. ②举反例方法

例3 举反例说明矩阵乘法交换律不成立：AB BA ≠.

解 当A ，B 不是同阶方阵时，显然AB BA ≠.

对于同阶方阵A ，B ，最简单的为2阶（显然1阶方阵时，没有反例）.这时，左边的(,)i j 元为

1122()()()()()ij i j i j AB A B A B =+

而右边的(,)i j 元为

1122()()()()()ij i j i j BA B A B A =+.

显然，1i =，1j =，12()1A =，21()1B =，21()0A =时，1111()()AB BA ≠.于是，无论A ，B 的其他元素怎么取，都有AB BA ≠.故可选A ，B 的其他元素都为0，即

0100A ??= ???，0010B ??

= ???

，

这时

10000001AB BA ????=≠= ? ?????

.

仿照例3举反例的方法，可对下列矩阵运算性质举反例进行说明.

①矩阵乘法有零因子，即0AB =?0A =或0B =

②矩阵乘法消去律一般不成立，即AB AC =且0A ≠?B C =

另外，由于矩阵乘法交换律不成立，从而有关因式分解的代数公式一般就都不成立，即 ③2

2

2

()2A B A AB B ±≠±+ ④3

3

2

2

3

()33A B A A B AB B ±≠±+± ⑤0

()(1)

n

n n k

k k n k n k A B C A B --=±≠

±∑

⑥22

()()A B A B A B +-≠- ⑦2

2

3

3

()()A B A AB B A B ±+≠±m ⑧12321()()n n n n n n A B A A B A B B A B ----+-+-+≠+L ，n 为奇数 ⑨1

2321()()n n n n n n A B A

A B A B B A B -----++++≠-L

乘积乘方的公式也不成立，即

⑩()k

k

k

AB A B ≠

但是，要注意，仿照例2的证明方法，显然可以证明：对于乘法可以交换的两个具体矩阵A 和B ：AB BA =，上述公式③~⑩中的不等号“≠”就都要换成等号“=”.

③连续性方法

另外，由于乘法没有交换律，因此，若想用乘法定义除法，对于可逆矩阵B ，A 除以B 就应该分清是右除，还是左除，所以在矩阵运算中没有除法，因此，矩阵是永远不能出现在分母中的.

又由于矩阵取行列式后，就是上一章的行列式，是一个数了.前几例的方法就不能完全用来研究矩阵运算的行列式性质.

①T A A =（行列式转置，值不变） ②n n n kA k A =（n 个行都提出公因子k ） ③AB A B =

④k

k

A A =（由③归纳） ⑤2n ≥时，1

*

n n n

A A -=，*11()11a ==

⑥1

1

1A

A

A

--==

⑦____

A A =（行列式定义和数值共轭运算性质） ⑧A

B A B +≠+ （举2阶反例） ⑨A B A B -≠- （举2阶反例） 下面给出③、⑤、⑥的证明. 先证明③.首先

1112121222121112

121222121

1

1

=

==----L L M M L M L L

L M M L

M O

L

n n n n nn

n n n n nn

a a a a a a a a a A O D A B

b b b E

B b b b b b b

另一方面，我们对行列式D 进行下列倍加列：第i 列的i j b 倍加到第n j +列上去（1,2,,i n =L ，

1,2,,j n =L ），有

(1)

(1)n

n A AB E O D E AB AB E

O

A

AB

-=

=-=--=-

这就证明了AB A B =.注意这里A 、B 为同阶方阵是前提.

再证明⑥.利用例2后面列出的性质⑩，1AA E -=，再根据刚证明的性质③，就得到

111A A A A E --===,故1

11A A A

--=

=. 最后证明⑤.后一个等式是显然的.对前一个等式，我们采用一种连续性方法进行证明. 对2n ≥，当A 可逆时，

1

*11

n

n n n n A A A A A A

---===.

当A 不可逆时，记B A tE =+，显然B 是t 的n 次多项式，至多n 个不同根，其中一个根为0t =.因此在0t =的一个空心邻域，0B ≠，B 可逆.由前面已证明的结论知1

*

n B B

-=在0t =的一个空心邻

域总成立.

令0t →，则*

*

B A →，**B A →，B A →，1

n B A

-→，而等式两边仍是t 的多项式，由多项

式的连续性知，这时也有1

*

n n A A

-=.

④逆矩阵方法

对于矩阵的求逆运算，有如下特别重要的充要条件：

例4 对于方阵A ，1A B -=的充要条件是AB E =（或BA E =）.

证 若A 为1阶方阵，上述充要条件是显然的.若方阵A 的阶2≥，当A 可逆且1

A B -=时，由例2后

的性质⑩得1

AB AA E -==（或1

BA A A E -==）.

而当AB E =时，易知A 、B 为同阶方阵，由矩阵运算的行列式性质③知

1A B AB E ===

就得0A ≠，从而A 可逆，再利用例2后的性质⑩和③就得到 111B EB A AB A E A ---====

同样可证BA E =的情形.

利用这个充要条件，我们就得到一个证明逆矩阵问题的方法——逆矩阵方法：要证1

A B -=，只须证明A 为方阵且AB E =（或BA E =）.下面逆矩阵的性质就可以用这个方法证明.

①1

11()

kA k A ---= ②1

11()

AB B A ---=

③1

1()

()k k k A A A ---== ④1

1()()T T A A --= ⑤*1

1*()

()A A --= ⑥11

()A A --=

⑦______

1

1

()

()A A --=

同样，举反例可说明 ⑧1

11()A B A B ---+≠+ ⑨1

11()

A B A B ----≠-

另外，对于可逆矩阵的乘法消去律是成立的 ⑩AX AY =或XA YA =且A 可逆?X Y =

对于伴随矩阵，除前面已列举的性质外，还有一些性质，主要用前面的连续性方法进行证明，一并列出如下：

①*1*

()n n n kA k A -=（用伴随的定义和行列式性质即得）

②***

()AB B A =

③*

*()()k k

A A =（用②归纳）

④*

*()()T T

A A =（转置和伴随的定义即得） ⑤1*

*1

()()A A --=（前面已有）

⑥2**

2()2(1)1n A A n A A

n n -?>?==??=?

⑦______

*

*

()()A A =（用伴随的定义和行列式性质即得） ⑧**

AA A A A E ==（前面已有） 同样，举反例可证明 ⑨*

*

*

()A B A B +≠+ ⑩*

*

*

()A B A B -≠-

习题2

1. 仿照例1的证明方法，证明下列矩阵运算性质 （1）()A B C AB AC +=+ （2）()T

T

T

AB B A =

2. 仿照例2的证明方法，证明下列矩阵运算性质

（1）对于两个多项式()f x 和()g x 及方阵A ，交换律成立：

()()()()f A g A g A f A =

（2）如果()f x 为多项式，()12diag ,,,n λλλΛ=L ，则

()12()diag (),(),,()n f f f f λλλΛ=L

(3) 若1A P BP -=，()f x 为多项式，则1

()()f A P f B P -=. (4)11AA A A E --==.

(5)对于1阶方阵()k ，总有()A k kA =，()k A kA =.

3. 仿照例3举反例的方法，对下列矩阵运算性质举反例进行说明. (1)矩阵乘法有零因子，即=?AB O =A O 或=B O

(2)矩阵乘法消去律一般不成立，即AB AC =且≠A O ?B C = (3)2

2

2

()2A B A AB B ±≠±+ (4)A B A B +≠+ （5） 111()

A B A B ---+≠+

4. 用逆矩阵方法证明下列逆矩阵的性质 （1）1

11()

kA k A ---= （2）1

11()AB B A ---= （3）1

1()

()k k k A A A ---== （4）1

1()()T T A A --= （5）*1

1*()

()A A --=

5. 证明：如果A A =2

,E A ≠,则A 必为奇异矩阵. 6. 证明

11111()()()A B A A B B B A B A -----+=+=+.

三 矩阵运算性质的应用

在这一部分，我们将列举一些应用矩阵运算性质解决的问题. ①性质1

1,--*===*=AA

A A E AA A A A E 的应用

例5 设

202220044A ?? ?= ? ???，2

23011211B ?? ?= ? ?-??

，

解矩阵方程3422A X B X +=+.

解 移项并合并同类项得

223X B A =-

故 1(23)2X B A =-223202120

1132202211044?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-?

?????2

401642241410-??

?=-- ? ?--??120321275-?? ?=-- ? ?--?? 例6 设

210031001A ??

?= ? ???

解矩阵方程45AX A X +=.

解 移项

54AX X A -=-

提出公因子

(5)4A E X A -=-

消去系数矩阵求解

1(5)(4)X A E A -=--

化简

1(5)[4(5)20]X A E A E E -=----

1

420(5)E A E -=---

由210031001A ?? ?= ? ???知，31

0502

1004A E -?? ?

-=- ? ?-??

，524A E -=-，

1*81111(5)(5)0123524006A E A E A E ---??

?

-=-= ?-- ?

??

. 从而

8

55366100811554010012306

62001006001X ??-- ?--????

? ? ? ?=-+= ? ? ? ? ?

????? ?

??

?

例7 设

200031001A ?? ?= ? ???

解矩阵方程*44AXA AX E +=.

解 化简

1*1(4)(4)A AXA AX A A E A --+=

即

44A X XA E +=

提出公因子

(4)4X A E A E +=

消去系数矩阵求解

11(4)4(4)4(4)X A E A E A E A A E A --+=+=+

由于200031001A ??

?

= ? ???

，故6A =-，

于是

20

040640010A E A ?? ?

+= ? ?-??

4120A E A +=-

160001(4)020********A E A --?? ?

+=-- ?-

???

因此

6000300

0110208010430150012006X -???? ? ?=--= ? ?- ? ?-????

.

②性质1*

-=A

A A 的应用

例8 设43A =-，求*1

5A A -+.

解

4

*1

11

1

410

55(5)(5)-----≠++=++A A A A

A A A

A A

A A

4

43

(5)(35)1633

A A A

=-+-+=

=--

例9 设

202031005A ?? ?= ? ???

求*1

[2(3)]A E -+.

解

*111[2(3)][23(3)]A E A E A E ---+=++1

11123[(3)]A E A E ----=++

1(3)23A E A E =++5021061480008??

?= ? ?

??

例10 设

201310401A ??

?= ? ???

求*

1*

[32]A A -+.

解

*1*11*1*[32][32][(32)]A A A A A A A ----+=+=+111(32)[(32)]A A A A ---=++

31111

(32)(32)()A A A A ----=++2(32)

A A A =+2012163102401??= ?- ? ???A 2018310401?? ?=- ? ?

??

③性质:对于

1阶方阵()k ，总有()=A k kA ，()=k A kA 的应用

例11 设()1,2,3α=，T A αα=，求101A .

解

()11,2,32143T αα?? ?

== ? ???

()112321,2,32463369T A αα???? ? ?

=== ? ? ? ?????

101101100100100123()()()()1414246369T T T T T T T A αααααααααααααα??

?

===== ? ???

L .

例12 设(1,1,0)T

α=-，T

A E x αα=+，求x ，使3A A =.

解

33()T A E x αα=+322333()()T T T E E x E x x αααααα=+++2(364)T E x x x A αα=+++=

?0x =或2(364)0x x ++=?0x =

或x =

或x =. ④逆矩阵方法的应用：由

()=f A O ,证明()g A 可逆并求出1[()]-g A (带余除法)

例13 设A 满足323++=A A E O ，试证明A E -可逆，并求出1()A E --.

解 先将等于零矩阵的等式3

23++=A A E O 左边A 的多项式还原成变量x 的多项式3

23++x x 作为被除式，讲要求逆的A 的多项式还原成变量x 的多项式1-x 作为除式，做多项式带余除法

23

3123++-++x x x x x 32

)--x x

2

23x x ++

2)--x x

33x + )33--x 6

即得

23(1)(3)623x x x x x -+++=++

于是

23()(3)623-+++=++=A E A A E E A A E O

从而

2

1()[

(3)]6

A E A A E E --++= 所以A E -可逆，且2

1()(3)6

A E A A E --=

++. 例14 设A 满足326136+++=A A A E O ，试证明2

32++=A A E O 可逆，并求出2

1

(32)A A E -++. 解 由于2

32()(2)A A E A E A E ++=++，且由32

6136+++=A A A E O ,可仿照例13求得

A E +可逆且121

()(58)2A E A A E -+=++

2A E +可逆且121

(2)(45)4

A E A A E -+=++

从而2

32A A E ++可逆且

2111(32)(2)()A A E A E A E ---++=++

4

321(9335740)8A A A A E =

++++ 3221

[(3)(6136)21222]8A E A A A E A A E =+++++++ 21

(611)4

A A E =++ 注：本题由于32

2

6136(32)(3)2A A A E A A E A E A +++=++++，余式2A 不是非零常数，直接做不出来.

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

正定矩阵的性质及其应用_____

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 正定矩阵的性质及其应用 姓名： 学号： 指导教师： 摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。 关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用 The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract: Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations. Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application 1. 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。 2. 正定矩阵的等价定理 首先我们给出正定矩阵的定义。 定义1[1] 设()T f x X AX =为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有 12(,,,)0n f c c c >,

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用

摘要 本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用. 关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值

ABSTRACT This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given. Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value

正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩

内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编

正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application

目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)

1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠

GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)

GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），

每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理）， 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。

正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用 摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。 关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用 前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即： （1）aii＞0，i=1，2，……，n； （2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元； （3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式； （4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立； 而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例

摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。 关键词： 矩阵可逆矩阵图形学图形变换 正文： 第一部分引言 在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，

与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。 图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果 1. 矩阵的概念 定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。 下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵 仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

矩阵的运算实例程序

设计一个矩阵相乘的程序 假设有 1 5 7 3 3 9 1 4 1 4 A= 3 6 3 9 B= 5 6 7 9 0 3 1 2 8 7 3 2 7 2 5 6 0 3 1 9 9 7 4 7 8 0 3 2 5 4 求出A*B的矩阵 程序构思： 我们所知的矩阵乘法运算的算式如下： C ij = A ik X B kj的k从1到n 的和，那么可以用一个3层循环来运算此算式： C(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1)+A(1,4)*B(4,1) =(1*3)+(5*5)+(7*3)+(3*9) =3+25+21+27 =76 同理 C(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2)+A(1,4)*B(2,2) =(1*9)+(5*6)+(7*2)+(3*7) =9+30+14+21 =74 依此类推，我们可以求得矩阵A与矩阵B的矩阵乘积。 void main(void) { int matrixa[5][4]={1,5,7,3, 3,6,3,9, 1,2,8,7, 0,3,1,9, 3,2,5,4}; int matrixb[4][6]={3,9,1,4,1,4, 5,6,7,9,0,3, 3,2,7,2,5,6, 9,7,4,7,8,0}; int matrixc[5][6]; int i,j,k; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<6;j++) { matrixc[i][j]=0; for(k=0;k<4;k++) matrixc[i][j]+=matrixa[i][k]*matrixb[k][j];

伴随矩阵

伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4

-3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反

浅谈矩阵计算

浅谈矩阵计算 一丶引言 矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。 作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。 矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。 无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。 二、矩阵的介绍与基本运算 由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用 摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了. 关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值. 研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用． 一、正定矩阵的定义 定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,, 21 都 有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵. 定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量) ,,,(21n x x x f X =都有0>' A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵. 注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定. 二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别. 二．正定矩阵的一些性质 1.正定矩阵的充分必要条 （1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定?它的惯性指数为n .