一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38
，则该阴影区域的面积是（ ）
A ．3
B ．32
C ．2
D ．34
2．在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A ．63
B ．3
C ．83
D ．12 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若
，，，则（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．
5．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为
A ．23
B ．43
C ．3
D ．36．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2
a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）
A ．18π-
B ．4π
C ．14π-
D ．与a 的值有关联
7．已知数列{}n a 满足1212,(*)n n a a a a n +=>∈N ，则（ ）
A ．35a a ＞
B ．35a a <
C ．24a a >
D ．24a a <
8．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{
n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．64
9．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( )
A ．29cm
B ．210.5cm
C ．213.5cm
D ．217.5cm
10．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为
A ．112
B ．51
C ．28
D ．18
11．在ABC ?中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =?，则其面积等于（ ）
A ．32
B ．3
C ．33
D ．33
12．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）
A ．4?i <
B ．5?i <
C ．6?i <
D ．7?i <
二、填空题：本题共4小题
13．已知无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则首项1a 的取值范围为_____________.
14．已知当x θ=时，函数22()(
1)sin cos (1)cos 2222
x x x f x a a a =+--+-（a R ∈且1a >）取得最大值，则tan 2θ=-时，a 的值为__________．
15．在直角坐标系xOy 中，直线1:1l y kx =-与直线2l 都经过点(3,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的一般方程是_____.
16．给出下列四个命题：
①正切函数tan y x = 在定义域内是增函数；
②若函数()3cos(2)6f x x π=+
，则对任意的实数x 都有55()()1212f x f x ππ+=-； ③函数cos sin ()cos sin x x f x x x
+=-的最小正周期是π； ④cos()y x =-与cos y x =的图象相同.
以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列{}n a 前n 项和为n S ， 12a =-，且满足1112n n S a n +=
++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若()3log 1n n b a =-+，设数列21n n b b +??????
前n 项和为n T ，求证： 34n T <． 18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量()1,2a =-，又点()8,0A ，(),B n t ，()sin ,C k t θ，R θ∈.
（1）若AB a ⊥，且5AB OA =，求向量OB ；
（2）若向量AC 与向量a 共线，常数0k >，求()sin f t θθ=的值域.
19．（6分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与111A B C △都为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1F F ，分别是11AC A C ，的中点.
求证：（1）平面11AB F ∥平面1C BF ；
（2）平面11AB F ⊥平面11ACC A .
20．（6分）己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =?，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3
π-. （1）当63
x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移4
π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 21．（6分）如图，为了测量河对岸A 、B 两点的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ．并测量得到以下数据，105DCA ∠=，30ADC ∠=，90BCE ∠=，60ACB CEB ∠=∠=，2002DC =米，1003CE =米．求A 、B 两点的距离．
22．（8分）已知sin 2cos 0θθ-=.
（1）求tan 2θ；
（2）求3sin cos sin 3cos θθθθ
+-的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【分析】
利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．
【详解】
正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，38
S P S ==阴影正方形， 又4S =正方形，32
S ∴=阴影. 故选：B ．
【点睛】
本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.
2．C
【解析】
【分析】
首先由11//,AD BC 可得1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角，再由1ACD ?为正三角形即可求解.
【详解】
连接11,AD CD ．
因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//,AD BC ，
则1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角．又11AD CD AC ==,
可得1ACD ?为等边三角形，则160o D AC ∠=，所以异面直线AC 与1BC 所成角为60，
故选：C
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
3．A
【解析】
根据侧视图的宽为23求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。【详解】
侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，
又
1
123=4233
2
h h
???=
∴侧视图的面积为：23363
S=?=
【点睛】
理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。
4．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理，可直接求出的值.
【详解】
在中，由正弦定理得，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。5．C
【解析】
【分析】
V S h
=?计算结果.
【详解】
因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为13
223 2
??=
3663
=．
【点睛】
本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型. 6．C
【解析】
试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为22
2()214
a a a ππ-=-．
考点：几何概型，圆的面积公式．
7．B
【解析】
【分析】
分别令1,2,3n =，求得不等式，由此证得35a a <成立.
【详解】
当1n =时，3113,4a a a a >?>，当2n =时，41242,2a a a a a >?>，当3n =时，51332a a a a >?=，所以53333240a a a a a ->-=>>，所以53a a >，故选B.
【点睛】
本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据等差数列性质可求得7a ，再利用等比数列性质求得结果.
【详解】
由等差数列性质可得：()222
371131177744480a a a a a a a a -+=+-=-= 又{}n a 各项不为零 78a ∴=，即78b =
由等比数列性质可得：268764b b b ==
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】
设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α.
则由题意可得：215,3r l l r r α+===.
可得：2315r r +=，解得：3r =，9l =. 可得：211=
9313.522
S lr cm =??=扇形 故选：C
【点睛】
本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．
10．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解.
【详解】 由等差数列的通项公式结合题意有: 215
11041a a d a a d =+=??=+=?，解得：1133a d =??=-?， 则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282
S a d ?=+
=?+?-=， 故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题.
11．C
【解析】
【分析】
直接利用三角形的面积的公式求出结果．
【详解】
解：ABC ?中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，
若2a =，3b =，120C =?，
则11sin1202322ABC S ab ?=??=?? 故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题．
12．B
【解析】
【分析】
分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案.
由程序框图可知，第一次循环后，1a =，1s =，2i =；第二次循环后，3a =，4s =，3i =；第三次循环后，5a =，9s =，4i =；第四次循环后，7a =，16s =，5i =；第五次循环后，9a =，25s =，此时25s =，则图中空白处应填的是5?i <
【点睛】
本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.
二、填空题：本题共4小题
13．()
()0,33,6 【解析】
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出10q -<<或01q <<，根据无穷等比数列的和得出1a 与q 所满足的关系式，由此可求出实数1a 的取值范围.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出10q -<<或01q <<，
由于无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则131a q
=-，()131a q ∴=-. 当10q -<<时，则112q <-<，此时，136a <<；
当01q <<时，则011q <-<，此时，103a <<.
因此，首项1a 的取值范围是()
()0,33,6. 故答案为：()
()0,33,6. 【点睛】
本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．3
【解析】
【分析】
先将函数()y f x =的解析式利用降幂公式化为()11sin cos 22
a a f x x x +-=-+
2252a a --，再利用辅助角公式化为()()2252
a a f x x ?--=-+，其中 1tan 1
a a ?-=+，由题意可知θ与?的关系，结合诱导公式以及tan 2θ=-求出a 的值．
()()()221sin cos 1cos 2222
x x x f x a a a =+--+- ()2211cos 1125sin 15sin cos 22222
a x a a a a x a a x x +++---=--?+-=-+
()2252a a x ?--=-+，其中1tan 01a a ?-=>+， 当x θ=时，函数()y f x =取得最大值，则()22k k Z π
θ?π-=+∈，22k π
θ?π∴=++， 所以，sin 2sin cos 112tan 2cos sin tan 1cos 22k a a k π?πθ?θπθ???π??++ ?+??===-=-=-=--??++ ???
， 解得3a =，故答案为3．
【点睛】
本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为()sin y A x b ω?=++的形式，本题中用到了θ与?之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．
15．50x y +-=
【解析】
【分析】
点(3,2)代入1l 的方程求出k ，再由12l l ⊥求出直线2l 的斜率，即可写出直线2l 的点斜式方程.
【详解】
将点()3,2代入直线1:1l y kx =-得，231k =-，解得1k =，
又12l l ⊥，21l k =-，于是2l 的方程为()213y x -=-?-，整理得50x y +-=.
故答案为：50x y +-=
【点睛】
本题考查直线的方程，属于基础题.
16．②③④
【解析】
【分析】
①利用反例证明命题错误；②先判断512
x π=为其中一条对称轴；③()f x 通过恒等变换化成