习 题
15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。如不计胶带质量，试求A 物的加速度。
图15-7
a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r a r m M M D C 323I I 2
1
)(21==
= 动力学普遍方程
0δ)(δ)(δ)
(I 2I 1I I =-++---s F W s F W r
s
M M M B A D C 0)()(1
)2121(221133=-++---a m g m a m g m r ra m ra m M
r
m m m gr
m m M a )()(32112++-+=
15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当? = 0时，为原长。若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8
θωsin 211I l m F = )cos 1(θ-=kl F 动力学普遍方程
0δ)(δ22211I =+-r F g m r F
θθcos δsin δ21r r = θtan δδ12r r = 故
0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l m
θ
θωcos 2)
cos 1(12
2l m kl g m -+=
15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9
DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE O ra m r a r m M 222I 4
1
)2(21==
动力学普遍方程
0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---?C M r F r F F
02δ4132δ23δ)(1212
11=??-?--r
r
ra m r a m r a m F DE DE DE 089
21=--DE DE a m a m F
2
1219888
9
m m F m m F a DE +=+=
15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。设曲柄OC 与椭圆规尺AB 都为均质杆，质量分别为m 1和2m 1，且OC =AC =BC =l 。滑块A 与B 的质量相等均为m 2，如作用在曲柄上的驱动力矩为M O 不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图15-10
同习题12-6
ωl v C = ωω=AB ?ωω?cos 2cos 2l l v AB A =?= ?ωsin 2l v B =
B A AB O
C E E E E E k k k k k +++=
)(21])2)(2(121[21)2(21)31(212
2222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω
222221*********
3161ωωωωl m l m l m l m ?+++=
2
2212
43ωl m m +=
2
221243?
l m m += O Q M W F =∑=??
?δδ
由 ??
?Q F E E t =??-??k
k )(d d
O M l m m =+)2(2
432
21α 2
21)43(l m m M O
+=
α
15-5 如图15-11所示，铰接平行四边形机构O 1O 2AB 位于铅直平面内，杆O 1A ，O 2B 各
长l ，质量不计；杆AB 为均质杆，质量m 。设在O 1A 杆上作用一常力矩M ，试求O 1A 转动到任意位置时的角加速度，并求?=90θ时的角加速度的值。
图15-11
以θ为广义坐标，先求广义力
给系统虚位移θδ
θθθθsin δδδ)(l mg M W F ?-=∑
θθ
θθ
sin δδ)(mgl M W F F Q
-=∑=
222k 21)(21θθ ml l m E ==
由 θθ
θQ F E E t =??-??k
k )(d d
θθ 2k ml E =?? 0k =??θE θθ
sin 2mgl M ml -= 2
sin ml mgl M θ
θ
α-==
?=90θ时 2
ml mgl M -==θ
α
15-6 如图15-12所示，在质量为m 1的均质圆柱C 上绕着一根细绳，绳的质量可以不计。绳的另一端跨过不计质量的滑轮O 与质量为m 2的物块A 相连，物块放在粗糙的水平面上，动摩擦因数为μ。如果圆柱由静止落下作平面运动，试求物块和圆柱质心的加速度。
图15-12
以A x 、C y 为广义坐标，先求广义力
显然g m F A
x Q
2μ-= g m F C
y Q
1=
2212
122k ))(21(212121r x y r m y m x m E A C C A -++=
212
122)(412121A C C A x y m y m x m -++= ]32)2[(412
11221C C A A y m y x m x m m +-+=
])2[(21)(d d 121k C A A y m x m m x E t -+=?? 0k
=??A
x E
]3[21)(d d 11k C A C y m x m y E t +-=?? 0k
=??C
y E
代入拉氏方程 A x Q A A F x E x E t =??-??k k )(d d C y Q C C F y E y E t =??-??k k )(d d
得
g m y m x m m C A 2121])2[(21μ-=-+ g m y
m x m C A 111]3[21=+- 解得
g m m m m x A 212133+-=μ g m m m m y C 2
12
13)32(+-+=μ
即 g m m m m a A 212133+-=
μ g m m m m a C 2
12
13)32(+-+=μ
15-7 如图15-13所示，一绳跨过两定滑轮A 与B ，并吊起一动滑轮C ，绳子不在滑轮上的各端都是铅垂的，滑轮上吊有重W ＝40N 的重物，绳的两端分别挂有重量各为W 1=20N ，W 2=30N 的两重物。如滑轮与绳的重量以及轴承的摩擦均可不计，试求这三个重物的加速度。
图15-13
以1y 、2y 为广义坐标(向下为正)
2212
22211k )2
(212121y y m y m y m E +++=
2212
22211)2(212121y y m y m y m +++= 212
222114
1)4(81)4(81y y
m y m m y m m ++++= 2
2
1
2211p y y mg gy m gy m E ++--= 2
41)4(81)4(81212211212
22211p k y y mg gy m gy m y y
m y m m y m m E E L +-++++++=-= ]41)4[(41)(d d 2111y m y m m y L t ++=?? g m
m y L )2(11-=??
]41)4[(41)(d d 1222y m y m m y L t ++=?? g m
m y L )2(22-=??
代入拉氏方程 0)(d d 11=??-??y L y L t 0)(d d 22=??-??y L y L t
得
0)2(]41)4[(411211=--++g m m y m y m m 0)2
(]41)4[(412122=--++g m
m y
m y m m 0)24()4(1211=--++g m m y m y m m 0)24(])4(2122=--++g m m y m y m m 04012021=+y y 0401604021=-+g y
y 解得
g y 1111-= g y
113
2= 即 g a 1111-=(向上) g a 1132=(向下) g a 11
1
=(向上)
15-8 图15-14所示滑轮组中，三个物块A ，B ，C 质量分别为m A =10kg ， m B =20kg ，m C =20kg 。
物块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2，滑轮质量不计，试求各重物的加速度。 图15-14
以A x (向右为正)、C x (向左为正)为广义坐标，先求广义力
显然g m g m F A B x Q
A
μ-=
2 g m g
m F C B x Q C
μ-=2
222k )2(212121C A B C C A A x x m x m x m E +++=
]41)4(81)4(812
2C A B C B C A B A x x
m x m m x m m ++++= C B A B A A x m x m m x E t 41)4(41)(d d k ++=?? 0k
=??A
x E
A B C B C C x m x m m x E t 41)4(41)(d d k ++=?? 0k
=??C
x E
代入拉氏方程 A x Q A A F x E x E t =??-??k k )(d d C x Q C C F x E x E t =??-??k k )(d d
得
g m g m x m x m m A B C B A B A μ-=++241)4(41 g m g m x
m x m m C B A B C B C μ-=++2
41)4(41 g x x C A 322060=+ g x
x C A 2410020=+ 解得
2m/s 76.47034==g x A 2m/s 4.17
1==g x
C 即 2
m /s 76.4=A a (向右) 2m/s 4.1=C a (向左) 2m/s 08.3=C a (向下)
15-9 用动力学普遍方程推导刚体平面运动微分方程。
15-10 如图15-15所示，半径为r 的滑轮可绕水平轴O 转动，在滑轮上跨过一不可伸长的绳，绳的一端悬挂质量为m 1的重物C ，另一端与刚性系数为k 的铅垂弹簧相连。设滑轮的质量m 2均布于轮缘上，绳与滑轮间无滑动。试求系统的振动周期。
图15-15
以C 的铅垂位移C y 为广义坐标(向下为正)
2222
1k ))((2121r y r m y m E C C +=
2
21)(2
1C y
m m += 22
st 2st 1p 21])[(21C
C C ky y k gy m E =-++-=δδ 22
21p k 2
1)(21C
C ky y m m E E L -+=-= C C y m m y L t )()(d d 21+=?? C C
ky y L
-=??
代入拉氏方程
0)(d d =??-??C
C y L y L t
0)(21=++C C ky y m m 02
1=++C C y m m k
y
2
1m m k +=
ω k m m T 21π2π2+==ω
15-11如图15-16所示，椭圆摆由一半径为r ，质量为m 1的均质圆盘A 与一小球B 构成，圆盘可沿水平面纯滚动。小球质量为m 2用长为l 的杆AB 与圆盘相连，杆AB 能绕与图面垂直且与圆盘相连的A 轴转动，不计杆的质量。试求椭圆摆的运动微分方程(小球大小不计)。
图15-16
以y 、?为广义坐标
])sin ()cos [(21
4322221k ???? l l y m y
m E +++=
)cos 2(21
43222221??? y l l y m y
m +++= ?cos 2p gl m E -=
????cos )cos 2(2
1
432222221p k gl m y l l y m y
m E E L ++++=
-= )sin 2cos 22(2
1
23)(d d 221???? l l y
m y m y L t -++=?? 0=??y L )sin 2cos 22(21
)(d d 22???? y l y
l l m y L t -+=?? ????
sin sin 22gl m y l m L --=?? 代入拉氏方程 0)sin 2cos 22(2123221=-++???? l l y m y m 0sin sin )sin 2cos 22(21
2222=++-+???????gl m y l m y l y
l l m 即
0sin cos )23
(22221=-++???? l m l m y
m m 0sin cos =++???g y l
15-12 如图15-17所示，一质量为m 的质点在一半径为r 的圆环上运动，此圆环又以匀角速度w 绕其铅垂直径AB 转动。试求此质点的运动微分方程以及使角速度保持不变的力矩M 。
图15-17
以?、θ为广义坐标
])()sin [(2121222k θθ?? r r m J E ++=
]sin [(2
121222222θθ?? r r m J ++= M F Q =?
θθ
sin mgr F Q -=
由
??
?Q F E E t =??-??k k )(d d
M mr mr J =??++θθθ?θ??
cos sin 2sin 222 M mr mr J =++θθ?θ??
2sin sin 222 (1) θθ
θQ F E E t =??-??k
k )(d d
θθθ?θsin )cos sin 2(2
1222mgr mr mr -=- 0sin )cos sin 2(212=+-θθθ?θ
r g 0sin 2sin 22=+-θθ?θr g 当 常量==ω?
0==ω? 时，由式(1)得 θθωθθ?
2sin 2sin 22 mr mr M ==
15-13 如图15-18所示，一均质圆盘半径为r ，质量为m 1，可绕其自身的水平轴O 转动，
在圆盘的A 点以长为l 的细绳悬挂一质量m 2为的重物(视为质点)。设绳子不可伸长其质量略去不计。试写出系统运动的微分方程。
图15-18
以?、ψ为广义坐标
])sin sin ()cos cos [(21
)21(21222221k ψψ??ψψ???
l r l r m r m E ++++= )]cos(2[2
1
4122222221ψ?ψ?ψ??-+++= rl l r m r m )cos cos (2p ψ?l r g m E +-= )cos cos ()]cos(2[2
1
41222222221p k ψ?ψ?ψ?ψ??l r g m rl l r m r m E E L ++-+++=
-= )sin()()cos()21
()(d d 22221ψ?ψ?ψψ?ψ?
?----++=?? rl m rl m r m m L t ?ψ?ψ?
?sin )sin(22gr m rl m L
---=?? )sin()()cos()(d d 2222ψ?ψ??ψ??ψ
ψ
----+=?? rl m rl m l m L
t
ψψ?ψ?
ψ
sin )sin(22gl m rl m L
--=?? 代入拉氏方程
0sin )sin()sin()()cos()2
1
(2222221=+-+----++?ψ?ψ?ψ?ψ?ψ
ψ?ψ?gr m rl m rl m rl m r m m 0sin )sin()sin()()cos(222222=+------+ψψ?ψ?ψ?ψ??ψ??ψgl m rl m rl m rl m l m 即
0sin )sin()cos()2
1
(2222221=+-+-++?ψ?ψψ?ψ?gr m rl m rl m r m m 0sin )sin()cos(222222=+---+ψψ??ψ??ψgl m l m rl m l m
15-14 如图15-19所示，质点M 在重力作用下沿直杆AB 运动，AB 以匀角速度绕铅垂轴
z 作定轴转动，杆AB 与水平成f 角。试求质点的运动规律。
图15-19
以r 为广义坐标
])cos ([2
1
22k ?ωr r m E += ?sin p mgr E = ??ωsin ])cos ([2
1
22p k mgr r r m E E L -+=
-= r m r L
t =??)(d d ??ωsin cos 22mg mr r
L
-=?? 代入拉氏方程
0sin cos 22=+-??ωmg mr r m ??ωsin cos 22g r r -=-
齐次方程通解
?ω?ωcos 2cos 1t t e C e C r -+= 特解
?
ω?2
2
cos sin g r r == 故
?
ω??ω?ω22cos 2cos 1cos sin g e C e C r t t ++=-
15-15如图15-20所示，长为2l ，质量为m 的均质杆AB 的两端沿框架的水平及铅垂边滑
动，框架以匀角速度w 绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。
图15-20
以?、θ为广义坐标，先求广义力
显然 y Q M F =?
θθ
sin mgl F Q -=
θsin l x C = θcos l y C =
22202222k 21)sin (d 2])2(121[21)(21?θ?ξξθ y l C C J l m l m y x m E ++++=
? 2222222221sin 3261])sin ()cos [(21?θ?θθθθθ y J ml ml l l m +++-+= 2222223221sin 32θ?θ? ml J ml y ++= ?θθ?θ?? y
J ml E t ++=??)2sin sin (34)(d d 22k 0k
=???E θ
θ 2k 34)(d d ml E t =?? θθ?θcos sin 3422k ml E =?? 代入拉氏方程
???Q F E E t =??-??k k )(d d θθ
θQ F E E t =??-??k
k )(d d
y
y M ml ml J =++θθ??θ2sin 34)sin 34(222 θθθ?
θsin cos sin 34342
22mgl ml ml -=-
15-16 如图15-21所示，物块A 的质量为m 1，可沿光滑水平面作直线运动；均质轮C 的
质量为m 2沿直线BD 作纯滚动；力F 按F =H sin ωt 的规律变化（H 和ω都是常量）。试建立系统的运动微分方程。
图15-21
以x 、ξ为广义坐标，先求广义力
显然 x k F F x
Q 1-= ξξδθξ
2st 22)(sin k k g m F Q -=+-=
222
22221k ))(21(21])sin ()cos [(2121r r m x m x m E ξθξθξ ++++=
θξξcos 43)(2122
2221 x
m m x m m +++= θξcos )()(d d 221k
m x
m m x
E t ++=?? 0k =??x E θξξcos 2
3)(d d 22k x
m m E t
+=?? 0k =??ξE 代入拉氏方程
x Q F x E x E t =??-??k k )(d d ξξξQ F E E t =??-??k
k )(d d
x k F m x m m 1221cos )(-=++θξ ξθξ222cos 2
3k x m m -=+
即
t H x k m x m m ωθξsin cos )(1221=+++ 02
3cos 222=++ξξθk m x m
15-17如图15-22所示，质量为m 1的均质杆OA 长为l ，可绕水平轴O 在铅垂面内转动，
其下端有一与支座相连的螺线弹簧，刚度系数为k ，当时0=θ，弹簧无变形。OA 杆的A 端装有可自由转动的均质圆盘，盘的质量为m 2，半径为r ，在盘面上作用有力矩为M 的常力偶，设广义坐标为f 和θ，如图所示。求该系统的运动微分方程。
图15-22
以θ、?为广义坐标，先求广义力
显然 θθθθ
sin sin 2
1
21gl m gl m k F Q ++
-= M F Q =?
222
222221k )21(212161?θθ r m l m l m E ++= 222222141)31(21?θ r m l m m ++= θ
θ 221k )3
1()(d d l m m E t +=?? 0k =??θE ?
? 22k 21
)(d d r m E t =?? 0k =???
E 代入拉氏方程
θθθQ F E E t =??-??k k )(d d ??
?Q F E E t =??-??k
k )(d d
θθθθsin sin 21)31(2
1221gl m gl m k l m m ++-=+ M r m =? 222
1
即
0sin )21()31(21221=+-++θθθgl m m k l m m M r m =? 2221
15-18 如图15-23所示，绕在圆柱体A 上的细绳，跨过质量为m 的均质滑轮O ，与一质
量为m B 的重物B 相连。圆柱体的半径为r ，质量为m A ，对于轴心的回转半径为ρ。如绳与滑轮之间无滑动，开始时系统静止，问回转半径ρ满足什么条件时，物体B 向上运动。
图15-23
以B y (向上为正)、A y (向下为正)为广义坐标
222
222k )(2121))(21(2121r
y y m y m r y mr y m E B A A A A B B B -+++=
ρ ])214121()1(21222
22
222B A A B A B A A y y r m y r m m m y
r m ρρρ-++++= B B A A gy m gy m E +-=p
B B A A B A A B A B A A gy m gy m y y r
m y r m m m y
r m E E L -+-++++=-=])214121()1(2122
222222p k ρρρ B A A A A y
r m y r m y L t 22
22)1()(d d ρρ-+=?? g m y L A A =?? A A B A B B y
r
m y r m m m y L t 2222)21()(d d ρρ-++=?? g m y L
B B -=?? 代入拉氏方程
0)1(22
22=--+g m y
r m y r m A B A A A ρρ (1) 0)21(22
22=+-++g m y
r
m y r m m m B A A B A B ρρ (2) 即
0)1(22
22=--+g m y
r m y r m A B A A A ρρ (1) 0)21(22
22=++++-g m y r m m m y r m B B A B A A ρρ (2) 由)1()2()1(22
22r
r ρρ+?+?得
0)1()1)(21()(22
222222222=++++++--r g m y r r m m m r g m y r m B B A B A B A ρρρρρ 0)1(])()1)(21[(22
222222222=-++-+++r g m r g m y
r m r r m m m A B B A A B ρρρρρ 0)1(])21()21[(22
222222=-++++++r
g m r g m y
r m m r m m m A B B B A B ρρρρ B y 的系数大于零，物体B 向上运动，0>B y 得
0)1(22
22<-+r
g m r g m A B ρρ
0)(22<-+r
m m m A B B ρ
B
A B m m m r ->
22ρ 解得
B
A B
m m m r
->ρ
高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1 q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
2、第二类拉格朗日方程 的应用
例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计 。 A C O x
A O C x
例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接 。M 1 M 2 φ C 求：此系统的运动微分方程。 2、第二类拉格朗日方程的应用 解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广 义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示： 111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j ===-=将上式两端对时间t 求导数得： 111212,0;cos sin x x y x x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&2 2212111()(2cos )22 m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为： ) cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。 d 0(12)d k T T Q k N t q q ????--==?÷??L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。选取原则：计算方便
代入拉格朗日方程得到： 1212110()cos T T m m x m l x x j j ??==+-??&&&，2 121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j ?=+-+×?&&&&&&1 0x V Q x ?=-=?先计算)cos 1(2j -=gl m V 22 212111()(2cos )22 m l T m m x l x j j j =++-&&&&2 21221sin cos T T m lx m l m lx j j j j j j ??==-??&&&&&，2 22121d ()cos sin d T m l m lx m lx t j j j j j ?=-+×?&&&&&&&2sin V Q m gl j j j ?=-=-?2 12122()cos sin 0m m x m l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl j j j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用 x 1φ 再计算