第4讲幂函数与二次函数
一、选择题
1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()
A.1，3
B.－1，1
C.－1，3
D.－1，1，3
解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A
2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()
A.a>0，4a＋b＝0
B.a<0，4a＋b＝0
C.a>0，2a＋b＝0
D.a<0，2a＋b＝0
解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为
x＝2，即－b
2a
＝2，所以4a＋b＝0.
答案 A
3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1
a的图象可能是()
解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1
a
的图象知应选
B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1
a
的图象均不适合，综
上选B.
答案 B
4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数
g(x)＝f（x）
x在区间(1，＋∞)上一定()
A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，∴
a <1，则g (x )＝x ＋a x －2a (x >1).
若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数，
若0 ∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 综上可得g (x )＝x ＋a x －2a 在(1，＋∞)上是增函数. 答案 D 5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x ) 答案 A 二、填空题 6.已知P ＝2－32，Q ＝? ????253，R ＝? ?? ??123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 解析 P ＝2－32＝? ????223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得? ?? ??223>? ????123>? ?? ??253，即P >R >Q . 答案 P >R >Q 7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ a x ＋1 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]?[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1 x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ a x ＋1在[1，2]上是减函数可得a >0， 故0 答案 (0，1] 8.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈???? ??－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________. 解析 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈???? ??－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1. 答案 1 三、解答题 9.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围. 解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 1 2， 则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数. 由f (2－a )>f (a －1)得???2－a ≥0， a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为???? ??1，32. 10.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f ? ?? ??－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为???? ??－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1， ∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意. 综上可知，a ＝－13或－1. 11.(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝? ?? ??x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24. 又f (f (x ))＝(f (x ))2 ＋bf (x )＝? ????f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件. 答案 A 12.(2017·长沙一中期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意 的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 >0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 解析 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴?????m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015. ∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数. 由a ＋b >0，得a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0. 答案 A 13.已知函数f (x )＝?????2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2， 若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______. 解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0 方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 答案 (0，1) 14.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1， F (x )＝???f （x ），x >0，－f （x ），x <0， 求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围. 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2. ∴F (x )＝???（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ， 从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立. 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]. 课时跟踪检测（十二） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ， 又其图象上凸，则排除C ，故选B. 2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f (－1) B ．f (1) C ．f (2) D ．f (5) 解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)； 当a <0时，f (5)＝f (－1) ∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)． 4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________． 解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－9 4，－2，故当m ∈????－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2 －5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点． 答案：??? ?－9 4，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知f (x )＝x ，若00，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( ) 幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析 由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增， 第6讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点? ? ???4，12，则f (2)＝( ) A.1 4 B ．4 C.22 D. 2 解析 设f (x )＝x α，因为图像过点? ????4， 12，代入解析式得：α＝－1 2 ，∴f (2)＝2－12＝2 2. 答案 C 2．若函数f (x )是幂函数，且满足 f 4f 2＝3，则f (1 2 )的值为( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.1 3 解析 设f (x )＝x α，则由 f 4f 2＝3，得4α 2 α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1 3. 答案 D 3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3) 解析 f (a )＝g (b )?e a －1＝－b 2＋4b －3?e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－20， x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0?f (a )＋2＝0???? a >0，2a ＋2＝0或??? a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A 5 .函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－ b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－ b 2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642 . 答案 D 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1 2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0， 二次函数（第4课时）教案 教学目标： 1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2 的图象。 2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，明白得函数y ＝a(x －h)2 的性质， 明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系。 重点难点： 重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的 性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系是教学的重点。 难点：明白得二次函数y ＝a(x －h)2的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的图象与二 次函数y ＝ax 2 的图象的相互关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出咨询题 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2 －1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分不讲出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)讲出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2 的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析咨询题，解决咨询题 咨询题1：你将用什么方法来研究上面提出的咨询题? (画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2 的图象，并加以观看) 咨询题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2 的图象吗? 教学要点 1．让学生完成下表填空。 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 咨询题3：现在你能回答前面提出的咨询题吗? 教学要点 1．教师引导学生观看画出的两个函数图象．依照所画出的图象，完成以下填空： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y ＝2(x －1) 2 与y ＝2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x 一1)2 的图象能够 看作是函数y ＝2x 2 的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)。 咨询题4：你能够由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2(x －1)2 的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回忆二次函数y ＝2x 2的性质，并观看二次函数y ＝2(x －1)2 的图象； 2．让学生完成以下填空： 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增 §2.6 一次函数、二次函数与幂函数 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于 ( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( ) 4.幂函数y ＝f (x )的图象过点??? ?4，1 2，那么f (8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C. 2 4 D.164 5．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)·2 7325 t t x +-(t ∈N)是偶函数，则实数t 的值为( ) A ．0 B ．－1或1 C ．1 D ．0或1 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是 . 7．对于函数y ＝x 2 ，y ＝12 x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内 都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有__________． 8．已知函数f (x )＝ ax ＋b x －b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f (2)的值是________． 9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________． 求二次函数的解析式的几种方法 山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉 二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。 一、二次函数常见的三种表达式： （1）一般式：y ax bx c a =++≠2 0()； （2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点； （3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。 二、利用待定系数法求二次函数关系式 (1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。 例1、已知抛物线2 y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=??-+=-??=-? 解之得1, 4,3,a b c =-??=??=-? 所以抛物线为2 43;y x x =-+- 说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解． (2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。 若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，， ，则相当于方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而2 12()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为 12()()(0)y a x x x x a =--≠． 例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式． 解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-． 又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =． 因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即2 23y x x =--． 说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号． (3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0) 例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。 解：设所求解析式为y =a (x -h )2+k ， 由已知得 y =a (x +2)2-1 ∴ a (1+2)2-1=0 1 9 a ∴= ∴()2 1219y x =+-即2145999 y x x =+- 第4讲 二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)定义： 形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见 的五类幂函数为 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x － 1. (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ???－∞，－b 2a 上单调递减； 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增； 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b 2a 对称 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12 是幂函数．( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是 4ac －b 2 4a .( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( ) A ．81 B ．1 3 C ．1 81 D ．3 解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝1 2. 所以f (x )＝x 12 ，所以f (9)＝912 ＝3，故选D. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c 学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质 教学内容 一. 【复习目标】 1.准确理解函数的有关概念. 2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法. 一、幂函数 (1)幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 (2)幂函数的图象 函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2 y＝x－1 定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x ∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(－∞，0)时， 减 定点(0,0)，(1,1) (1,1) 例1.下列函数中是幂函数的是（ ） A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝x 2＋x D ．y ＝－1 x 例2. (2011·陕西高考)函数y ＝ 13 x 的图象是( ) 例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点? ? ? ??－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x ) ＝g (x )，则x ＝________. 已知点M ? ?? ?? 33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝x －2 C ．f (x )＝x 1 2 x D ．f (x )＝ 12 x - 设α ∈?????? ????－1，1，1 2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 对于函数y ＝x 2 ，y ＝x 1 2 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________． 二、二次函数 1、二次函数的三种形式【1】 2 1.定义：一般地，如果 y ax bx c （a,b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数. 2 2. 二次函数 y ax 的性质 2 , b , 4ac b h ， k a 4a 6?抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 （2 ）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 二次函数必背知识点 冲刺中考 （1）抛物线 y ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. （2）函数y ax 2 的图像与a 的符号关系. ①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点; ②当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3 ）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 2 y ax （ a 0）. 3. 二次函数 y ax bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线. 4.二次函数y ax 2 bx c 用配方法可化成：y a h 2 k 的形式，其中 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 2 ax 2 ；② y ax k ； 2 2 ③ yaxh :④ yaxh k ； ax 2 bx c . ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时, 开口向上；当 0时，开口向下; ②平行于y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地，y 轴记作直线 x 0. 7.顶点决定抛物线的位置 ?几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y 2 ax bx c 2 b a x 2a 4ac b 2 4a ' 2 二顶点是（2a ‘誉），对称轴是直线 x b 2a 2 a x h k 的形式，得到 幂函数与二次函数专题 [最新考纲] 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1 x ，y ＝ 的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且 x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0] 减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象 a >0 a <0 定义域 R R 值域 y ∈?? ?? ?? 4ac －b 2 4a ，＋∞ y ∈? ? ???－∞，4ac －b 2 4a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点 坐标 ? ????－b 2a ，4ac －b 2 4a 奇偶性 b ＝0?y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ? ?? ?? －b 2a ，＋∞ ? ? ???－∞，－b 2a 递减 区间 ? ? ???－∞，－b 2a ? ???? －b 2a ，＋∞ 最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a 当x ＝－ b 2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 2 4a 二次函数 一、基础知识 1?定义:一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的二次函数. 2. 二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式? 3?二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y ax2（a 0）； ②y ax2 k ；（a 0） ③y a x h （a 0）顶点式）； ④y a x h 2 k ；（ a 0） ⑤y ax2 bx c ?它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线? 4?各种形式的二次函数的图像性质如下表： 1. 抛物线y ax2 bx c中的系数a,b,c （1）a决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方 向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同?当a 0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当 a 0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. 在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧. 半轴；当c 0时，则相交于y 轴的负半轴. 2. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 (3) 运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的 对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.. 3. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：y ax 2 bx c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2) 顶点式：y ax h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 两点式：已知图像与x 轴的交点坐标X !、X 2，通常选用交点式：y a x X ! x x 2 . 4. 抛物线与x 轴的交点 设二次函数y ax 2 bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 X !、x ?，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来 判定： (1) b 2 4ac 0 抛物线与x 轴有两个交点； (2) b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当b 0时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴 (3) c 决定抛物线与y 轴交点位置：当c 0时, 抛物线经过原点；当c 0时,相交于y 轴的正 (1) 公式法:y ax 2 bx c b 2a 4ac b 2 4a b 4a c b 2 ，顶点是(2a ，4a )，对称轴是直线 (2) b 2a 配方法：运用配方的方法， 将抛物线 ax 2 bx c 的解析式化为y ax h 2 k 的形式，得 到顶点为(h,k),对称轴是直线x h.其中h 2 4ac b 4a （聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座 （一）二次函数的解析式的三种形式 （1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）； （2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）； （3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ） 【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）； （2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１７。求 y＝ f （ x）的解析式。 （二）二次函数的基本性质 （ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称 轴方程为 x ＝－ b ，顶点坐标是（－ b ， 4ac b2 ）。2a2a4ac 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b ] 上递减，在 [ － b ，2a2a ＋∞ ) 上递增。 当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b ] 上递增，在 [ － b ，2a2a ＋∞ ) 上递减。 （ 2）直线与曲线的交点问题： ①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c（ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是 ｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。 | a | ②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二 次方程的判别式的符号决定。 特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0的判别式的符号问题。 二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域 ? ? ? ? 4ac－b2 4a，＋∞? ? ? ? －∞， 4ac－b2 4a 单调性 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递减； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递增 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递增； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－ b 2a对称 2. (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a.(×) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝± 2 2.(×) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×) 1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为() C．1 D．－1 答案D 解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D. 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为 ________． 答案[1,2] 【BSD版春季课程初三数学】第7讲：二次函数的图像与性质2学案（学生版） 二次函数的图像与性质2 第7讲适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点 1.二次函数2yaxh的图像与性质 2.二次函数2yaxhk的图像与性质 3.二次函数2yaxbxc的图像与性质教学目标 1.掌握二次函数的图像与性质 2.掌握二次函数的平移问题教学重点能熟练掌握二次函数的图像与性质及二次函数的平移问题教学难点能熟练掌握二次函数的图像与性质及二次函数的平移问题 【教学建议】 【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有极其重要的地位，也是中考中的必考内容。在教学中要让学生亲自参与画图，感受抛物线是怎么样平移的，体会从一般到特殊，从简单到复杂的处理方式，领会数形结合思想，抓住其中的变与不变。时时处处从以下五个方面去观察函数图象理解函数性质开口方向和开口大小.对称轴.顶点坐标.最值.增减性。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难 1.左右平移的口诀。 2.一般式如何转换成顶点式。 3.利用抛物线的性质去解综合题。 【知识导图】 【知识导图】 二次函数的图像与性质2二次函数yax-h2的图象与性质二次函数yax-h2k的图象与性质二次函数yax2bxc的图象与性质概述教学过程 【教学建议】 【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数是方程和不等式的高级形式，也可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师需要帮助学生理清函数图象平移的来龙去脉，以及如何全面把握二次函数的性质。 二次函数yax-h2（a0）a的符号a0a0图象h0h0h0h0开口方向向上向下顶点坐标（h，0）顶点位置当h0时，顶点在y轴的左边；当h0时，顶点在y轴的右边对称轴直线xh增减性（1）在对称轴的左侧是下降的，即xh时，y随x的增大而减小；（2）在对 第四讲 二次函数的图像与性质 （一） 学习目标：1．会用描点法画出二次函数y=ax 2+k 与y=a(x-h)2 的图象． 2.使学生了解并会求抛物线y=ax 2+k 与y=a(x-h)2的对称轴与顶点。 学习难点：二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的联系及如何平移以及对于抛物线y=ax 2 +k ， y=a(x-h)2 的对称轴方程的理解． 一、学前准备： 1、一次函数x y 2=与12+=x y 的图象关系是 2、二次函数 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 。 y=-2x 2 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 。 3、抛物线y=-2x 2 上有两点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),且x 1＜x 2＜0,那么y 1 ( )y 2 二、探究归纳 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 x 取何值时y 随x 的增大而增大 三．自我测试 1、抛物线y=2(x+5)2 的顶点坐标是 ，对称轴是 2、抛物线y=-4x 2 -4的开口方向向 ，当x=时，y 有最 值，此时y= 3、抛物线y=-3(4x 2 -2)的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大。 4、写出符合条件的二次函数表达式： （1） y=a(x-2)2 的图象与y= 2 1x 2 -2的开口方向相反，形状相同。 (2)y=a(x-2)2 的图象与y= 2 1x 2 -2的图象交点是（1，m ）. （二） 学习目标：1、使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象． 2、使学生了解并会求抛物线y=a(x-h)2 +k 的对称轴与顶点． 学习重点：用描点法画出二次函数y=a(x-h)2 +k 型的图象 学习难点：二次函数y=a(x-h)2+k 与y=a(x-h)2 的联系及如何平移．． 一、 学前准备： 1、二次函数y=ax 2 +k 的图象和性质，二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质。 2、二次函数y=ax 2 +k ，y=a(x-h)2 与y=ax 2 的联系及如何平移． 3、猜想抛物线y=a(x-h)2 +k 与y=ax 2 的形状 ，只是 不同，当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标 。 二、探究活动 探索二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例、求二次函数 2 5212- +-=x x y 的顶点坐标和对称轴，并作 出函数图象 （三）探究应用 1、 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1） y=2(x-3)2-5 (2)y=-0.5(x+1)2 (3)y=2(x-2)2 +5 (4)14 32--=x y （5）5)1(212-+-=x y （6）2)3(43--=x y 2、 下列函数，x 取何值时y 随x 的增大而增大？x 取何值时y 随x 的增大而减小？（注意 数形结合）（1）y=-2(x-8)2+5 (2) 32142 -?? ? ??-=x y 四．自我测试 1．将抛物线1)4(22 --=x y 如何平移可得到抛物线2 2x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线2 2 3x y - =向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3、二次函数y=-(x-1)2 +3图象的顶点坐标是 。 4、抛物线22121x x y - +=可由抛物线22 1 x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到． (第1 x 二次函数与幂函数 1．五种常见幂函数的图象与性质 R R R{x|x≥0}{x|x≠0} (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 x∈R 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 答案：f (x )＝x 12 (x ≥0) 2．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝3 2>1， ∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数， ∴y min ＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况． 2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． [小题纠偏] 1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.????0，1 20 B.????－∞，－1 20 C.??? ?1 20，＋∞ D.??? ?－1 20，0 解析：选C 由题意知????? a >0，Δ<0，即????? a >0，1－20a <0， 解得a >1 20. 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数； ②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是 4ac －b 2 4a . 其中正确的是________． 答案：② 第4讲幂函数与二次函数 一、选择题 1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B. 答案 B 4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f（x） x在区间(1，＋∞)上一定() A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，∴a <1，则g (x )＝x ＋a x －2a (x >1). 若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 若00在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数
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