全等的相关模型总结
一、角平分线模型应用
1.角平分性质模型：
①如图1,在ABC中，? C =90，AD平分.CAB,BC "cm BD =4cm,那么点D到直线AB的距离是 ___________ c m.
②如图2，已知，N1=N2，必3=N4.求证：AP平分N BAC .
①2 （提示：作DE_ AB交AB于点E）
②匸N1 =也2 二PM =PN 丁乂3=乂4 二PN = PQ ”■” PM =PQ,「” PA平分N BAC （2）?模型巩固：
练习一：如图3,在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分? BAC .
辅助线：过点G作GE _射线AC
（1）.例题应用：
图i
?求证：.A . C =180
练习二：已知如图4,四边形ABCD中，
.B . D =180°,BC 二CD.求证：AC平分.BAD.
练习三：如图5, RtUBC中，NACB=900, CD丄AB,垂足为D, AF平分N CAB,交CD于点E 交CB于点F.
⑴求证：CE=CF.
⑵将图5中的△ ADE沿AB向右平移到A D E的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如
图6所示，是猜想：BE'于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.
图5 图6
练习四：如图7，/ A =90，AD // BC，P是AB的中点，PD平分/ ADC
求证：CP平分/ DCB
图7
练习五：如图8, AB> AC / A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE L AB, DF丄AC,垂足分别为E, F.求证：BE=CF
图8
练习六：如图9所示，在△ ABC中，BC边的垂直平分线DF交厶BAC的外角平分线AD于点D, F 为垂足，DE丄AB于E,并且AB>AC。求证：BE —AC=AE。
图9
练习七：如图10, D、E、F分别是△ ABC的三边上的点，CE=BF，且△ DCE的面积与厶DBF的面积相等，求证：AD平分/ BAC。
E
2?角平分线+垂线，等腰三角形比呈现
辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF //射线OB
(1).例题应用：
①.如图1所示，在△ ABC中，/ ABC=3 / C, AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于F。
1
求证：BE (AC - AB)
2
证明：延长BE交AC于点F。
②?已知：如图2，在M BC中，NBAC的角平分线AD交BC于D,且AB = AD,
1
作CM _AD交AD的延长线于M.求证：AM (AB AC)
2
li
1/t
图2
分析：此题很多同学可能想到延长线段
CM ，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就
在于AB=AD ，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形 . 证明：过点 C 作CE // AB 交AM 的延长线于点 E.
例题变形：如图，厶=必2 , B 为AC 的中点，CM 丄FB 于M,A N 丄FB 于N.
FB (FM FN ) 求证：①EF =2BM ;
② 2
(3).模型巩固：
练习一、 如图
3, △ ABC 是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD 平分/ ABC 交AC 于点D,
CE 垂直于BD 交BD 的延长线于点E 。求证：
BD=2CE
练习一变形：如图4
,在厶ODC中，一D =90°, EC是一DCO的角平分线，且°E 一CE
过点E作EF _°C交°C于点F?猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.
图4
练习二、如图5，已知△ ABC中，CE平分/ ACB，且AE丄CE ,Z AED +Z CAE = 180度，求证:
DE // BC
练习三、如图6，AD丄DC，BC丄DC，E是DC上一点，AE平分/ DAB，BE平分/ ABC，求证：点E是DC中点。
A