5.4平行线的性质定理和判定定理
【课程标准】
1.通过有关的基本事实和平行线的性质定理1证明平行线的其它性质定理和判定定理。
2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念；会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【总体目标】
【温故知新】
问题1.两条直线被第三条直线所截，可以得到几对对顶角？不共顶点的角的位置关系有几种？
分别是什么？
问题2.曾经探索得到的平行线的性质有哪些？
平行线的判定方法有哪些？
【学习过程】
活动一：证明平行线的性质定理2及性质定理3
平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
1.写出定理的条件和结论，并画出图形。
条件：结论：
2. 结合图形写出已知、求证，试着写出证明过程（数学语言）。已知：求证：
证明：
平行线的性质定理3
：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。模仿以上证明过程，独立证明平行线性质定理3.(小组交流
)
活动二：证明平行线的判定定理1及判定定理2
你能模仿平行线性质定理推导除基本事实外的另外两个判定方法吗？
平行线的判定定理1：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行
1.写出定理的条件和结论，并画出图形。
条件：结论：
2.
结合图形写出已知、求证，试着写出证明过程（数学语言）。
已知：求证：
证明：
平行线的判定定理2：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行
模仿以上证明过程，独立证明平行线判定定理2.(小组交流)
测评验收： 如图：直线AB,CD 都和AE 相交，且 ∠1+∠A=180°.求证：AB//CD
活动三：原命题与逆命题
1.分析下面的两个命题，你发现它们的条件和结论之间有什么关系？ （1）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行 2. 在平行线的性质和判定定理中，还有没有这样的两个命题？ 3. 在你学过的真命题中，你能举出类似的命题吗？ 学生思考、回答，进行总结。
互逆命题： 原命题： 逆命题：
测评验收：
说出下列命题的逆命题，并判断他们是真命题还是假命题？ （1）对顶角相等：
（2）如果b a 22 ，则a=b ； （3）同角的余角相等；
归纳逆定理的概念 逆定理： 你能举出几个学过的互逆定理吗？举例说明。
【本章小结】
请同学们谈谈这堂课的收获？
命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理
5.4 平行线的性质定理和判定定理 1．下列命题中正确的有（） ①相等的角是对顶角；②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直． A．0个B．1个C．2个D．3个 2．有下列四种说法： （1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 （2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直 （3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 （4）平行于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（） A．B．C．D． 4．如图，∠C=110°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是． （4题图）（5题图）（6题图）（7题图） 5．如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为． 6．如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是． 7．如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为． 8．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
9．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC 的度数． 10．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
参考答案 1．C 2．D 3．B 4. ∠BEC=70°5．50° 6．65° 7．55° 8．解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°． 9．解：∵∠EMB=50°， ∴∠BMF=180°﹣50°=130°． ∵MG平分∠BMF， ∴∠BMG=∠BMF=65°． ∵AB∥CD， ∴∠MGC=∠BMG=65°． 10．证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD，∠CFE=∠E， ∴∠1=∠CFE=∠E， ∴∠2=∠E， ∴AD∥BC． 初中数学试卷 桑水出品
圆的性质定理 一．定理： 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。 2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （5个条件：①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。注：当具备①③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。）3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半。 4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周 角所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它 们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两 条切线的夹角。 5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角。 6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹 的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点 分成的两条线段长的积相等。 8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这 一点到每条割线与园的交点的两条线段长的
积相等。 8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割 二．性质： 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆） 3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。（遇到切点连半径） 补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判定定理）。 续4：证明切线的辅助线作法：（1）连半径，证半径与该直线垂直（2）作垂直，证垂线长度等于半径。 5．在直角三角形中的内切圆，半径r=a+b+c/2或1/2周长-斜边；一般三角形中，r=2s/c
1、平行线的概念：第五章相交线与平行线 5.2.1平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥ b 。 2、两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 （2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 a 如左图所示，∵ b ∥ a ，c ∥ a b ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这c 两条直线都平行。 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有交点，若平行则交点. 2.在内，两条直线的位置关系只有、两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4.在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 类型二、平行线的画法：一落二靠三移四画 5.读下列语句,并画出图形. (1)直线AB、CD 是相交直线,点P 是直线AB、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直 线CD 相交于点E； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图： （1）如图(1)，过A 点画AF∥CE 交BC 于F； （2）如图(2)，过C 点画CE∥AD 交BA 的延长线于E. 类型三、平行公理及其推论 7.如图5.2.1-2,∵AB∥CD(已知),过点F 可画EF∥AB,∴EF∥DC, 理由是.
8.4 平行线的判定定理 一、学生知识状况分析 学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的判定已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础． 活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础． 二、教学任务分析 在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，本节课安排《平行线的判定定理》旨在让学生从简单的几何证明入手，逐步形成一个初步的、比较清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是： 1.熟练掌握平行线的判定公理及定理； 2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式． 3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情景引入——探索平行线判定方法的证明——反馈练习——反思与小结． 第一环节：情景引入 活动内容： 回顾两直线平行的判定方法 师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？
生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线． 生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行． 生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的． 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实． 我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨． 活动目的： 回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔． 教学效果： 由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识． 第二环节：探索平行线判定方法的证明 活动内容： ① 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式： 如图，已知，∠1和∠2是直线a 、b 被直线c 截出的同 旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a ∥b ． 如何证明这个题呢？我们来分析分析． 师生分析：要证明直线a 与b 平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a 与b 即平行． 1 23 a b c
圆的切线的判定与性质 【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质： （1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径 （2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。 例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理： （1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。 圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。 （2）切线长性质 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。 例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径 （3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 【解题方法指导】 一切线长定理的计算 例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。 二等腰三角形在证明切线中的巧用 例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
博途教育学科教师辅导讲义(一） 学员姓名: 年级：七年级日期：2013.3.2 辅导科目：数学学科教师：刘云风时间：课题七下第一章平行线的判定及其性质 授课课时 2课时 教学目标1、复习平行线的判定和性质，体会几何说理的过程。 2、灵活运用平行线的判定和性质，提高分析和解决问题的能力。 3、激发学生学习数学的兴趣，体会合作学习的快乐与成功。 教学内容 平行线的判定及其性质 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：平行线的判定和性质的灵活运用。 掌握平行线的判定和性质之间的区别与联系。 ◆教学难点：平行线的判定和性质的灵活运用。 〖教学过程〗 复习回忆知识检索 1、填表 平行线的平行线的 ，两直线平行。，两直线平行。，两直线平行。两直线平行，。两直线平行，。两直线平行，。 平行公理：经过一点，一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与平行，那么这两条直线。
【知识要点】 一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ += 90o∴αβ 与互为角2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ += 180o∴αβ 与互为角 二.余角和补角的性质:同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质:对角相等. 四.“三线八角”：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两线平行. 4、同平行于一条直线的两条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等； 2.两直线平行,内错角相等； 3.两直线平行,同旁内角互补. 【典型例题】 一、余角和补角 例1. 如图所示， 互余的角有__________________________________；互补的角有__________________________________； 1 2 3 4
5.3.1平行线的性质 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 【知识与技能】 1.掌握平行线的性质定理. 2.综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【过程与方法】 1.经历猜想、实践、探究不难得到平行线的性质定理.在此基础上，结合前节的知识，进行简单的证明或计算. 2.培养学生逆向思维的能力. 【情感态度】 培养学生逆向思维的能力. 【教学重点】 掌握平行线的性质定理，综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【教学难点】 综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 一、情境导入，初步认识 问题利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？二、思考探究，获取新知 可将上述问题细化： 1.如图，直线a∥b,直线a,b被直线c所截. （1）请填表： （2）如果a与b不平行，∠1与∠2还有以上关系吗？
（3）通过（1）（2）的探究，你能得到什么结论？ 2.如图，直线a∥b,则∠3与∠2相等吗为什么∠3与∠4互补吗 思考1.你能根据以上探究，归纳出平行线的三个性质定理吗？ 2.平行线的性质定理与相应的判定定理是怎样的关系？ 【归纳结论】1.平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的性质定理与相应的判定定理的已知部分和结论部分正好相反，它们是互逆关系. 三、运用新知，深化理解 1.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠A与∠C有怎样的大小关系，为什么？ 2.已知AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于M，N，MP平分∠EMA，NQ平分 ∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？ 3.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____.
七年级下册第五章 相交线与平行线的判定定理及应用 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这 种关系的两个角，互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个 角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关 系只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________.
第五章 相交线与平行线 5.2.1 平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 2、两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 （2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这 两条直线都平行。 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有_________交点，若平行则______交点. 2.在______内，两条直线的位置关系只有______、________两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（ ） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4. 在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 类型二、平行线的画法：一落 二靠 三移 四画 5. 读下列语句,并画出图形. (1)直线AB 、CD 是相交直线,点P 是直线AB 、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直线CD 相交于点E ； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P ,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图： （1）如图 (1)，过A 点画AF ∥CE 交BC 于F ； （2）如图 (2)，过C 点画CE ∥AD 交BA 的延长线于E . 类型三、平行公理及其推论 7. 如图5.2.1-2,∵AB ∥CD (已知),过点F 可画EF ∥AB ,∴EF ∥DC , 理由是________________________. a b c
教案说明 课题：5.2.2平行线的判定 授课老师： 教材：人教版数学七年级下册 一、教材分析 本课是义务教育课程标准实验教科书浙教版《数学》八年级上册《平行线的判定》第一章第二节。七年级学过的平行线的继续，是后面研究平移以及几何推理等内内的基础，也是空间与图形的重要组成部分。在学与教心理学中智慧技能的知识对本节的学习层次进行定位，本课属于智慧技能的规则学习。 二、学情分析 我所教的学生虽然是初中一年级，他们进入初中尚不满一年，接触平面几何知识也是从本学期开始的，所以他们的逻辑推理能力还不够强，语言的表达也不十分规范，这都是我在本节课的教学设计中所要强调的． 三、教学过程分析 1、温故知新 这个部分让学生去回顾前面所学习的“三线八角”，为本堂课平行线的判定的学习提供知识基础。并且通过利用平行线公理的推论，引入本节课的内容，是否存在其他的平行线判定方法？同时利用“三线八角”，让学生大胆猜测当同位角大小存在怎么样的关系的时候，两直线平行。并且利用几何画板可以对直线移动及展示角度的特点，直观的验证学生的猜想，最终引出如何从理论上来说明同位角相等，两直线平行的。 2、平行线的画法 通过动态的展示平行线的画法，来给学生生动的展示平行线的生成过程，为同位角相等，两直线平行的推导打下基础。 3、平行线的判定 这个部分分别从理论推导、概念理解、格式书写三个方面对平行线的判定的三个定理进行了诠释，通过推理部分，锻炼学生的推理能力，通过概念强化，加深学生对于定理的理解，通过书写格式展示，指导学生如何正确的应用。4、随堂练习 第一部分，通过三个判定定理各一题的简单题目，对定理进行“对号入座”的训练 第二部分，在第一部分的基础上，将图形进行了难度提升。同时在（3），进行了一个辨析，让学生更清晰的认识“内错角相等，两直线平行”的应用 第三部分，在第二部分的基础上引入了需要学生填写步骤的题型 5、例题探究 通过例题，引入“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的判定方法，同时也为后面的综合应用进行过渡。在这个例题中和前面所所学习的“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”进行类比，培养学生类比的能力， 6、综合应用 这一部分要求学生能够熟练的应用多个判定定理，同时对于正规答题，规范书写提出了一定的要求。 7、小结归纳 学生与老师共同来归纳所学习到的平行线的判定的方法，帮助学生构建完整的知识体系，同时养成良好的学习习惯，培养学生总结归纳的能力。 8、布置作业，巩固所学 通过课后的练习，对本堂课所学习的知识进行巩固，同时老师也通过作业对学生的学习进行了解，对反馈的情况及时的调整自己的教学。
3 圆的性质定理 一． 定理： 1.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧。 2 。垂径定理的推论：（1)平分弦 ( 不是直径）的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 (5个条件:①直径 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个,其他三个也成立.注：当具备① ③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。) 3。圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 4.圆周角定理的推论:(１)同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；（2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 5．切线长定理：从圆外一点引两条切线,它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 ５。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 6．弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 7。相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 8．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的
2 / 3 积相等。 8。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割 线, 二．性质: 1。在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2。确定圆的条件:定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有)一个圆.(作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆) 3。切线性质概述：（1）垂直于切线(2)过切点(３)过圆心,如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第３个。(遇到切点连半径） 补充3:切线五大性质:(１）切线与圆只有一个公共点(2)圆心到切线 的距离等于半径（３）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点(5)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(２)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3)经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判定定理)。 续4：证明切线的辅助线作法:(1）连半径，证半径与该直线垂直(2) 作垂直，证垂线长度等于半径. ５．在直角三角形中的内切圆,半径ｒ=a+b+c/2或1/２周长－斜边;一般三角形中，ｒ=2s/c
平行线的判定7.3 第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况师：下互相平行呢？ 1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生 2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直生3 线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．“两我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以 使学生很快地回忆起这些知识． 第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直① 线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号 列所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下语言．ca12b3． 形式： 如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b． 如何证明这个题呢？我们来分析分析． 师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行． 因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3． 师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”） 证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义） ∴∠3=180°－∠2（等式的性质） ∴∠1=∠3（等量代换） ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理． 这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可
【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
平行线四大模型 平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型 模型一“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
人教版九年义务教育三年制初级中学教科书·新教材《几何》第一册第二章第五节 平行线的判定
【教学目标】 1．认知目标 ?使学生掌握平行线的判定公理及判定定理；理解判定公理的形成、判定定理的证法，了解表达推理证明的方式。 ?使学生能根据判定公理及定理进行简单的推理论证。 2．智能目标 ?通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用。 ?培养学生的“观察——分析”和“归纳——概括”能力。 ?此外，本节课的教学中还介绍了两种重要的数学思想方法，即化归和分类的思想方法。 【教学重点难点】 重点是在观察、实验的基础上进行公理的概括与定理的证明。难点是定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。 【教学方法】 启发式谈话法、讨论法。 【教学用具】 三角板、两根细铁棍、投影胶片、投影仪、计算机及多媒体CAI课件。 【引导性材料】 通过上一节课的学习，学生对平行线的意义已有了较深的认识，但这种认识仅是直观的、感性的认识，而要来说明两直线平行，还只有两个途径：平行线的定义及平行公理的推论，其中平行公理的推论对条件要求较强，要有三条平行线，且其中的两条分别与第三条平行。如果用平行线定义更难以说明两条直线没有交点，因而，需要通过其他途径寻找判定两条直线平行的更普遍的方法。 【知识产生和发展过程的教学设计】 一、复习上节课的知识 首先引导学生复习上节课所讲的平行线的定义、平行公理及其推论，然后让学生判断下列语句是否正确，并说明道理： 1．两条直线不相交，就叫做平行线； 2．与一条直线平行的直线只有一条； 3．如果直线a、b都和c平行，那么a、b就平行。
其中第一小题若学生答错，则作教具演示以矫正；第二小题若学生答错，使学生看横格纸以矫正；第三小题叫一名学生口答，而后师生共同纠正。 二、讲授新知识 1．平行线判定公理 （1）提出新问题：如果只有a、b两条直线，如何判断它们是否平行？ 教法说明： 由于前面已经复习了平行公理的推论，因为估计学生会说“再作一条直线c，让c//a，再看c是否平行于b就行了”。而后再以“如何作c，使它与a平行？作出c 后，又如何判断c是否与b平行”追问，使学生意识到刚才的回答似是而非、需要找新的方法后，进一步启发学生，能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件，并让学生过已知直线a外一点p画a的平行线b。而后用三角板、细铁棍分别演示同位角是45°和60°地平行的情况。 （2）进行观察比较，得出初步结论 由刚才的演示发现：画平行线仍借助了第三条直线，但是要用与a、b都相交的第三线，根据“三线八角”的名称，在画平行线的过程中，实际上是保证了同位的两个角都是45°或60°，……因此，得出“猜想”：如果同位角相等，那么两直线平行。 （3）用计算机演示运动……变化过程，得出最后结论。 教法说明： 先提出问题“会不会有某一特定时刻，即使同位角不等两直线也平行呢？”以引出运动——变化的实验。在观察实验之前，首先让学生认清∠a和∠β角（如图1所示），而后开始实验。使学生充分观察，并得出结论：当∠β≠∠α时，a不平行于b；而不论a取何值，只要∠β=∠α，a、b就平行。再引导学生自己表达出结论。 并告诉学生这个结论称为“平行线的判断公理”：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么就两条直线平行。 图1 （4）及时巩固，及时反馈。 用变式图，让学生完成如下两个练习题。 练习1：如图2-1所示，∠1=150°，∠2=150°，a//b吗？
8.4平行线的判定定理 7数导—010 授课时间：2014年3月日班级：姓名： 一、学习目标 1、掌握平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补” 2、在与前一节判定定理的联系中，体会互逆的思维过程。 3、进一步理解证明的基本步骤和书写格式。 4、发展学生的初步的演绎推理能力。 二、重难点 重点：平行线的性质定理。 难点：明确推理证明每一步的理论依据，证明格式和步骤的规范性。 三、学习过程： （探究一）两直线平行的性质定理1：两直线平行，同位角相等 结合学习目标独立思考，翻看课本48—49页了解性质定理一的证明过程，由此，我们可以得到两直线平行的第一个性质定理： （探究二）两直线平行的性质定理2：两直线平行，内错角相等 （1）你能将命题“两直线平行，内错角相等”用“如果…那么…”的形式表示出来吗？请写出来。 （2）通过（1）的表示，请找出该命题中的条件和结论。 条件： 结论： （3）通过（2）的条件和结论，你能写出已知、求证吗？并根据已知画出几何图形和完成证明过程中的填空。 已知： 求证： 证明：∵a∥b（） ∴∠3=∠2 （） ∵∠1=∠3（） ∴∠1= （） 由此，我们可以得到两条直线平行的第二个性质定理： （探究三）两直线平行的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补 独立思考，脱离课本完成下列问题： （1）、通过定理“两直线平行，内错角相等”的学习，你能结合图形直接写出命题“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程吗？试试看。已知：如图a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=180° 证明： 由此，我们可以得到两条直线平行的第三个性质定理： 预习自测 1、如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角：， 写出互补的同旁内角： 2、如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为 3、如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18° 求：∠ABE的度数 四.课堂学习 1、小组展示探究二的证明过程，进一步规范证明定理的基本步骤。 2、小组展示探究三的证明过程。你还能用其他方法求证吗？组内交流。
《平行线的性质定理》教案 学习目标 1、理解和总结证明的一般步骤、格式和方法. 2、探索平行线的性质定理的证明，培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 3、结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论. 教学重难点 平行线的性质公理及定理. 教学过程 【温故知新】 (一)、知识链接：(两条直线平行的判定定理) 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4．下列不能使两直线平行的是( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补 C.对顶角相等 D.同位角相等 (二)、导学释疑： 证明：已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠2=∠3. 平行线的性质1定理：两直线平行，同位角相等. 【合作探究】 探究一、已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠1=∠2. 平行线的性质2定理：两直线平行，内错角相等. 探究二、两直线平行，同旁内角互补
(1)根据这一定理的文字叙述，你能作出相关图形吗？ (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ (3)你能说说证明的思路吗？并试着写出证明过程. 平行线的性质3定理：两直线平行，同旁内角互补. 【做一做】 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 【总结提升】 总结规律：根据本节课的学习，你能说说命题证明的一般步骤吗？ (1)根据题意画出图形；(若已给出图形，则可省略) (2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证； (3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程； (4)检查证明过程是否正确完善. 【当堂检测】 完成课本50页随堂练习.