一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x 2x 3=--+.
（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10. ∴△PBC 的周长最小是：3210+.
（3）①∵抛物线2
y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2
2
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.
∴
()
22DEF AEF 1111
S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3
2222
??=+=??+??=??=?---?=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
2．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得
到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
3．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【答案】（1）213
42
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为1
2
y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，
直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组12
22y x y x t ?=?
??=-?
得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112
S 4t t t 223
?=??-??然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,
m m 42?
?- ???，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO
AC OC
=时，△PQO ∽△CAO ，则2131
m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a?8?2＝4，解得a ＝1
4
， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0），
易得直线OA 的解析式为y ＝1
2
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，
把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=??
+=?，解得k 2
b 12=??=-?
，
∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，
∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，
解方程组12
22y x y x t ?=???=-?得43
23x t y t ?
=????=??
，则42N t,t 33?? ???， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
112
4t t t 223
=
??-?? 21
t 2t 3=-+
21
(t 3)33
=--+，
当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,
m m 42??- ???
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当
PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=， ∴PQ ＝2PO ，即213
m m 2|m |42
-=， 解方程213
m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213
m m 2m 42
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当
PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝
1
2
PO ，即2131m m m 422-=，
解方程2131
m m m 422
=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131
m m m 422
=
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）
和（0，22
3
）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出
BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=1
2
BG?x N﹣
1
2
BG?x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线
解析式求得x=
2
28
2
k k
-±-
，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知
()1
21
1
b
c
?
-=
??-
?
?=
?
，解得：
2
1
b
c
=
?
?
=
?
，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，
∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4）， ∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2， ∴点B （1，2）， 则BG=2，
∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG?（x N ﹣1）-1
2
BG?（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1， 由2
4
21
y kx k y x x =-+??
=--+?得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：x=
()
()2
2243k k k -±---=228k k -±-，
则x N =228k k -+-、x M =2
28k k ---，
由x N ﹣x M =1得28k -=1， ∴k=±3， ∵k ＜0， ∴k=﹣3； （3）如图2，
设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ， ∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0）， 设P （0，t ），
（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FO
CD OP
=， ∴
11
2m t t
+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC PO
CD OF
=， ∴
121m t t
+-=， ∴t=
1
3
（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， △=（1+m ）2﹣8=0，
解得：1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t 1=t 2，
方程②有一个实数根t=3
， ∴
﹣1，
此时点P 的坐标为（0）和（0，
3
）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：
19（m+1）2﹣1
3
（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2， 方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当﹣1时，点P 的坐标为（0）和（0）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．
5．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(
10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得
PAM PAC S S ??＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
23y x x =++-；（2）存在，点(1
2)P ，1032；（3）存在，点M 坐标为(1
4)， 【解析】 【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，）
，故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．
（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则
PAC C AC PC PA AC PC PB ?++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，
PAC C AC CB ?+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把
1x ＝代入即求得点P 纵坐标．
（3）由PAM PAC S S ??＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）
∴可设交点式13y a x x +＝（
）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝
1a ∴＝﹣
21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣
∴抛物线解析式为223y x x ++＝-
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ?的周长最小． 如图1，连接PB 、BC
∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称
PA PB ∴＝
PAC C AC PC PA AC PC PB ?∴++++＝＝
∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小
103003A B C （﹣，）、（，）、（，）
AC BC ∴===
PAC C AC CB ?∴+＝
设直线BC 解析式为3y kx +＝
把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣ ∴直线BC ：3y x +＝﹣
132P y ∴+＝﹣＝
∴点12P （，）使PAC ?
． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ??＝． ∵PAM PAC S S ??＝S △PAM ＝S △PAC ∴当以PA 为底时，两三角形等高 ∴点C 和点M 到直线PA 距离相等 ∵M 在x 轴上方
//CM PA ∴
1012A P （﹣，），（，）
，设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=?∴?+=? 解得：p 1
d 1=??=?
∴直线1AP y x +：＝
∴直线CM 解析式为：3y x +＝
2
3
23
y x y x x =+??=-++? 解得：1103x y =??=?（即点C ），22
14x y =??=?
∴点M 坐标为14（，）
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．
6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=9
4
；②P（2，﹣3）或
（22﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，
得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?
，解得123a b c =??
=-??=-?，
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=??=-?，解得1
3
k b =??
=-?， BC 的解析式为y=x ﹣3，
设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9
4
， 当n=
32时，PM 最大=9
4
； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；
当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，
解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2
（不符合题意，舍），n 3
， n 2﹣2n ﹣
， P （
，
综上所述：P （2，﹣3）或（
，2﹣
）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存
在，（32-
，32）或（34-，9
4
），见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ． 【详解】
（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得
93003a b c a b c c -+=??
++=??=?
， 解得123a b c =-??
=-??=?
，
所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，
∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，
设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1
PQ A 2
O ?， ∴
()
21
3332
x x --?=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．
当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4）， 当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，
∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4）， 又∵A （﹣3，0），
∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，
∵B （1，0），C （0，3）
∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC
＝310
，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，
∴AE ＝AC?sin ∠ABC ＝310410?＝6105
，BE ＝210
5， ∴CE ＝
310
， ∴tan ∠ACB ＝
2AE
CE
=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，
∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2
Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，
设OM 与AD 的交点M （x ，y ）
依题意得：3y x
y x =-??=+?
，
解得3232x y ?=-????=??
，
即M 点为（32-
，3
2
）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．
∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则
依题意得：
3
3 y x
y x
=-
?
?
=+
?
，
解得
3
4
9
4 x
y
?
=-?
?
?
?=
??
，
即M点为（
3
4
-，
9
4
），
综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为
（
3
2
-，
3
2
）或（
3
4
-，
9
4
）．
【点睛】
本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=
1
6
-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为
17
2
m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=
1
6
-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；
(2)两排灯的水平距离最小是3．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函
数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点
17
(0,4),3,
2
B C
??
?
??
在抛物线上
所以
4
171
93
26
c
b c
=
?
?
?
=-
?++
??
，解得
2
4
b
c
=
?
?
=
?
，所以2
1
24
6
y x x
=-++
所以，当6
2
b
x
a
=-=时，10
t
y=
≦
答：2
1
24
6
y x x
=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，
22
6
3
y=>，所以可以通过
（3）令8
y=，即2
1
248
6
x x
-++=，可得212240
x x
-+=，解得
12
623,623
x x
=+=-
12
43
x x
-=
答：两排灯的水平距离最小是43
考点：二次函数的实际应用．
9．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即
；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB?PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理
得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N 的坐标为（，
）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．
10．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD 的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系． 【详解】
（1）设AD=x 米，则AB=1002
x
米 依题意得，
(100)
2
x x -＝450 解得x 1=10，x 2=90 ∵a=20，且x≤a ∴x=90舍去
∴利用旧墙AD 的长为10米．
（2）设AD=x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得：
S=
2(100)1
(50)125022x x x ---+＝，0＜x ＜a ∵0＜a ＜50
∴x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大
当x=a 时，S 最大=50a-
12
a 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=
22(1002)[(25)](25)244x a x a a x ＝+---+++，a≤x ＜50+2
a
当a ＜25+
4a ＜50时，即0＜a ＜1003
时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=2
1000020016
a a ++，
当25+
4a ≤a ，即1003
≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=
(1002)2a a a +-=2
1502
a a -，
综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2
(3100)16
a -＞0
2
1000020016
a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积
为2
1000020016
a a ++平方米
当
100
3
≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜
100
3
时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
2
1000020016
a a ++平方米；
当
1003
≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a
）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
（2
1502
a a -）平方米．
【点睛】
本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．