专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1.(2019·x 的取值范围是( ) A .0x ≥ B .1≥x C .1x > D .1x ≤ 2.(2020·山西月考)计算:(2 1-=_____. 3.(2020· =______. 4.(2020·官成镇月考)使式子 x 有意义的实数x 的取值范围是__________. 5.(青岛月考)若2,,4m =__________. 6.(2020·=___________. 7.(2020·浙江杭州市模拟)一个长方形的面积为,其中一边长为边为_________. 8.(2019·威远县月考)当a <01a -=_______. 9.(2020·成都月考)若实数x ,y 满足3y =, 则x y +的立方根为_______. 10.(2020·四川月考)若24 y x = -,则x 的取值范围是__________. 11.当a=__________和可以合并. 12.(2020·辽宁锦州市期中)数轴上,点A 1,点B 表示3,则AB 间的距离___________ 13.(2020·平远县期中)(1 1224-?? ???
14.(2020·甘肃兰州市期中)计算 (1) (2) ﹣1) )﹣(1﹣ 2. 15.(2019·广东月考)如图A ,B ,C 三点表示的数分别为a ,b ,c .利用图形化简: a b - 16 ()() 2 2 3 3 +== =+ - 互为有理化因式,上述解题过程也称为分母有理化. (1 的有理化因式是________2的有理化因式是________. (2)将下列式子进行分母有理化:
二次根式的运算(基础)知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根 式加减运算; 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘 除运算; 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中. 要点诠释: (1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤: 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; 2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组; 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变, 只把被开方数相乘. 要点诠释: (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0,≥0,…..≥0). (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如. 2.积的算术平方根: (a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数,把含有形式的a移到根号外面.
教学过程 一、复习预习 学生活动:请同学们完成下列各题: 1.计算 (1)(2x+y)·zx (2)(2x2y+3xy2)÷xy 2.计算 (1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)?单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用. 新授课如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢??仍成立. 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,?当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式. 例1.计算: (1)(2)()÷ 分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,?所以直接可用整式的运 算规律.解:(1) 解:()÷÷÷ -3 2 二、知识讲解
考点1 1、几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 3、在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 易错点1 在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里
面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 三、例题精析 【例题1】 【题干】计算(1(2
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1.下列式子一定是二次根式的是() A.B.C.D. 2.下列式子是二次根式的有() ①;②(a≥0);③(m,n同号且n≠0);④;⑤. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.下列根式中,属于最简二次根式的是() A. B.C.D. 二、二次根式有意义的条件 4.若代数式﹣在实数范围内有意义,则x的取值范围是() A.x≠﹣2 B.x≤5 C.x≥5 D.x≤5且x≠﹣2 5.已知y=,则的值为() A.B.﹣ C.D.﹣ 6.若式子﹣+1有意义,则x的取值范围是() A.x≥B.x≤C.x= D.以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7.下列运算正确的是() A.B. C.D. 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简﹣+b的结果是()A.1 B.b+1 C.2a D.1﹣2a 9.若1<x<2,则的值为() A.2x﹣4 B.﹣2 C.4﹣2x D.2 四、最简二次根式
10.下列二次根式是最简二次根式的是() A. B.C. D. 11.在根式①②③④中,最简二次根式是()A.①②B.③④C.①③D.①④ 12.下列根式中是最简二次根式的是() A.B.C.(a>0)D. 五、二次根式的乘除法 13.计算2×÷的结果是() A.B.C.D.2 14.下列运算正确的是() A.a+a=a2B.a2?2a3=2a6C.÷=3 D.(﹣ab3)2=a2b6 15.下列计算正确的是() ①=?=6;②=?=6 ③=?=3;④=?=1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 六、分母有理化 16.﹣1的倒数为() A.﹣1 B.1﹣C.+1 D.﹣﹣1 17.a=,b=,则a+b﹣ab的值是() A.3 B.4 C.5 D. 七、同类二次根式 18.下列根式中,与为同类二次根式的是() A.B.C.D. 19.下列二次根式中,能与合并的是() A. B. C.D. 20.在根式、、、、中与是同类二次根式的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二次根式的基本运算(六) 班级 姓名 1.数轴上表示实数a 的点的位置如图所示,化简(a -5)2 +|a -2|的结果为___. 2. 若x≤0,则化简|1﹣x|﹣的结果是 A .1﹣2x B .2x ﹣1 C .﹣1 D .1 3.下列计算:(1)=2,(2) =2,(3)(﹣2)2 =12,(4)( +)( ﹣ )=﹣1,其中结果正确的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 19.计算 (1)48212734+- (2))23)(23()23(2 -++- 1. 函数2 y x = -中字母x 的取值范围是( ) A .x ≠2 B .x ≥1 C.13x ≤≤ D .13x ≤≤且x ≠2 19.计算:(1)(+)(﹣)﹣(+3)2 . (2); 2 2x =-,那么x 的取值范围是( ) A.x ≤2 B.x ﹤2 C.x ≥2 D.x ﹥2 13.计算:20152014 )23() 23(+?-= . 11 .在函数y = x 的取值范围是 11、若式子12+a 有意义,则a 的取值范围为 ; 16、计算:( )( ) 232 33 16 48-++- 22、阅读下面的材料,并解答问题: ( ) ( )( )()121 21 21 21 21 2112122 -=--= -+-? = +; ()()()()() 23232323232 31 23 1 2 2 -=--= -+-?=+ ;
( ) ( )( )()() 34343 43 4343 413 412 2 -=--= -+-? = +;…… (1)填空: =+4 51 , =+2016 20171 ; =++n n 11 (n 为正整数) ; (2)化简:1 22- 1x 的取值范围为( ) A .x ≥2 B .x ≠3 C .x ≥2或x ≠3 D .x ≥2且x ≠3 17.(6分)计算:+ (﹣1)﹣30 ﹣| ﹣2|. 19.计算:﹣|﹣2 |﹣ (2﹣π)0+(﹣1)2017 . (1) (2) . (1)计算:108965475-+- (2)计算:2)6235(+ 19.(2015春?铜仁市期末)计算:()﹣1 +|2﹣|+()0﹣(﹣1) 2016 . 1.若代数式x +1(x -3) 2有意义,则实数x 的取值范围是() A .x ≥-1 B .x ≥-1且x ≠3 C .x >-1 D .x >-1且x ≠3 11. (2015 春 ?黔南州期末)若式子在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 x ≥0 且x ≠2 .
二次根式的混合运算 例1.设 3131+-的整数部分是a ,小数部分是b ,试求22a b +的值。 例2.若a 、b 、c 是△ABC 的三边,化简()()+--+++22c b a c b a ()()22b a c a c b --+-- 例3若x 、y 为实数,且y >322+-+-x x ,求11--y y x 的值。 例4计算:(22-3)2011( 22+3)2012. 例5若x =10-3,求代数式x 2+6x +11的值. 三. 【课堂练习】 ⑴(3+22)× 6 ⑵(827-53)· 6 (3)(3-22)(33-2)
(4)( 2 2-3)(3+2) (5)(25-32)(25+32) (6)(3-2) 2 (7)(32-45)2 (8)(3-22)(22-3) (9)(a-b)2(10)(1-23)(1+23)-(1+3)2 练习 1. 计算12(2-3)=. 2. 计算⑴(2+3)(2-3)=;⑵(5-2)2010( 5+2)2011=. 3. 计算: ⑴12(75+31 3-48) ⑵( 1 327-24-3 2 3)·12 ⑶(23-5)(2+3) ⑷(5-3+2)(5+3-2) ⑸(312-21 3+48)÷2 3
4. 已知a =3+2 ,b =3-2,求下列各式的值. ⑴a 2-b 2 ⑵1a -1b ⑶a 2-ab +b 2 5. 若x =3+1,求代数式x 2-2x -3的值. 五【能力拓展训练】 1计算: ⑴. 11 2 21231548333+-- ⑵. ()1485423313??-÷+-+ ??? ⑶()()()2743743351+--- ⑷. ()()()()222212131213++-- 2已知:1 110a a +=+,求221 a a +的值。
一、最简二次根式 【例1】下列二次根式中,最简二次根式的个数是(). . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 6x x -=是分式, 0.5中的1 3 是分数,它们都不满足条件1中有能开得尽方的因式2b, 2 2()22 x-,它们都 不满足条件2满足最简二次根式的两个条件.答:B. 点评:要牢记最简二次根式的两个条件,判断时只须看被开方数,注意当被开方数是多项式时要先 分解因式,找一找有没有能开得尽方得因式和因数,中虽有2a和2b,但2a和2b 不是2a+2b的因式. 【答案】B 【例2】 中,最简二次根式有____________________. . 【例3】下列根式) A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C. 【例4】化简下列各式(字母均取正数): 2) x≥. 【解析】 =5 14 9 .== =3 == 【答案】(1)(2)5(3)14 9 ;(4(5)3 二、二次根式的乘除 【例5】把下列各式分母有理化: 2
【解析】 ===;
2 = =- 1= = =; = = 注:本题帮助学生练习最简单的“分母有理化”及性质.当分母中有根号时,要在分子和分母上同时乘以一个 式子,使相乘后的分母不再含根式.⑶、⑷主要运用“22()()a b a b a b +-=-”,进行分母有理化. 【答案】(1 ;(2)-(31;(4 【例6】 把下列各式分母有理化: ⑴⑵ ⑶÷ 【解析】= ⑵ = =- ⑶5÷=+ = - = 【答案】(1 (2)-(3)5+(4 【例7】 【解析】原式 【例8】 【解析】原式1 3=? 【例9】 =; 【答案】. 【例10】
● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件: ● 2、二次根式的双重非负性: ● 3、二次根式的平方公式: ● 4、二次根式的开方公式: ● ● 5、二次根式的乘法公式: ● 6、二次根式的除法公式: ● 7、最简二次根式: ● 8、同类二次根式: ● 9、二次根式的加法运算步骤: (1)先 ● (2)再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤:(1)先 ● (2)再 ● 11、二次根式的混合运算:先乘方,再乘除,最后算加减;如果有括号,就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算:() ._______)62 1 (_______;5 .222 =- =- ● 2、化简:4 1 6 = ,3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是______。 ● 4、若2 2 )2()2(-=-x x ,则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3- __________ 。 ● 7、计算: () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9. ● 10是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. ● 11.分母有理化