2．1椭圆
2．1.1椭圆及其标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；
(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．
2．过程与方法
(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；
(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；
(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．
●重点、难点
重点：椭圆定义及其标准方程．
难点：椭圆标准方程的推导过程．
椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．
学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？?引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.?通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.?通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.?通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.?错误!?错误!?错误!
(对应学生用书第19页)
1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？
【提示】椭圆．
2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？
【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．
把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？
【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．
(对应学生用书第20页)
(1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则到F 1、F 2两点的距离之和等于8的点的
轨迹是________；
(2)椭圆x 216＋y 2
25
＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF 1的周长？
【自主解答】 (1)由于动点到F 1、F 2的距离之和恰巧等于F 1F 2的长度，故此动点的轨迹是线段F 1F 2.
(2)由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 1|＝2a ，
∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝20，
∴△ABF 1的周长为20.
【答案】 (1)线段F 1F 2 (2)20
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数．
当a ＞c 时，集合P 为椭圆上点的集合；
当a ＝c 时，集合P 为线段上点的集合；
当a ＜c 时，集合P 为空集．
因此，只有|F 1F 2|＜2a 时，动点M 的轨迹才是椭圆．
2．注意定义的双向运用，即若|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a ＞|F 1F 2|)，则点P 的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a .
椭圆x 225＋y 2
9
＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )
A ．2
B ．4
C ．8 D.32
【解析】 如图，F 2为椭圆右焦点，连MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12
|MF 2|， 又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，
∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.
【答案】 B
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．
【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？
【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，
∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)， ∴2a ＝(5＋4)2＋ (5－4)2＝10，
∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，
故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2
9
＝1. (2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，
设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
∴??? 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则?????
a ＝2，
b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24
＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，
设方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
∴??? 0a 2＋4b 2＝1，
1a 2＋0b 2＝1.则?????
a ＝1，
b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24
＋y 2＝1. 法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，
∴????? 4m ＝1，n ＝1，∴????? m ＝14，n ＝1，
综上可知，所求椭圆方程为x 24
＋y 2＝1.
1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．
【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1
(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，
将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得?????
12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1， 解得??? m ＝115，
n ＝15，
故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25
＝1.
已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂
足为P ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP →
，求点M 的轨迹．
【思路探究】 设动点M (x ，y )，P (x 0，y 0)→找M ，P 的关系→用点M 坐标表示点P 坐标→代入圆方程→得点M 轨迹
【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，
∴x 20＋y 20＝9.
将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2
＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29
＋y 2＝1.
1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．
2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：
(1)设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；
(2)找出P 、Q 之间坐标的关系，并表示为?????
x ′＝φ1(x ，y )，y ′＝φ2(x ，y )； (3)将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程．
设A 、B 是椭圆x 225＋y 2
16
＝1与x 轴的左、右两个交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP 中点M 的轨迹方程．
【解】 设P (x 0，y 0
)，AP 的中点M (x ，y )，则??? x ＝x 0－
52，y ＝y 0
2，即????? x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216
＝1， 得(2x ＋5)225＋y 2
4＝1，
所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24
＝1.
已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角
形顶点A 的轨迹方程．
【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC 的周长为18能否得到A 到B 、C 的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？
【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．
由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．
由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，
得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.
因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．
由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.
所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29
＝1(y ≠0)．
1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A 的轨迹方程，解答时不要漏掉y ≠0这一条件．
2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12
)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 点，则动点P 的轨迹方程为________．
【解析】 如图，依题意知|P A |＝|PB |，所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2，所以点P
的轨迹为以A (－12，0)，F (12，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x 2＋y 2b 2＝1，又因为c ＝12
，a ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝34，从而所求的动点P 的轨迹方程为x 2＋43
y 2＝1. 【答案】 x 2＋43
y 2＝1
(对应学生用书第21页)
忽略椭圆标准方程中a ＞b ＞0的条件致误
方程x 2m 2＋y 2
(m －1)2
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围． 【错解】 方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 2＜(m －1)2，解得m ＜12
，所以实数m 的取值范围是(－∞，12
)． 【错因分析】 错解只注意了焦点在y 轴上，而没有考虑m 2＞0且(m －1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．
【防范措施】 椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在y 轴上时，其方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，应用时一定要注意条件a ＞b ＞0，否则极易将焦点位置弄错．
【正解】 方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则????? m 2＞0，(m －1)2＞0，(m －1)2＞m 2，
解得????? m ≠0，m ≠1，m ＜12.
故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12
)．
1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．
2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a＞c.
3．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．
4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．
(对应学生用书第22页)
1．设P是椭圆x2
25＋y2
16＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．10B．8C．5D．4
【解析】由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10.
【答案】 A
2．椭圆x2
16＋y2
25＝1的焦点坐标是()
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
【解析】∵a2＝25，b2＝16且焦点在y轴上，∴c＝3，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．
3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()
A.x2
100＋y2
36＝1 B.
y2
400＋
x2
336＝1
C.y2
100＋x2
36＝1 D.
y2
20＋
x2
12＝1
【解析】由题意c＝8，a＝10且焦点在y轴上，∴b2＝a2－c2＝100－64＝36，∴方程
为y2
100＋x2
36＝1.
【答案】 C
4．已知一椭圆标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．【解】∵b2＝9，c2＝16，∴a2＝b2＋c2＝25.
∵此椭圆的焦点不确定，
∴标准方程为x2
25＋y2
9＝1或
y2
25＋
x2
9＝1.
(对应学生用书第89页)
一、选择题
1．已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|P A|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由椭圆定义知甲?/ 乙，但乙?甲，故甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 B
2．设椭圆x2
m2＋y2
m2－1
＝1(m＞1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m＝()
A．6B．3C．2D．4
【解析】由题意椭圆焦点在x轴上，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.
3．设P 是椭圆x 216＋y 212
＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，∵|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．
【答案】 B
4．若方程x 2a 2＋y 2
a ＋6
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞3
B ．a ＜－2
C ．a ＞3或a ＜－2
D ．a ＞3或－6＜a ＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴?????
a 2＞a ＋6，a ＋6＞0， ∴a ＞3或－6＜a ＜－2.
【答案】 D
5．(2013·天水高二检测)设集合A ＝{1,2,3,4}，m 、n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n
＝1表示焦点在x 轴上椭圆的个数是( )
A ．6
B ．8
C ．12
【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上，∴m ＞n ，因此，当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时，n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1，共6种情况．
【答案】 A
二、填空题
6．若方程x 2a
＋ay 2＝1表示椭圆，则实数a 应满足的条件是________． 【解析】 将方程化为x 2a ＋y 2
1a
＝1，此方程表示椭圆须满足：?????
a ＞0，a ≠1a ，解得a ＞0且a ≠1. 【答案】 a ＞0且a ≠1
7．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1的焦点在y 轴上，且焦距为4，则实数m ＝________. 【解析】 由题意，焦点在y 轴上，焦距为4，则有m －2－(10－m )＝(42
)2，解得m ＝8. 【答案】 8
图2－1－1
8．(2013·临沂高二检测)如图2－1－1所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．
【解析】 ∵折叠后的M 与F 重合，∴|PM |＝|PF |，又∵|PM |＋|PO |＝r ，∴|PF |＋|PO |＝r ＞|OF |，故点P 的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆．
【答案】 椭圆
三、解答题
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点A (63，3)和B (223
，1)的椭圆． (2)过点(－3,2)且与x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆． 【解】 (1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．
∵椭圆过点A (
63，3)和B (223，1)， ∴???
m ·(63)2＋n ·(3)2＝1，m ·(223)2＋n ·12＝1， 解得m ＝1，n ＝19. ∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 2
9＝1. (2)∵已知椭圆x 29＋y 2
4
＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5. ∴设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2
a 2－5
＝1. ∵点(－3,2)在所求椭圆上，
∴9a 2＋4a 2－5
＝1. ∴a 2＝15.
∴所求椭圆方程为x 215＋y 2
10
＝1.
10．已知椭圆x 29＋y 22
＝1的焦点为F 1、F 2，P 是该椭圆上一点，且|PF 1|＝4，求： (1)|PF 2|的值；
(2)∠F 1PF 2的大小．
【解】 由题意知：a ＝3，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝7.
(1)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.
∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.
(2)∵|F 1F 2|＝2c ＝27，由余弦定理：
cos ∠F 1PF 2＝22＋42－(27)22×2×4
＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.
11．已知点M 在椭圆x 236＋y 2
9
＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．
【解】 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209
＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，
∴x 0＝x 且y 0＝y 2
. 把?
???? x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1中，得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36.
∴
P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.
(教师用书独具)
(2013·北京高二检测)如图所示，点M 是椭圆x 264＋y 2
36
＝1上的一点，F 1、F 2是左、右焦
点，∠F 1MF 2＝60°，求△F 1MF 2的面积．
图
【解】 由椭圆的方程得a 2＝64，b 2＝36，
∴2a ＝16，c 2＝a 2－b 2＝28，
∴2c ＝47.
由椭圆定义得：|MF 1|＋|MF 2|＝16，
又△MF 1F 2中，由余弦定理得：
|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos 60°.
①2－②得：
3|MF 1|·|MF 2|＝162－|F 1F 2|2＝162－(47)2.
∴|MF 1|·|MF 2|＝48.
∴S △F 1MF 2＝12
|MF 1|·|MF 2|sin 60°＝12 3.
椭圆x 29＋y 22
＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．
【解析】 由于a 2＝9，b 2＝2，所以c ＝a 2－b 2＝7，故焦距|F 1F 2|＝27，又由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，且|PF 1|＝4，
得|PF 2|＝2，再结合余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－(27)22×2×4
＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120°