一、曲线的一般组成
厦深铁路12标正线线形设计为 直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线。从小里程至大里程依次为ZH （直缓点）、HY （缓圆点）、YH （圆缓点）、HZ （缓
直点）如下图所示：
二、方位角的概念
从标准方向的正北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°～360°，如下图A 即为直线L 的方位角。
T
T
三、某点坐标的计算
已知A 点坐标为（491548，2505452），B 点距离A 点L=125m ，直线AB 的方位角为235°，计算B 点坐标。
计算方法：
Y=491548+125×SIN235=491445.606
X=2505452+125×COS235=2505380.303
四、曲线上任一点的坐标及切线方位角计算
1 直线段上任一点的坐标及方位角
直线上的坐标计算比较简单，只需要求出该点所在直线的方位角以及线路中的里程即可求得
例1，求DK495+520处左中线的坐标及方位角
由设计院所给的曲线要素表可知该点位于JD57 JD58的直线上，查曲线要素表JD57,JD58的坐标分别为（
488809.902，2504127.029），（485660.627，2504491.226）。通过坐标反算直线JD57 JD58T
T
的方位角：
A=atg((485660.627-488809.902)/( 2504491.226-25 04127.029))
=276.59665°
注意：A的取值可根据下述条件确定
ΔY>0,ΔX>0,第一象限0-90°
ΔY>0,ΔX<0,第二象限90°-180°
ΔY<0,ΔX<0,第三象限180°-270°
ΔY<0,ΔX>0,第四象限270°-360°
查曲线表，JD58切线长T= 690.303m，JD58坐标（Y58,X58）=（485660.627，2504491.226）,ZH点里程为DK496+093.885。
JD58 JD57的方位角：A0=A-180=96.59665°
则ZH点的坐标为：
Y ZH=Y58+T×sin(A0)= 485660.627+690.303×sin96.59665
=486346.3598
X ZH=X58+T×cosA0=2504491.226+690.303×COS96.59665
=2504411.9246
ZH点坐标为（Y ZH,X ZH）=(486346.3598, 2504411.9246)
DK495+520到ZH点的距离L=DKZH-DK495+520
=496093.885-495520
=573.885
则DK495+520的坐标（Y,X）= (Y ZH+L×sinA0,
X ZH+L×cosA0)
=（486916.445，2504345.997）
切线方位角即为JD57 JD58,A=276.59665°
2 第一缓和曲线的计算（切线支矩法）
由于缓和曲线与圆曲线没有比较理想的大地坐标计算公式，需要局部计算再根据换算公式换算为大
地坐标。计算思路为：先以缓和曲线所在交点的ZH 点为坐标原点建立小坐标系统，算出小坐标Yi ，Xi 以及β，然后由换算公式换算为统一的大地坐标系统，即设计院所给的坐标系统。计算公式如下：
2.1 小坐标计算公式:
Yi=L 3/(6R*Ls) （2-1）
Xi=L- （2-2）
β=ρ*L 2/(2R*Ls) (2-3)
Yi----------缓和曲线上i 点的小坐标Y Xi----------缓和曲线上i 点的小坐标X
L-----------缓和曲线上i 点到直缓点的曲线长度 L=DKi-DKZH
R-----------圆曲线半径
Ls----------缓和曲线长
β----------
ρ----------ρ=180/π
2.2 小坐标转大地坐标计算公式
Y=Y ZH +Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
X=X ZH +Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
Ai=A0+CC*β
Y-----------待求里程点大地Y 坐标
X-----------待求里程点大地X 标
Ai----------待求里程点切线方位角
A0----------ZH 点至交点直线的方位角
CC----------表示+1或者-1，取值规定：当曲线单元偏向为右时为+1，左偏时为-1 )40/(2
25Ls R L
緩和曲綫 缓和曲线【transition curve 】指的是平面线形中，在直线与圆曲线，圆曲线与圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线。缓和曲线是道路平面线形要素之一，它是设置在直线与圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。 一、缓和曲线的作用及其几何特征 行驶于曲线轨道的机车车辆，出现一些与直线运行显著不同的受力特征。如曲线运行的离 心力，外轨超高不连续形成的冲击力等。为使上述诸力不致突然产生和消失，以保持列车曲线运行的平稳性，需要在直线与圆曲线轨道之间设置一段曲率半径和外轨超高度均逐渐变化的曲线，称为缓和曲线。当缓和曲线连接设有轨距加宽的圆曲线时，缓和曲线的轨距是呈线性变化的。概括起来，缓和曲线具有以下几何特征： 1. 缓和曲线连接直线和半径为R 的圆曲线，其曲率由零至1/R 逐渐变化。 2. 缓和曲线的外轨超高，由直线上的零值逐渐增至圆曲线的超高度，与圆曲线超高相连接。 3. 缓和曲线连接半径小于350m 的圆曲线时，在整个缓和曲线长度内，轨距加宽呈线性递增，由零至圆曲线加宽值。 因此，缓和曲线是一条曲率和超高均逐渐变化的空间曲线。 二、缓和曲线的几何形位条件 图2-9所示为一段缓和曲线。其始点与终点用ZH 与HY 表示。要达到设置缓和曲线的目的， 根据如图所取直角坐标系，缓和曲线的线形应满足以下条件： 1.为了保持连续点的几何连续性，缓和曲线在平面上的形状应当是：在始点处，横坐标x ＝ 0,纵坐标y ＝ 0,倾角φ ＝ 0;在终点处，横坐标 x =x 0，纵坐标y =y 0 ，倾角φ ＝φ0 。 2.列车进入缓和曲线，车体受到离心力 J 的作用，为保持 列车运行的平稳性，应使离心力不突然产生和消失，即在缓和曲线始点处，J ＝0,在缓和曲线终点处 Ρ=R 。 3.缓和曲线上任何一点的曲率盈余外轨超高相吻合。 在纵断面上，外轨超高顺坡的形式有两种形式。一种形式是，如图2-10（a ）所示；另一 种形式是曲线形，如图2-10（b ）所示。 图 2－9缓和曲线坐标图
1.2道路线形的基本介绍 道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。 一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。 无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。 公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R 的变量。在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R ，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。 目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH 或HZ ）的半径为∞，圆半径为R ，第一缓和曲线长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1 R 、2 R 。而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样 线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。 2 路线中桩坐标计算原理 在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算
第一讲：曲线正矢计算 一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R L=20M时，F C=50000/R F ZY=F YZ= F C/2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Fμ=（FC/2）*（δ/10）2 ZY后点：Fη=FC-{（FC/2）*（τ/10）2} FC：圆曲线正矢δ：ZY点到后点的距离τ：ZY点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F0=F1/6（缓和曲线起点）F终= F C-F0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算： F1=F S= F C/N （N=L0/B：缓和曲线分段数） F2=2 F1 F3=3F1 F I=IF1（I为中间任意点） 四、半点（5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算： F后=25/48*F1 因为ZH点正矢f0=f1/6,很小一般为1~2MM，其前半点很小（小于1MM）因此不作计算。 b)HY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1/2{[L03+（L0-15）3]/6R L0+[5L0+25]/2R}-（L0-5）3/6R L0 c)HY（YH）点后半点计划正矢的计算 F后=1/2{[ （L0-5）3 -L03]/6R L0+[5L0+175]/2R} d)中间点（5米桩）正矢的计算
F中=（F前+F后）/2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ=αυF S(直缓点外点) αυ=1/6(δ/B)3 Fη=αηF S(直缓点内点) αη=1/6[(1+δ/B)3-(δ/B)3] (2) 缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C-αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ= F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内) (αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二) (3)缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 F I=(F C/L0)L I（I为中间任意点） 说明：B：半弦长δ：缓和曲线内点到ZH、HY（YH）距离 L0：缓和曲线长F C：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 1、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变，或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 （2）假定曲线上某点拨动时，其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 2、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等； （2）拨动曲线时，某点的正矢增（减）X，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3）只要铺设时曲线圆顺，养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总和不变，即拨道前后量得的正矢总和相等。
绳正法曲线拨道计算 一、基本原则 1. 为了保证曲线两端的直线在拨道后方向不变，既使曲线的转角不变，在整个曲线上的实量正矢之和应该与计划正矢总和相等。既： ① 实量正矢和=计划正矢和。 ② 实量正矢-计划正矢=正矢差，正矢差的总和应该等于0，由此得到的拨道最后的一点正矢差累计也应该等于0。 2. 保证曲线两端的直线位置不变，即：使曲线或拨道控制点的头尾半拨量和拨量通过修正等于0。使正矢实量总和与计划正矢总和相等是调整以及安排计划正矢的唯一依据；使曲线的首尾拨道量等于0是计算拨道量时的基本要求。 二、整正曲线时的两个基本要求 1. 拨量要小 在整正计算的过程中，要考虑现场以及劳力的实际情况尽量减少拨道量和拨道点数量，一般情况下两者成反比，既调整点数越少拨量越大，调整点数越多拨量越小。在桥梁护轨、路堤、路堑、缺碴地段、信号墩台处所应事先调查好可以的拨道量和点号作为调整和计算的依据。在困难条件下一般不得大于40毫米，电气化铁路不得大于30毫米，超过该标准的应根据《安规》要求设置防护和慢行计划。 2. 拨后的曲线要圆顺 拨后的正矢应该符合《维规》中对缓和曲线正矢差、圆曲线连续差和最大最小差的要求，即拨后缓和曲线正矢要尽量的递增递减一致，圆曲线正矢尽量均匀一致。 三、曲线整正计算 ⑴曲线中央点位置(QZ )： ? ? ?? ? ? ? ? ?= +==∑∑∑∑=-i n i i i i f f i f f f QZ 1 1)(现场正矢合计现场正矢到累计合计,i 为测点号，n 为总测点数
⑵圆曲线平均正矢（p f ）： 已知曲线半径，R f p 50000= （20米弦）或R f p 12500 =（10米弦） 不知曲线半径，n f f i p ∑= = 测量正矢的测点数 现场正矢合计 式中，n 为相对应的正矢测点数。 ⑶圆曲线分段数M ： p i f f M ∑= =圆曲线平均正矢 现场正矢合计 ⑷圆曲线长度(y L ):m M L y 10?= ⑸圆曲线头尾位置(ZY ,YZ )： 2M QZ ZY - = 2M QZ YZ += ⑹缓和曲线的分段数(m ): 10 10h L m == 缓和曲线长度 如不知缓和曲线的长度，可根据公式max 9Hv L h =先求缓和曲线长度。 式中 h L -------缓和曲线长度 H -------曲线超高值 m ax v ------线路容许速度 ⑺缓和曲线始终点位置(ZH ,HY ,YH ,HZ ) 2m ZY ZH - =，2m ZY HY += 2m YZ YH -=，2m YZ HZ += 说明：在圆曲线上设缓和曲线，是将缓和曲线长度的一半放在圆曲线上，另一半放在直线上。所以，圆曲线的直圆点和圆直点分别是两个缓和曲线的中央点。 ⑻无缓和曲线时，整桩上圆曲线始终点正矢：
高速公路的线路(缓和曲线)计算公式 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角： α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： 当只知道HZ 点的坐标时，则：
l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）——第一缓和曲线长度 l 1 ——第二缓和曲线长度 l 2 l ——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径
R ——曲线起点处的半径 1 ——曲线终点处的半径 R 2 P ——曲线起点处的曲率 1 P ——曲线终点处的曲率 2 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 (上坡为“＋”，下坡为“－”)已知：①第一坡度：i 1 (上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i 2 ③变坡点桩号：S Z ④变坡点高程：H Z ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S
11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设 为了保障车辆行驶安全，在直线与圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ与曲线长度l成反比。数学表达为： ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数) 若缓和曲线长度为l0，与它相连的圆曲线半径为R，则有： ρ·l = R·l0 = k 目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l0 = 0.035V3/R , 铁路缓和曲线的长度为：l0 = 0.09808V3/R 。 11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算 带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。
带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式： 切线长 T h = q＋(R＋p)·tan(α/2) 曲线长 L h = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180° 外矢距 E h = (R＋p)·sec(α/2)－R 切线加长 q = l0/2－l03/(240R2) 圆曲线相对切线内移量 p = l02/(24R) 切曲差 D h = 2T h －L h 式中：α为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q、p、β0缓和曲线参数。 11.2.3 缓和曲线参数推导 dβ = dl/ρ = l/k·dl 两边分别积分，得： β= l2/(2k) = l/(2ρ)
当ρ = R时，则β =β0 β0 = l0/(2R) 若选用点为ZH原点，切线方向为X轴，垂直切线的方向为Y轴，建立坐标系，则： dx = dl·cosβ = cos[l2/(2k)]·dl dy = dl·sinβ = sin[l2/(2k)]·dl 考虑β很小，sinβ和cosβ即sin(l2/(2k))和cos(l2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R·l0代入，得以曲线 长度l为参数的缓和曲线方程式： X = l－l5/(40R2l02)＋…… Y = l3/(6Rl0)＋…… 通常应用上式时，只取前一、二项，即： X = l－l5/(40R2l02) Y = l3/(6Rl0) 另外，由图可知， q = X HY－R·sinβ0 p = Y HY－R(1－cosβ0) 以β0= l0/(2R)代入，并对sin[l0/(2R)]、cos[l0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得：q = l0/2－l03/(240R2) p = l02/(24R) 若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i，则i点的坐标X i、Y i可以表示为： Xi = R·sinψi＋q Yi = R·(1－cosψi)＋p 11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核
第一讲：曲线正矢计算 一、曲线的分类: 目前我段主要曲线类型有: １、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线.容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线. 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R Ｌ＝２０M时,F C=５００00/R ＦZY＝FＹZ= F C/2 ２、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Ｆμ＝（FC/２) ＊（δ/10）２ ZY后点：Ｆη＝ＦC—{（ＦＣ／2）＊（τ/10）2｝ FC:圆曲线正矢δ:ＺY点到后点的距离τ：ZＹ点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点) （1）缓和曲线头尾的计算： Ｆ0＝F1/6（缓和曲线起点) F终＝ FＣ—Ｆ0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算: F1=F S＝FＣ/N （N=L0／B：缓和曲线分段数) Ｆ2＝2 F1 F3＝3F１ＦＩ=ＩF1（I为中间任意点) 四、半点(5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算: Ｆ后=25/４8＊F1 因为ＺH点正矢ｆ0=ｆ１/6，很小一般为1～2MＭ，其前半点很小(小于1MM）因此不作计算。 b)ＨY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1／2｛［L03+（L0－1５）3］/6R Ｌ0＋［５L0+2５］/2R｝－（Ｌ０-5）3/６R Ｌ0 c)HＹ(YH)点后半点计划正矢的计算 F后=1／2｛［ (Ｌ0-5）３ -L03］/6R L0＋［5L0+1７５］/2R｝
d)中间点(5米桩）正矢的计算 F中＝(Ｆ前+Ｆ后）／2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ＝αυF S (直缓点外点）αυ=1/6（δ/B）３ Ｆη=αηF S （直缓点内点）αη＝１/６［（1＋δ/B）３—（δ/B）3］（2）缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C—αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ＝ F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内） （αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二） (３）缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 ＦI＝（ＦC／L0）L I（I为中间任意点) 说明:Ｂ:半弦长δ:缓和曲线内点到ZH、ＨY(YH）距离 L0:缓和曲线长ＦC：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 １、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变,或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 (２)假定曲线上某点拨动时,其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 ２、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等; （２)拨动曲线时，某点的正矢增（减)Ｘ，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3)只要铺设时曲线圆顺,养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总
缓和曲线要素及计算公式 缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 缓和曲线的主要曲线元素 缓和曲线主要有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。 由此可得： q P R q T T h ++=+=2 tan )(α R P R E h -+=2 sec )(α s h L R L 2180)2(0+-=πβα 180 )2(0R L y πβα-= 式中：h T －缓和曲线切线长 h E －缓和曲线外矢距 h L －缓和曲线中曲线总长 y L －缓和曲线中圆曲线长度
缓和曲线与圆曲线区别： 1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生） 2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q; 3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β。 缓和曲线角 0β的计算： R L S 2/0=β(弧度)= R L S π90 (度) 内移值P 的计算： ()m R L P S 242 = 切线增长值q 的计算： )(240223 m R L L q S S -= P －缓和曲线内移值 q －缓和曲线切线增长值 0β－缓和曲线首或尾所采用的缓和曲线段分别的总缓和曲线角。 S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。 R －缓和曲线中的主圆曲线半径 α－偏转角
缓和曲线主点桩号： ZH 桩号=JD 桩号-h T HY 桩号=ZH 桩号+S L QZ 桩号=HY 桩号+2y L YH 桩号=QZ 桩号+ 2 y L HZ 桩号=ZH 桩号+h L 另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导： QZ 桩号=ZH 桩号+ 2 h L YH 桩号=HZ 桩号-S L HZ 桩号=YH 桩号+S L 切线支距法计算坐标： 缓和曲线段内坐标计算如式： 2 2540S P p L R L L -=X s P RL L Y 63 = 进入净圆曲线段内坐标计算如式： ?? ??????- ?? ???+=R L L R q X s p π1802 sin ? ??????????- ?? ? ?? -???+=R L L R P Y s p π1802cos 1
铁路曲线要素的测设、计算与精度分析 摘要 铁路线路平面曲线分为两种类型:一种是圆曲线,主要用于专用线和行车速度不高的线路上,另一种是带有缓和曲线的圆曲线,铁路干线上均用此种曲线。曲线的五大要素,ZH(直缓点)、 HY(缓圆点)、QZ(曲中点)、 YH(圆缓点)、 HZ(缓直点),是曲线的重要线形特征 铁路曲线测设一般分两步进行,先测设曲线主点,然后依据主点详细测设曲线上的任意点。结合本人的工作经验,就铁路圆曲线和缓和曲线上任一点坐标的计算及法向方位角的计算进行实例解析。 绪论 一、工程测量学概述 工程测量学是研究各种工程在规划设计、施工建设和运营管理阶段进行的各种测量工作的学科。工程测量的特点是应用基本的测量理论、方法、技术及仪器设备，结合具体的工程特点采川具有特殊性的施测工绘方法。它是大地测量学、摄影测量学及普通测量学的理论与方法在程工中的具体应用。 工程建设一般可分为：勘测设计、建设施工、生产运营三个阶段。 勘测设计阶段的测量主要任务是测绘地形图。测绘地形图是在建立测绘控制网的基础上进行大比例尺地面测图或航空摄影测量。 建设施工阶段的测量主要任务是按照设计要求，在实地准确地标定建筑物或构筑物各部分的平而位置和高程，作为施工安装的依据(简称为标定)；是在建立仁程控制网的基础上，根据工程建设的要求进行的施工几测量。 生产运营阶段的测量主要任务是竣工验收测量和变形监测等测量工作。 工程测量按所服务的工程种类，可分为建筑工程测量、线路工程测量、桥梁与隧道工程测量、矿石工程测量、城市工程测量、水利工程测量等。此外，还将用于大型设备的高精度定位和变形监测称为高精度工程测量;将摄影测量技术应用于工程建设称为工程摄影测量;而将自动化的全站仪或摄影仪在计算机控制下的测量系统称为三维工业测量。测量学是研究地球的形状和大小以及确定地而(包含空中、地表、地下和海底)物体的空间位置，井将这些空间位置信息进行处理、存储、管理、应用的科学。它是测绘学科重要的组成部分，其核心问题是研究如何测定点的空间位置。 测量学研究的内容分为测定和测设两部分。测定是指使用测量仪器和工具，通过测量和计算，得到一系列测量数据，或把地球表面的地形按一定比例尺、规定的符合缩小绘制成地形图，供科学研究和工程建设规划设计使用;测设是指把图纸上规划设计好的建筑物、构筑物的位置在地而上标定出来，作为施工的依据。 二、现代测量技术概述
当前的位置】：工程测量→第十一章→ 第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设 第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设 §11—4 圆 曲线加缓 和曲线及 其主点测 设 一、缓和曲 线的概念 二、缓和曲线方程 三、缓和曲线常数 四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设 一、缓和曲线的概念 1、为什麽要加入缓和曲线？ (1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离心力的影响，铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行。 图11-10(a).(b）为采用外轨超高前、后的情况。 外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线——缓和曲线. 缓和曲线: 其曲率半径ρ 从∞逐渐变化到圆曲线的半径R 。 2、缓和曲线必要的前提条件（性质）： 在此曲线上任一点P 的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为： ρ ∝1l 或ρ. l = C (11-4) 式中: C 为常数,称曲线半径变更率。 当l= l o时，ρ= R ，按（11-4）式，应有 C = ρ.l= R .l o (11-5) 符合这一前提条件的曲线为缓和曲线，常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。 3、加入缓和曲线后的铁路曲线示意图（见图11-J）
二、缓和曲线方程 1、加入缓和曲线后的切线坐标系 坐标原点：以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点； X坐标轴：直缓(ZH)点或缓直(HZ)点到交点(JD)的切线方向； Y坐标轴：过直缓(ZH)点或缓直(HZ)点与切线垂直的方向。 其中：x、y 为P点的坐标；x o、y o为HY点的坐标； ρ 为P 点上曲线的曲率半径；R 为圆曲线的曲率半径 l 为从ZH点到P 点的缓和曲线长；l o为从ZH点到HY点的缓和曲线总长； 2、缓和曲线方程式: 根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标为 实际应用时, 舍去高次项, 代入C=R*l o，采用下列公式：
第一章缓和曲线的坐标公式 如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为y轴。若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系， 图 1-1 得， （2-1） 由公式(常数)得知，故有
则 将上式代入（1-1）式中，得 即 （2-2） 以及的关系代入上式得 即
以代入上式得 （2-3） 上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。 缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算可由前面公式得 （弧 度）（2-4） 若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果： （2-5） 上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。
第二章圆曲线要素及计算公式 如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其 图 2-1 连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ 和曲中点QZ为圆曲线三主要点。我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下： ：转向角（实地测出） R：曲率半径（设计给出）
T：切线长（计算得出） L：曲线长（计算得出） D：切曲差（计算得出） 偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算： 第三章偏角法测设介绍 偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。 如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长 c所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向， 拨出偏角,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。
－３３－ 科苑论谈 高速铁路缓和曲线设计研究 赵海燕 （铁道第二勘察设计院昆明院，云南昆明６５００００） 摘本：通过对高速铁路缓和曲线主要线形、长度计算主要参数选择的初步研究，探讨了高速铁路设计时缓和曲线的选择和长度的合理使用。关键词：高速铁路$缓和曲线$研究 高速铁路的主要特征为高速、高架、电气化。铁路高速化后，行车速度越高，平面曲线和竖曲线半径增幅也越大。此外，列车通过缓和曲线时产生的超高时变率和欠超高时变率也随列车的速度成正比增加，从而影响乘车的舒适性。因此，缓和曲线要有足够的长度，使线性过渡平缓，以保证列车运行平稳和旅客乘坐的舒适性，但过长的缓和曲线控制着平面选线和纵断面变坡点设置的灵活性，并引起工程数量的增大。因此，缓和曲线设计是高速铁路设计的重要参数之一。 １缓和曲线的主要线性 缓和曲线线性基本上可以归纳为两种基本类型：一种是线性缓和曲线，其超高和曲率变化成线性变化，如三次抛物线形；第二种是非线性缓和曲线，比如三次抛物线园、余弦改善形、半波正弦形、五次代数式、七次四项式、一波正弦式等。 缓和曲线线性的选择，主要从保证列车运行平稳和曲线上旅客乘坐的舒适性来考虑。从各种研究和实测结果表明，只要缓和曲线长度达到一定要求，各种线形的缓和曲线都能保证高速行驶安全和旅客乘坐舒适度的要求，国外高速铁路的运营实践也表明了这一点。由于传统的三次抛物线形简单、设计方便，平立面有效长度长，现场应用、养护经验丰富等特点，我国目前设计的高速铁路仍以三次抛物线形缓和曲线为首选线形。 ２缓和曲线长度的计算 缓和曲线长度是高速铁路平面设计的主要参数之一，为保证列车运行的安全和旅客舒适度的要求，缓和曲线应该有足够的长度。但过长的缓和曲线将影响平面选线和纵断面设计的灵活性，引起工程投资的增加。所以，长度的选择要合理选用，结合现场实际，从长到短选择。缓和曲线长度的计算，主要取决于以下几个因素： ２．１超高顺坡率允许值 缓和曲线地段，由于外轨超高使车轮处于三点只承状态，必须限制超高顺坡率的最大值。这个值主要由转向架轴距、前后转向架中心距、轮缘高度来决定。国外（日、英、德）规定的超高顺坡率最大值分别为１／２００～１／４００不等，我国现行规定的最大超高顺坡率为不大于２‰即１／５００。据此，三次抛物线形缓和曲线车辆脱轨安全因素决定的缓和曲线长度Ｌ１为 Ｌ１≥ｈ／ｉｍａｘ＝０．５ｈ 由上式可以看出，对于缓和曲线普遍较长的高速铁路，由脱轨安全要求计算的缓和曲线长度显然不起控制作用。故高速铁路缓和曲线长度主要取决于其他两个条件，即： ２．１．１乘坐舒适度允许的未被平衡横向加 速度时变率（即欠超高时变率限值［β］）要求的缓和曲线长度Ｌ２ Ｌ２≥（Ｖｍａｘ．α未）／（３．６［β ］）＝（Ｖｍａｘ．ｈｑ．ｇ）／（３．６［β ］．Ｓ）式中：ｈｑ—圆曲线上计算的欠超高值（ｍｍ）； Ｖｍａｘ—设计速度目标值（ｋｍ／ｈ）； ［β ］—未被平衡横向加速度时变率允许值 从相关试验得出的未被平衡横向加速度 在不同变率下舒适感觉概率表明，当［β ］＝０．０１５ｇ／ｓｅｃ时，旅客平均舒适指数为０．５，９６％的乘客感觉在“轻微感觉”内；当［β］＝０．０２５ｇ／ｓｅｃ时，旅客平均舒适指数为１．０，８０％的乘客感觉在“轻微感觉”内，２０％的乘客感觉在“明显感觉”内；当［β］＝０．０３４ｇ／ｓｅｃ时，旅客平均舒适指数为１．３，“轻微感觉”与“明显感觉”的旅客各占一半。 ２．１．２乘坐舒适度允许的车体倾斜角速度（即超高时变率限值［ｆ］）要求的缓和曲线长度 Ｌ３ Ｌ３≥（Ｖｍａｘ．ｈ）／（３．６［ｆ］）＝ｋ．Ｖｍａｘ．ｈ式中：ｋ—１／（３．６［ｆ］）； ｈ—圆曲线上的设计超高值（ｍｍ）；［ｆ］—超高时变率允许值（ｍｍ／ｓ） 日本东海道采用半波正弦形缓和曲线，［ｆ］＝３４ｍｍ／ｓｅｃ，ｋ平＝８．２，ｆｍａｘ＝５３ｍｍ／ｓｅｃ时，ｋｍａｘ＝５．２。法国ＴＧＶ线采用三次抛物线改善形缓和曲线，设计速度目标为３００ｋｍ／ｈ时，ｆ＝２５～５６ｍｍ／ｓｅｃ，ｋ＝１１～５，设计速度目标为３５０ｋｍ／ｈ时，ｆ＝２９～５０ｍｍ／ｓｅｃ，ｋ＝９．５～５．５。我国现行规范规定，［ｆ］一半条件下取２５ｍｍ／ｓｅｃ，困难条件下取３１ｍｍ／ｓｅｃ。 ３小结 经计算分析，对于高速铁路而言，多以计算出的Ｌ３作为控制缓和曲线长度，把［ｆ］代入Ｌ３的计算公式后可以简化为： 一般条件：Ｌ３≥１１×１０－３Ｖｍａｘ．ｈ困难条件：Ｌ３≥９×１０－３Ｖｍａｘ．ｈ 可以看出，对于某一个曲线而言，Ｖｍａｘ为定值，故影响缓和曲线长度的要素只是设计超高ｈ的取值问题，ｈ值越大，缓和曲线越长，反之则短。因此在铁路选线和设计中，要综合考虑现场的实际情况，结合工程量大小、 投资等综合因素确定合理的缓和曲线长度。 责任编辑：杨帆
、缓和曲线的作用及其几何特征 行驶于曲线轨道的机车车辆，出现一些与直线运行显著不同的受力特征。如曲线运行的离 心力，外轨超高不连续形成的冲击力等。为使上述诸力不致突然产生和消失，以保持列车曲线运行的平稳性，需要在直线与圆曲线轨道之间设置一段曲率半径和外轨超高度均逐渐变化的曲线，称为缓和曲线。当缓和曲线连接设有轨距加宽的圆曲线时，缓和曲线的轨距是呈线性变化的。概括起来，缓和曲线具有以下几何特征： 1. 缓和曲线连接直线和半径为R 的圆曲线，其曲率由零至1/R 逐渐变化。 2. 缓和曲线的外轨超高，由直线上的零值逐渐增至圆曲线的超高度，与圆曲线超高相连接。 3. 缓和曲线连接半径小于350m 的圆曲线时，在整个缓和曲线长度内，轨距加宽呈线性递增，由零至圆曲线加宽值。 因此，缓和曲线是一条曲率和超高均逐渐变化的空间曲线。 二、缓和曲线的几何形位条件 图2-9所示为一段缓和曲线。其始点与终点用ZH 与HY 表示。要达到设置缓和曲线的目的，根据如图所取直角坐标系，缓和曲线的线形应满足以下条件： 1.为了保持连续点的几何连续性，缓和曲线在平面上的形状应当是：在始点处，横坐标x ＝ 0,纵坐标y ＝ 0,倾角φ ＝ 0;在终点处，横坐标 x =x 0，纵坐标y =y 0 ，倾角φ ＝ φ 0 。 2.列车进入缓和曲线，车体受到离心力 J 的作用，为保 持列车运行的平稳性，应使离心力不突然产生和消失，即在缓和曲线始点处，J ＝0,在缓和曲线终点处 Ρ=R 。 3.缓和曲线上任何一点的曲率盈余外轨超高相吻合。 在纵断面上，外轨超高顺坡的形式有两种形式。一种形式是，如图2-10（a ）所示；另一 种形式是曲线形，如图2-10（b ）所示。 列车经过直线顺坡的缓和曲线始点和终点时，对外轨都会产生冲击。在行车速度不高，超高顺破相对平缓时，列车对外轨的冲击不大，可以采用直线形顺坡，即可满足曲率与超高相配合的要求。 当行车速度较高，为了消除列车对 外轨的冲击，应采用曲线形超高顺坡。 其几何特征是缓和曲线始点及终点处 图 2－9缓和曲线坐标图 图 2－10 超高顺坡
带有缓和曲线的圆曲线逐桩坐标计算 例题：某山岭区二级公路，已知交点的坐标分别为JD1（40961.914,91066.103）、JD2（40433.528,91250.097）、JD3（40547.416,91810.392），JD2里程为 K2+200.000，R=150m,缓和曲线长度为40m,计算带有缓和曲线的圆曲线的逐桩坐标。（《工程测量》第202页36题） 解：（1）转角、缓和曲线角、曲线常数、曲线要素、主点里程、主点坐标计算
方法一：偏角法（坐标正算） （2）第一缓和段坐标计算 228370'''= β 308416012'''= α （3）圆曲线段坐标计算 1490153-0'''==- βααJD ZY 切线 桩号 弧长 里程里程桩点ZY -=i l 偏角 02 31β??? ? ??=?S i i L l 方位角 i c i ?-=12αα (左转) 弦长 22590S i i i L R l l c -= Xi i c i ZH i c X X αcos += Yi i c i ZH i c Y Y αsin += ZH: K2+048.562 0 160 48 03 40576.543 91200.296 +060 11.438 0 12 30 160 35 33 11.438 40565.754 91204.097 +080 31.438 1 34 23 159 13 40 31.438 40547.149 92211.446 HY K2+088.562 40 2 32 47 158 15 16 39.968 40539.419 91215.104 桩号 弧长 里程里程桩点HY -=i l 偏角 π ?=?90R l i i 方位角(左转) i JD ZY c i ?=---0βαα 弦长 i i R c ?=sin 2 X i c i HY i c X X αcos += Y i c i HY i c Y Y αsin += HY: K2+088.562 0βαα-=-JD ZY 切线 153 09 41 40539.419 91215.104 +100 11.438 2 11 04 150 58 37 11.435 40529.420 91220.652 +120 31.438 6 00 15 147 09 26 31.380 40513.055 91232.122 +140 51.438 9 49 26 143 20 15 +160 71.438 13 38 37 139 31 04 QZ: K2+176.280 87.718 16 45 10 136 24 31 86.473 40476.789 91274.728 +180 91.438 +200 111.438 +220 131.438 +240 151.438 +260 171.438 YH:K2+263.99 8 175.436 33 30 21 119 39 20 165.606 40457.480 91359.018
铁路缓和曲线超高设置的分析 【摘要】针对目前铁路缓和曲线直缓（或缓直）、缓圆（或圆缓）点超高设置不合理的做法，按照铁路相关设计规范要求，在直线型超高顺坡的基础上，通过对缓和曲线外轨断面的设置，改善轮轨接触状态，提高动力响应。 【关键词】超高顺坡；竖曲线；缓和曲线超高设置 【 Abstract 】 In view of the present railway easement curve straight slow (or slow straight), slow (slow) or circle point ultra-high set unreasonable, in accordance with the relevant railway design specification requirements, on the basis of linear high slope, through to the easement curve rail profile Settings, improving the wheel/rail contact state, improving the dynamic response。 【 Key words 】 Ultra high slope; Vertical curve; Detente curve ultra high setting 1 概述 行驶在曲线轨道的机车车辆，出现一些与直线运行显著不同的受力特征，如转向力、离心力等。为了上述力不至于突然产生和消失，需要在直线与圆曲线轨道之间设置一段曲率半径和外轨超高逐渐变化的曲线，我们称这段曲线为缓和曲线。曲线超高是确定缓和曲线长度及曲线线间距加宽值等平面标准的主要参数，曲线超高的取值将对平面标准产生重要影响；影响列车行车速度、旅客舒适度和钢轨磨耗，甚至影响行车安全。 2 曲线超高与超高顺坡 2.1 确定超高 在线路曲线地段，应根据曲线半径和实测行车速度，在外股钢轨合理设置超高(允许速度大于120 km／h的线路宜按旅客的舒适条件进行检算和调整超高值)。超高按下列公式计算： 实设超高在满足欠超高、过超高容许范围的条件下，货物列车较多时，宜减
第一缓和曲线加圆曲线上任意点坐标计算程序：L1：U=U"Ｘ0"：V=V"Y0"：F"FANG"=F：E=E"LEFT-1"：LbI 0 L2：｛B｝：｛D｝：｛P｝ L3：L=AbS（B-A"ZHD"） L 4： L5：X=L-LX Y5/（40R2S2） L6：Y= LX Y3/（6RS）- LX Y7/（336RX Y3SX Y3）：G=90L2/（∏RS） L GOtO 2 7： L8：LbI 1 L9：L=L-S L10：O=90S/（∏R）+90L/（∏R） L11：M=2（Rsin（90L/∏/R）） L12：X=S-SX Y3/（40R2）+Mcos O L13：Y=S2/（6R）+MsinO:G=90S/（∏R）+180L/（∏R） L GOtO 2 14： L15：LbI 2 L16：W=tan-1（Y/X）:Q=√（X2+Y2） L 17： L E=1=>G=-G 18： L19：X[1]=U+Qcos（F+W）+Dcos（F+G+P）◢ L20：Y[1]=V+Qsin（W+F）+Dsin（F+G+P）◢ L21：GOtO 0
注、○1、XO—为起点X坐标 EXE ○2、YO—为起点Y坐标 EXE ○3、F？—方位角 EXE ○4、LEFT-1？—左偏取1右偏取0 EXE ○5、B？—所求坐标点里程（起点输0时为到起点长度）EXE ○6、ZHD？—为直缓点里程或直圆点里程（起点可以输0）EXE ○7、S？—缓和曲线长、圆曲线时输为0 EXE ○8、R？—半径EXE ○9、D？—中桩到边桩长度EXE ○10、P？—左右方向与中线切线交角、法线方向时左-90右+90 EXE ○11、上述每一步输完后必须确认、结果显示字后转到B进行循环操作。
程序使用说明 Fx9750、9860系列 程序包含内容介绍:程序共有24个，分别是： 1、0XZJSCX 2、1QXJSFY 3、2GCJSFY 4、3ZDJSFY 5、4ZDGCJS 6、5SPJSFY 7、5ZDSPFY 8、5ZXSPFY 9、6ZPJSFY 10、7ZBZFS 11、8JLHFJH 12、9DBXMJJS 13、9DXPCJS 14、9SZPCJS 15、GC-PQX 16、GC-SQX 17、PQX-FS 18、PQX-ZS 19、 ZD-FS 20、ZD-PQX 21、ZD-SQX 22、ZD-ZS 23、ZDSP-SJK 24、ZXSP-SJK 其中，程序2-14为主程序，程序15-24为子程序。每个主程序都可以单独运算并得到结果，子程序不能单独运行，它是配合主程序运行所必需的程序。刷坡数据库未采用串列，因为知道了窍门，数据库看起很多，其实很少。 程序1为调度2-8程序； 程序2为交点法主线路(含不对称曲线)中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序3为主线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序4为线元法匝道中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序5为匝道线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序6为任意线型开口线及填筑边线计算放样程序； 程序7专为主线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序8专为匝道线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序9为桥台锥坡计算放样程序； 程序10为计算两点间的坐标正反算程序； 程序11为距离后方交会计算测站坐标程序；
已知曲线半径R=6000，缓和曲线长度l 0=280，交点JD27坐标及相邻方位角已在图中给出，ZH 点里程为DK2+100。请计算： 1、曲线要素中的切线长T 、曲线长L 、外矢距E ； 2、HY 、QZ 、YH 、HZ 的里程； 3、ZH 点坐标及其左边桩3米的坐标； 4、DK2+180的坐标及右边桩2米的坐标； 5、DK2+660的坐标及右边桩35米的坐标。 永州α=225-17-08.0JD27(D K 2+100)(1000.000,1000.000)α=232- 35-13.9H Z Q Z HZ H Y YH 附公式： m 为缓和曲线切垂距，m= l 0/2- l 03/（240R 2） p 为缓和曲线内移距，P= l 02/（24R ）- l 04/（2688R 3） 缓和曲线方程式： X=h - h 5/（40R 2l 2）+ h 9/（3456 R 4l 4） Y=h 3/（6Rl ）- h 7/（336 R 3l 3）+ h 11/（42240 R 5l 5） 解： 1、转向角α=α2-α1=7°18′05.9″ 切线长T=（R+P ）tg （α/2）+m = 522.863 曲线长L=（R απ）/180+l 0= 1044.626 外矢距E=（R+P ）sec （α/2）-R=12.746 式中m 为缓和曲线切垂距，m= l 0/2- l 03/（240R 2）=139.9974 p 为缓和曲线内移距，P= l 02/（24R ）- l 04/（2688R 3）=0.5444 2、HY 点里程为DK2+100+280=DK2+380； QZ 点里程为DK2+100+1044.626/2=DK2+622.313； HZ 点里程为DK2+100+1044.626=DK3+144.626； YH 点里程为DK3+144.626-280=DK2+864.626 3、JD27到ZH 点的方位角αJD27-ZH =232°35′13.9″-180=52°35′13.9″ JD27到ZH 点的坐标增量为： △x =T ×cos αJD27-ZH =317.667m △y =T ×sin αJD27-ZH =-415.299m 于是ZH 点坐标为 X ZH = x JD27+ △x = 1317.667m y ZH = Y JD27+△y =1415.299m