合肥市2020届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}220A x x x =--<,{}210B x x =->,则A B =( ). A.()1-+∞， B.1 12?? ???， C.1 22??
???， D.1 2??+∞ ???
，
2.设复数z 满足1i z z -=-(i 为虚数单位),z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( ).
A.y x =-
B.y x =
C.()()2
2
111x y -+-= D.()()2
2
111x y +++= 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和
“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误．．的是( ).
A.这五年,2013年出口额最少
B.这五年,出口总额比进口总额多
C.这五年,出口增速前四年逐年下降
D.这五年,2017年进口增速最快
4.下列不等关系,正确的是( ).
A.234log 3log 4log 5<<
B.243log 3log 5log 4>>
C.243log 3log 5log 4<<
D. 234log 3log 4log 5>> 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为
n S ,13a =-,47329a a +=,则7S 的值等于( ).
A.21
B.1
C.-42
D.0 6.若执行右图的程序框图,则输出i 的值等于( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
7.函数22cos x x
y x x
--=-的图象大致为( ).
8.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116
π
个单位得到的图象对应的函数为()g x ,则下列说法正确的是( ).
A.()g x 的图象关于12
x π
=-
对称 B.()g x 在[]0π，上有2个零点
C.()g x 在区间5 36ππ??
???，上单调递减 D.()g x 在 02π??-????，上的值域为 0??????
9.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(00a b >>，)的左右焦点分别为12F F ，,圆2F 与双曲线C
的渐近线相切,M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ?,则双曲线C 的离心率等于( ).
10.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=,其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为( ).
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20.6931≈,结果精确到0.001)
A.0.110
B.0.112
C.0.114
D.0.116
11.已知正方体1111ABCD A B C D -,过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E,交棱1CC 于点F,则：
①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值.
其中所有正确结论的序号为( ).
A.①④
B.②③
C. ①②④
D. ①②③④
12.已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -?-≤?=?--->??
，
，,则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数
为( ) (e 是自然对数的底数).
A.6
B.5
C.4
D.3
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.已知向量a =(1,1),() 2b m =-，
,且a ∥()
2a b +,则m 的值等于 . 14.直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,弦AB 的长为16,则直线l 的倾斜角等于 .
15.“学习强国”是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中,某时段更新了2篇文章和4个视频,一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频,则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.
16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6,其内有n 个小球,球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切,球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切,如此类推,…,球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切(2n ≥,且n N *∈),则球1O 的体积等于 ,球n
O 的表面积等于 .
三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在ABC ?中,内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,若
2a =,cos cos cos 0a C c A B +=.
(1)求B ；
(2)若BC 边的中线AM 求ABC ?的面积.
18.(本小题满分12分)
“大湖名城,创新高地”的合肥,历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生,在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中,随机抽取了100所学校,统计如下：
所学校,并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响)：
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X,求X 的分布列与数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,平面11AAC C ⊥平面ABC ,1AA AC =,AC BC ⊥.
(1)证明：1A C ⊥1AB ；
(2)设2AC CB =,160A AC ∠=,求二面角11C AB B --的余弦值.
20.(
本小题满分12分)
设椭圆:C 2
2
221x y a b
+=(0a b >>)的左右顶点为12A A ，,上下顶点为12B B ，,菱形1122
A B A B 的内切圆C '. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点,
椭圆上一点P 满足PM PN =,试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系,并证明你的结论.
21.(本小题满分12分)
1
已知函数()2
1x x f x e
-=(e 为自然对数的底数).
(1)求函数()f x 的零点0x ,以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；
(2)设方程()f x m =(0m >)有两个实数根1x ,2x ,求证：121212x x m e ?
?-<-+ ???
.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B 铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为31x y ?
=??
?
?
=??
(t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设曲线C 与直线l 交于点M N ，,点A 的坐标为(3,1),求AM AN +.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()2f x x m x =--+(m R ∈),不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，
. (1)求m 的值；
(2)若0a >,0b >,3c >,且22a b c m ++=,求()()()113a b c ++-的最大值.
合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.-2 14.3π或23π
15.72
,164n π-(第一空2分,第二空3
分)
三、解答题：大题共6小题,满分70分.
17.(本小题满分12分) 解：(1)在ABC ?中,
sin sin sin a b c
A B C
==
,且cos cos cos 0a C c A B +=, ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=,∴()
sin 10B B ?=, 又∵sin 0B ≠,∴cos B =. ∵B 是三角形的内角, ∴34
B π
=
. ………………………………5分 (2)在ABM ?中,314
BM AM B AB c π
===
=，，, 由余弦定理得()2
222cos AM c BM c BM B =+-??,∴240c -=, ∵0c >,∴c =在ABC ?中,2a =,c 34
B π=
, ∴ABC ?的面积1sin 12
S ac B ==. ………………………………12分
18.(本小题满分12分)
(1)依题意,学校选择“科技体验游”的概率为25,选择“自然风光游”的概率为1
5
,
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”,则这两种类型都
有学校选择的概率为：2
2
223
3211218
5555125
P C C ????????=+=
? ? ? ?????????. (5)
分
(2)X 可能取值为0,1,2,3.
则()3
03
32705125P X C ??=== ???,()2
132354155125
P X C ????===
???????, ()223
2336255125P X C ????===
? ?????,()3
332835125
P X C ??
=== ???, ∴X 的分布列为
∴01231251251251255
EX =?+?+?+?=. ……………………………12分 或
解
：∵随机变量X 服从
23 5X B ??
?
??
～，,∴
26
355
EX np ==?
=. ……………………………12分
19.(本小题满分12分)
(1)连结1AC .
∵1AA AC =,四边形11AAC C 为菱形,∴11AC AC ⊥. ∵平面11AAC C ⊥平面ABC ,平面11AAC C 平面
ABC AC =,
BC ?平面ABC ,BC ⊥AC ,
∴BC ⊥平面11AAC C .
又∵11//BC B C ,∴11B C ⊥平面11AAC C ,∴111B C AC ⊥. ∵1
111AC B C C =,
∴1A C ⊥平面11AB C ,而1AB ?平面11AB C ,
∴1A C ⊥1AB . …………………………5分 (2)取11A C 的中点为M ,连结CM .
∵1AA AC =,四边形11AAC C 为菱形,160A AC ∠=,∴11CM AC ⊥,CM AC ⊥. 又∵CM BC ⊥,以C 为原点,CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系,如图. 设1CB =,22AC CB ==,1AA AC =,160A AC ∠=,
∴C (0,0,0),1A ),A (2,0,0),B (0,1,0),1B
由(1)知,平面11C AB 的一个法向量为(110CA =，.
设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，,则1 n AB n AB ⊥⊥，
,∴1
0n AB n AB ??=???=??.
∵()2 1 0AB =-，，,()
13 1AB =-，,
∴20
30x y x y -+=???
-++=??
.
令1x =,
得12y z ==
，,即
12n ?= ?
，.
∴11123cos CA n CA n CA n
?<
>=
==
?，∴二面角11C AB B --
的余弦值为. ……………………………12分
20.(本小题满分12分)
(1)设椭圆的半焦距为c .知
,b c a ==，. 设圆
C '的半径为r ,
则r ab =,
2,解得b =∴a =∴椭圆C 的方程为22
163
x y +=. (5)
分
(2)∵M N ，关于原点对称,PM PN =,∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，,()22P x y ，.
当直线PM 的斜率存在时,设直线PM 的方程为y kx m =+.
由直线和椭圆方程联立得()2
226x kx m ++=,即()222124260k x kmx m +++-=,
∴1222
1224212621km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=
?+?
. ∵()11OM x y =，,()22OP x y =，,
∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ?=+=+++
()()()22
2
2
2
121222264112121
m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+?+?+++()222322021m k k
--=
=+,
∴22220m k --=,2222m k =+,
∴圆C '的圆心O 到直线PM r =,∴直线PM 与圆C '相切.
当直线PM 的斜率不存在时,依题意得()11,N x y --,()11,P x y -.
∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得,直线PN 与圆C '也相切.
∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)由()2
10x x f x e -==,得1x =±,∴函数的零点01x =±.
()221
x
x x f x e --'=
,()12f e '-=,()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+. ()2
1f e
'=-,()10f =,
∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()2
1y x e
=--.………………………5分 (2)()221
x
x x f x e --'=.
当(() 112 x ∈-∞+
+∞，，时,()0f x '>；当(1x ∈时,()0f x '<.
∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，,单调递减区间为(1. 由(1)知,当1x <-或1x >时,()0f x <；当11x -<<时,()0f x >.
下面证明：当()1 1x ∈-，时,()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，
时, ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e
+--+>?++>?+>.
易知,()11
2
x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，
上单调递增, 而()10g -=,
∴()()10g x g >-=对()1 1x ?∈-，
恒成立, ∴当()1 1x ∈-，
时,()()21e x f x +>.
由()21y e x y m
?=+?
?
=??得12m x e =-.记112m x e '=-.
不妨设12x x <,
则12111x x -<<<, ∴121221212m x x x x x x x e ??
''-<-=-=-- ???
.
要证121212x x m e ??-<-+ ???,只要证2112122m x m e e ???
?--≤-+ ? ?????,即证21x m ≤-.
又∵2221x x m e -=,∴只要证22
2211x x x e
-≤-,即()()()222110x x e x -?-+≤.
∵()
21x ∈,即证()2
210x e x -+≥.
令()()()11x x x e x x e ??'=-+=-，.
当()
1 0x ∈时,()0x ?'<,()x ?为单调递减函数； 当()0,1x ∈时,()0x ?'>,()x ?为单调递增函数. ∴()()00x ??≥=,∴()2
210x e x -+≥,
∴121212x x m e ?
?-<-+ ???
. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+,∴24cos 6sin ρρθρθ=+,∴2246x y x y +=+, 即曲线C 的直角坐标方程为：()()2
2
2313x y -+-=. …………………………5分 (2)
把直线3:1x l y ?
=??
?
?
=??
代入曲线C
得221213t ???+-+= ? ? ????, 整理得
,280t --=.
∵(2
320?=-+>,设12t t ，为方程的两个实数根,则
12t t +=128t t =-,∴12t t ，为异号,
又∵点A (3,1)在直线l 上, ∴
1212AM AN t t t t +=+=-.
…………………………10分
23.(本小题满分10分)
解：(1)∵()2f x x m x =--+,∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，
,
∴2x m x --≥,解得28m +=,即6m =. …………………………5分 (2)∵6m =,∴212a b c ++=. 又∵0a >,0b >,3c >, ∴()()()()()()12231132
a b c a b c ++-++-=
()()()3
3
3
122311211232232323a b c a b c ++++-??++????≤===?? ? ???????
, 当且仅当1223a b c +=+=-,结合212a b c ++=解得3a =,1b =,7c =时,等号成立, ∴()()()113a b c ++-的最大值为32.
…………………………
10分