数列复习(全)
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数列复习题及答案1. 已知数列{a_n}是等差数列,且a_1=2,a_4=8,求该数列的通项公式。
答案:设等差数列的公差为d,则根据等差数列的性质,有a_4 = a_1 + 3d。
将已知条件代入,得到8 = 2 + 3d,解得d = 2。
因此,该数列的通项公式为a_n = 2 + 2(n-1) = 2n。
2. 求数列{b_n}的前n项和S_n,已知b_n = 3^n - 2^n。
答案:首先计算前n项和S_n = (3^1 - 2^1) + (3^2 - 2^2) + ... + (3^n - 2^n)。
通过分组求和,可以得到S_n = (3 + 3^2 + ... + 3^n) - (2 + 2^2 + ... + 2^n)。
利用等比数列求和公式,得到S_n =\frac{3(1-3^n)}{1-3} - \frac{2(1-2^n)}{1-2} = \frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2(2^n - 1)。
3. 判断数列{c_n}是否为等比数列,已知c_1=1,c_2=2,c_3=4。
答案:根据等比数列的定义,若数列{c_n}为等比数列,则有c_2/c_1 = c_3/c_2。
将已知条件代入,得到2/1 = 4/2,即2 = 2,满足等比数列的条件。
因此,数列{c_n}是等比数列。
4. 已知数列{d_n}的前n项和S_n满足S_n = 2^n + 3n,求d_5的值。
答案:根据前n项和的定义,有d_5 = S_5 - S_4。
将S_n的表达式代入,得到d_5 = (2^5 + 3*5) - (2^4 + 3*4) = 32 + 15 - 16 - 12 = 19。
5. 求数列{e_n}的通项公式,已知e_1=1,且e_{n+1} = 2e_n + 1。
答案:首先写出数列的前几项:e_1 = 1,e_2 = 2*1 + 1 = 3,e_3 = 2*3 + 1 = 7,e_4 = 2*7 + 1 = 15。
数列【兴趣导入】【知识梳理】(一)数列概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即)(n f a n=.3.递推公式:如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项),且任何一项n a 与它的前一项1-n a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1-=n na f a 或),(21--=n n n a a f a ,那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中,12,11+==n n a a a ,其中12+=nn a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式 ①nna a a S +++= 21; ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n.Ⅰ.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d称为等差数列的公差. 2.等比数列相关公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=,1a 为首项,d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n na a n S +=或dn n na S n)1(211-+=.⑶等差数列判断:da a n n =-+1(+∈N n ,d 是常数)⇔{}n a 是等差数列;⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ,则q p n ma a a a +=+;Ⅱ.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ,这个数列叫做等比数列,常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式:11-=n n q a a ,1a 为首项,q 为公比 .⑵前n 项和公式:①当1=q时,1na S n = ②当1≠q时,qq a a qq a S n nn--=--=11)1(11.⑶等比数列的判定方法:qa a nn =+1(+∈N n ,0≠q 是常数)⇔{}n a 是等比数列;⑷),(+-∈⋅=N m n qa a mn m n⑸若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ,则qp n ma a a a ⋅=⋅;【典型例题】A 、求值类的计算题(多关于等差等比数列)1)根据基本量求解(方程的思想)1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n ;2、等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S .3、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若16,151==a a ,求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.2)根据数列的性质求解(整体思想)1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和,327++=n n T S nn ,则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a 则( ) 4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n nS n T n =+,则n na b =( )5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==,则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ;n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq;等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数,且a3 ·a9 =2 2a ,a2 =1,则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.(安徽卷)已知为等差数列,,则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3(. 江西卷)公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904(湖南卷)设S n 是等差数列a n 的前n 项和,已知a2 3,a6 11,则S7 等于【】第1页/ 共8页A .13 B.35 C.49 D.633.(辽宁卷)已知a为等差数列,且a7 -2 a4 =-1, a3 =0, 则公差d=n(A)-2 (B)-12 (C)12(D)24.(四川卷)等差数列{a n }的公差不为零,首项a1 =1,a2 是a1 和a5 的等比中项,则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.(湖北卷)设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ],则{ 52 1} ,[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:他们研究过图1 中的1,3,6,10,⋯,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16⋯这样的数成为正方形数。
高三数学总复习讲义——等差数列1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式:;说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列。
3、等差中项的概念:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。
其中4、等差数列的前和的求和公式:。
5、等差数列的性质:(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是,如:,,,,……;,,,,……;(3)在等差数列中,对任意,,,;(4)在等差数列中,若,,,且,则;说明:设数列是等差数列,且公差为,(Ⅰ)若项数为偶数,设共有项,则①奇偶;②;(Ⅱ)若项数为奇数,设共有项,则①偶奇;②。
6、数列最值(1),时,有最大值;,时,有最小值;(2)最值的求法:①若已知,可用二次函数最值的求法();②若已知,则最值时的值()可如下确定或。
练习1.(01天津理,2)设S n是数列{a n}的前n项和,且S n=n2,则{a n}是()A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2.(06全国I)设是公差为正数的等差数列,若,,则()A. B. C. D.3.(02京)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项4.(01全国理)设数列{a n}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A.1B.2C.4D.65.(06全国II)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=A. B. C. D.6.(00全国)设{a n}为等差数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S7=7,S15=75,T n为数列{}的前n项和,求T n。
数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列;依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法); 数列通项:()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时,总有 1,()n n a a d d +-=常,d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1)、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数,其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2)、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-,即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ,则以 m a 为第一项,n a 是第n-m+1项,公差为d ; 若n<m ,则 m a 以为第一项时,n a 是第m-n+1项,公差为-d.3)、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列,则12(2)p q a a a p q d +=++- ,12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题:在等差数列中,若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L , 相加得 12n n a a S n +=, 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠,是n 的二次函数。
求数列通项专题题型一:定义法(也叫公式法)直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目例:等差数列}a {n 是递增数列,前n 项和为n S ,且931a ,a ,a 成等比数列,255a S =.求数列}a {n 的通项。
解:设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列,∴9123a a a =,即)d 8a (a )d 2a (1121+=+,得d a d 12= ∵0d ≠,∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得:53a 1=,53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二:已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例:(1)已知数列的前项和,求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解:当时,;1=n 311==S a 当时,; 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n (2)已知数列的前项和满足,求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解:由,得,1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习:1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为,,,求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三:形如用累加法(也叫逐差求和法):)(1n f a a n n +=+(1)若f(n)为常数,即:,此时数列为等差数列,则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+(2)若f(n)为n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 得:)(1n f a a n n =-+时,,2≥n )1(1-=--n f a a n n ,)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即:.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便,也可用横式来写:时,,2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1:已知数列{a n }中,a 1=1,对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++,求n a .解:由已知得11(1)n n a a n n --=+,121(1)n n a a n n ---=-,……,32134a a -=⨯,21123a a -=⨯,以上式子累加,利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+, 3121n a n ∴=-+例2:已知数列满足,求数列的通项公式。