高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量
高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量 一、三角函数部分 1.(集训试题)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1),且 A C , A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根,则△ABC (B ) A .是等腰三角形,但不是直角三角形 B .是直角三角形,但不是等腰三角形 C .是等腰直角三角形 D .不是等腰三角形,也不是直角三角形 解:由log b x=log b (4x-4)得:x 2-4x+4=0,所以x 1=x 2=2,故C=2A ,sinB=2sinA , 因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A ,∴3sinA-4sin 3A=2sinA , ∵sinA(1-4sin 2A)=0,又sinA ≠0,所以sin 2A= 41,而sinA>0,∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2.(2006吉林预赛)已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称,则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是(C ) A .x=π/3 B .x=2π/3 C .x=11π/6 D .x=π 3.2006年南昌市)若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不确定 4.(2006年南昌市)若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A .sin θ= 11+-b ab B .cos θ=1 1+-a ab C .tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D .tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5.(2006安徽初赛)已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C = 90°,D 、E 为AB 边上的两个点,且点D 在AE 之间, ∠DCE = 45°,则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 ( ) A .锐角 B .钝角 C .直角 D .不能确定 6.(2006陕西赛区预赛)若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<,则角θ的取值范围是(C) A .[0, ]4 π B .[,]4 ππ C .5[, ]4 4ππ D .3[,)42 ππ 7.(2006年江苏)在△ABC 中,1tan 2A =,310 cos 10 B =.若△AB C 的最长边为1,则最短边的长为 ( D ) A .455 B .355 C .255 D .5 5 8.(2005年浙江)设2)(1=x f ,x x x f 2cos sin )(2+=,x x x f 2cos 2 sin )(3+=,24sin )(x x f =,上述函数中,周期函数的个数是( B ) A .1 B .2 C .3 D .4 【解】: 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数;)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数,故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数,
高中数学平面解析几何的知识点梳理
平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
高中数学竞赛专题讲座(解析几何) 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0), 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x (θ为参数)。 若焦点在y 轴上,列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x , a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 c a x 2-=,与右焦点对应的准线为c a x 2=;定义中的比e 称为离心率,且a c e =,由c 2+b 2=a 2 知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ; 2)斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=;
空间解析几何数学竞赛辅导
空间解析几何数学竞赛辅导 一. 向量代数 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ,则向量 ),,(12121221z z y y x x M M ---=→ 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→ ,则 (1)向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ (2)),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→ → (3)),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→ →?b a (1)>?=?→ →→→→→b a b a b a ,cos |||| (2)332211b a b a b a b a ++=?→→ 其中><→ →b a ,为向量→ → b a ,的夹角,且π>≤≤<→ →b a ,0 注意:利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→ → ?b a (遵循右手原则,且→ → → ⊥?a b a 、→ → → ⊥?b b a ) 3 2 1 3 21 b b b a a a k j i b a → → → → →=? (1)3 3 2211//b a b a b a b a b a ==? =?→ → → → λ (2)00332211=++?=??⊥→ →→ → b a b a b a b a b a (3)几何意义: ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ;
平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为 212131 3111 |||0|22 ABC i j k S AB AC x x y y x x y y =?=---- 21 21 31 3112x x y y x x y y --=--的绝对值 也可以写成1 1223 31 1121 ABC x y S x y x y =的绝对值。 5. 混合积:(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意:(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b == (2)坐标表示:1 11 2 223 3 3 (,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中, ()111,,a x y z =,()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。 (3)几何意义:(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体 的体积。 ,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。 空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z , 444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为
高三数学《平面解析几何》
高三数学《平面解析几何》 单元练习七 (考试时间120分 分值160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把正确答案填在题中横线上) 1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______. 2.过点A (4,a )与B (5,b )的直线与直线y =x +m 平行,则AB =________. 3.已知双曲线x 24-y 2 12=1的离心率为e ,抛物线x =2py 2的焦点为(e,0),则 p 的值为________. 4.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a +2 b 的最小值为______. 5.若双曲线x 2a 2-y 2 =1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________. 6.已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2,则曲线的方程为________. 7.(2010·淮安质检)抛物线y =-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是________. 8.已知点A 、B 是双曲线 x 2- y 2 2 =1上的两点,O 为坐OA 标原点,且满足OA · OB =0,则点O 到直线AB 的距离等于________.
9.(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26-y 2 3=1的渐近线与圆(x -3)2+y 2=r 2(r >0) 相切,则r =________. 10.(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22-y 2 b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2,其一条渐近线方程为y =x ,点P (3,y 0)在该双曲线上,则12PF PF ?=________. 11.(2009·天津高考改编)设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点,与抛物线的准线相交于点C ,BF =2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF =________. 12.(2010·南京模拟)已知点(x 0,y 0)在直线ax +by =0(a ,b 为常数)上,则 (x 0-a )2+(y 0-b )2的最小值为________. 13.直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2 -4y 2 =3的焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________. 14.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若 AF FB =,,AF FB BA BC =?=48,则抛物线的方程为______________.
高中数学竞赛专题讲座数列
高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1.(2006年江苏)已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+,则{}n a 的最大项是( B ) ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2(2006安徽初赛)正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥,则100lg ()a = ( ) A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. (2006吉林预赛)对于一个有n 项的数列P=(p 1,p 2,…,p n ),P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值,其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n ),若数列(p 1,p 2,…,p 2006)的“蔡查罗和”为2007,那么数列(1,p 1,p 2,…,p 2006)的“蔡查罗和”为 ( A ) A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4.(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1),且a 1=9,其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 解:由递推式得:3(a n+1-1)=-(a n -1),则{a n -1}是以8为首项,公比为- 3 1 的等比数列, ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ,∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251,得:3n-1 >250,∴满足条件的最小整数n=7,故选C 。 5.(集训试题)给定数列{x n },x 1=1,且x n+1= n n x x -+313,则 ∑=2005 1 n n x = ( ) A .1 B .-1 C .2+3 D .-2+3 解:x n+1= n n x x 3 3 133 - +,令x n =tan αn ,∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1,x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1,……,∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、(2006陕西赛区预赛)已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ,n B 记
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F ,) 2 ,0F 的距离之和是4,点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程; ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点. 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=. ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程, 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=, 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122 814kb x x k +=-+,21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+, 显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -, 所以()112,AP x y =+u u u r ,()222,AQ x y =+u u u r . 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ,得1212(2)(2)0x x y y +++=. 将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=. 所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或6 5 b k =.经检验,都符合条件① 当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点. 即直线l 经过点A ,与题意不符. 当65b k =时,直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?. 显然,此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点,满足题意. 综上,k 与b 的关系是65b k =,且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切. ⑴ 求椭圆C 的方程; ⑴ 设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ; ⑴ 在⑴的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围. 【解析】 ⑴22 143 x y +=. ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-.
解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲:解析几何 1、(2009一试2)已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=,点A 在直线L 上,B ,C 为圆M 上两点,在ABC ?中,45BAC ∠=?,AB 过圆心M ,则点A 横坐标范围为. 【答案】[]36, 【解析】设()9A a a -, ,则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?,由直线AC 与圆M 相交,得 d 36a ≤≤. 2、(2009一试5)椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ,Q ,若OP OQ ⊥,则乘积OP OQ ?的最小值为. 【答案】22 222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ,,ππcos sin 22Q OQ OQ θθ??????±± ? ? ?????? ?,. 由P ,Q 在椭圆上,有 222221 cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得222211 11a b OP OQ +=+.于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22 222a b a b +. 3、(2010一试3)双曲线12 2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是. 【答案】9800 4、(2011一试7)直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点,C 为抛物线上的一点,?=∠90ACB ,则点C 的坐标为. 【答案】)2,1(-或)6,9(- 即0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ,
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1 =+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.
高中数学竞赛专题讲座---复数
复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握. 例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48,公比为)26(4 1 i +的等比复数列. (1)求4z . (2)将这个数列中的实数项,不改变原来的次序,从首项开始,排成 ,,,,21n a a a ,试求3a . (3)求无穷级数 ++++n a a a 21的和. 解:(1))6sin 6(cos 2 1)26(41ππi i r +=+= .i r z 2124834==. (2)使r 为实数的最小自然数是6,数列 ,,,,21n a a a 是首项为48,公比为6 r 的等比数列.所以 4 3 3= a . (3)这个级数是公比8 1 6 - ==r 的无穷等比级数,从而和3 128 ) 8 1(148= --=. 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下,n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1()2≥n ,k 为正的常数.问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近?(当∞→n 时) 分析:寻求n a 的一般式,再注意取极限的方法以及相关讨论. 解:1+n a 的辐角记作θ,212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= . (1)当1=k 时,i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+,所以)(13 1tan ∞→→+-=n n n θ. (2)当1≠k 时,21111 1)1(a k k k a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++ --=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1 3313)13(1tan 1∞→?? ? ??<<>+-→---+=-n k k k k k k k n n n θ. 例3 (1)设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系:),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α,其中)1(≠αα是常复数.当1,010==z z 时,试将n z 的值用α表示. (2)若(1)中的i 31+=α,求在圆10||=z (z 是复数)的内部总共含有n z 的个数. 解:(1)αα=-=-)(0112z z z z ,2 1223)(αα=-=-z z z z (1) 211)(----=-=-n n n n n z z z z α α 于是,从1≠α得,α α--=11n n z .
高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义:解析几何(教师版)
高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一(教师版) 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后,政策刚出时,很多人认为,是不是要在高考出分后再考自主招生,是否高考考完了,自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年,使用的题目的难度其实已经很稳定,这个题目只有出到高考以上,竞赛以下,才能在这么多省份间拉开差距. 所以,笔试难度基本稳定,维持原自主招生难度,原来自主招生的真题竞赛真题等,具有参考价值。 在近年自主招生试题中,解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分,也是高考与自主招生常见新颖题的板块,各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示,尤其是平面向量与解析几何的融合,提高了综合性,形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 : d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0). (3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. (4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r
高一数学竞赛培训《解析几何部分》
高一上期数学竞赛培训资料(16) ——解析几何部分(4)——与圆有关的点的轨迹问题 一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤: (1)建:建立直角坐标系; (2)设:设立动点坐标P (x ,y ); (3)现:将动点的等量关系呈现出来; (4)代:代入点的坐标; (5)化:化简上述等式。 应注意:所求方程的完备性! 二、题型示例: 1、ABC ?的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ,顶点C 在曲线23y x =+上运动,求ABC ?重心的轨迹方程。 2、过原点作曲线2 1y x =+的割线12OPP ,求弦12PP 中点的 P 的轨迹方程。 3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =,AB 在直线l 上移动,试求直线PA 和QB 的交点M
4、已知ABC ?的顶点A 是定点,边BC 在定直线上滑动,且||4BC =,BC 边上的高为3,求ABC ?的外心M 的轨迹方程。 5、设定点(6,0)P ,圆229x y +=上一点Q ,M 是PQ 上一点,满足 12 PM MQ =,当点Q 在圆上运动时,试求点M 的轨迹方程。 6、ABC ?中,边||6BC =,且0135B C ∠+∠=,试求顶点A 的轨迹方程。 7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ,分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点,试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。
8、已知圆222:O x y r +=,点M 为圆O 上任意一点,又点(,0)A r -、(,0)B r ,过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ,试求点P 的轨迹方程。 9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ,M 为直线l 上任意一点,过M 作圆O 的另一条切线,切点为Q ,试求MAQ ?垂心的轨迹方程。 10、已知点P 是圆22 :4O x y +=上一动点,定点(4,0)Q 。 (1)试求线段PQ 中点的轨迹方程; (2)设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ,求点R 的轨迹方程。
高中数学解析几何总结非常全
高中数学解析几何 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:?<≤?1800α 2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k (1).倾斜角为?90的直线没有斜率。 (2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直 线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 则当21x x ≠时,2 121tan x x y y k --==α;当21x x =时,o 90=α;斜率不存在; 二、直线的方程 1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0) 注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =; 2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:b kx y +=;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kx y = 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距
离”有区别。 3.两点式:若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且(2121,y y x x ≠≠则直 线的方程:1 21 121x x x x y y y y --=--; 注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (0,0≠≠b a )则直线方程:1=+ b y a x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:0=++C By Ax ;(B A ,不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意:①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。 ②指出此时直线的方向向量:),(A B -,),(A B -,??? ? ??+-+222 2 ,B A A B A B (单位向量);直线的法向量:),(B A ;(与直线垂直的向量) 6(选修4-4)参数式? ??+=+=bt y y at x x 00(t 参数)其中方向向量为),(b a ,
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆C :12 32 2=+y x 上任一点P ,作椭圆C 的右准线的垂线PH (H 为垂足) ,延长PH 到点Q ,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时,点Q 的轨迹的离心率的取值范围为( ) A .]3 3 , 0( B .]2 3,33( C .)1,3 3 [ D .)1,2 3( 解:设P(x 1, y 1),Q(x, y),因为右准线方程为x=3,所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ,所以 λ+-=11PQ HP ,所以由定比分点公式,可得:????? =-+= y y x x 11)1(3λ λ,代入椭圆方程,得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ,所以离心率e=)1,33 [32132232 2∈-=-λλ λ。故选C 。 2.(2006年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y =12上,则抛物线方程为(D) A .212y x =- B .212y x = C .216y x =- D .216y x = 3.(2006年江苏)已知抛物线2 2y px =,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△ POF 是直角三角形,则这样的点P 共有 ( B ) ()A 0个 ()B 2个 ()C 4个 ()D 6个 4.(200 6天津)已知一条直线l 与双曲线122 22=-b y a x (0>>a b )的两支分别相交于P 、Q 两 点,O 为原点,当OQ OP ⊥时,双曲线的中心到直线l 的距离d 等于( A ) (A )22a b ab - (B )22a b ab - (C )ab a b 2 2- (D )ab a b 22- 5. (2005全国)方程 13 cos 2cos 3 sin 2sin 2 2 =-+ -y x 表示的曲线是( ) A .焦点在x 轴上的椭圆 B .焦点在x 轴上的双曲线 C .焦点在y 轴上的椭圆 D .焦点在y 轴上的双曲线 解:),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+ 即.3sin 2sin >又 ,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32 ,220>-∴<>∴<<< <ππ π方程表示的曲线是椭圆。 ) ()4 232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π