2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）αβ>是sin sin αβ>的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
2．（5分）5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为( ) A ．70
B ．70-
C ．120
D ．120-
3．（5分）如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14，18)内的频数是6，则样本数据落在[6，10)的频数是( )
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
4．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥
C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
5．（5分）直线34y x =-+与双曲线221
169
x y -=有且只有一个公共点，则的取值有(
)个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为( ) A 221
B 221
C 47
D 47
7．（5分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最
多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A ．
1360
B ．
16
C ．
115
D ．
715
8．（5分）设1F ，2F 是椭圆22
:13x y C m
+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足
12120F MF ∠=?，则m 的取值范围是( )
A ．3
(0,][4,)4+∞
B ．9
(0,][4,)4+∞
C ．3(0,][12,)4+∞
D ．9
(0,][12,)4
+∞
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）已知双曲线22
:19
x y C m m +=-的离心率e ，则下列说法正确的是( )
A ．3m =
B ．双曲线
C 的渐近线方程为y =
C ．双曲线C 的实轴长等于
D ．双曲线C 的准线为1y =±
10．（5分）给出下列命题，其中正确命题为( )
A ．投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)各一次，记硬币正面向上为事件A ，骰子向上的点数是2为事件
B ，则事件A 和事件B 同时发生的概率为
1
12
B ．以模型x y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z lny =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，的值分别是4e 和0.3
C ．随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，( 1.5)0.34P X >=，则(0.5)0.16P X <=
D ．某选手射击三次，每次击中目标的概率均为1
2
，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为
12
11．（5分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3
A π
=，2a =，若满
足条件的三角形有且只有一个，则边b 的可能取值为( )
A ．1
B C ．2 D ．3
12．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列
结论正确的是( )
A ．存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为75?
B ．存在M 点使得二面角M BD
C --为135?的二面角 C ．直线1
D M 与平面1AD C 所成角正弦值的最大值为
63
D ．当1114A M AC =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为9
4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）．则一共可以传递 种信息．（用数字作答）
14．（5分）已知椭圆22:143
x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(4,4)M ．若点P 为椭
圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为 ．
15．（5分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得45CD m =，135ADB ∠=?，15BDC DCA ∠=∠=?，120ACB ∠=?，则AB 两点的距离为 m ．
16．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，其内有9个小球，球1O 与正方体
1111ABCD A B C D -的六个面都相切，球2O ，3O ，4O ，5O ，6O ，7O ，8O ，9O 与正方体
1111ABCD A B C D -三个面和球1O 都相切，
则球1O 的体积等于 ，球2O 的表面积等于 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： ①4,3c a b ==；
②37
6,sin(
)2b B π=-=-
； ③52,12
b C π
==．
问题：在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin ()sin()B c
A b c A
B a a
=
-++，且 _____．求：
（1）a 的值； （2）ABC ?的面积．
18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==．
（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD ．
19．（12分）已知直线:1l y x =+过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A ，
B 两点，点M 为AB 中点．
（1）求抛物线E 的方程；
（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C ，D 两点，求MCD ?面积取得最小值时直线l 的方程． 20．（12分）为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）:
使用手机
不使用手机
总计 学习成绩优秀
5
20
学习成绩一般
总计
30
50
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望． 参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
参考数据：
2
()P K
0.050 0.010 0.001 0
3.841
6.635
10.828
21．（12分）如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，
2AD =，3
BAD π
∠=
，且D '在底面上的投影H 恰为CD 的中点．
（1）求证：BC ⊥平面B D H ''； （2）求二面角C BH C '--的大小．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点是椭圆22:19
x E y +=的左、右顶点，
P 为直线6x =上的动点，PA 与椭圆E 的另一交点为Q ，当点P 不为点(6,0)时，过P 作直
线PH QB ⊥，垂足为H ． （1）证明：直线PH 过定点M ；
（2）过（1）中的定点M 作斜率为的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，设直线AC ，AD 的斜率分别为1
，
2
，试判断1
2
(
)?+
是否为定值？如果是定值，求出定值．
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）αβ>是sin sin αβ>的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：当αβ>，比如31030?>?，但是sin sin αβ<，故充分性不成立， 当sin sin αβ>，比如sin90sin180?>?，但是αβ<，故不必要性不成立， 所以αβ>是sin sin αβ>的既不充分也不必要条件． 故选：D ．
2．（5分）5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为( ) A ．70
B ．70-
C ．120
D ．120-
【解答】解：5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为1
225
5(2)2(2)70C C ?-+?-=， 故选：A ．
3．（5分）如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14，18)内的频数是6，则样本数据落在[6，10)的频数是( )
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
【解答】解：容量为n 的样本的频率分布直方图中， 样本数据在[14，18)内的频率为：
1(0.020.080.09)40.24-++?=，
样本数据在[14，18)内的频数是6， 6
250.24
n ∴=
=，
∴样本数据落在[6，10)的频数是：
250.0848??=．
故选：B ．
4．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥
C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
【解答】解：由l 是直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若//l α，//l β，则α与β相交或平行，故A 错误；
在B 中，若//l α，l β⊥，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故B 正确； 在C 中，若αβ⊥，l α⊥，则l 与β相交、平行或l β?，故C 错误； 在D 中，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β?，故D 错误． 故选：B ．
5．（5分）直线34y x =-+与双曲线221
169
x y -=有且只有一个公共点，则的取值有(
)个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：由直线
34y x =-+与双曲线22
1169
x y -=，得
222(916)16(86)5440x x ----=， ①当2
9160-=，即3
4=±时，此时直线与双曲线相交，只有一个公共点；
②当2
916
0-≠，即3
4
≠±时，
△2
22[16(86)]4(916)(544)0=----=，解得有2个值，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点； 综上，的值有4个． 故选：D ．
6．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为( )
A B C D
【解答】解：如图，正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，
则1122A B A C ==，1221
2(22)172
A BC
S
=??-=， 取11B C 的中点1D ，则1111A D B C ⊥，且113A D =，
平面111A B C ⊥侧面11BB C C ，且平面111A B C ?侧面1111BB C C B C =， 11A D ∴⊥平面11BB C C ，
设1B 到平面1A BC 的距离为h ，
由1111A BB C B BA C V V --=，得111
2237323
h ????=??，
即221
h =
． ∴点1B 到平面1A BC 的距离为
221
7
． 故选：A ．
7．（5分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A ．
1
360
B ．
16
C ．
115
D ．
715
【解答】解：根据题意，在“中国古代十大乐器”中任选4个，连续安排四节课，有4
10A 种
选法，
其中琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的安排方法有222823C A A 种，