第十二章 辅助圆
模型1 共端点，等线段模型
图①
O A
C B
图②
B
O
C A
图③
O
A
B
C
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝1
2∠BOC .
模型分析
∵OA ＝OB ＝OC .
∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．
∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． ∵∠ACB 是AB 的圆周角，∠AOB 是AB 的圆心角，
∴∠ACB ＝1
2∠AOB .
同理可证∠BAC ＝1
2
∠BOC .
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆． （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例
如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．
求证：∠1＋∠2＝90°.
2
1B
C
D
A
证明
证法一：如图①，
∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，
∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ． ∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .
∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.
图①
2
1C
D
A
B
小猿热搜
1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．
1
2
P
B
A
C
E D
A D
21
P
E C
B
证明
∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .
∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．
∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD.∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB.∴∠1＝∠2. 2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．
A C
B
D
B
C
E
D
A
解答
以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．
∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD，
∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中．
AD AC
DAE CAB
AE AB
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.
在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，
∴BD＝22
BE ED
-＝()22
2a b
-＝22
4a b
-．
模型2 直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，
∴A、B、C、D四点共圆．
（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
模型实例
例1 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：
（１）图中有多少组四点共圆？
（２）求证：∠ADF＝∠ADE．
解答
（１）６组
①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；
②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；
③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；
④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；
⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；
⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．
（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.
同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.
∴∠ADF＝∠ADE．
例2 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.
解答
如图，连接DB、DF.
∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，
∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，
∴∠DBF=90°．
又∵∠DEF=90°，
∴D、E、B、F四点共圆．
∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．
∴△DEF是等腰直角三角形．
∴FE=DE．
1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG BC
A
E
D
F G
B
证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，
∴B、C、D、E四点共圆．
∴∠DBC=∠DEG，
同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，
∴D、E、F、G四点共圆．
于是∠DEG=∠DFG，
因此，∠DBC=∠DFG．
于是FG∥BC
2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.
D
H
E
F
A
B
C
3.如图，等边△PQR 内接于正方形ABCD,其中点P ,Q,R 分别在边AD,AB,DC 上，M 是QR 的中点.求证：不论等边△PQR 怎样运动，点M 为不动点.
B
C
R
Q A
D
4.如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB,TE ⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.
A
E
H
D
B
C
补充：