高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳

新课标人教A版

一、集合

1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：

Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任

意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是

集合B 的子集。记作B A ?.

2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，

则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：

空集合是任何集合的子集.

4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n

2个子

集，21n

-个真子集.

§1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成

的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素

组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .

3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念

1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：

()()21x f x f -=…

(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个

x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为

偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.

2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个

x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为

奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数

1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在

))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方

程是))((000x x x f y y -'=-.

2、几种常见函数的导数

①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；

③x x cos )(sin '

=； ④x x sin )(cos '

-=； ⑤a a a x

x ln )('

=； ⑥x

x e e ='

)(；

⑦a x x a ln 1)(log '

=；⑧x

x 1)(ln '

=

3、导数的运算法则 （1）'

'

'

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+.

（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 4、复合函数求导法则

复合函数(())y f g x =的导数和函数

(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，

那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值

(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值） (2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n

=. 3、 我们规定： ⑴m n

m

n

a a

=

()

1,,,0*

>∈>m N

n m a ；

⑵()01

>=-n a

a

n n

； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a

a a s

r s

r

∈>=+,,0；

⑵()

()Q s r a a a rs s

r

∈>=,,0；

⑶()()Q r b a b a ab r

r r

∈>>=,0,0.

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：()1,0≠>=a a a y x

1>a

10<

图 象

-1

-4

-2

1

-1

-4-2

1

性 质 (1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R 上是增函数 （4）在R 上是减函数

(5)0,1x

x a >>;

0,01x

x a <<<

(5)0,01x

x a ><<;

0,1x

x a <>

0

a>1

1

y=a x

o

y

x

2、性质：

§2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：log x

a a N x N =?=；

2、对数恒等式：log a N

a

N =.

3、基本性质：01log =a ，1log =a a .

4、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；

⑵N M N M a a a log log log -=??

? ??；

⑶M n M a n

a log log =.

5、换底公式：a

b

b c c a log log log =

()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .

6、重要公式：log log n m

a a m

b b n

= 7、倒数关系：a

b b a log 1

log =

()1,0,1,0≠>≠>b b a a .

§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a

2、性质： §2.

3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程()0=x f 有实根

?函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ?函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理：

如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0

()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，

使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：

圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与

截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影

1>a

10<

图

象

2.51.5

0.5

-0.5

-1-1.5

-2

-2.5

-1

11

2.51.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

1

性 质 (1)定义域：（0，+∞）

（2）值域：R

（3）过定点（1，0）

，即x=1时，y=0 （4）在 （0，+∞）上是增函数

（4）在（0，+∞）上是减函数

(5)0log ,1>>x x a ； 0log ,10<<

(5)0log ,1<>x x a ； 0log ,10><

0

a>1

1y=log a x

o

y

x

的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面

⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面

⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=

3

1

锥体； ()

h S S S S V 下下上上台体+?+=

3

1

⑸球的表面积和体积：

323

4

4R V R S ππ==球球，.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，

那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

直线与方程

1、倾斜角与斜率：1

21

2tan x x y y k --==α

2、直线方程：

⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y +=

⑶两点式：

121

121

y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：

1x y a b

+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：

2

22111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：

⑴??

?≠=?2

12

121//b b k k l l ；

⑵1l 和2l 相交12k k ?≠； ⑶1l 和2l 重合??

?==?2

12

1b b k k ；

⑷12121-=?⊥k k l l

.

4、对于直线： 0

:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：

⑴??

?≠=?122

11

22121//C B C B B A B A l l ；

⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合??

?==?1

2211

221C B C B B A B A ；

⑷0212121=+?⊥B B A A l l .

5、两点间距离公式：

()()21221221y y x x P P -+-=

6、点到直线距离公式：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

7、两平行线间的距离公式：

1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，

则2

2

21B

A C C d +-=

第四章：圆与方程 1、圆的方程：

⑴标准方程：()()22

2

r b y a x =-+-

其中圆心为(,)a b ，半径为r .

⑵一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22

D

E

-

-

，半径为22142

r D E F =

+-.

2、直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r

b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ;

0>???<相交r d .

弦长公式：222d r l -=

2212121()4k x x x x =+--

3、两圆位置关系：21O O d = ⑴外离：r R d +>；

⑵外切：r R d +=；

⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<.

3、空间中两点间距离公式：

()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=

统计

1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，

每个个体被抽到的机会（概率）均为N n

。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计：

⑴平均数：n

x x x x x n

++++= 321；

取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21

方差：2

1

2)(1

∑=-=

n

i i

x x

n

s ；

标准差：2

1

)(1∑=-=

n

i i

x x

n

s

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

1

221n

i i i n

i

i x y nx y b x nx a y bx

==?

-?

?=??-??=-??∑∑注意：线性回归直线经过定),(y x 。 第三章：概率

1、随机事件及其概率： 随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=

A P n

m

A P . 2、古典概型： ⑴特点：

①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率n

m A P =

)(.

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式：的测度

的测度

D d A P =

)(；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、

体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； ⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件，则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥。

⑶如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 发生的概率的和，

即：)()()(B P A P B A P +=+

⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥，则有： )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ①事件A 的对立事件记作A

)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事

件。

必修4数学知识点

第一章：三角函数 §1.1.1、任意角

1、 正角、负角、零角、象限角的概念.

2、 与角α终边相同的角的集合：

{}Z k k ∈+=,2παββ.

§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

的角. 2、 r

l =

α. 3、弧长公式：R R

n l απ==

180

. 4、扇形面积公式：lR R n S 2

1

3602==

π. §1.2.1、任意角的三角函数

1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

()y x P ,，那么：x

y

x y =

==αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y

为角α终边上任意一点，

那么：（设22r x y =+）

sin y r α=

，

cos x r α=，tan y

x

α=，cot x y α=

3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角

函数线的画法. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：

1cos sin 2

2=+αα.

2、 商数关系：α

α

αcos sin tan =

. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=

§1.3、三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一：

()()().

tan 2tan ,cos 2cos ,

sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二：

()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+

3、诱导公式三：

()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-

4、诱导公式四：

()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-

5、诱导公式五：

.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??

?

??-=???

??-

6、诱导公式六：

.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=??

?

??+=??

?

??+

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为：

30010-12022

ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：

1-1y=cosx

-3π2

-5π2-7π27π2

5π23π2

π2-π2-4π

-3π-2π4π

3π2ππ-πo y x

1-1y=sinx -3π2

-5π2

-7π27π2

5π23π2π2-π2-4π-3π

-2π4π

3π2ππ-πo y x

T M A O P

x y

y=tanx

3π2

π

π2

-

3π2

-π

-

π2

o

y

x

3、正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

x y sin =

x y cos = x y tan =

图象

定义域 R

R

},2

|{Z k k x x ∈+≠

ππ

值域

[-1,1] [-1,1]

R

最值

max min 2,1

2

2,1

2

x k k Z y x k k Z y π

ππ

π=+

∈==-

∈=-时，时，

max min 2,12,1

x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，

无

周期性 π2=T

π2=T

π=T

奇偶性

奇

偶

奇

单调性 Z k ∈ 在[2,2]2

2

k k ππππ-+上单调递增

在3[2,2]2

2

k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增

在[2,2]k k πππ+上单调递减

在(,)22k k ππππ-+上单调递增

对称性 Z k ∈

对称轴方程：2

x k π

π=+

对称中心(,0)k π

对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2

k ππ

+

无对称轴 对称中心,0)(

2

k π

§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象

1、对于函数：

()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>的周期

2T π

ω

=

2、能够讲出函数x y sin =的图象与

()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变

换关系.

① 先平移后伸缩：

sin y x = 平移||

?个单位

()s i n y x ?=+ （左加右减）

横坐标不变

()s i n y A x ?=+ 纵坐标变为原来的A 倍

纵坐标不变

()sin y A x ω?=+

横坐标变为原来的1

||ω

倍

平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++

（上加下减）

② 先伸缩后平移：

sin y x = 横坐标不变 sin y A x =

纵坐标变为原来的A 倍

纵坐标不变

sin y A x ω=

横坐标变为原来的1

||ω

倍

平移

?ω

个单位

()s i n y A x

ω?=+ （左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++

（上加下减）

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||

T π

ω=；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为

常数，且A ≠0)的周期||

T π

ω=

. 对于s i n ()y A x ω

?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2

x k k Z π

ω?π+=+

∈与()x k k Z ω?π+=∈

解出x 即可.

4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2y y A -=

，max min

2

y y B +=. ω要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.

第三章、三角恒等变换

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=

.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα2

2

sin cos 2cos -=

1cos 22-=α α2sin 21-=.

变形如下：

升幂公式：2

2

1cos 22cos 1cos 22sin αα

αα

?+=??-=?? 降幂公式：221cos (1cos 2)2

1sin (1cos 2)2

αααα=+=-?????

3、α

αα2tan 1tan 22tan -=

.

4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα

-=

=+

§3.2、简单的三角恒等变换

1、 注意正切化弦、平方降次.

2、辅助角公式

)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y

（其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决

定,tan b

a

?= ).

第二章：平面向量

1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,

⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当

0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.

2、 平面向量共线定理：向量()

0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.

平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不

共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，

有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，

⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =?.

2、()()2211,,,y x B y x A 则： ()1212,y y x x AB --=. △ABC 中：

1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为

(

)

2

22

121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为

(

)

333213

21,y y y x x x ++++.

§2.4.1、平面向量数量积 1、 θcos b a b a =?.

2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .

3、 2

2

a a =. 4、 2

a a =

.

5、 0=??⊥b a b a .

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：

⑴2121y y x x b a +=? ⑵2121y x a +=

⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-

=

2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：

()()2

12212y y x x AB -+-=

.

3、 两向量的夹角公式

12122

22

2

1

1

22

c o s x x y y a b a b

x y x y

θ

+?==

+?+

必修5数学知识点

第一章：解三角形 1、正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为AB

C ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===

sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R

?=

== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它

元素。

2、余弦定理：

222222

2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-?

222

222222

cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=??

+-?

=

??

?+-=

??

用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式：

B ac A bc

C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===

? 4、三角形内角和定理：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B

π+?

=-222()C A B π?=-+.

5、一个常用结论：

在ABC ?中，sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2

A B A B A B π

==+=则或特别注意，在三角函数中，sin sin A B A B >?>不成立。

第二章：数列

1、数列中n a 与n S 之间的关系：

1

1,(1),(2).n n

n S n a S S n -=?=?-≥?注意通项能否合并。

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +

），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列

2

a b

A +?=

⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式：

()()

11122

n n n n n a a S na d -+=+

= ⑸常用性质：

①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则

q p n m a a a a +=+；

②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；

③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列； ④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +

(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

⑤单调性：{}n a 的公差为d ，则：

ⅰ）?>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）?<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）?=0d {}n a 为常数列；

⑥数列{n a }为等差数列n a pn q ?=+（p,q 是常数） ⑦若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、

k k S S 23-… 是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a b 、

G 、成等比数列2

,G ab ?=（ab 同号）。反之不一定成立。

⑶通项公式：11n n m

n m a a q a q --==

⑷前n 项和公式：()11111n n n a q a a q

S q

q

--==

--

⑸常用性质

①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则

m n p q a a a a ?=?；

② ,,,2m k m k k a a a ++为等比数列，公比为k

q (下标成等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列{}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；正项等比数列{}n a ；则{}lg n a 是公差为

lg q 的等差数列；

④若{}n a 是等比数列，则{}{}

2

n n ca a ，，

1n a ??

????

， {}()r

n a r Z ∈是等比数列，公比依次是21.r q q q q

，，， ⑤单调性：

110,10,01a q a q >><<<或{}n a ?为递增数列；

{}110,010,1n a q a q a ><<<>?或为递减数列； {}1n q a =?为常数列； {}0n q a

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、

k k S S 23-… 是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法

类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n

a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

1

1,(1),(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?构造两式作差求解。

类型Ⅲ 累加法：

形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关

于n 的函数）可构造： 112

21(1)

(2)..(1.)

n n n n a a f n a a f n a a f ----=????--=--=???

类型Ⅳ 累乘法： 形如1()n n a a f n +=?1()n n a f n a +??

=

???

型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：11

22

1

(1)(.2)(1..)n

n n n a f n a a f n a a f a ---=-=-?????

?=?????

类型Ⅴ 构造数列法：

㈠形如q pa a n n +=+1（其中,p q 均为常数且0p ≠）

型的递推式：

（1）若1p =时，数列{n a }为等差数列; （2）若0q =时，数列{n a }为等比数列;

类型Ⅶ 倒数变换法：

形如11n n n n a a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）的递推式：两边同除于1n n a a -，转化为

1

11n n p a a -=+形式，化归为q pa a n n +=+1型求出1n

a 的表达式，再求n a ；

5、非等差、等比数列前n 项和公式的求法 ⑴错位相减法

①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法.

②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ?的前n 项和.

此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.

⑵裂项相消法

一般地，当数列的通项12()()

n c

a an

b an b =

++

12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，

采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项：

设1

2

n a an b an b λ

λ

=

-

++，通分整理后与原式相

比较，根据对应项系数相等得21

c

b b λ=

-，从而可得

122112

11

=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++

常见的拆项公式有： ①

111

(1)1

n n n n =-++；

②

1111

();(21)(21)22121n n n n =--+-+

③

11

();a b a b a b

=--+

⑶分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...n n a a a a -+=+= ⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1)

123...;2

n n n +++++=

②2

135...(21);n n ++++-=

③2222

1

123...(1)(21).6

n n n n ++++=

++ 第三章：不等式

§3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质

①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?>

③（可加性）a b a c b c >?+>+

（同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0,

bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?>

（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d

>><

⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b

a b a b a b a 110;110>?<<>

2、几个重要不等式

①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取

""=号）. 变形公式：22

.2

a b ab +≤ ②（基本不等式） 2

a b

ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.

变形公式： 2a b ab +≥ 2

.2a b ab +??

≤ ???

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

⑥0,2b a

ab a b >+≥若则

（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a

ab a b

<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）

3、几个著名不等式

2

22

;22a b a b ab ++??≤≤

???

2

22()

.2

a b a b ++≥

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或

2(0,40)a b ac ≠?=->解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿

（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()

0()()0()

()()0()

0()0

()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >??>?≥?≥??≠? （<≤“或”

时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()

()()()f x g x a

a f x g x >?>

⑵当01a <<时, ()

()()()f x g x a

a f x g x >?<

规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当1a >时,

()0

log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

⑵当01a <<时,

()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：(0)

.(0)a a a a a ≥?=?-

⑵平方法：2

2

()()()().f x g x f x g x ≤?≤

⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤?-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥?≥≤-≥或

③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤?-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥?≥≤-≥或

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解形如2

0ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论?与0的大小； ⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式2

0ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当0a =时 0,0;b c ?=>

②当0a ≠时0

0.a >???

?

⑵不等式2

0ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当0a =时0,0;b c ?=<

②当0a ≠时0

0.a

⑶()f x a <恒成立max ();f x a ?<

()f x a ≤恒成立max ();f x a ?≤

⑷()f x a >恒成立min ();f x a ?>

()f x a ≥恒成立min ().f x a ?≥

专题一：常用逻辑用语

1、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：

⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3、充分条件、必要条件与充要条件

若p q ?，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件; 若p q ，但q p ?，则p 是q 必要而不充分条件; 若p q ?且q p ?，则p 是q 的充要条件； 若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

4、复合命题

⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ?）. ⑵复合命题的真假判断

“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真； “p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假； “非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.

⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定

①全称命题p ：,()x p x ?∈M ，它的否定p ?：

00,().x p x ?∈M ?全称命题的否定是特称命题．

②特称命题p ：00,(),x p x ?∈M ，它的否定p ?：

,().x p x ?∈M ?特称命题的否定是全称命题.

专题二：圆锥曲线与方程

1

．椭圆

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 第一定义 到两定点21F F 、

的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A

()1,0b B -、()2,0b B

轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b =

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距

222122()F F c c a b ==-

离心率

2222222

1(01)c c a b b e e a a a a

-====-<<

（焦点）弦长公式

1,12,2(),()A x y B x y ，22212121211()4AB k x x k x x x x =+-=+--

3．抛物线

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210,0x y a b a b -=>> ()22

22

10,0y x a b a b -=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）

范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A

轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距

222122()F F c c a b ==+

离心率

222222

2

1(1)c c a b b e e a a a a

+====+>

渐近线方程 b y x a

=±

a y x b

=±

图形

标准方程

22y px =

()0p >

22y px =- ()0p >

22x py = ()0p >

22x py =-

()0p >

对称轴 x 轴

y 轴

焦点

,02p F ?? ??? ,02p F ??

- ??? 0,2p F ?

? ???

0,2p F ?

?- ??

?

准线方程

2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

专题五：数系的扩充与复数

1、复数的概念 ⑴虚数单位i ；

⑵复数的代数形式(,)z a bi

a b R =+∈；

⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数(),z a bi

a b R =+∈

(0)(0,0)(0)(0,0)b a b b a b =??

=≠??

≠??

≠≠??

实数纯虚数虚数非纯虚数 3、相关公式

⑴d c b a di c bi a ==?+=+且, ⑵00==?=+b a bi a ⑶22b a bi a z +=

+=

⑷z a bi =-

z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算

⑴复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+； ⑵复数的乘法：

()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；

⑶复数的除法：()()()()

a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- ()()22

22

22

ac bd bc ad i ac bd bc ad i

c d c d c d ++-+-=

=++++

6、复数的几何意义

复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x 轴叫做复平面的实轴，y 轴叫做复平面的虚轴.

z a bi Z =+←???→一一对应

复数复平面内的点（a,b)

z a bi OZ =+←???→一一对应

复数平面向量

专题六：排列组合与二项式定理

1、基本计数原理

⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)

做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有

1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方

法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有

1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方

法……做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N ???= 21种不同的方法. ⑸排列数公式：

①()()()121+---=m n n n n A m

n

()!

m n n A m

n -=

！

；

②!n A n n =，规定1!0=.

⑹组合数公式： ①()()()!

121m m n n n n C m

n +---=

或

()!

!m n m n C m

n -=

！

；

②m

n n

m n C C -=，规定10=n C . ⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.

⑻排列与组合的联系：m m

m n m n A C A ?=，即排列就是先组合再全排列.

()(1)(1)!()

(1)21!!m

m

n n

m m A n n n m n C m n A m m m n m ?-??-+===≤?-???-⑼排列与组合的两个性质性质

排列11-++=m n m n m n mA A A ；组合1

1-++=m n

m n m n C C C . ⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法.

⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法.

⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以n ！. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式：

()

011222n

n n n r n r r

n n n n a b C a C a b C a b C a b

---+=++++ ()n n

n C b n N ++

+∈.

⑵二项展开式的通项公式：

()+-+∈∈≤≤=N n N r n r b a C T r

r n r n r ,,01.主要用途

是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如

在()n

ax b +的展开式中，第1r +项的二项式系数

为r

n C ，第1r +项的系数为r

n r

r n C a

b -；而1

()n x x

+的

展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为

正，而项的系数不一定为正. ⑷()n

x +1的展开式：

()0

221101x C x C x C x C x n n n n n n n n n ++++=+-- ，

若令1=x ，则有

()n

n

n n n n n C C C C ++++==+ 210211.

1、基本概念

⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即

()()(P A B P A P B

+

=+. ⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A 的对立事件通常记着A .

对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-. ⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ?发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即

()()()P A B P A P B ?=?.

若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A

与B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验

①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.

②独立重复试验的概率公式

如果在1次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率

()()(1)0,12,.,k

k

n

k

n n P k n k C p

p

-==-

2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用

字母,,,X Y ξη等表示.

⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

人教版小学数学知识点总结(完整版)

人教版小学数学知识点归纳 第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2 、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。例如15÷3=5，所以15能被3整除，3能整除15。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

2020高一数学知识点总结归纳精选5篇

2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

史上最全的初高中数学知识点衔接归纳

初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

高中数学必修必修知识点总结

高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

高中数学知识点总结超全

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

小学数学超详细知识归纳总结(打印版)

小学数学超详细知识归纳总结（打印版） 基本概念 第一章数和数的运算 一、概念 （一）整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。 10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 7、一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 ⑴准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把1254300000 改写成以万做单位的数是125430 万；改写成以亿做单位的数12.543 亿。 ⑵近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：1302490015 省略亿后面的尾数是13 亿。⑶四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

小学数学知识点归纳总结

小学数学总复习资料 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍 数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时 间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数 量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减 数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除 数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式

1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积 a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽× 高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形（s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积 ×2÷高 6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah

7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h： 高） 面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2 8、圆形（S：面积 C：周长л d=直 径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r: 底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r: 底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 13、和倍问题

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是

最全面小学数学知识点归纳总结(精华版)

第一章数和数的运算 6、整数的读法： ①从高位到低位，一级一级地 读。②读亿级、万级时，先按照个级的读法去 （一）整数 读，再在后面加一个“亿”或“万”字。③每 1、 自然数和 0 都是整数。 级末尾的 0 都不读，其它数位连续有几个 0 都 2、自然数 只读一个零。 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 0， 7、整数的写法： 从高位到低位，一级一级地 写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个 1， 2，3 叫做自然数。 一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。 数位上写 0。 3、正数和负数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它 正数：大于 0 的数叫做正数（不包括 0），数轴 改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还 上 0 右边的数叫做正数。 负数：在数轴线上，负数都在 可以根据需要，省略这个数某一位后面的数， 0 的左侧，所有 写成近似数。 的负数都比 0 小。负数用负号“ - ”标记，如 - （二）小数 2， -0.6,-32 等。 1、小数的读法： 读小数的时候，整数部分按照 0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界 整数的读法读，小数点读作“点” ，小数部分从 限。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一 左向右顺次读出每一位数位上的数字。 切负数。 2、小数的写法： 写小数的时候，整数部分按照 整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线 叫数轴。 数部分顺次写出每一个数位上的数字。 所有的数都可以用数轴上的点来表示。也可以 3、小数的分类 用数轴来比较两个数的大小。 ⑴有限小数：小数部分的数位是有限的小数， 数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。 叫做有限小数。例如： 41.7 、25.3 、0.23 都是 在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方 有限小数。 向的数。 ⑵无限小数：小数部分的数位是无限的小数， 4、计数单位 叫做无限小数。例如： 4.33 3.1415926 个、十、百、千、万、十万、百万、千万、 ⑶无限不循环小数：一个数的小数部分，数字 亿 都是计数单位。每相邻两个计数单位之 排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限 间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计 不循环小数。例如：л 数法。 ⑷循环小数：一个数的小数部分，有一个数字 5、数位 或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占 循环小数。 的位置叫做数位。个位、十位、百位

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性

高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210

人教版高中数学各章知识点总结

高中数学必修3知识点 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 （二）构成程序框的图形符号及其作用

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执 行B 框所指定的操作。 2、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 （2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。

高中数学必修123知识点总结

高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 （2 0)

〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中， () 2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

初高中数学衔接知识点总结

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-