全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
(A)1.
(B)2. (C)3.
(D)无穷多个.
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则
(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1
6
b =.
（3）使不等式1sin ln x t
dt x t
>?成立的x 的范围是
(A)(0,1).
(B)(1,
)2π
. (C)(,)2
π
π.
(D)(,)π+∞.
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*
,A B *
分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩
阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ?? ???.
(B)**
23O
B A O ??
???.
(C)**32O A B O ??
???
.
(D)**
23O A B
O ??
???
. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T
P AP ?? ?= ? ???
，
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T
Q AQ 为
(A)210110002??
? ? ???.
(B)110120002??
?
? ???.
(C)200010002?? ? ? ???
.
(D)100020002?? ? ? ???
.
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则
(A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ?=.
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z
的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9
）cos 0x x →= .
（10）设()y x
z x e =+，则
(1,0)
z
x ?=? .
（11）幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T
αβ相似于300000000??
? ? ???
，则k = .
(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2
T X S =-，则ET = .
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数()2
2
(,)2ln f x y x
y y y =++的极值.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分ln(1dx +
?
(0)x >. （17）（本题满分10 分） 计算二重积分
()D
x y dxdy -??
，其中22
{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],
a b 上连续，在(),a b 上可导，则
(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,
,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +
→=，
则'
(0)f +存在，且'(0)f A +=.
（19）（本题满分10 分）
设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1
y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）
设111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??
?
= ? ?-??
.
（Ⅰ）求满足21A ξξ=，2
31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）
设二次型222
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22
11y y +，求a 的值.
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0
x e y x
f x y -?<<=?
?其他
（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率11P X Y =?≤≤???.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ?==???；
（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3.
(D)无穷多个.
【答案】C. 【解析】
()3
s i n x x f x x
π-=
则当x 取任何整数时，()f x 均无意义
故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3
0x x -=的解
1,2,30,1x =±
320032113211131
lim lim sin cos 132
lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==
--== 故可去间断点为3个，即0,1±
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则
(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，1
6b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1
6
b =.
【答案】A.
【解析】2
()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则
222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax
g x x bx x bx bx bx
→→→→→---==-?---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax
a
→==-=-? 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外2
01cos lim
3x a ax
bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).
所以本题选(A).
（3）使不等式
1
sin ln x
t
dt x t
>?
成立的x 的范围是 (A)(0,1).
(B)(1,
)2π
. (C)(,)2
π
π. (D)(,)π+∞.
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
111sin sin 1()ln x
x x t
t f x dt x dt dt t t t =-=-???11sin 11sin 0x x t t dt dt t t
--==>??成立时x 的
取值范围，由1sin 0t
t
->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =?的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、
0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：
①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.
④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为(D).
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*
,A B *
分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩
阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ?? ???.
(B)**
23O B A O ??
???.
(C)**32O A B O ??
???
.
(D)**
23O A B
O ??
???
. 【答案】B.
【解析】根据CC C E *
=，若1
1
1,C C C C
C C
*
--*
==
分块矩阵O A B O ?? ???
的行列式
22
1236O A A B B O ?=-=?=（），即分块矩阵可逆 1
1
11661O B B
O A O A O A O B B O B O B O A
O A O A **
---*?? ???????
?=== ? ? ?
???????
?
??
123
6132
O B O B A
O A O ***
*?
? ?
??
== ? ? ???
???
故答案为(B).
（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T
P AP ?? ?= ? ???
，
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T
Q AQ 为
(A)210110002??
? ? ???.
(B)110120002??
?
? ???.
(C)200010002?? ? ? ???
.
(D)100020002?? ? ? ???
.
【答案】A.
【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα??
??=+==??????
，即： 12121212122112(1)
[(1)][(1)](1)[](1)
100(1)01
0(1)0021101
001002100100101101100010
02001002T T T
T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===??
??=??????
????????
????????==???
?????????????????????
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则
(A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ?=.
【答案】D.
【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB = (A)()()1()P AB P A
B P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确.
(B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.
(D)()()1()1P A
B P AB P AB ==-=，故(D)正确.
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（ ） (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
【答案】 B.
【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==
1
[(0)(1)]2
1
[(00)(1)]2
P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==?≤=+≤=
,X Y 独立
1
()[(0)()]2
Z F z P x z P x z ∴=?≤+≤
（1）若0z <，则1
()()2Z F z z =Φ
（2）当0z ≥，则1
()(1())2
Z F z z =+Φ
0z ∴=为间断点，故选(B).
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9
）cos 0x x →= .
【答案】
32
e .
【解析】cos cos 10x x x x -→→=02(1cos )lim 13
x e x x
→-=20212
lim 13x e x x →?=32e =. （10）设()y x
z x e =+，则(1,0)
z
x ?=? .
【答案】2ln21+. 【解析】由(
)x
y z x e
=+，故()(),01x
z x x =+
()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++??????=+==++??????+??
代入1x =得，()
ln 21,01ln 22ln 212z e x
??
?=+=+ ???
?.
（11）幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 . 【答案】
1
e
. 【解析】由题意知，()
2
10n
n n e a n
--=> ()
()
()
()11
1
1
2212
2111()11111n n n n n n
n n n
n e e e
a n n e n a n e n e e +++++????--?? ???--????=?
=?→→∞??
+--+??--??
???????
所以，该幂级数的收敛半径为1e
（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.
【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q P
Q
ξ'=
=-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T
αβ相似于300000000?? ? ? ???
，则k = .
【答案】2.
【解析】T αβ相似于300000000??
????????
，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T
αβ的特征值为