10月27日矩形、正方形(2
快速反应
1. ____________________的矩形叫做正方形。
2. 正方形具有_________、___________、____________的一切性质。
3. 如图,四边形ABCD 是正方形,两条对角线相交于点O ,OA=2,则
∠AOB=________,
∠OAB=________,BD =____________,AB=__________.
A B C D
O
4. 第三题图中等腰三角形的个数是(
A.4个
B.5个
C.6个
D.8个
5. 判断。
(1 正方形一定是矩形。(
(2 正方形一定是菱形。(
(3 菱形一定是正方形。(
(4 矩形一定是正方形。(
(5 正方形、矩形、菱形都是平行四边形。(
自主学习
1. 在下列性质中,平行四边形具有的是__________,矩形具有的是_________, 菱形具有的是__________,正方形具有的是____________。
(1 四边都相等;
(2 对角线互相平分;
(3 对角线相等;
(4 对角线互相垂直;
(5 四个角都是直角;
(6 每条对角线平分一组对角;
(7 对边相等且平行;
(8 有两条对称轴。
2. 正方形两条对角线的和为8cm ,它的面积为____________.
3. 在正方形ABCD 中,E 在BC 上,BE=2,CE=1,P 在BD 上,则PE 和PC 的
长度之和最小可达到_____________
4. 如图,点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,BE=CF.
(1 AE 与BF 相等吗?为什么?
(2 AE 与BF 是否垂直?说明你的理由。
A B C D
E F G
5. 如图,正方形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于O ,E 为AC 上一点,AG ⊥EB
交EB 于G ,AG 交BD 于F 。
(1 说明OE=OF 的道理;
(2 在(1中,若E 为AC 延长线上,AG ⊥EB 交EB 的延长线于G ,AG 、
BD 的延长线交于F ,其他条件不变,如图2,则结论:“OE=OF ”还
成立吗?请说明理由。
A B C D
O E F G A B C
D
O
E F
G 6. 如图,在正方形ABCD 中,取AD 、CD 边的中点E 、F ,连接CE 、BF 交于点G ,
连接AG 。试判断AG 与AB 是否相等,并说明道理。
A B C D
E
G F
正方形
进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(1对角线相等的菱形是正方形吗?
(2对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(3对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件?
(4能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”
(5四个角都相等的四边形是正方形吗?
[例1]如图,四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,求∠AOB、∠OAB 的度数.
[例2]
2.上右图中,有多少个等腰直角三角形?
答:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等腰直角三角形.
(二试一试
1.如何设计花坛?
在一块正方形的花坛上,欲修建两条直的小路,使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度,你有几种方法?(至少说出三种
(图形如P102的图
解:过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线,即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分.下面是其中的三种分法.
苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 正方形（基础） 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【典型例题】
类型一、正方形的性质 1、（2015?扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误． 【答案】C． 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①说法正确； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②说法正确； 如图，连接AC，交EF于G点， ∴AC⊥E F，且AC平分EF， ∵∠CAF≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③说法错误； ∵EF=2， ∴CE=CF=，
初中数学-八年级下册三角形几何证明 的两个内角的和. 2. ______________________________________________________ 在△ ABC 中，若/ A :/ B :/ C=1 : 2: 3,则/ C= _______________________________________ 3. _____________________________________________________________________ 在△ ABC 中，/ B=45 °，/ C=72。，那么与/ A 相邻的一个外角等于 _________________________ 4. 如图1所示，△ ABC 中，D , E 分别是 AC , BD 上的点， 且/ A=65 °，/ ABD= / DCE=30? °，则/ BEC 的度数是 _____________ 5?按第4题图所示，请你直接写出/ A , / BEC ，/ EDC 之间的大小关系，用“ 55 °或70° D .以上答案都不对 9. 若三角形的三个外角的度数之比为 2: 3: 4,则与之对应的三个内角的度数之比为（ ） A . 4: 3: 2 B . 3: 2: 4 C . 5: 3: 1 D . 3: 1: 5 10. 满足下列条件的△ ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A . / B+ / A= / C B . / A : / B : / C=2 : 3: 5 C ./ A=2 / B=3 / C D .一个外角等于和它相邻的一个内角 11. 如图3所示，在△ ABC 中，/ ABC 与/ BAC 的平分线相交于点 O ,若/ BOC=120 ° , 则/ A 为（） A . 30° B . 60° C . 80° D . 100 ° 1三角形的一个外角等于 (1)
初中八年级数学上册教案:正方形 教学目标： 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 教学重点、难点和疑点 1.重点：正方形的性质。 2.难点：正方形性质的应用。 3.疑点：平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的共性，特性及从属关系（可以通过画图，简单的集合关系图，举反例等来说明）。 教学方法：归纳法。 教学过程： （一）复习提问 1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。 2.说明平行四边形，矩形，菱形的内在联系。 （二）引入新课 矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么 图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形 ——正方形（写出课题）。 （三）讲解新课 1.正方形的定义 因为学生对正方形很熟悉，所以可以直接介绍正方形的定义。 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。如 图4－48。 教师问：正方形是在什么前提下定义的？学生答：平行四边形。 教师再问：包括哪两层意思？ 学生答：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）。 （2）并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）。 画图表示正方形与矩形，正方形与菱形的从属关系如图4－49。 2.正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 例1如图4－50，求证：正方形的两条对角线把正方形分 成四个全等的等腰直角三角形（按教科书讲）。 补充例题：如图4－51，已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC 于F，求证：AF＝CE。
18.2.3 正方形 教学目标 【知识与技能】 了解正方形的性质及其判定方法，能利用正方形的性质及判定解决实际问题. 【过程与方法】 在利用正方形的定义探索正方形的性质及其判定方法过程中，进一步增强学生的逻辑推理能力，锻炼分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 在探索正方形性质与判定方法过程中，获取成功的体验，增强学习数学的兴趣. 【教学重点】 正方形的性质及其判定方法. 【教学难点】 运用正方形解决问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 如图（1），平移矩形的一边，使得到的矩形有一组邻边相等，此时它是一个正方形； 如图（2），移动菱形的木框，使得它的一个内角为90°，这时所得到的菱形是正方形. 通过上述过程可以发现，正方形既是菱形又是矩形.你能说说正方形有哪些性质吗？ 二、思考探究，获取新知 正方形即是矩形又是菱形，因而它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，因此正方形的性质有：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点连线和对角线所在直线. 问题正方形既是矩形，又是菱形，因而判别一个四边形是否是正方形，就必须证明它既是矩形，又是菱形.想想看，怎样判定一个四边形是正方形呢？与同伴交流一下，并说出你的理由. 【教学说明】让学生相互交流，写出判定一个四边形是正方形的方法，并探讨论证方法.教师巡视，听取他们的想法，并适时参与讨论，从而让学生感受证明一个四边形是正方形的方法. 三、典例精析，掌握新知 例1求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD， ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 例2 如图：点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN. 求证：四边形EFMN是正方形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D，AB=BC=CD=DA. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM， ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM. ∴EN=EF=MF=MN，∠1=∠2. 又∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°， ∴∠ENM=90°，∴四边形EFMN是正方形. 【教学说明】以上两例均可由学生自主探究，相互交流，最后师生共同讨论，加深学生对知识的领悟. 四、运用新知，深化理解 1.(1)把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？ （2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？ 2.满足下列条件的四边形是不是正方形，为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的矩形；
人教版八年级下册数学正方形教案
教学目标(一)知识目标: 1、要求学生掌握正方形的概念及性质; 2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。 (二)能力目标: 1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力; 2、发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。 (三)情感目标: 1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风; 2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神; 3、通过正方形图形的完美性，培养学生品格的完美性。 重点难点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 教学准备教师准备多媒体 学生准备三角板、直尺等 教学过程设计 一、课堂引入 做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． （二）探索新知 问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．．并且有一个角是直角 ．．．．．．．的平行四边形 ．．．．．叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． （教师个性化设计）
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 三、例题分析 例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点 O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角 三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的 交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA 于F． 求证：OE=OF． 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO， 由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE= ∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以 得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴∠EAO=∠FDO． ∴△AEO ≌△DFO． ∴OE=OF． 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P
H P G F E D C B A 三角形、 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 3. 几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于___°。②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； ②直角三角形斜边上的中线等 高 ） 于斜边的一半。③s=21ab(a 、b 分别为两直角边）或S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的高 ）
A C 第 8 题 C D B A 第 14 题 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 的度数 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度） ②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______. ⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ， ∠C = 。BD=______,CD=________ ⑨如图（第１４题），AB = AC ，BC ⊥ AD ，若BC = 6，则BD = 。 ⑩画一画 如图，在△ABC 中： （1）.画出∠C 的平分线CD （2）.画出BC 边上的中线AE （3）.画出△ABC 的边AC 上的高BF 例3： (提高) ①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B= B A Ｃ
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 正方形（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 【特殊的平行四边形（正方形）知识要点】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN就是线段AB 的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将原命题的已知和结论交换； 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“ (5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完整. 3、用反证法证明几何命题的步骤： (1)假设命题的结论不成立. (2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾. (3)从而判断假设错误,原命题成立
，， 18.2.3正方形同步练习 一.选择题 1.在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（） A．1个B．2个C．4个D．无穷多个 2.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲）测得对角线BD的长为 对角线BD的长为（） ．当∠B=60°时（如图乙）则 A. B. C.2 D. 3.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的 面积为S，则() A．S＝2B．S＝2.4C．S＝4D．S与BE长度有关 4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（） A．3B．4C．5D．6 5.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S，S， 12 则S 1 S的值为() 2 A.16 B.17 C.18 D.19
6.如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为 16，则DE的长为（） A．3B．2C．4D．8 二.填空题 7．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______． 8．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB52cm， 那么EF＋EG的长为______． 9．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm． 10.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a 于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____. 11.如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．
H P G F E D C B A 三角形、 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 3. 几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于___°。②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； ②直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半。③s=21ab(a 、b 分别为两直角边）或S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的高 ） 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 21 a h （ h 是a 边上的高 ）
A C 第 8 题 D B A 第 14 题 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 的度数 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度） ②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______. ⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ， ∠C = 。BD=______,CD=________ ⑨如图（第１４题），AB = AC ，BC ⊥ AD ，若BC = 6，则BD = 。 ⑩画一画 如图，在△ABC 中： （1）.画出∠C 的平分线CD （2）.画出BC 边上的中线AE （3）.画出△ABC 的边AC 上的高BF 例3： (提高) ①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B= B A Ｃ
快速反应 1. __________________ 的矩形叫做正方形。 2. 正方形具有 _____________ 、 _____________ 、 _______________ 的一切性质。 3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，两条对角线相交于点 4. 第三题图中等腰三角形的个数是（ ） 5. 判断。 （1） 正方形一定是矩形。（ ） （2） 正方形一定是菱形。（ ） （3） 菱形— -定是 正方形。（ ） （4） 矩形— -定是 正方形。（ ） （5） 正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （ 自主学习 1. ___________________________________________ 在下列性质中，平行四边形具有的是 ，矩形 具有的是 ________________________________________________ 菱形具有的是 ______________ ，正方形具有的是 __________________ 。 (1) 四边都相等； (2) 对角线互相平分； (3) 对角线相等； (4) 对角线互相垂直； (5) 四个角都是直角； (6) 每条对角线平分一组对角; 矩形、正方形（2） 0, OA=2 则/ AOB= __________ ，/ ,AB=
(7) 对边相等且平行； (8) 有两条对称轴。 2. __________________________________________________ 正方形两条对角线的和为 8cm 它的面积为___________________________________________________________ . 3. 在正方形 ABCD 中, E 在BC 上，BE=2, CE=1, P 在BD 上，贝U PE 和PC 的长度之 和最小可达到 ___________________ 4. 如图，点 E 、F 在正方形 ABCD 勺边BC CD 上, BE=CF. (1) AE 与BF 相等吗为什么 (2) AE 与BF 是否垂直说明你的理由。 5. 如图，正方形 ABCD 中对角线AC BD 相交于0, E 为AC 上一点，AGL EB 交EB 于G, AG 交BD 于F 。 (1) 说明0E=OF 的道理； (2) 在(1)中，若E 为AC 延长线上，AG1 EB 交EB 的延长线于 G AG BD 的延长线交于F ,其他条件不变，如图 2，则结论：“OE=OF 还成立吗 请说明理由。 连接AG 试判断AG 与AB 是否相等，并说明道理。 6.如图，在正方形 ABCD 中，取 AD
一、教学目的 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点、难点 1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 3．难点的突破方法： 本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义． 正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定． 学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知识．在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力．另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法． (1)掌握正方形定义是学好本节的关键．正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．教学时要结合教科书中P100中的图19.2－14，具体说明正方形与矩形、菱形的关系．这些关系是教学的一个难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚．这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些内容时进度可稍放慢些． (2)因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结．可以将正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
正方形（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【典型例题】 类型一、正方形的性质 1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且 DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． 求证：AM⊥DF．
【思路点拨】根据DE ＝CF ，可得出OE ＝OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论． 【答案与解析】 证明：∵ABCD 是正方形， ∴OD＝OC ， 又∵DE＝CF ， ∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ， 在Rt △AOE 和Rt △DOF 中， AO DO AOD DOF OE OF =??∠=∠??=? ， ∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE＝∠ODF， ∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM， ∴∠ODF＋∠DEM＝90°， 即可得AM⊥DF． 【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题． 举一反三： 【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上， 且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ． (1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ． (2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 【答案】 证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°． 又∵ CE ＝AG ， ∴ △DCE ≌△DAG ， ∴ ∠EDC ＝∠GDA ，DE ＝DG ． 又∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，
word版初中数学 初中数学典型题思路分析之三角形 一、重点及易错题型思路方法归纳 二、三角形的线段和角典型题 三、全等三角形典型题 四、全章复习巩固练习 一、重点及易错题型思路方法归纳 注：例题均为★★至★★★难度. （一）解题知识要点 1.三角形三边的关系：要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形的重要线段： （1）三角形的高：线段 要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：线段 要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线 要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 3.三角形的稳定性要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形
19.2.3 正方形 一、教学目的 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点、难点 1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考： ①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ ④能说"四条边都相等的四边形是正方形"吗？为什么？ ⑤说"四个角相等的四边形是正方形"对吗？ 四、课堂引入 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 五、例习题分析 例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
D E C B A A B C D 第6题 第7题 第8题 第13题 第二学期八年级数学《三角形的证明》试卷A 满分120分 时间120分钟 班级 姓名 得分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点. A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高 2．已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积 是（ ） A.24cm 2 B.30cm 2 C.40cm 2 D.48cm 2 3．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝ 4. 面积相等的两个三角形（ ） A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对 5．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ， 则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 8．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论 ①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每题3分，共24分） 9.“等边对等角”的逆命题是______________________________． 10．已知⊿ABC 中，∠A = 090，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = . 11.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度. 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是 。 13.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC= . 14．Rt ⊿ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，则AC 与AB 两边的关系是 ， 15．在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 16．在△ABC 中，∠A=40°，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 与D ，则∠DBC 的度数为 ． 三.基础题（每题6分，共36分） 17.如图，在△ABD 和△ACD 中，已知AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：AD 是∠BAC 的平分线． 18.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 新|课 | 标|第 | 一| 网 19.如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB =AD ，求证：CD=CB . 20．如图，DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 21.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. 22.如图，ABC ?中，DE A AC AB ，，ο50=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。
18.2.3 正方形 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 举世不师，故道益离。柳宗元 第1课时正方形的性质 一、填空题 1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE ＝°. 2、如图，四边形 ABDC是正方形，延长 CD到点E，使CE=CB，则∠AEC ＝°. 3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： ①∠E= 22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE ＝°. 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°. 6、如图，四边形ABCD 是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为° 第6题图第7题图第8题图第9题图 7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋 第1题图第2题图第3题图第4题
转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 8、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD ， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 . 9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在 CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN= ；AM 的长 是 . 10、正方形的面积是3 1，则其对角线长是________. 11如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中 心，则阴影部分的面积是 . 12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 . 13、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′′D ′，两 图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积 是 . 14、如图，边长为的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形 AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是 . 15、如右图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ． 将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，长EF 交边BC 于点G 连结AG 、CF ． 下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3． 其中正确的结论是 .（填序号） O 2 O 1 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图