全等三角形全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2?探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3?会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质, 会利用角的平分线的性质进行证明?
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质
一般三角形直角三角形
判定
边角边（SAS 角边角
（ASA 角角边（AAS
边边边（SSS
两直角边对应相等一边一锐角对
应相等斜边、直角边定理
（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应兀素也相等, 如对应边上的高相等）
备注判定三角形全等必须有组对应边相等
要点二、全等三角形的证明思路
已知两角严夹边T
ASA
找任一边t AAS
要点三、角平分线的性质
1. 角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2. 角的平分线的判定定理
「找夹角t SAS
已知两边』找直角t HL
找另一边t SSS
‘边为角的对边
丿已知一边一角
边为角的邻边
一；找任一角一；AAS
找夹角的另一边一；SAS 找
夹边的另一角> ASA 找边的
对角一? AAS
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
3. 三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等4?与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段?
要点四、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点?运用全等
三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何
问题?可以适当总结证明方法?
1. 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等?
(2) 禾U用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等
(3) 等式性质.
2. 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明?
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等?
(3) 利用角平分线的判定进行证明?
(4) 同角(等角)的余角(补角)相等
(5) 对顶角相等?
3. 证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明?4. 辅助线的添加：
(1) 作公共边可构造全等三角形；
(2) 倍长中线法；
(3) 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4) 利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形?
5. 证明三角形全等的思维方法：
(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两
个角所在的两个三角形及它们全等的条件
(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质
或先证明其他的两个三角形全等以补足条件
(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角
形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质
【典型例题】
类型一、全等三角形的性质和判定
1、(2015?西城区模拟)问题背景：
(1)如图1:在四边形ABCD中，AB=AD / BAD=120，/ B=Z ADC=90 . E, F 分别是BC, CD上的点.且/ EAF=60 .探究图中线段BE, EF, FD之间的数量关系.小王同学探究此问
题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE连结AG先证明△ ABE^A ADG再证明△ AEF^A AGF 可得出结论，他的结论应是_____________________________ .
探索延伸：
(2)如图2,若在四边形ABCD中, AB=AD / B+Z D=180 . E, F分别是BC CD上的点, 且/ EAF=1 Z BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由.
2
【思路点拨】(1)延长FD到点G使DG=BE连结AG即可证明厶ABE^A ADG 可得AE=AG 再证明△ AEF^A AGF可得EF=FG即可解题；
(2)延长FD到点G.使DG=BE连结AQ 即可证明厶ABE^A ADG可得AE=AG再证明△ AEF^A AGF 可得EF=FG即可解题.
【答案与解析】
证明：(1)在厶ABE和厶ADG中，
r DG=BE
+ ZB=ZADG ,
t
AB=AD
???△ ABE^AADG( SAS ,
??? AE=AG Z BAE Z DAG
vZ EAF= Z BAD
2
?Z GAF Z DAG Z DAF Z BAE+Z DAF Z BAD-Z EAF=/ EAF,
?Z EAF=/ GAF
在厶AEF和△ GAF中，
r AE=AG
+ ZEAF=ZGAF ,
b
AF=AF
?△AEF^A AGF( SAS ,
?EF=FG
?/ FG=DG+DF=BE+DF
?EF=BE+D；
故答案为EF=BE+DF
(2)结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G.使DG=BE连结AQ
图
1
【答案】
证明：??? AE! AB, ADL AC,
? K EAB=K DAC= 90°
? K EAB+Z DAE=K DAO Z DAE ,即/ DAB=K EAC. 在△ DAB 与△ EAC 中，
在厶ABE 和厶ADG 中，
r DG=BE
“ ZB=ZADG ,
L AB =AD
???△ ABE^A ADG( SAS ,
??? AE=AG Z BAE K DAG
???/ EAF= / BAD 2
???/ GAF K DAG ：+ DAF K BAE K DAF K BAD ■/ EAF=/ EAF ,
???/ EAFK GAF
在厶AEF 和△ GAF 中，
r AE=AG
+ ZEAF=ZGAF ,
b AF=AF
? △ AEF ^A AGF( SAS ,
? EF=FG
?/ FG=DG+DF=BE+DF
? EF=BE+DF.
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定， 考查了全等三角形对应边相等的性质, 求证△ AEF ^A AGF 是解题的关键.
举一反三：
【变式】如图，已知： AE ±AB, AD 丄AC, AB = AC, K B =K C,求证：BD= CE. 本题中
I
.DAB =. EAC
AB 二AC
.B =^C
???△DAB^A EAC (ASA
??? BD- CE.
类型二、巧引辅助线构造全等三角形
(1) ?作公共边可构造全等三角形：
2、女口图：在四边形ABCD中, AD// CB, AB// CD. 求证：/ B=Z D.
【思路点拨】/ B与/ D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助
线
AC,根据平行线的性
质，可构造出全等三角形?
【答案与解析】
证明：连接AC,
?/ AD// CB, AB// CD.
???/ 1 = Z 2，/ 3=Z 4 在厶ABC与△ CDA中
Z =艺2
AC =CA
4 "3
? △ABC^A CDA( ASA
???/ B=Z D
【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件, 对
角线BD.
举一反三:
【变式】在△ ABC中，AB= AC.
求证：/ B=Z C
如果证/ A=Z C,则连接
全等三角形知识点总结 经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。以下是全等三角形知识点总结，欢迎阅读。 以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定： (Side-Side-Side)(边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。 (Side-Angle-Side)(边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。 (Angle-Side-Angle)(角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。 (Angle-Angle-Side)(角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。 (hypotenuse -leg) (斜边、直角边)：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，该两个三角形就是全等三角形。 不同的定义推理出不同的判定方法，这就是全等三角形的特殊之处。
、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：形状相同的图形；大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 三边对应相等的两个三角形全等。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上灵活运用定理 证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）
3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找
全等三角形 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生 变化而改变。. 2.基本性质： 理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。 (3)全等三角形的周长相等、面积相等。 (4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4.证明两个三角形全等的基本思路： 5.角平分线： ⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. (4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等 6.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、 角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
7.学习全等三角形应注意以下几个问题： (1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； (2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； (3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 全等三角形基础测试题 ( 练习时间60分钟） 班别 姓名 学号 成绩 （一） 精心选一选6小题（每小题4分，共24分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（ ） Ａ.一锐角对应相等 Ｂ.两锐角对应相等 Ｃ.一条边对应相等 Ｄ.两条边对应相等 2、如图，AB 与CD 交于点O ，OA ＝OC ，OD ＝OB ，∠A=50°， ∠B ＝30°，则∠D 的度数为（ ）. A ．50° B ．30° C ．80° D ．100° 3、如图，在△ABC 和△DEF 中，给出以下六个条件中： ① AB=DE ；②BC=EF ；③AC=DF ；④∠A=∠D ； ⑤∠B=∠E ；⑥∠C=∠F 。以其中三个作为已知条件， 不能判断△ABC 和△DEF 全等的是（ ） A ．①⑤② B 、①②③ C 、④⑥① D 、②③④ 4、下列说法中不正确的是（ ） A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等 5、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店 去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．①②③都带去 6、如图，∠B=∠C=90，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ， ∠CMD=35°，∠MAB 的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° （二） 细心填一填6小题（每小题4分，共24分） 7、如图示，AC ，BD 相交于点O ，△AOB ≌△COD ，∠A=∠C ， 则其它对应角分别为______________________， 对应边分别为_____________________. 8、已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点， 那么，图中共有 对全等三角形． 9、△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝80°，O 则∠OAC ＝______，∠BOC ＝________． 10、将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中 BC BD ，为折痕，则BCD ∠的度数为 ． O C B A 第8题 B C D （第10题） 第7题图 O D A C B A B C E D F （第3题） D A B C M （第6题） O D C B A （第2题）
全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应 边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，
一.三角形的基础知识 全等三角形 1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形对应角的平分线相等。全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。 2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。 3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。 4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。 5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。 6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 等腰三角形 1、等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 3、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 等边三角形 1、等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． 2、等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 3、等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 三角形中的边角不等关系 （1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）
全等三角形判断一 一、选择题 1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（） A.△ABC≌△ B. △ABC≌△ C. △ABC≌△ D. △ABC≌△ 2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（） A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC 3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等 4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边
6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB 二、填空题 7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对. 9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______. 11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C ＝______．
全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 误区提醒 （1）忽略题目中的隐含条件；
假期第一讲：认识全等三角形，三角形全等的判定 目标一：认识全等形，及全等三角形的性质 1.全等形的、相同. 2.一个图形经过、、后得到另一个图形，这两个图形一定是全等形. 3.全等三角形的性质是：， . 4.“全等”用符号“ ”表示，读作“ ”；记两个三角形全等时通常把表示对应定点的字母写在的位置上. 【目标一典型例题】 例1.下列图形中，和左图全等的图形是（） 例2.如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边.∠ACD和∠BCE相等吗？ 为什么？ 【堂上练习】 1.若ΔDEF≌ΔABC, ∠A=70°,∠B=60°,点A的对应点是点D, AB=DE, 那么∠F 的度数为（） A.50° B.60° C.50° D.以上都不对
2.已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm ，则有：∠C′=_________，A′B′=__________. 3.如图，△EFG≌△NMH，∠F 和∠M 是对应角，在△EFG 中，FG 是最长边。在△NMH 中，MH 是最长边.EF=2.1㎝，EH=1.1㎝，HN=3.3㎝. （1）写出其他对应边及对应角. （2）求线段NM 及线段HG 的长度. 【巩固练习】 一、选择题 1．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 2. 如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35cm ，DF ＝30cm ，则EF 的长为（ ） A ．35cm B ．30cm C ．45cm D ．55cm 5. 在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC 中与这个120°的角对应相等的角是 （ ） M N H G F E
《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2
三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2 ．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）
第十二章全等三角形 2018.9 杨1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。 证明三角形全等基本思路： 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS． 1.如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D. 证明：(1)连接AC，在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)． (2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D. 2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线，连接AC，利用SSS证明全等，得到∠ DAC=∠ACB ，从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论． 解：结论：AE＝CD，AE⊥CD. 证明：延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中AB＝CB， ∠ABE＝∠CBD， BE＝BD， ， ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB， ∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD. F
2.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE与BD交与点 F （1）求证：△ACE≌△BCD （2）求证：AE⊥BD 1,利用SAS证明全等， AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边 角或ASA． 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称 角角边或AAS． 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等． 如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：BE＝CF. 证法1： ∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF. 证法2：∵Ｓ△ABD＝1 2 AD·BE，S△ACD＝ 1 2 AD·CF， 且S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等)， ∴1 2 AD·BE＝ 1 2 AD·CF，∴BE＝CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”． 如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M. 求证：BM＝DM，ME＝MF. 证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB＝CD，AF＝CE， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L)， ∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE， ∴△BFM≌△DEM(A AS)， ∴BM＝DM，ME＝MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 文字命题的证明方法： a.明确命题中的已知和求证； b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
一、全等三角形的定义八年级数学《全等三角形》知识点班级姓名 1、能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 （注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、“全等”的理解全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。 3、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 二、三角形全等的判定定理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称 SSS 或“边边边”) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS 或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或“角边角”)。 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL 或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL 均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有 AAA 和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； A 是英文“角”的缩写(angle)，S 是英文“边”的缩写(side)。 三、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 7、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 8.线段的垂直平分线性质及判定 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
B P A a 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA % ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . ， 【例2】作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a ，b ，c. ' 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m ，n, ∠ .
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. … 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知：如图，∠α，∠β，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. @ 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定 2． 3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角 # C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（） A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半 % C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线 专题利用三角形全等测距离 知识点解析
八年级数学下册全等三角形知识点归纳 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. 由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等. (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因. 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”). 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的`判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side). 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等. (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反. 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便.
全等三角形复习题 一、填空题 1.如图(1）,ＡC ,BD 相交于点O ，△AOB ≌△ＣOD ，∠A =∠C, 则其他对应角分别为 ，对应边 为 。 2．如图(2）,△ＡBC 中,AB =ＡC ,A Ｄ平分∠ＢＡＣ,则____＿_____≌＿_____＿＿__。 ３．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__＿__＿__＿_,底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是_______＿_＿。 4．已知△A ＢC ≌△DE Ｆ，△DEF 的周长为３２ cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =_＿＿＿__＿___＿_,BC ＝___________＿，AC =_＿__＿___＿＿__。 图(2) 图（３) 图（4） 图(5） 5．如图(3），A Ｃ=BD ,要使△ABC ≌△DCB 还需知道的一个条件是__ ________。 6．如图（4),若∠1=∠2，∠C ＝∠D ，则△ＡDB ≌______＿___,理由____＿______________＿＿＿。 ７．如图（5），∠Ｃ＝∠E ,∠1=∠2，ＡＣ=ＡE ，则△ABD 按边分是________＿_ 三角形。 8.如图(6)，A Ｂ=AC ，BD ⊥AC 于Ｄ,CE ⊥AB 于E ，交ＢD 于P ,则ＰD ___＿＿_____PE （填“＜”或“＞”或“=”）. 9.如图（７），△ABC 中，A Ｂ=A Ｃ，现想利用证三角形全等证明∠Ｂ＝∠C ，若证三角形全等所用的公理是ＳSS 公理，则图中所添加的辅助线应是___＿________＿＿_＿__＿__＿_＿___＿。 图（６) 图(７） 图(8） 1０.一个三角形的三边为2、5、x ,另一个三角形的三边为y 、2、6,若这两个三角形全等,则ｘ+ｙ=_＿＿____＿__． １1.如图（8）,AD =ＡE ，若△AEC ≌△AD Ｂ, 则需增加的条件是__＿__ _＿＿____＿＿。(少三个) １2.如图(9)，在△ABC 中,∠C ＝９０°,ＡD 平分∠BAC ,BC ＝10㎝,BD =6㎝,则点D 到AB 的距离为 。 O D C B A 图（1） D C B A E D A B C E O C A B D 图（11）
八年级数学《全等三角形》知识点 班级姓名 一、全等三角形的定义 1、能够完全重合的两个称为。 （注：全等三角形是中的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有的，对顶角一定是对应角； 2、“全等”的理解全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。3、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 二、三角形全等的判定 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“”) 5、全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； A是英文“角”的缩写(angle)，S是英文“边”的缩写(side)。 三、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形相等。 7、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 8.线段的垂直平分线性质及判定 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
１、如图１,共有__＿_＿＿个三角形. ２、若三角形的两边长分别为２cm和6ｃm,则它的第三边范围是。3、若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是。 4．三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值范围是___＿____. 5.在△ABC中,若∠A＋∠B=∠C,则此三角形为___＿＿_＿三角形;若∠Ａ＋∠B ＜∠Ｃ,则此三角形是_＿_＿_三角形． 6.适合条件∠A＝1 2 ∠B= 1 3 ∠C的△AＢC是 7.在△AＢＣ中,∠Ｂ,∠Ｃ的平分线交于点O,若∠BOC=１32°,则∠Ａ＝__＿ ＿＿＿_度. ８.如图所示,已知∠1=20°,∠2＝25,∠A=35°,则∠BDC的度数为__＿___＿_. 9.如图３,ＡD是△ＡBＣ的边ＢＣ上的中线，已知AB=5cm,AC=3cm, 求△ＡBＤ?与△ACD的周长之差． １０．如图,在△ＡBC中，Ｄ、E分别是BC、 AＤ的中点，Ｓ△ABC=４cｍ2,求S△AＢE. １1.如图，在锐角△AＢC中,CD、ＢＥ分别是AB、ＡC上的高,?且CD、BE交于一点P, 若∠A=50°，求∠BＰC的度数。
１２.如图（1),△ＡＢC中，ＡＤ是角平分线,ＡE⊥ＢC于点Ｅ．∠Ｃ＝80°，∠Ｂ=50°,求∠DAE 的度数. 1３．如图,在△ＡBC中，AＤ平分∠ＢＡＣ,P为线段ＡD上的一个动点,ＰE⊥AD交直线BC于点E.（1)若∠B=３5°，∠ACB=8５°,求∠Ｅ的度数； (2)当P点在线段AＤ上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 14．(1)如图１,有一块直角三角板ＸYZ放置在△AＢC上，恰好三角板XＹZ的两条直角边XＹ、XZ分别经过点B、Ｃ.△ＡＢC中，∠A=30°，则∠AＢC+∠ACB=____＿_＿__,∠ＸBC+∠XCB= ＿__＿____＿． （2）如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板ＸYＺ的两条直角边ＸY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明;若不变化,请求出∠ＡBＸ＋∠ACX的大小．
全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质： （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.