【高中数学】单元《函数与导数》知识点归纳
一、选择题
1．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．
A ．
34
B ．
23
C ．
13
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)3
12
x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3
1x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-
+,则在20,3??
???上,()0V x '>；在2,13?? ???上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3?? ??
?
上单调递增,在2,13??
???
上单调递减, 所以当2
3
x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
2．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4
x π
=
”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30；
③命题“0001
,2x x x ?∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x ?∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】 对于①，当4
x π
=
时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4
x k k ππ=+
∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4
x π
=
”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以
5b =，
所以函数2
()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001
,2x x x ?∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
?∈+ 本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题.. 3．函数2 2()41 x x x f x ?=-的图像大致为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 ∵函数()2 2?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ∴22 2()2()()4114 x x x x x x f x f x --?-?-===--- ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2 (1)03 f =>，故排除D. 故选A. 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若2 1log 5a f ?? =- ??? ，()2log 4.1b f =，() 0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 【答案】C 【解析】 由题意：()2 21log log 55a f f ?? =-= ??? ， 且：0.8 22log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.8 22log 5log 4.12 >>， 结合函数的单调性有：()()()0.8 22log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 5．函数22cos x x y x x --=-的图像大致为（ ）. A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ???? - =- ? ????? 排除选项D ； 根据特殊值502 f π ?? > ??? 排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】 对于选项D:由题意可得, 令函数() f x = 22cos x x y x x --=-, 则5522 52252 2 f ππππ- -??-= ??? ,552 2 52252 2 f ππππ--??= ??? ; 即552 2f f ππ?? ??-=- ? ??? ?? .故选项D 排除; 对于选项C ：因为552 2 522052 2 f ππππ- -??=> ??? ,故选项C 排除; 对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时 ()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】 本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 6．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2 - B ．1(,1)(,)2 -∞-+∞U C ．1(,1)2- D ．1(,)(1,)2 -∞-?+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把() ()2 210f x f x -+>化为 221x x ->-，求出解集即可． 【详解】 解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ， 且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-， ∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立， ∴()f x 为R 上的单调增函数； 又() ()2210f x f x -+>， 得()()()2 21f x f x f x ->-=-， ∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12 x > ， 所以x 的取值范围是()1,1,2??-∞-?+∞ ??? ． 故选B ． 【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题． 7．已知函数()()11 10x x e f x x e ++-=<与()()1ln x x g x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,1e ??-∞+ ??? B ．1,e ?? - +∞ ??? C ．1,1e ? ?-∞- ??? D ．11,e ??-+∞ ?? ? 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e e x x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11 ln 1e e x x x ?= ++-,可转化问题为()y x ?=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ?的范围,进而求解. 【详解】 由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1 1 1 1e e 10e x x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1 e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >, 则方程()1 e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解, 即方程 ()11ln 1e e x x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11 ln 1e e x x x ?= ++-, 即可转化为()y x ?=与y a =的图象在()0,∞+上有交点, ()() 11e 1 e 1e 1x x x x x x x ?--=-+='++Q , 令()=e 1x m x x --，则()=e 10x m x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1x m x x --在 ()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=， 即()0x ?'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ?在()0,∞+上为增函数, 当0x >时,则()()101x e ??>=-, 所以11e a >- , 故选:D 【点睛】 本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想. 8．函数()x e f x x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 函数()x e f x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ； 当0x >时，()0f x >，且()2 (1)'x x e f x x -= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ； 当0x <时，函数()0x e f x x =<，排除选项D ，选项B 正确．选B ． 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6 33log 132f f f -<-< B ．()()()0.6 332log 13f f f -<<- C ．()()()0.6 3 2 log 133f f f <-<- D ．()()()0.6 3 2 3log 13f f f <-< 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6 32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可 得大小关系. 【详解】 ()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=， 0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增， ()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-. 故选：C . 【点睛】 本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系. 10．函数()3ln 2x f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =- 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】 由函数的解析式可得：()2 2 1ln '6x f x x x -=+， 则所求切线的斜率()2 2 1ln1'16171 k f -==+?=， 且：()0 12121 f = +?=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】 导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 11．函数()( )2 ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ） A ．3,2??-∞ ?? ? B ．32?? +∞???? ， C ．31,2??- ??? D ．342?? ???? ， 【答案】D 【解析】 【分析】 先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】 由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-， 2232543()24 u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3 [,4)2上递减， 而ln y u =是增函数， ∴()f x 的减区间是3[,4)2 ． 故选：D ． 【点睛】 本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑． 12．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ?∈-，，使[]11a ?∈-，， 不等式()2 21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤ B ．11 22 t - ≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t = D ．1 2 t ≥ 或12t ≤-或0t = 【答案】C 【解析】 【分析】 ()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ?∈-，，使[]11a ?∈-，,不等式()221f x t at ≤--成 立,只需对于[]11a ?∈-，,()2 121f t at -≤--即可. 【详解】 ∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-， 又∵[]11x ?∈-，，使[]11a ?∈-，，不等式()2 21f x t at ≤--成立， ∴()2 2111t at f --≥-=-， 即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立； ②0t >时，()2 220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥； ③0t <时，()2 220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤- 故选：C. 【点睛】 本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题. 13．()263,0 34,0x x x x f x x ?---≤=?->? ，则函数()y f f x =????的零点个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】D 【解析】 【分析】 作出()f x 的图像，将()y f f x =????的零点个数即()0f f x =????的实数根个数，令 ()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案. 【详解】 由题意，()y f f x =????的零点个数即()0f f x =????的实数根个数， 作()f x 的图像如图所示， 设()t f x =，则()0f t =， 当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=- 当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =- ()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根， 所以()0f f x =????有7个根，即()y f f x =????的零点个数为7. 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题. 14．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则 ()()20192024f f +=（ ） A ．-5 B ．5 C ．0 D ．4043 【答案】B 【解析】 【分析】 根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】 由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-， 所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数， 所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =?+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=. 得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =?+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】 此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值. 15．若函数()()sin x f x e x a =+在区间,22ππ ?? - ??? 上单调递增，则实数a 的取值范围是 （） A ．) +∞ B ．[ )1,+∞ C ．()1,+∞ D ．() +∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为()0f x '≥在,22ππ?? - ??? 上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化 04x a π?? + +≥ ?? ? 在,22ππ?? - ???上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得( 14x a a a π? ??++∈-+ ???? ，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】 由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π?? ?'=++=++ ????? ()f x Q 在,22ππ ??- ?? ? 上单调递增 ()0f x '∴≥在,22 ππ ?? - ?? ? 上恒成立 又0x e > 04x a π? ? + +≥ ?? ? 在,22ππ?? - ???上恒成立 当,22x ππ??∈- ???时，3,444x πππ??+∈- ??? sin ,142x π??? ?∴+∈- ? ? ???? ( 14x a a a π? ??++∈-+ ???? 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】 本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果. 16．已知函数()2 cos f x x x =-，若15log 3a f ??= ???，31log 5b f ??= ???，3 15c f ???? ? ? ???? =?， 则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】B 【解析】 【分析】 判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】 ()()()()2 2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数 故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可. ()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155 log 3log 3a f f ??== ?? ? ， ()331log log 55b f f ? ?== ?? ?， 由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ?? ??<< ? ? ? ???? ，即c a b << 故选：B 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题. 17．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立， ()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,2- C ．(),2-∞ D ．()2,-+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解. 【详解】 设()()36g x f x x =--， Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减， 又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <， ∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题. 18．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为 ()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案. 【详解】 ①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21 ()(1)2 S a a = +； ②当11a +=时，即0a =，1()2 S a = . 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =+且1 (0)2 S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D 【点睛】 本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键. 19．函数2ln x x y x = 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e 上递减,在1(,)e +∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】 令2ln ||()||x x f x x = ,则2()ln || ()()|| x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确, 当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x ==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1 x e > ,由()0f x '<,得10x e <<, 所以()f x 在1(0,)e 上递减,在1 (,)e +∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题. 20．已知函数()2ln 2 x x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ， 函数()ln 2x h x x = 的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >> B ．213x x x >> C ．312x x x >> D ．321x x x >> 【答案】A 【解析】 【分析】 根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ???? ''?< ? ????? ，可知导函数零点在区间 11,42?? ???内，即()f x 的极值点111,42x ??∈ ???；根据()g x 单调递增且11024g g ?????< ? ?????可知 211,42x ?? ∈ ??? ；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得 ()max 1124h x e = <，即31 4 x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1 x f x e x x '=+-Q 在()0,∞+上单调递增 且1213022f e ??'=-> ???，1 4 115044f e ??'=-< ??? 111,42x ??∴∈ ???且11 1 10x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增 且12 13022g e ??=-> ???，1 4112044g e ??=+-< ??? 211,42x ??∴∈ ??? 又()()1111121111 2220x g x e x x x g x x x ??=+-=-+-=->= ??? 且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()2 1ln 2x h x x -'= 可得：()()max 12h x h e e ==，即311 24x e =< 123x x x ∴>> 本题正确选项：A 【点睛】 本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ） A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】 2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（五） 一．选择题（共25小题） 1．（2021?全国模拟）已知抛物线22y px =上三点(2,2)A ，B ，C ，直线AB ，AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为( ) A ．210x y ++= B ．3640x y ++= C ．2630x y ++= D ．320x y ++= 2．（2021?全国模拟）已知5a <且55a ae e =，4b <且44b be e =，3c <且33c ce e =，则( ) A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 3．（2020秋?静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点)O 于A 、B 两点．若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且cos()0αβ-，则a b +的最大值为( ) A ．1 B C ．2 D ．不存在 4．（2020秋?杨浦区校级期末）已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆22143 x y +=上，设它的三条边AB 、BC 、 AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为 1 、2 、 3 ，且 1 、 2 、 3 均不为0．O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1．则 1 2 3 1 1 1 (+ += ) A ．4 3 - B ．3- C ．1813- D ．32 - 5．（2020秋?大兴区期末）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n N ?∈，24n n a S λ+恒成立，则实数 λ的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．（2020秋?大兴区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为 直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为 ( ) A B C ． 23 D 7．（2020秋?大通县期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(3,2)-，M 在抛物线C 上，若点(2,4)N ，则||||MF MN +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．（2020秋?大通县期末）已知点A ，B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，1F ，2F 是双曲线 高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-< 题型突破练——压轴题专练 压轴题专练(一) 建议用时：40分钟 1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)， 且经过点? ?? ???1，22. (1)求椭圆E 的方程； (2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程． 解 (1)由题意知c ＝1,2a －2 2 ＝ 22 ＋? ?? ?? ?222 ，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 2 2 ＋y 2＝1. (2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2 m 2＋2.② 由PB →＝3PA →，得y 2＝3y 1.③ 由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2. 不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －2 3 ，则 所求圆的圆心为? ?? ?? －13，0.又B (0,1)， ∴圆的半径r ＝10 3 . ∴圆的方程为? ????x ＋132＋y 2 ＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足 f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求实数a 的取值范围； (2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x . 依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0. 当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件． 故实数a 的取值范围是[0,1]． (2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e. ②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0. 新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】 由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A 第 1 页 共 16 页 第 1 页 共 2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4 1．（本小题满分14分） 已知f(x)= 2 22 +-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)= x 1 的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨 论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 2 22) 2() 2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立， 即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x 2－ax －2， 方法一： ?(1)=1－a －2≤0， — 2 — ① ? ?－1≤a ≤1， ?(－1)=1+a －2≤0. ∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇ (1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二： 2a ≥0， 2 a <0， ①? 或 ?(－1)=1+a －2≤0 ?(1)=1－a －2≤0 ? 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ? －1≤a ≤1. ∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇ (1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由 2 22 +-x a x =x 1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2 +8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根， x 1+x 2=a ， 1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 咼考数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ， 但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 2 2 2 ⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4 高考数学压轴题汇编 1．〔本小题满分12分〕设函数在上是增函数.求正实数的取值范围； 设，求证：1 ,0>>a b .ln 1b b a b b a b a +<+<+ 高考数学压轴题练习2 2．已知椭圆C 的一个顶点为，焦点在x 轴上，右焦点到直线(0,1)A -10x y -+= 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕过点F 〔1，0〕作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设，若的取值范围. 高考数学压轴题练习2 2．已知椭圆C 的一个顶点为，焦点在x 轴上，右焦点到直线(0,1)A -10x y -+= 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕过点F 〔1，0〕作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设，若的取值范围. 高考数学压轴题练习4 4．设函数3 2 2 ()f x x ax a x m =+-+(0)a > 〔1〕若时函数有三个互不相同的零点，求的范围； 〔2〕若函数在内没有极值点，求的范围； 〔3〕若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 高考数学压轴题练习5 5．〔本题满分14分〕 已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. 〔Ⅰ〕求椭圆的方程； 〔Ⅱ〕设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P ，线段 PF2的垂直平分线交于点M ，求点M 的轨迹C2的方程； 〔Ⅲ〕若AC 、BD 为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD 的面积的最小值． 高考数学压轴题练习6 6．〔本小题满分14分〕 已知椭圆＋＝1〔a>b>0〕的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e ＝，右准线方程为x ＝2． 〔1〕求椭圆的标准方程； 〔2〕过点F1的直线l 与该椭圆相交于M ．N 两点，且|＋|＝，求直线l 的方程． 高考数学压轴题练习7 7.〔本小题满分12分〕 已知，函数，〔其中为自然对数的底数〕． 〔1〕判断函数在区间上的单调性； 〔2〕是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 线性规划 简单线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型。一.求目标函数的最值问题 例1.在约束条件???? ???≤+≤+≥≥4 x 2y s y x 0y 0x 下，当5s 3≤≤时，目标函数y 2x 3z +=的最大值 的变化范围是（ ） A.[6，15] B.[7，15] C.[6，8] D.[7，8] 解：由? ??-=-=??? ?=+=+4s 2y s 4x 42x y s y x 则由题意知A（0，2），B（s 4-，4-s 2），C（0， s），D（0，4）。 （1）当4s 3≤≤时可行域是四边形OABC，此时，8z 7≤≤；（2）当5s 4≤≤时可行域是OAD ?，此时，8z max =。 由以上可知，正确答案为D。 点评：本题主要考查线性规划的基础知识，借助图形解题。 例2.已知平面区域D 由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域D 内有无穷多个点（x，y）可使目标函数my x z +=取得最小值，则m=（） A.2 - B.1 - C.1 D.4 解：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标位置知，ABC ?所在的区域在第一象限，故0y ,0x >>。当0m =时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当0m ≠时，由z=x+my 得m z x m 1y +- =，它表示的直线的斜率为m 1 -。 （1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使 m z 最小，此时需1 33 1k m 1AC --= =- ，即m=1；（2）若m<0，则要使my x z +=取得最小值，必须使 m z 最大，此时需,2m ,5 321k m 1BC =--==- 即与m<0矛盾。综上可知，m=1。 点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/26 第二部分解析几何(23题)······································9/33 第三部分立体几何（11题）··································13/34 第四部分三角函数及解三角形（10题）···················15/36 第五部分数列（10题）········································17/37 第六部分概率统计（6题）···································19/38 第七部分向量（7题）·········································21/39 第八部分排列组合（6题）···································22/40 第九部分不等式（7题）······································23/42 第十部分算法（2题）·········································24/43 第十一部分交叉部分（2题）···································25/43 第十二部分参考答案··············································26/43 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 症状一：审题性失误 文科考生数学意识一般不太强，加上在考试过程中存在急于求成的心理，使得部分考生审题时出现失误：或没有注意题目中关键的叙述，误解题意；或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解，这是广大考生最难以接受、而又易犯的错误纠错良方： 仔细读题，细嚼慢咽，重要字词，加强分析 即：(w>0)，∴w150471，又w 的最小正整数为472 错将题意中“任意一段”理解为“存 依题意：周期T 即 ∵w是整数，故w的最小正 症状二：知识性失误 文科考生知识掌握不够熟练，借助死记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面，对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力 纠错良方： 知识是能力的载体，基本知识和基本方法的综合运用就是能力，因此，要认真总结知识间的内在联系，强调知识的整合与综合，不断查找知识漏洞 =-11 (x)=0 3 7 错误原因是：误把切点当极值点得到 症状三：思维性失误 文科考生在思维能力方面的碍障和缺陷是客观存在的，而解题的分析过程，是运用基本概念和理论对所述内容进行归纳和演绎，是发散思维和收敛思维、直觉思维和理性思维、正面思维和逆向思维等思维加工的过程，如果不注意对思维过程进行分析和研究，不突破思维过程中的障碍，就难以提高思维能力，从而导致解题时漏洞百出，顾此失彼。 纠错良方： 转化与化归，数形结合，分类讨论等思想方法是走出思维困境的有力武器，同时习题的灵活变通，引申推广以及反思评估也是不断优化思维品质的重要途径 症状四：解法性失误 解题策略（方法）是数学思想方法在实际问题的灵活运用，解题方法选择是否恰当，是客观反映学生数学素养的具体体现；许多考生由于解法选取不当耽误了解题时间，有的甚至出现较大失误 纠错良方 第一要增强灵活运用数学思想方法解题的应用意识，第二是进一步优化解题基本通法的归纳和总结，第三，要强化价值观念、合理优化解法 2018年高考数学压轴题小题 一．选择题（共6小题） 1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 2．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（） A．B．C．D． 3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（） A． B．C．D．0 4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（） A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（） A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 6．（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（） A．B．C． D． 7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为． 8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是． 10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两 条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为． 11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为． 12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案
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