第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
?
?
?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A
y
n
n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若{}
n y 的极限存在
?{}n y 必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
∞→x 时，)(x f 的极限：
A
x f A x f A x f x x x =????
?==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim
⑵当
0x x →时，)(x f 的极限：
A x f x x =→)(lim 0
左极限：
A
x f x x =-→)(lim 0
右极限：A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
A
x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
+∞
=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
,,
,
∞→+∞→-∞→x x x 00
0,,x x x x x x →→→+-
2．
无穷小量：
)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim 0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f 4．
无穷小量的比较：
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若c =α
βlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若∞=α
βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
；，2211~~βαβα
则：
2
12
1
lim
lim
ββαα=
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：
n
n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且： a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则： a x n n =∞
→lim
2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：
)
()()(x h x f x g ≤≤
且：
A
x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则：
A
x
f
x
x
=→
)
(
lim
㈣极限的运算规则
若：
B
x
v
A
x
u=
=)
(
lim
,
)
(
lim
则：①
B
A
x
v
x
u
x
v
x
u±
=
±
=
±)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
②
B
A
x
v
x
u
x
v
x
u?
=
?
=
?)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
③B
A
x
v
x
u
x
v
x
u
=
=
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim)0
)
(
(lim≠
x
v
推论：①
)]
(
)
(
)
(
lim[
2
1
x
u
x
u
x
u
n
±
±
±Λ
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
1
x
u
x
u
x
u
n
±
±
±
=Λ
②
)
(
lim
)]
(
lim[x
u
c
x
u
c?
=
?
③
n
n x
u
x
u)]
(
[lim
)]
(
lim[=
㈤两个重要极限
1．
1
sin
lim
=
→x
x
x或
1
)
(
)
(
sin
lim
)
(
=
→x
x
x?
?
?
2．
e
x
x
x
=
+
∞
→
)
1
1(
lim e
x x
x
=
+
→
1
)
1(
lim
§1.3 连续
一、主要内容㈠函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，
1
o
0)]()([lim lim 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x
2
o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续：
)
()(lim 00
x f x f x x =-→
右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件：
定理：
)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==?=+-→→→
4. 函数在[]b a ,上连续：
)(x f 在
[]
b a ,上每一点都连续。
在端点
a 和
b 连续是指：
)()(lim a f x f a x =+→ 左端点右连续；
)()(lim b f x f b
x =-→ 右端点左连续。
a
0 b x
5. 函数的间断点：
若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：
1
o
)(x f 在
x 处无定义；
2o
)
(lim 0
x f x x →不存在；
3
o
)(x f 在
x 处有定义，且
)
(lim 0
x f x x →存在，
但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断：
1o
第一类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→都存在。
可去间断点：
)
(lim 0
x f x x →存在，但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→，或
)(x f
在
0x 处无定义。
2o
第二类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(lim 0
x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1.
连续函数的四则运算：
设
)()(lim 00
x f x f x x =→，
)
()(lim 00
x g x g x x =→
1o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ?=?→
3o
)
()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
??
? ??≠→0)(lim 0x g x x
2.
复合函数的连续性：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
)]
([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ????==→→
则：)]
([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x x ???==→→
3.
反函数的连续性：
)(),
(),
(001
x f y x f x x f y ===-
)
()(lim )()(lim 01
1
00
y f y f x f x f y y x x --→→=?=