三角函数与解三角形第二轮复习（文科）
【考点透视】
（1）同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.
（2）正弦定理和余弦定理．
（3）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.
【热点透析】
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一
通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，
本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘
三角函数的图象和性质是高考的热点，
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：
1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用
2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强
3 三角函数与实际问题的综合应用
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用
【范例1】已知5
1cos sin ,02
=
+<<-
x x x π
. （I ）求sin x －cos x 的值；
（Ⅱ）求
x
x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322
++-的值. 解析：法1（Ⅰ）由,25
1cos cos sin 2sin ,51cos sin 2
2=
++=+x x x x x x 平方得 即 .25
49cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x ,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故.5
7cos sin -=-x x
（Ⅱ）x x x x x x x
x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222
+
+-=++-
121108
sin cos (2cos sin )()(2)255125x x x x =--=-?-=-
法二（Ⅰ）联立方程?????
=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x 由①得,cos 5
1
sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x
3sin ,345cos cos .0,4552cos .
5x x x x x π?
=-??∴=-=-<<∴?
?=??
或 故.57cos sin -=-x x
（Ⅱ）x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322
++-x x x x x x
sin cos cos sin 1sin 2sin 22+
+-=
3443108
sin cos (2cos sin )()(2)5555125
x x x x =--=-??-+=-
【点晴】此题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等
基本知识，以及推理和运算能力.
【范例2】已知11
tan(),tan ,27
αββ-==-且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值. 解：4
tan 2(),3
αβ-=
[]tan(2)tan 2() 1.αβαββ-=-+=
由1tan 73
β=->-知5.6π
βπ<<
由1tan tan[()]3ααββ=-+=<0.6πα<<
32(,).2.24
ππ
αβπαβ∴-∈--∴-=-
【点睛】如果要求解的角是由一些表达式给出的，则一是考虑所求解的角与已知条件中
的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函
数.已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数。若角范围是02
π
（，），正、余弦函数均可，若
角是0π（，）时，一般选余弦函数，若是22
ππ（－，）时，则一般选正弦函数。
【范例3】已知ABC ?的面积S
3,S ≤≤且6,AB BC ?=
AB 与BC 的夹角为θ.
(1) 求θ的取值范围；
①②
(2) 求函数22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+?+的最小值. 解析 （1）由题意知，||||cos 6,AB BC AB BC θ?=?=
①
11||||sin()||||sin 22
S AB BC AB BC πθθ=??-=??
②
由②÷①，得1tan ,62S θ=即3tan .S θ=3,S ≤≤tan 1.θ≤≤
又θ为AB 与BC 的夹角，[0,],θπ∈ [,].64
ππ
θ∴∈
（2）22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+?+
＝2sin 2cos 22),4
π
θθθ++=+
73[,].2[,].644124πππππθθ∈∴+∈
32,44ππθ∴+=即4
πθ=时，()f θ的最小值为3
【点睛】本题体现了三角函数与平面向量的灵活应用。
【变式】已知向量(cos ,sin )m θθ=
和sin ,cos ),(,2)n θθθππ=∈ 且
5
m n += 求)82cos(π+θ的值.
解析 法1：)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+n m
22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+n m
)sin (cos 224θ-θ+=
)4cos(44π+θ+=
)4
cos(12π
+θ+=
由已知m n += 257)4cos(=π+θ
又1)82(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ 216cos ()2825
θπ∴+= 0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 5
4
)82cos(-=π+θ∴
法2：n m n m n n m m n m n m
?++=+?+=+=+22)(22222
222[cos sin )θθ=++
sin cos ]θθ+)8
2(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π
+θ=π+θ+=θ-θ+=
由已知5m n += ，得54)82cos(=π+θ
0)8
2cos(898285,2<π
+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π
5
4)82cos(-=π+θ∴
【点睛】解决此题的关键是m n +
的计算，有两种途径，其解法二的运算量较小，由
此得到的结果，找出与cos(
)28
θ
π
+的联系。 【范例4】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (α)，试确定满足f (α)=
2
1
的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值 解析 由y =2(cos x －2a )2－22
42
++a a 及cos x ∈［－1，1］得
f (α)＝???????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122
)2(
12a a a a a
a
∵f (α)=2
1
,
∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)或－22a －2a －1=2
1
，解得a =－1(2,2)∈-，
此时，y =2(cos x +21)2+2
1
，当cos x =1时，即x =2kπ，k ∈Z ，y max =5
【点晴】 此题三角函数与二次函数的综合应用
【变式】已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0,2
π］，值域是［－5，1］,求a 、b 的值.
解析 令sin x =t ，∵x ∈［0，
2
π］，∴t ∈［0，1］， f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －2
2）2
+b .
当a ＞0时，则???=+-=，，
15b a b 解之得a =6，b =－5.
当a ＜0时，则?
??-=+=，，
51b a b 解之得a =－6，b =1.
【点睛】注意讨论的思想
★★★自我提升
1．若θ∈（0，2π]，则使sinθ （A ）（2,4ππ） （B ）（ππ,43）（C ）（ππ23,45） （D ）（ππ2,47 ） 2．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根为tan α、tan β，且α，β∈(－2, 2π π)，则tan 2 β α+的值是( B ) （A ） 2 1 (B ）－2 (C) 3 4 (D) 2 1 或－2 3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x ＞0)，则sinα(sinα+c ot α)+cos 2α的值是( C ) (A) 5 1 (B) 5 2 (C) 5 8 (D) 5 9 4． sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°＝________1 4 5．已知5(cos 1)x θ+的展开式中x 2的系数与4 )4 5(+ x 的展开式中x 3的系数相等，则cos θ= 2 2± 6． ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ， (,1)S a a ω?+的元素不超过2个，且有a 使)1,(+?a a S ω含2个元素，则ω的取值范围 是 ]2,(ππ 7. （1）已知8cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值； （2）已知5cos 3sin cos sin 2-=θ -θθ +θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。 解析 （1）∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0 同除以cos(α+β)cosα得tan(α+β)tanα=3 13 （2）∵ 3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53 tan 1 tan 2-=-θ+θ ∴ tanθ=2 ∴ 57 tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ +θ+θ-=θ+θθθ+θ-θ= θ+θ 8．是否存在锐角α、β使得（1）πβα3 2 2=+；（2）32tan 2tan -=?βα 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由. 解析 由3tan 2 tan 1tan 2 tan )2 tan(,32322=-+= +∴=+=+β α β α βα πβαπβα得， 32tan 2 tan -=βα βα βα tan ,2 tan 33tan 2 tan 于是-=+∴是一元二次方程032)33(2 =-+--x x 的两 根，解得32,121-==x x . 若2 090,12 tan πααα< 322 tan -=∴α ，?=?=∴=45,30,1tan βαβ，故存在?=?=45,30βα满足条件. 【范例5】右图为 )sin(?ω+=x A y 的图象的一段，求其解析式。 解析 法1以M 为第一个零点，则A=3， 2=ω所求解析式为)2sin(3?+=x y 点M （)0,3 π在图象上，由此求得32π?-= ∴ 所求解析式为)3 22sin(3π-=x y 法2. 由题意 2ω= ，则)y x ?=+ 图像过点7(12π 7 s i n ( )6π?=+ 7sin()6π?=+即72.62k ππ?π+=+∴22.3k π?π=-+ 取2.3 π ?=- ∴所求解析式为 2)3 y x π=- 【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A 取正值. 2. 由图象求解析式k x A y ++=)sin(?ω或由代数条件确定解析式时,应注意: (1) 振幅 A= )(2 1 min max y y - (2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为T 2 1 , 由此推出ω的值. (3) 确定?值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定. 【变式】设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线 8 π = x 。 （Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。 解析（Ⅰ）)(8 x f y x == 是函数π 的图像的对称轴，,1)8 2sin(±=+? ∴?π ,.4 2 k k Z π π ?π∴ +=+ ∈ .4 3,0π??π- =<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππ?-=- =x y 因此 由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤- ≤-π ππππ 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知) 32sin(π-=x y 故函数y 【范例6】已知函数)cos (sin log )(2 1x x x f -=， （1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。 解析 （1）由题意得sinx-cosx ＞0即0)4 sin(2>-π x ， 从而得πππ π+<- 2， ∴函数的定义域为 ），（4 524 2π ππ π+ +k k Z k ∈， ∵1)4sin(0≤- <π x ，故0＜sinx-cosx≤2，所有函数f(x)的值域是),2 1 [+∞-。 （2）单调递增区间是），452432[π πππ++ k k Z k ∈ 单调递减区间是 ），（4 3242π πππ++k k Z k ∈， （3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。 （4）∵)()]2cos()2[sin(log )2(2 1x f x x x f =+-+=+πππ ∴函数f(x)的最小正周期T=2π。 【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质 【变式】已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期 为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ??- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?? ???? ，． 【点晴】此题是三角函数与向量的综合题，主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变 换、三角函数的图象平移等基本知识. 【范例7】若函数)4 sin(sin ) 2 sin(22cos 1)(2π π +++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试 确定常数a 的值. 解析 )4 s i n (s i n ) 2 s i n (21c o s 21)(22π π + ++--+= x a x x x x f )4 sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222π π+++=+++=x a x x x a x x x )4 sin()2()4sin()4sin(222π ππ++=+++=x a x a x 因为)(x f 的最大值为)4 sin(,32π ++x 的最大值为1，则,3222+=+a 所以a =【点晴】 此题是三角函数“合一变换”求最值的应用 【范例8】已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量= a （sin x ，2），= b （2sin x ，2 1 ），= c （cos2x ，1），= d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等 式f （? a b ）＞f （? c d ）的解集． 解析 设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ） 因为 12 ) 1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =， 由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数． ∵ (sin x =? a b ，x sin 2()2?，11sin 2)2 12 ≥+=x ，(cos2x =? c d ，1()1?，)2 122cos ≥+=x ， ∴ 当0>m 时，2()()(2sin 1)(cos21)f f f x f x >?+>+?? a b c d 1sin 22+?x 02cos 222cos 12cos 122cos +-?+>x x x x 02cos π22+< ∵ π0≤≤x ， ∴ 4 π34π< π4 π 3≤ π 34π|{< }π4 π 3≤ 【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点. 【变式】试判断方程sinx=π 100x 实数解的个数. 解析 方程sinx=π100x 实数解的个数等于函数y=sinx 与y=π 100x 的图象交点个数 ∵|sinx|≤1∴| π 100x |≤1, |x|≤100л 当x≥0时，如右图，此时两线共有 100个交点，因y=sinx 与y= π 100x 都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。 【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性. ★★★自我提升 1．右图是周期为π2的三角函数y=f(x) 的图象，那么f (x)可以写成（ D ） （A ）sin(1+x) （B ） sin(-1-x) （C ）sin(x-1) （D ）sin(1-x) 2． 为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ） (A) 向右平移 6π个单位长度 （B ）向右平移3π 个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 (D) 向左平移3 π 个单位长度 3． 函数f (x )=cos2x +sin( 2 π +x )是( D ) （A ）非奇非偶函数 （B ）仅有最小值的奇函数 （C ）仅有最大值的偶函数 （D ）既有最大值又有最小值的偶函数 4．给出四个命题，则其中正确命题的序号为 ( B ) ① 存在一个△ABC ，使得sin A +cos A =－1; ② △ABC 中,A ＞B 的充要条件为sin A ＞sin B ; ③ 直线x = 8 π 是函数y =sin(2x + 4 5π )图象的一条对称轴； ④ △ABC 中，若sin2A =sin2B ,则△ABC 一定是等腰三角形. （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 5．函数y = -2sin(4x+ 3 2π )的图象与x 轴的交点中, 离原点最近的一点的坐标是___ ( 12 π, 0) 6．如果图象x 2+y 2≤k 2至少覆盖函数k x y π=sin 3的一个最大值点和一个最小值点，则正整数k 的最小值为 2. 7．已知定义在区间]3 2,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6 π - =x 对称，当 ]32 ,6[ππ- ∈x 时，函数)2 2,0,0()sin()(π ?πω?ω<<->>+=A x A x f ，其图象如图. （1）求函数)(x f y =在]3 2 ,[ππ-的表达式； （2 ）求方程()f x = . 解析 （1）当2[,]63 x ππ∈-时， 函数()sin()(0,0,)2 2 f x A x A ππ ω?ω?=+>>-<<，观察图象易得： 1,1,3 A πω?===，即函数()sin()3f x x π=+，由函数()y f x =的图象关于直线 6 x π=-对称得，[,]6x π π∈--时，函数()sin f x x =-. ∴2sin()[,]363 ()sin [,)6x x f x x x πππππ?+∈-?=??-∈--? . （2）当2[,] 3 x ππ∈-时， 由sin()3x π+= 得，353 441212 x x x πππππ+=?=-=或或； 当[,] x ππ∈--时，由sin x -344x x ππ=-=-或. ∴方程()f x = 的解集为35{,,,}441212ππππ--- 【变式】已知函数)2 ||,0,0A )(x sin(A )x (f π <φ>ω>φ+ω=的图象在y 轴上的截距 为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为)2,(0x 和)2,3(0-+πx . (1)试求)x (f 的解析式； (2)将)x (f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的3 1 （纵坐标不变），然后再将新的图 象向x 轴正方向平移3 π 个单位，得到函数)x (g y =的图象.写出函数)x (g y =的解析式. 解析 （1）由题意可得： π6=T ， 2=A ， )3 1 s i n (2)(?+=∴x x f ， 函数图像过（0，1） ， 21sin =∴?， 2π?< ，6 π ?=∴ ， )6 3sin(2)(π +=∴x x f ； （2）)6 sin(2)(π - =x x g 8． )3 3sin(32)(π ω+ =x x f （ω＞0） （1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值 （2）f (x )在（0， 3 π ）上是增函数，求ω最大值。 解析（1）因为f (x +θ)=)3 33sin(32π θω++x 又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故∈+== k k 6 ,31ππθω Z （2）因为f (x )在（0，3 π）上是增函数，故ω最大值为61 【范例9】.在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝2 2b a :，试判断△ABC 的形状． 解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得 ∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0． ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝ 2 π ． 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a 2＋b 2＝c 2， a 2＋b 2>c 2（锐角三角形），a 2＋b 2＜c 2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索． 【范例10】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2 27 4sin cos 22 B C A +-=. (1)求角A 的度数； (2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值. 解析 2 7 (1)4s i n c o s 2180,: 2 2B C A A B C +-=++=?由 及得 2227 2[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5 2 1 4cos 4cos 10,cos , 2 0180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=?< 即 222 22222(2):cos 211 cos ()3. 222 312 3: 2 :. 221b c a A bc b c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-= +-=∴=∴+-=+===???=+==???===??? 由余弦定理得代入上式得由得或 【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 【范例11】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足 B C A B C sin sin sin 2cos cos -=. (1) 求角B 和边b 的大小； (2) 求△ABC 的面积的最大值。 解析 (1) 由 B C A B C sin sin sin 2cos cos -=整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB ∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA =2sinAcosB ∴cosB=21 ∴B=3 π ∵ b=2RsinB ∴b=3 (2)∵ABC ?S =)32sin( sin 33sin sin 3sin 212A A C A R B ac -==π ????? ?+-=21)62sin(233πA ∴当A= 3π时, ABC ?S 的最大值是4 39 ． 【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用 【范例12】某观测站C 在城A 的南20?西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40?东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？ 解析 据题意得图02，其中BC =31千米，BD =20千米，CD =21千米，∠CAB=60?． 设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得： 7 1202123120212cos 222222-=??-+=??-+=BD CD BC BD CD β， 7 3 4cos 1sin 2=-=ββ． ()CDA CAD ∠-∠-?=180sin sin α ()β+?-?-?=18060180sin ()14 3 523712173460sin cos 60cos sin 60sin =?+?= ?-?=?-=βββ． 在△ACD 中得15143 52 321143560sin 21sin sin =?=??=?= αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之． 【变式】已知半圆O 的直径AB=2，P 为AB 延长线上一点，OP=2，Q 为半圆上任意一点，以PQ 为一边作等边三角形PQR （P 、Q 、R 为顺时针排列），问点Q 在什么位置时，四边形OPRQ 面积最大，并求这个最大面积. 解析 设,cos 45),1800(2 x PQ x x POQ -=∴?< PQR ?∴面积x PQ S cos 34 354321-== ， 而△POQ 面积S 2=x sin ， ∴四边形OPRQ 面积 )cos 3(sin 4 3 521x x S S S -+=+= 24 3 5,150),60sin(2435max +=?=∴?-+= S x x 当. 【点睛】三角函数在实际问题中的应用问题. ★★★自我提升 1．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA·sinB( B ) （A ）.有最大值 2 1 和最小值 （B ）.有最大值 2 1 但无最小值 （C ）.既无最大值也无最小值 （D ）.有最大值1但无最小值 2．已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC AB AC += 且 1 ..2 AB AC AB AC = 则ABC ?为（ D ） （A ）等边三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰非等边三角形 （D ）三边均不相等的三角形 3．△ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C 的大小是 （ A ） （A ） 6π （B ）56π （C ）6π或56π （D ）3 π或23π 4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A ) (A)arccos 215- (B)arcsin 215- (C)arccos 251- (D)arcsin 2 5 1- 5. 已知a +1，a +2，a +3是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 . （0，2） 6．已知定义在R 上的偶函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增,若,0)2 1 (=f