证明初等变换不改变矩阵的秩
证:设A 为m n ?矩阵经过初等行变换变为m n ?矩阵B,且
1()R A r =，2()R B r =
1.初等对换变换：i j r r A B ????→（交换矩阵的第i 行与第j 行）
因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的积。
2.初等倍法变换：i
kr A B ??→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积。
3.初等消法变换：i j r kr
A B +???→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B
()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则
111
r B D +=， 11r D +为A 的任意11r +阶子式；
()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则
11111r r B D k C ++=+
这里的1111,r r D C ++均为A 的11r +阶子式。因为A 的任意11r +阶子式均为零，所以
10B =
综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的11r +阶子式全为零，所以
21r r ≤
由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有
12r r ≤
所以
12,()()
r r R A R B
==
同理可证初等列变换。