2011-2012第二学期概率练习答案
第一章练习一
一、填空：
1、b 表示不中，z 表示中（1） zzz,zzb,zbz,bzz,zbb,bzb,bbz,bbb （2）0,1,2,3,4,5 （3）z,bz,bbz,bbbz,bbbbz. …
2、（1）√（2）×（3）√（4）×（5）√
3、略
4、（1）?（2）]2,5.1[)1,5.0()25.0,0[??（3）B
5. （1）不相容A 与D ，B 与D ，C 与D ，A 与C; 对立事件B 与D;A 包含于B,C 包含于B （2）
1
21
二、解答题：
1、（1）6664033552513=C C (2) 1082901
552
2434=C C C
(3) 2598960624552148113=C C C (4) 2598960109824045
523
31224113=C C C C 2、（1）12524
523454
=
???（2）625965442
24=C 第一章练习二
一、1-5 1、 ( A ) 2、(A ) 3、（1）√（2）×（3）√（4）√（5）√,
二、1、0.4， 2、0.2,0.2 3、2/3 4、0.82 三、1、（1）0.4 （2）0.2 2、(1) 9/2)/(12=A A P ; (2) 10/39/2)()|()(11221?==A P A A P A A P ;
(3) 10/39/28/7)()|()(21213321??==A A P A A A P A A A P 3、设M 表示数学挂科，E 表示英语挂科，
（1）25.02.005.0)()()/(===M P ME P M E P ,(2) 3/115
.005
.0)()()/(===E P ME P E M P (3) 3.005.015.02.0)()()()(=-+=-+=?EM P M P E P E M P
第一章练习三
一、1、1
3
2、0.22*0.83
3、3225)1(p p C -
4、0.684
二、（1）√（2）×（3）×（4）√
三、1.设i A 表示第i 次抽到的是坏灯泡)2,1(=i
由全概率公式可知
4
.05/34/25/24/1)
()|()()|()(1121122=?+?=+=A P A A P A P A A P A P
2.设321,,A A A 分别表示乘火车，轮船，飞机，事件B 表示某人迟到.
9
/418
.008
.0)()()|()|(18
.04.004.02.02.05.0)()|()()|()()|()(222332211====?+?+?=++=B P A P A B P B A P A P A B P A P A B P A P A B P B P
3.(1)1/6 (2)1/4
4. 8
2210911010)4
3()41()43)(41()43(1C C ---
第一章练习四（小结）
一、1、 ( C ) 2、( B ) 3、 (A) 4、 （A ）5、（B ）
二、1、0.6 2、（1-p ）(1-q ) 3、0.243 4、0.7，0； 0.58，0.12；5、31
三、1、64/117 2、a/a+b 3、2ln 2/14/3)41
1(1
41-=-
?dx x
4.(1)n n
n
k k N --
第二章练习一 一、 1、
0123
0.0010.0270.2430.729
X P 2、)2,1,0(!
}{ ==
=-k k e k X P k λ
λ
3、1
{}(1),1,2
k P X k p p k -==-= 4、4/5,1/5 二、
1、
23456789101112123456543213636363636363636363636
X P
2、（1）
2
232533433336
6
6
6
134
2
X C C C C P
C C C C 即
23413311102020
2X
P
3、（1）
1234
777110
30120
120
X
P
（2）137
{}()(),1,2
1010
k P X k k -==?
=
4、因!22λ
λ
λλ--=
e e
，得2=λ， 所以2
243
2!42}4{--==
=e e X P 5、因95)1(1}0{1}1{2
=--==-=≥p X P X P ，所以3
1=p 故27
19)1(1}0{1}1{3
=--==-=≥p Y P Y P 第二章练习二
一、1、C ，2、B ，3、D
二、1、1()F a -，()()F b F a -，0 2、
81 ，16
5
3、
1120.30.30.4
Y
P - 4、
14，4
3 三、1、（1）因1)41(4
22
=-+??
dx x
kxdx ，得4
1=k
（2）????
?????≥<≤-+<≤<==
???
∞
-414
2)41(4
2
08
00)()(2202x x dx x dx x x x x dx x f x F x x
（3）3227
2.????
?
???
?
≥<≤<≤--<=2
120650131
10)(x x x x x F 3、???<≥=-000)(x x xe x f x
.
第二章练习三答案
一、1、A ，2、C ，3、D ，4、D 二、
1、
014911711530530
Y P
2、1(
)a μ
σ
--Φ，1)(
)(
-+Φ+-Φσ
μ
σ
μ
a a ，)(
)(
2σ
μ
σ
μ
+Φ--Φ-a a
3、0.3413
4、)(
)(a
b
y F y F X Y -=； 三、1、1)2(2-Φ，
2、（1）4
1--e ,???-<-≥=--10
1
)(1y y e y f y Y
3.（1）??
???<<=其他016441)(y y y f Y （2）?????<<=其他04
ln 2ln 21)(z e z f z
Z
4. ，且＝
由2
1
+ηξξ～），（10N ，故η～）
，（－41N 第二章练习四答案
一、1、D ，2、C ，3、D ，4、C 5、A 二、1、1， 2、2
1
)0(1=
Φ-， 3、0.5， 4
三、1、(1)因
1}{1
==∑+∞
=k k X P ,所以可得C =1
(2)4
3431321211}3{=?+?+?=
≤X P , ))
1(1)1(1
)1(1}{2112221121+-+=+?++?+=
≤≤n n n n n n n n n X n P
2、 104/1)(4
/3≤<=-y y
y f Y
3、（1）因
1}{1
==∑+∞
=k k X P ,所以可得10
1
=
a ， （2）?????
????≥<≤<≤<≤<=4,
143,6.032,3.0211.01,
0)(x x x x x x F ， （3）0
4、因2
22
{24}{0}()(0)0.3X P X P σσσ
-<<=<<=Φ-Φ=，
故2
22
{0}{}()0.2X P X P σ
σ
σ
-<=<-=Φ-=.
5、4
7,23=-
=b a 6、（1）A=1，B=1- （2）?????≤>=-0
0)(2
2
x x xe
x f x
（3）2
12
}21{-
-+-=< e X P 第三章练习一答案 二、1、 Y X 0 1 0 212210P P 2 1212 110P C C 1 2 1212110P C C 212 2 2P P 即 Y X 0 1 0 2215 33 5 1 33 5 661 2、 ?? ??∈=G y x G y x y x f ),(0),(6),( 3.(1)k=1/4 (2) ? ??≤≤+==? ∞ +∞ -其它02 014/1),()(x x dy y x f x f X (3)19/24 4. 因?? ??∈=G y x G y x y x f ),(0),(1),(， 所以有?????≤≤=== ?? -∞ +∞ -其它0 1 021),()(x x dy dy y x f x f x x X ， ??? ? ?????≤≤-=≤≤-+===???-∞+∞-其它0 10110111),()(1 1y y dx y y dx dx y x f y f y y Y 第三章练习二答案 一、1、0.34，2、55 ,2128，3、?? ?≥≥=+-其它0 0,0),()(y x e y x f y x 二、1、因为对所有的i,j ，都有}{}{},{j Y P i X P j Y i X P ===== 2、(1)因?? ? ?? ≤≤≤≤--=其它0,))((),(1d y c b x a c d a b y x f 得??? ??≤≤-=其它0,) ()(1 b x a a b x f X ，?? ? ??≤≤-=其它 0) ()(1 d y c c d y f Y ， 所以对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 是独立的。 (2)因222 21(,)0 x y r f x y r π?+≤?=???其它 ， 得2 , ()0X r x r f x r π?? -≤≤=??? 其它, ()0Y r y r f y -≤≤=?? 其它 所以不是对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 不是独立的。 3、由已知得?? ?≤≤-=其它 ,10)2(4.2)(2 x x x x f X ???≤≤+-=其它0 , 10)43(4.2)(2y y y y y f Y 所以不是对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 不是独立的。 2,(,),(,)90, (,). x y G f x y x y G ?∈? =????第三章练习三答案 一、 1、)4,1(N , 0.5， 1/2)1(Φ,1/2+1/2)1(Φ 3、 二、1、 W 2 3 4 5 6 7 P 0.1 0.15 0.45 0.3 0 0 2.?? ???>-≤≤-=--其它01)1(101)(z e e z e z f z z Z 3、22 ,01()2,120Z z z f z z z z ?≤ 其它 4、因???>-=-其它 ,00,1)(2min z e z F z ，所以服从参数为21 的指数分布。 第三章练习四答案 一、1、),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--， 2、 ?? ?≤=-其它 , 02)(2x e x f x X 3、0.5， 4、 1 2 5、5/8 二、1、因1}0{==XY p ，得P{X=1,Y=1}=0, 从而可得 1214131}0,0{,32}1,0{,41}0,1{=-======= ==Y X P Y X P Y X P 所以 P{X=1}P{Y=1}032 41≠?=，故X 与Y 不独立。 2、 故2 2222 ,12,(2),12()(,)9 90,0, x x X dy x x x x f x f x y dy ++∞ -∞ ??-≤≤+--≤≤??= ==???????? 其它其它 2 ,01,01, 22 ,14 ()(,)(2),14 99 0,0, Y y y y dx y f y f x y dx y y +∞ - -∞ ? ≤<≤< ? ? ?? ≤≤ ===≤≤ ?? ?? ?? ?? ? ? ? 其它其它 3、因 12 ) , ( 1 00 ) 4 3( A dxdy e A dxdy y x f y x= = =?? ??+∞+∞+- +∞ ∞ - +∞ ∞ - ，得A=12 所以3 1 4 3 3 ) 4 3( 3 4 3 4 1 12 ) , ( }3 4 3{- - + - < + - = = = < +?? ??e dy e dx dxdx y x f Y X P x y x y x 。 4、 8 1 ] 1 [ }] 2 1 0{ [ } 2 1 0, 2 1 0, 2 1 0{3 2 1 3 1 3 2 1 = = < < = < < < < < P Pξ ξ ξ ξ。 第四章练习一答案 一、1.解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp= ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2) = ∑∞ =1 2 i i p x= 44.0 ?+ 03.0 ?+ 43.0 ?= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0- ?+5 = 4.4 2.0 1 1 * 3 2 * 2 1 ) ( 3 ) ( 2 )1 3 2(= + - = + - = + -Y E X E Y X E 8 )1 1(* 2 * 2 )1 ( ) ( 2 )] 1 ( 2[= + = + = +Y E X E Y X E 3.解：由题意知，随机变量X的概率密度为) ( ) (x F x f' = 当x>5时，= ) (x f 3 3 50 25 2 x x = ? - -，当x≤5时，= ) (x f0. E(X) =10 | 50 50 ) ( 5 -53 = - = =∞+ +∞ ∞ +∞ ?? x dx x x dx x xf 所以这种家电的平均寿命E(X)=10年. 4.解：由题意知X～P（λ），则X的分布律P{}k X==λ λ - e k k !，k = 1,2,... 又P{}5= X=P{}6= X, 所以λ λ λ λ - -=e e !6 !5 6 5 解得6 = λ，所以E(X) = 6. 5.解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i，则X i的分布律为 6, ,2,1 ,6/1 } { = = =i i X P 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/6=28 6. 解：V 的概率函数为?? ???<<=其它 ,00 ,1 )(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=??a a v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(23 1ka 7. 解：因为级数∑∑∑∞ =+∞ =+∞ =+-=-=? -1 1 21 2112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k k k k k πππ， 而 ∑∞ =11k k 发散，所以X 的数学期望不存在. 第四章练习二答案 一、1.10 2. 0, 2 3.20 4. )1,0(N 5. 8/9 二．1. 解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp = ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2 ) = ∑∞ =1 2 i i p x = 44.0?+ 03.0?+ 43.0?= 2.8 D(X)=2.8-0.04=2.76 2、)(X E 433)(1 03 ===??+∞ ∞-dx x x xdF ，5 33)()(104 22===??+∞∞-dx x x dF x X E )(X D =80 3 )]([)(22=-X E X E 3. ( ])[2 Y X E +=2)]([)(Y X E Y X D +++=2 )]()([)()(Y E X E Y D X D +++=10 三、1．证明：设在一次实验中A 发生的次数为X,4/1)(),,1(~2 ≤-=p p X D p B X 2．证明：2 2 2 2 2 )(2)()2()(c X cE X E c cX X E c X E +-=+-=- 2222)()(])([)()(2)]([)(μ-=≥-+=+-+=X E X D c X E X D c X cE X E X D 第四章练习三答案 一、1、 2、2 3、未必有 一定有 4、X,Y 不相关 5、—1 二、1、(1) ???<<=,,01 0,2)(其他地方x x x f X ???<<=, ,010,3)(2其他地方y y y f Y E(X)=2/3, E(Y)=3/4, E(X 2 )=1/2, E(Y 2 )=3/5, D(X)=1/18, D(Y)=3/80, 2 1 6),()(101 2= ?==? ? ? ? ∞ ∞-∞ ∞ -dy dx xy xy dy dx y x xyp XY E , cov(x,y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, ρ(X,Y)=0。 2、因E(XY)=0，E(X)=E(Y)=0，所以0=XY ρ，故X 与Y 不相关。 但P{X=0，Y=0}=0与P{X=0}P{Y=0}不相等，所以不相互独立 。 3. ()()()(),,,,() Cov X Y Cov X a bX Cov X a bCov X X bD X =+=+ =|| XY b b ρ= = = ,即证。 4. (,)()()X Y F x y F x F y =?随机变量X 与Y 是相互独立 二维连续型随机变量（X,Y ），f (x,y )= f X (x ) f Y (y )，?X 与Y 相互独立 二维离散型随机变量(X ,Y )， {}{}{} j i j i y Y P x X P y Y x X P =====, ,2,1,=j i ?随机变量X 和Y 相互独立。 ) ()()()()()(0),cov ((0Y D X D Y X D Y E X E XY E Y X Y X XY +=+?=?=?=不相关）与ρ 第四章练习四答案 一、1、A 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 二、1、2，2 2-e 2、0 3、0, 1 4、( )()2 529 , .z Z f z z -- ?= -∞<<+∞ 5、 7.8 6、1 三、1、E(X)=1/2 , D(X)=1/12 ,E(Y)=2 ,D(Y)=1/3 , 22()()()1/3E X D X E X =+= , 22()()()13/3E Y D Y E Y =+= E(XY)=E(X)E(Y)=1，2222()()()4/9E X Y E X E Y == 2、(1) D(2X-Y+1)= D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4cov(X,Y)=4+4-4ρ =3.2 (2) E(2X-Y+1)= E(2X)-E(Y)+1=1 E(Z)=4.2 3、E(XY)=0.2+2b=0.8 , b=0.3 X 1 2 P 0.6 0.4 Y 0 1 P 0.4+a 0.2+b a=0.1,E(X)=1.4, E(Y)=0.5, COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.1 4、1 1 ()sin 0,()cos 0,22E X d E Y d ππ π πθθθθππ -- = ===?? 1()sin cos 0,2E XY d π πθθθπ - = =?故E(XY)=E(X)E(Y),从而X 与Y 不相关。但由于 221X Y +=,故X 与Y 不相互独立。 12()0.80.640.16,()0.10.010.09D X D X =-==-= 121212cov(,)()()()X X E X X E X E X =-=-0.8*0.1=-0.08 1 2 X X ρ=-2/3 6、（1）由数学期望的运算性质有 1 11.323 23X Y EZ E EX EY ??=+=+= ??? 由()()2,D X Y DX DY Cov X Y +=++有 ()2211112,3232321111 2,3232 111 943 142 3. XY X Y DZ D D X D Y Cov X Y DX DY Cov X Y DX DY DX DY ρ???????? =+=++ ? ? ? ? ????????=++??=++=+-= （2）因为 ()()() 2,,3211 ,,32 11 32111 3340, 322XY X Y Cov X Z Cov X Cov X X Cov X Y DX DX DY ρ? ?=+ ? ? ?=+=+?? =?+?-??= ??? 所以 ,0.XZ Cov X Z DZ ρ= = （3）因,X Y 均为正态，故,X Y 的线性组合Z 也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由0XZ ρ=知，X 与Z 相互独立. 四、1、证明：cov(X*,Y*)= cov(a +b X,c +d Y) = cov(a, c )+cov(b X,c )+cov(a , d Y) = cov(b X, d Y)=bd cov(X, Y) 又因为D(X*)=b 2D(X)，D(Y*)=d 2 D(Y)， σ (X*)= σb (X)，σ (Y*)= σd (Y)， 所以，ρ(X*,Y*)=) ()() ,cov(*)(*)(*)*,cov(Y X d b Y X bd Y X Y X σσσσ= ρρ±=±=),(Y X 2. 0)(0)(0)()(0)(2 2 ==?=+?=X E X D X E X D X E 且1)0(==?X P {?=0)(X D c X E c X P =?==)(1)(} 3．()()()()X E a dx x xf a dx x f a x dx x f a X P a a 1 1=≤≤=≥???∞+∞-∞ +∞ +}{ 答案： 第五章练习一答案 一．填空题 1. 34 2. 10 3. A 4. 250 二．解答题. 1. 解：设每毫升男性成人白细胞数为X ，则E （X ）=7300，D （X ）=2 700，由切比雪夫不等式， 22 7008{52009400}{|7300|2100}192100 P X P X <<=-<≥-= 2. ()()()0, E X Y E X E Y +=+ =(,)Cov X Y ρ=() D X Y +()()2(,)D X D Y Cov X Y =+ +()()3D X D Y =+=，由切比雪夫不等式 P{|X+Y|≤6}≤231 12 6 = 3．第n 次抛掷出点数i X ，111257 ()1632362 i E X = +++++=，n X X X ,,, 21相互独立且服从同一分布，由辛钦大数定律，得n 次抛掷出点数的算术平均值n X 依概率收敛的极限为 7 2 。 4．E （X ）=1/2，D （X ）=1/12，3/1)(2=X E ，n X X X ,,, 21相互独立且服从同一分布 2 2 221,,, n X X X 也相互独立且服从同一分布，由辛钦大数定律 ∑=n i i X n 1 21 依概率收敛于1/3 第五章练习二答案 一．填空题 1. 0.8428 2. 2(1)1Φ- 3. 0.2119 二．解答题. 1. 解：设一只蛋糕的价格为 i X ，其分布律为： 1 1. 2 1.5~0.30.20.5i X ?? ? ??，1,2,...,300i =可求出 1.29,0.05i i EX DX == 1{400}11(3.36)10.99970.0003 n i i P X =≥≈-Φ=-Φ=-=∑ 2． 解: 927.0)9938.01(9332.0)5.2()5.1(}8670{=--=-Φ-Φ=≤≤X P 3.解答：设X 表示同时去图书馆上自习的人数，并设图书馆至少设n 个座位，才能以%99的概率保证去上自习的同学都有座位，即n 满足990.}{≥≤n X P ，又因为).,(~801000B X 所以??? ? ?????-Φ-???? ?????-Φ≈≤20801000801000020801000801000......}{n n X P 9906512800..≥??? ??-Φ=n ， 查表得 33265 12800 ..≥-n ，故5829.≥，因此图书馆至少设830个座位 第六章练习一 一、填空题： 1. ① ,,,,! !!210211 =-∑=k n n x x e x x x n k k λλ 2.①,μn 2σ，②2 σ 3．①α；4.－2.015 5.)(~2t Y 二．选择题：1.B 2.C 3.B 三、解答题： 1. 解：由51X X 相互独立，且i X ～5,4,3,2,1),1,0(=i N 321X X X ++?～3) ()3,0(321X X X N ++即～)1,0(N ， 且54X X +～)2,0(N 2)(54X X +即～)1,0(N , 且2 52 4X X +～)2(2 χ （1）3)(2321X X X +++)(254X X +～)2(2 χ可得2 1,3121== k k 。 （2） 2 )(3 )(2 52 4321X X X X X +++～)2(t 可得3 2 = c （3）由3)(2 321X X X ++～)1(2 χ，故 2 )(3)(2 52 42321X X X X X +++～)2,1(F ,可得3 2= λ 三、.证明： ]2[11)2(11)(1121 122 1212X n X X X n X X X X n X X n n i i n i i i n i i n i i +--=+--=--∑∑∑∑==== ＝11-n [+-∑=2122X n X n i i 2 X n ]＝11-n [21 2X n X n i i ∑=-] 第六章 练习2 一填空题 1. ①21μμ- ；②n n 2 22 1σσ+ ； 2. ①),(10N ;②)(1-n t ； 3.（1） )(n 2χ（2）)(12-n χ 二、选择题 1..(B)；2..（C ）； 三、解答题 1.解：因为),(~2σμN X ，得 ),(~1010 N X σ μ -，因此 02010 4 1210 4 10 210 4 10 4.)]( [}{ }{ }{=Φ-=> -=> -=>-σ σ σ μ σ σ μ μX P X P X P 于是可得99010 4 .)( =Φσ ，查表的 33210 4 .=σ ，从而可得总体的标准差.4295.≈σ 2.解： ?= -)15(~15)1(22 2 2 2 χσσS S n 99 .0)}15(15{}615.3015{}041.2{ 2 01.022222 2 =<≈<=<χσ σσS P S P S P （615.30)15(2 01.0≈χ ） 3.解：两个样本均值),(~203302N X ，),(~25 3302 N Y 则).,(~2900N Y X -，所以两个样本均值之差的绝对值大于0.3的概率为 =>-}.{40Y X P =≤--}.{401Y X P ).(}...{ 4440229 04 09 01Φ-=≤ --Y X P =0.66 4. 解：由 ),1,0(~0 N Y σ - 92,1),1,0(~2 =-i N X i ，i X 与Y 独立的条件 6)9(~69 4)9(~)2 0( 2222 9 1 =?= ?-∑∑∑ =σσ σχt X Y X Y X i i i i ,362=σ 第六章小结练习 一、填空题： 20 1= a ，1001= b ，自由度为2. 二、选择题 1. )(C ； 2..（C ）； 3. )(C ； 三、解答题 1. ),(~n N X 2σμ，),(~n N Y 2 σμ，X 与Y 相互独立，故),(~n N Y X 220σ- 010*******.][][}{}{≥???? ??Φ-=? ???? ? ? ??Φ-=≤--=>-n n Y X P Y X P σσσσ 99502.≤??? ? ??Φn ，3135822 ..≤?≤?n n 则n 最多取13. 2.解： 95.0}44/{95.0}{ =>-?=>-K S X P K S X P μμ,由4 /S X μ -～t(15),故4/7531.17531.1)15(405.0-=?-=-=K t K 四、证明题： 1.证明：假设)(~),1,0(~2 21n Y N Y χ，且1Y 与2Y 相互独立，则)(~21n t n Y Y Y = 故X 与Y 同分布，从而 21X 与21Y 同分布，而)1,(~12122n F Y n Y Y =，所以)1,(~1 2 n F X 2. 证：)(~2 n Y χ因X 服从正态分布),(2σμN ，所以1+n X 也服从正态分布),(2 σμN ，故 )1,0(~1N X U n σ μ -= +由2χ分布的定义知)1(~22χU ，又因为 )(~)()(1121 2 2 2 --= -= ∑=n X X S n W n i i χσ χ1+n X 与n X X X ,,,21 相互独立，可知U 与W 独 立，再根据2 χ分布的可加性，得 )(~)() ()() (n X X X S n X W U Y n i i n n 21 2 2 12 2 2 11χσ σμχ σ μ∑=++-+ -= -+ -= += 第七章练习1 一、填空题 1. 2 1 1,(),2;n i i x x x x n =-∑ 2. 1?(2)8 X θ=-． 二、解答题 1．X MLE ME ==λ λ ??；提示：似然函数为 ∏=-∑==n i i x n x e L n i i 1 !/)(1 λ λλ 2.由两点分布可知，(),x E X p ==而15 (110111),66 x = +++++=所以5?,6p =由,100 r p = ，于是5?10010083.6r p ==?≈故红球的矩估计值为r =83个. 3.（1）(),11 1 +==?-θθθθdx x x X E 又,1X =+θθ解之得.12 ??? ? ? ?-=X X θ （2）(),1 1 2 1 1 ∏∏ =--=== n i i n i n i x x L θθθ θθ则()(),ln 1ln 2 ln 1 ∑=-+ =n i i x n L θθθ ()02ln 2ln 1=+=??∑=θ θθθn i i x n L .ln 2 1 ?????? ?? =?∑=n i i MLE x n θ 4.,) 1() 1(),()(1 1 1 1 ∏∏∏=- -==∑-∑=-== =n i x m x nm x x m x n i x m n i i i i n i i i i i C p p p p C x p p L θ ,ln )1ln()(ln )(ln 1 1 ∏∑==+--+∑==n i x m i n i i i C p x nm p x p L ?=---∑=∑=0)(111)(ln 1i n i i x nm p x p dp p L d .1 x m p = 第七章练习2 一、填空题：1.?();E θθ= 2.12??()();D D θθ< 3. 0.0006; 4. .)(1121 2 x x n S n i i --=∑= 二、解答题 1. 111111(),n n n i i i i i i i i n n n i i i i i i a X a E X a E a a a μμ======?? ? ?=== ? ? ?? ∑∑∑∑∑∑从而是μ的无偏估计量，得证． 2. 证：因为n X X X ,,,21 与X 同分布，故k n k k X X X ,,,21 与k n X 同分布，所以， ()()(),2 1 k k n k k X E X E X E μ==== 于是()() ,1 11k k i n i k i k X nE n X E n EA μ=?==∑=即k A 是k μ的无偏估计. 3. 123???()()(),E E E μ μμμ===故均为μ的无偏估计. 3?μ 最有效，这是因为：312155 ???()()().298 D D D μμμ=<=<= 4.（1） k a n i i 11 = ∑=， （2） .) 1(21 -n 第七章练习3 一、填空题： 1.αβθα-=<<1)(P ； 2.(2.6895,2.7205)； 3.)) 9(9,)9(9(2975.02 2025.02χχs s ， 或)333.3,473.0(2 2s s ； 4. 784.0296 .10 =?=n L σ，4656.61≥n . 二、解答题： 1. (1)),(2 2 n z X n z X σ σ α α +-代入数据得：（5.608，6.392）； （2）)) 1(,) 1((2 2 n S n t X n S n t X -+--αα，代入数据得：(5.558，6.442）. 2. 解: )) 1()1(,)1()1((2 2 12 22 2-----n s n n s n ααχχ,代入数据得：(7.4，21.1). 3. 22.12=x ，01.2=s ，由)) 1(,) 1((2 2 n S n t X n S n t X -+--αα，代入数据得： （11.696,12.744）. 第七章练习4（小结） 一、选择题： 1.C 2.D 3.A 4.D 5.B 6.A 二、填空题： 1. 4 2. X X X n X n i i ---∑=21 2 2 1; X X X X n n i i ---∑=212 1 3.（1082.1，1435.9） 三、解答题： 1. 由)1,0(~N n X σμ -得：ασ μα-=??? ? ? ??<-1||2z n X P . 由1.0||≤-μX 得： n z n X σ σ μα1 .0| |2 ≤ <-04.96≥?n ， 故样本容量至少为97. 2.（1）矩法：∑==?≈==n i i X n A X E 1 2 22 2 221?2)(θ θμ （2）R x x e e x f L n x n n i x n i i i i ∈∑===-=-=∏∏,,)21(21),()(1| |1 1| |1 θθθθ θθ | |1 2ln )(ln 1∑=- -=n i i x n L θ θθ ?=+-=∑=0||1 )(ln 1 2 n i i x n d L d θθθθ ||1?1∑==n i i x n θ||1?1∑==?n i i X n θ 3. 解答： μ==)()(21X E X E ,2 2 21 2 1)(,)(n X D n X D σσ= = μμ=+=+=)()()()(21b a X bE X aE Y E ，Y 是μ的无偏估计 2 2 2 1 2 2 2212) 1()()()(n a n a X D b X D a Y D σσ-+=+= 212211221,0]1)1(212[)(n n n b n n n a n a n a da Y dD +=+=?=--=σ，易证,0) (2 2>da Y D d 2 12 211,n n n b n n n a +=+= 是极小值点。 第八章练习1 一、填空题 1. (1))1,0(~0 N n X σμ- (2) )1(~0--n t n S X μ 2. )1(~)1(22 02 --n s n χσ 3. 由 96.1100 4 30 025.0=<-z x ，解得216.29(∈x ，)784.30 4. )1()1()1()1(2 122 0222--<<---n s n n s n ααχσχ 5. () 1/0--n n Q X μ 二、解答题 1. 检验假设：50.32:,50.32:10≠=μμH H . 此检验拒绝域为025.06 1 .150 .32z x z ≥-= ． 查表得96.1025.0=z ，计算得13.31=x ， 96.105.36 1 .150 .3213.31>≈-， z 落在拒绝域中，故拒绝0H ，即不能认为这批砖的平均抗断强度为2 50.32cm kg ． 2. 检验假设：25.3:,25.3:10≠=μμH H 此检验拒绝域为)4(5 25 .3025.0t s x t ≥-= ， 查表得7764.2)4(025.0=t ，计算得252.3=x ，013.0=s ， 7764.2344.05 013 .025 .3252.3<≈-，故接受0H ，认为这批矿沙的镍含量为3.25%． 3. 检验假设：2 21220108.0:,108.0:≠=σσH H 此检验拒绝域为 )1()1(22 120 2 -≤-- n s n α χ σ 或20 2 2 2 )1()1(σ χαs n n -≤ -． 查表得484.0)4(2975.0=χ，1.11)4(2025.0=χ，计算得2 2228.0=s ， 1.11827.17108 .0228.042 22 >≈?=χ，故拒绝0H ，不能认为方差为2 108.0． 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 《 概率论与数理统计》练习题一 一、判断正误，在括号内打√或× 1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2 N 的样本，则 n i i X n X 1 1 服从)1,0(N 分布； 2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ； 3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ； 6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(, 8)( Y D X D ，则4)( Y X D ； 9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216 3 6161?X X X 是 的无偏估计量； 10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则 EX DX p 1: 3． ,, , 0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数； 4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为 则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为 同济大学 09 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷 考试形式：（ 闭卷 ） 一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P = 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 1.()A B B A =?- （ ） 2.C B A C B A =? （ ） 3.()φ=B A AB （ ） 4.若C B C A ?=?，则B A = （ ） 5.若B A ?，则AB A = （ ） 6.若A C AB ?=,φ,则φ=BC （ ） 7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ） 二、填空题 1. 一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。 2.化简事件()()() =???B A B A B A 。 3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件： （1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ； （2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ； （3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ； （4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ； （5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ； （6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ； （7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ； （8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ； （9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ； （10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ； 三、选择题 1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。 A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ） A 、A ABC =； B 、A C B A =??； C 、A BC ? ； D 、C B A ?? 第二章 1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。 X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636 P X == =′； X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618 P X ===′； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612 P X ===′； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则 {}41 5669P X == =′； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则 {}5566636P X == =′； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则 {}617666 P X == =′； 类似地，可以算得 {}5586636P X == =′，{}419669P X ===′，{}31 106612P X ===′， {}21116618P X ===′，{}11 126636 P X ===′。 因此，X 的分布律为 [()](),,,{}[()](),,,|| ,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667 234111236 i i i i P X i i i i i i ì------??===??==í ?-----?==????--= =L L L 2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。由题可知， 一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为 1 23421777 k X P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为 {}.007P X == ，{}...10307021P X ==?，{}....20303070063P X ==创=， {} (303030307) 00189P X ==创?，{} (403030303) 00081P X ==创?。 即X 的分布律为 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 第一章《随机事件及概率》练习题 一、单项选择题 1、设事件 A 与 B 互不相容，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则一定有（ ） （A ） P(A) 1 P(B) ； （B ）P(A|B) P(A) ； （C ） P(A| B) 1； （D ） P(A|B) 1。 2、设事件 A 与 B 相互独立，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则（ ）一定成立 （A ） P(A|B) 1 P(A)； （ B ） （C ） P( A) 1 P(B) ； （ D ） P(A|B) 0； P(A|B) P(B)。 3、设事件 A 与 B 满足 P (A )＞ 0， P ( B )＞ 0，下面条件（ ）成立时，事件 A 与 B 一定独立 （ A ） （ C ） P( AB) P( A)P(B) ； （B ） P( A B) P( A)P(B) ； P(A|B) P(B) ； （D ） P(A|B) P(A)。 4、设事件 A 和 B 有关系 B A ，则下列等式中正确的是（ ） （ A ） （ C ） P( AB) P( A) ； （B ） P(B|A) P(B)； （D ） P(A B) P(A)； P(B A) P(B) P( A) 。 5、设 A 与 B 是两个概率不为 0 的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ） A 与 B 互不相容； （B ） A 与 B 相容； （C ） P(AB) P(A)P(B)； （D ） P(A B) P(A)。 6、设 A 、B 为两个对立事件，且 P (A ) ≠0， P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ） P( A B) P( A) P( B)； （B ） P( A B) P(A) P(B)； （C ） P( AB ) P( A) P( B) ； （D ） P(AB) P(A)P(B)。 7、对于任意两个事件 A 与 B ， P( A B) 等于（ ） （A ） P( A) P( B) （B ） P( A) P(B) P( AB) ； （C ） P( A) P( AB) ； （D ） P(A) P(B) P(AB) 。 二、填空题 1、若 A B ， A C ，P (A )=0.9， P(B C) 0.8，则 P( A BC ) =__________。 2、设 P (A )=0.3，P ( B )=0.4，P (A|B )=0.5，则 P (B|A )=_______ ， P( B | A B ) =_______。 、已知 P( A) 0.7 ， P(A B) 0.3 ，则 P(AB) 。 3 4、已知事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A B) ，且 P( A) p ，则 P( B) = 。 5、一批产品，其中 10 件正品， 2 件次品，任意抽取 2 次，每次抽 1 件，抽出后不再放回，则第 2 次抽出 习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？ <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) = 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
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