2018届高三理科数学模拟测试题（四）
(时间：120 分钟；满分：150分)
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题
1．已知集合{|||2,}A y y x x Z ==-∈，{|2}B x x =≥-，则下列结论正确的是（ ） A ．3A -∈ B ．A B = C ．A B A = D ．A B Z =
【答案】C
【解析】试题分析：||0||22{|2}x x A y y y ≥-≥-=≥-∈Z ∵
，∴，∴，，又{|2}B x x A B A =≥-= ，∴，故选C ． 【考点】集合之间的关系.
2．已知复数z 满足(13)10i z +=，则z =（ ） A ．13i -- B ．13i + C ．13i -+ D ．13i - 【答案】D
【解析】试题分析：∵复数z 满足(13i)10z +=，则10
13i 13i
z ==-+，故选D ． 【考点】复数运算.
3．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，34
9
a =
，则{}n a 的前8项和等于（ ） A ．8
6(13)--- B ．81(13)9
--
C ．83(13)--
D ．8
3(13)-+ 【答案】C
【解析】试题分析：111303n n n n a a a a +++==-∵，
∴，∴数列{}n a 是以1
3
-为公比的等比数
列．34
9
a =
∵，14a =∴，由等比数列的求和公式可得，{}n a 的前8项和883(13)S -=-，故选C ．
【考点】1.数列的递推关系；2.等比数列.
4．已知,x y 满足约束条件3023600
0x y y x x y ?
?-≤??
--≤??≥?
≥??
，则x z = ）
A ．12
B ．1
4
C ．1
D ．3
22-
【答案】D
【解析】试题分析：2
2
y
x z -
=，设2y
m x =-
，要使z 最小，则只需求m 的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域．由2
y
m x =-得22y x m =-，平移直线，由平移可知当直
线22y x m =-经过点(03)，时，直线22y x m =-的截距最大，此时m 最小，∴2
2y x z -
=的
最小值为32
2-，故选D ．
【考点】简单的线性规划.
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A
．
．
3
C ．43
D ．83
【答案】C
【解析】试题分析：由题设及图知，此几何体为一个三棱锥，其侧面为一个腰长为2的等腰直角三角形，此棱锥的体积为14
2233
??=，故选C ．
【考点】空间几何体的三视图.
6．如果执行如图所示的程序框图，输入1,3x n =-=，则输出的S 等于（ ）
A ．-3
B ．-4
C ．-5
D ．-6 【答案】B
【解析】试题分析：判断前132x n i =-==，
，，第1次判断后62131S i =-++=-=，；第2次判断后50S i ==，
； 第3次判断后41S i =-=-，
；第4次判断后10-<，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果为4-，故选B ．
【考点】程序框图.
7．将3个相同的红色玩偶和3个相同的黄色玩偶在展柜中自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个玩偶，红色玩偶的个数大于或等于黄色玩偶的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（ ） A ．
12 B ．14 C ．15 D ．110
【答案】B 【解析】试题分析：由题意6个玩偶由3个相同的红色玩偶和3个相同的黄色玩偶组成，
自左向右排成一排全部的排法有6
6
3333
20A A A =种，构成“有效排列”的有：（黄黄黄红红
红），（黄红黄红黄红），（黄黄红红黄红），（黄黄红黄红红），（黄红黄黄红红）共5种，所以出现“有效排列”的概率为
51
204
=，故选B ． 【考点】排列组合.
【思路点睛】本题考查等可能事件的概率，求解的关键是求出“有效排列”的种数，以及掌握求等可能事件的概率公式，本题中考查了新定义，此类题要对定义进行理解，依据定义进行运算；由题意知六个球由3个相同的黑球和3个相同的白球组成，自左向右
排成一排全部的排法有66
3333
20A A A =，再由列举法得出“有效排列”的排法种数，由公式
求出概率.
8．设6
2
34
5
601
2
3
45611
11111(1
)()()()()
()
()
2a a a a a a a x
x
x
x x
x x
-=++++++，则34a a +=（ ）
A ．2516-
B ．5516
C ．35
D ．-5 【答案】A
【解析】试题分析：在6
112x ??- ???的展开式中3
3361C 2a ??=?- ???
，4
4
461C 2a ??=?- ???，
3425
16
a a +=-
，故选A ． 【考点】二项式定理.
9．已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于（ ）
A ．1
B ．1
C ．2
D ．2 【答案】C
【解析】试题分析：1b >，因为直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，所以2(1)b +-
(1)0a b -=，2122
122111
b a b b b b -=+=-++---≥，当1b =时，等号成立，
故选C ．
【考点】直线之间的位置关系.
10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意的x R ∈，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[1,0]x ∈-时，1
()(
)12
x
f x =-，若在区间(1,3]-内关于x 的方程
()l o g (2)a f x x
-+=恰有3个不同的实数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．(1,3)
B ．(2,4)
C ．(3,5)
D ．(4,6)
【答案】C
【解析】试题分析：因为(2)()(1)f x f x f +=-，且()f x 是定义域为R 的偶函数，令1x =-，所以(12)(1)(1)f f f -+=--，又(1)(1)f f -=，即(1)0f =，则有(2)()f x f x +=，所以()f x 是周期为2的偶函数．又∵当[10]x ∈-，
时，1()12x
f x ??
=- ???，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(13]-，上的图象如图1所示．若在区间(13]-，
内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解，则log 31log 51a a <>，，解得35a <<，故选C ．
【考点】函数的零点.
11．已知圆2
2
:40P x y y +-=及抛物线2
:8
x S y =，过圆心P 作直线l ，此直线与两
曲线有四个交点，自左向右顺次记为,,,A B C D . 如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l 的方程为（ ） A
．22
y x =
+ B
．22y x =-
+
或22
y x =+ C
．2y + D
．2y +
或2y =+ 【答案】B
【解析】试题分析：圆P 的方程为22(2)4x y +-=，则其直径长||4BC =，圆心为(02)P ，，∵AB BC CD ，，的长按此顺序构成一个等差数列，∴||||2||8AB CD BC +==，即||4BC =，又||||||||3||12AD AB BC CD BC =++==．设
直线l 的方程为2y kx =+，代入抛物线方程28x y =得：28160x k x --=，设1122()()
A x y D x y ，，，，有
21212
64640816k x x k x x ??=+>?
+=??=-?，
，
，
∴2||8(1)AD k +，∴28(1)12k +=，即21
2
k =
，解得k =，∴直线l
的方程为2y x =+
或2y x =
+，故选B ． 【考点】1.直线与圆的位置关系；2.直线与圆锥曲线的位置关系.
【思路点睛】本题利用待定系数设出直线的方程，根据直线和曲线的方程联列方程组，用弦长公式表示出AB CD 、的长度，可将条件“三条线段成等差”转化为线段AD BC 、的关系，得到斜率k 的关系式，解方程求出k 的值，进而求出直线方程． 12．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，'
'
()()()()f x g x f x g x >，且
()()x f x a g x =（0,a >且1a ≠）
，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -
+=-
，若数列()
{
}()
f n
g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】A
【解析】试题分析：()()()()f x g x f x g x ''>∵，∴()()()()0f x g x f x g x ''->，
∴2
()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''??-=> ???，从而可得()()x f x a g x =单调递增，从而可得1
a >，
∵
1(1)(1)5
2(1)(1)2f f a a a g g --+=+==-，∴，故
2(1
)
(2)()(1)
(2
)
()
n
f f f n a a a
g g g n +++=+
++
L L 2
222n
=+++
12(1
2)226212
n n +-==->
-，∴1264n +>，即165n n +>>，，n *∈N ，6n =∴，
故选A ．
【考点】1.导数的应用；2.等比数列.
【思路点睛】由()()()()f x g x f x g x ''>∵可得 ()
()
x f x a g x =单调递增，从而可得1a >，结合
1(1)(1)5
2(1)(1)2
f f a a a
g g --+=+==-，∴，可求a ．利用等比数列的求和公式可求2(1)(2)()(1)(2)()
n f f f n a a a g g g n +++=+++ ，据此即可求出结果.
二、填空题
13．若将圆2
2
2
x y π+=内的曲线sin 2y x =与x 轴围成的区域记为M ，则在圆内随机放一粒豆子，落入区域M 的概率为 . 【答案】
3
4
π 【解析】试题分析：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3π，正弦曲线sin 2y x =与x 轴围成的区域记为
M ，根据图形的对称性得：面积为
π
π22
014sin 2d 4cos242S x x x ??
??
==-=?? ?
??????
?
，由几何概型的计算公式可得，在圆内随机放一粒豆子，落入区域M 的概率3
4πP =
． 【考点】1.定积分；2.几何概型.
14．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上
任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则以下四个值中为定值的编号是 .
①点P 到平面QEF 的距离； ②三棱锥P QEF -的体积； ③直线PQ 与平面PEF 所成的角； ④二面角P EF Q --的大小. 【答案】①②④
【解析】试题分析：①中，∵平面QEF 也就是平面11A B CD ，既然P 和平面QEF 都是固定的，∴P 到平面11A B CD 的距离是定值，∴点P 到平面QEF 的距离为定值；
②中，∵△QEF 的面积是定值（∵EF 定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据①的结论P 到平面QEF 的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定，∴三棱锥P QEF -的体积是定值；
③中，∵Q 是动点，E ，F 也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ 与平面PEF 所成的角不是定值；
④中，由图，平面QEF 也就是平面11A B CD ，又∵平面PEF 即为平面PCD ，∴二面角P EF Q --的大小为定值．故答案为①②④．
【考点】1.空间几何体中点线面之间的位置关系；2.二面角. 15．已知函数6
(3)3,7
(),7
x a x x f x a x ---≤?=?
>?，数列{}n a 满足：()(*)n a f n n N =∈，且对于任意的正整数,m n ，都有0m n
a a m n
->-，则实数a 的取值范围是 .
【答案】(23)，
【解析】试题分析：∵数列{}n a 是递增数列，∴13a <<且(7)(8)f f <，∴27(3)3a a --<，解得9a <-或2a >，故实数a 的取值范围是(23)，． 【考点】1.分段函数；2.数列的性质.
【思路点睛】由函数6
(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---≤?=?>?
，数列{}n a 满足()(*)n a f n n N =∈，
且对任意的两个正整数,m n 都有
0m n
a a m n ->-，我们得函数6
(3)3,7(),7
x a x x f x a x ---≤?=?>?为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指
数函数单调性，我们易得13a <<且(7)(8)f f <，由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论．
16．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =上的点与直线25y x =-的距离的最小值是 .
【解析】试题分析：∵
2()2(2)88
f x f x x x =--+-，∴2(2)2()(2)8(2)8
f x f x x x -=--+--，
∴2(2)2()441688
f x f x x x x -=-+-+--．
将(2)f x -代入
(
)
2f x f x =-28x x -+8-，得2
()4()
3f x f x x =-，∴2()()2f x x f x x '==，
∴，∴()y f x =在切点处的切线斜率为2k y '==，∴切点为(11)，
，∴曲线()y f x =上的点与直线25y x =-
的距离的最小值为
． 【考点】导数的几何意义.
【思路点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数解析式的求解等有关基础知识；将x 用2x -代入，建立()f x 与()2f x -的方程组，解出()f x 的解析式，然后求出切点坐标，以及切线的斜率，即可求出切线方程．
三、解答题 17．设函数21()sin 2cos ()24
f x x x π=
-+. （1）若(0,)x π∈，求()f x 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02
B f =，1b =，求ABC
?面积的最大值.
【答案】（1）单调递增区间是π04?? ???，和3ππ4??
????
，；（2
【解析】试题分析：（1）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（2）首先由()02
B f = 结合（1）的结果，确定角cos B 的值，然后结合余弦定理求出三角形AB
C ?面积的最大值.
试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知，π1cos 212()sin 222
x f x x ?
?++ ?
??=-
11sin 2sin 222x
x -=-
1sin 22
x =-，
由ππ
2π22π22k x k k -+∈Z ≤≤，，
可解得：ππ
ππ44
k x k k -+∈Z ≤≤，．
又因为(0π)x ∈，，
所以()f x 的单调递增区间是π04?? ???，和3ππ4??
????，．
（2）由1sin 022B f B ??
=-= ???
，可得1sin 2B =，
由题意知B 为锐角，所以cos B =
， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
可得：2212a c ac +=+≥，即2ac +≤a c =时等号成立，
因此1sin 2ABC S ac B =
△，
所以ABC △． 【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的单调性；3.余弦定理.
18．为了了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如下的列联表. 患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计
白领 5
蓝领 10
合计 50 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为
3
5
. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质有关？说明你的理由；
（2）已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3为工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
下面的临界值表仅供参考：
20()P K k ≥
0.15 0．10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072 2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）我们有99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的；（2）0.9
【解析】试题分析：(Ⅰ)根据列联表,利用公式求出2
K ,与临界值比较,即可得到结论; (Ⅱ)根据题意, ξ服从超几何分布,求出ξ的分布列、数学期望与方差即可. 试题解析：解：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为3
5
，
可得患颈椎疾病的为30人，
故可得列联表如下：因为2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
即22
50(2015510)25
252530203
K ?-?==???，
所以28.333K ≈，
又2(7.879)0.0050.5P K ==%≥，
所以，我们有99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的． （Ⅱ）现在从患颈椎疾病的10名蓝领中，选出3名进行工龄的调查，
记选出工龄在15年以上的人数为ξ，则0123ξ=，，，． 故
37310C 7
(0)C 24
P ξ===
，
2173
3
10C C 21(1)C 40
P ξ?===，
12
73
3
10C C 7(2)C 40
P ξ?==
=，
33310C 1
(3)C 120
P ξ===，
则ξ的分布列为：
则72171()01230.9244040120
E ξ=?
+?+?+?=． 【考点】1.独立性检验；2.分布列.
19．如图，在几何体SABCD 中，AB ⊥平面SBC ，CD ⊥平面SBC ，SB SC ⊥，
22AB SB SC CD ====，G 是线段BS 的中点.
（1）求GD与平面SCD所成角的正弦值；
（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1（2）2 3
【解析】试题分析：（1）由于CD⊥平面SBC，得CD⊥SB，又SB⊥SC，由线面垂直的判定定理，可得SB⊥平面SDC，进而可得GDS
∠为所求线面角，然后再利用解三角形即可求出结果；（2）在平面SBC内，过点B作BQ∥CS，因为BS⊥SC，所以BQ⊥BS，又AB⊥平面SBC，得AB⊥BS，AB⊥BQ，以B为原点，分别以射线BQ，BS，BA为x轴，y轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后再利用空间向量法即可求出结果.
试题解析：解：（1）∵CD⊥平面SBC，∴CD⊥SB，
∵SB⊥SC，且SC与CD交于C点，
∴SB⊥平面SDC，
∵G为SB上一点，
∴GDS
∠为所求线面角．
∵DS1
GS=，DG=
∴sin GDS
∠=
GD
∴与平面SCD
（2）如图2，在平面SBC内，过点B作BQ∥CS，
∵BS⊥SC，∴BQ⊥BS，
又∵AB⊥平面SBC，∴AB⊥BS，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以射线BQ，BS，BA为x轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则(002)A ，
，，(000)B ，，，(020)S ，，，(221)D ，，． ∵AB⊥平面SBC ，∴(002)BA =
，，为平面SBC 的法向量，
设()n x y z =
，，为平面SAD 的法向量． 又(022)AS =- ，，，(221)AD =- ，，， 可得(122)n =-
，，， ∴2
cos 3
||||n BA n BA n BA ??==
，， ∴平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值为
23
． 【考点】1.线面角的求法；2.二面角；3.空间向量在立体几何中的应用.
【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为
θ)0(πθ≤≤，设12,n n
分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n
的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中cos 2121=
ω.
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于,A B 两点，
①若线段AB 的中点的横坐标为1
2-
，求斜率k 的值； ②已知点7
(,0)3
M -，求证：MA MB ? 为定值.
【答案】（1）22153
x y +=；
（2
）①k =4
9 【解析】试题分析：（1）解：因为椭圆C 满足222a b c =+
a =，根据椭圆短轴的
，可得122b c ??=，据此即可求出椭圆C 的标准方程；（2）①设1122()()A x y B x y ，，，，将(1)y k x =+代入22
155
3
x y +=中，
消元得2222(13)6350k x k x k +++-=，然后再利用韦达定理和中点坐标公式即可求出结果；②由①知2122631k x x k +=-+，212235
31k x x k -=+，所以1212
7733MA MB x x y y ?????=+?++ ? ??
??? 代入韦达定理化简即可证明结果.
试题解析：（1）解：因为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>满足222a b c =+
a =，
，
可得122b c ??=．
从而可解得225
53
a b ==
，， 所以椭圆C 的标准方程为22
155
3
x y +=． （2）①解：设1122()()A x y B x y ，，，， 将(1)y k x =+代入22
155
3
x y +=中， 消元得2222(13)6350k x k x k +++-=，
4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ?=-+-=+>，2
122631
k x x k +=-+，
因为AB 中点的横坐标为1
2-，所以2231312
k k -=-+
，解得k =
②证明：由①知2122631
k x x k +=-+，212235
31k x x k -=+，
所以1122121277773333MA MB x y x y x x y y ?????
????=+?+=+?++ ? ? ? ??????
??? ，，
2121277(1)(1)33x x k x x ?
???=+?++++ ? ??
???
2221212749(1)()39k x x k x x k ??
=++++++ ???
222
2222357649(1)313319
k k k k k k k ??-??=+++-+
+ ? ?++???? 422
231654943199
k k k k ---=++=
+． 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.
21．设函数()f x 的导函数为'()f x ，且'2
1()(1)(0)02
x
ef x f e ef x ex -+-
=. （1）求()f x 的解析式； （2）若方程2
1()02
f x x m --=在区间[1,2]-上恰有两个不同的实根，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）21()2x f x e x x =-+
；
（2）111e ?
?+ ??
?， 【解析】试题分析：（1）因为2(1)1()(0)2x f f x e f x x e '=
-+，所以(1)()(0)x
f f x e f x e
''=-+，
可得(1)(1)(0)1f f f ''=-+，即可求得(0)1f =，可得2(1)1
()2
x f f x e x x e '=-+，又
(1)(0)00f f e '=-+，得(1)f e '=，进而求出函数解析式；
（2）由21
()02
f x x m --=，化为e [1
2]x m x x =-∈-，，． 令()[12]x h x e x x =-∈-，，，由导数在函数单调性中的应用可得02x <≤，此时函数()
h x 单调递增；
令()0h x '<，解得10x -<≤，此时函数()h x 单调递减，进而求得函数()h x 取得最小值，(0)1h =．然后再利用数形结合即可求出结果. 试题解析：解：（1）∵2(1)1
()(0)2
x f f x e f x x e '=-+， ∴(1)()(0)x
f f x e f x e
''=
-+， ∴(1)(1)(0)1f f f ''=-+， ∴(0)1f =，
∴2(1)1
()2x f f x e x x e '=
-+， ∴(1)
(0)00f f e
'=-+，
∴(1)f e '=．
可得：2
1()2
x f x e x x =-+
． （2）由21
()02
f x x m --=，化为e [12]x m x x =-∈-，，．
令()[12]x h x e x x =-∈-，，， ∴()1x h x e '=-，
令()0h x '>，解得02x <≤，此时函数()h x 单调递增； 令()0h x '<，解得10x -<≤，此时函数()h x 单调递减． ∴当0x =时，函数()h x 取得最小值，(0)1h =． 而21
(1)1(2)2h h e e -=+=-，．
21
12e e
+<- ．
又∵方程21
()02f x x m --=在区间[12]-，上恰有两个不同的实根，
∴1
11m e
<≤+，
∴实数m 的取值范围是111e ?
?+ ??
?，
． 【考点】1.函数的求导公式；2.导数在函数单调性中的应用. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ?
?=+??
=?
，（?为参数），以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l
的极坐标方程是2sin()3
π
ρθ+
=:3
OM π
θ=
与圆C 的交点为
,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
【答案】（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.
【解析】试题分析：（1）由圆C 的参数方程1cos (sin x y ?
??
=+??
=?为参数）
，化为普通方程为()
2
211x y -+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==，即得圆C 的极坐标方程；（2）求线段
PQ 的长，由于,,O P Q 三点共线，故PQ OP OQ =-，可设P ()11,ρθ，Q ()22,ρθ，
则12PQ ρρ=-，关键是求出12,ρρ的值，由11
12cos 3ρθπθ=??
?=??
可求得1ρ的值，由
2222sin()3
3πρθπθ?
+=???
?=
??
可求得2ρ的值，从而可解. 试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2
211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以
圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；
（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=???=??，解得111
3ρπθ=??
?
=??
，设()22,ρθ为点Q 的极坐标
，2222sin()3
3πρθπθ?
+=????=
??，解得
223
3ρπθ=??
?=??
，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2.
【考点】【考点】参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用.
23．选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c R +∈，求证：
（1）2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥； （2）
3b c a c a b a b c
a b c
+-+-+-++≥. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】试题分析：（
1
）先因式分解：
()()()()2
111a b
a b a b a b a c b c c a c
b c
+++=++
+++=++，
．再利用基本不等式
证明：11a b a c b c +≥+≥+≥+≥四个同向正数不等式相乘即得结论（2）原不等式等价于
6b c c a a b
a a
b b
c c
+++++≥，利用基本不等式证明：2,2,2b a c a c b
a b a c b c
+≥+≥+≥，三个同向不等式相加即得结论 试题解析：证明：（Ⅰ）21(1)(1)()()ab a b a b ab ac bc c a c b c +++=+++++=++，
． 000a b c >>>∵，，，
10a ∴+≥
，100b a c +≥>+≥，
，0b c +≥，
(1)(1)0a b ∴++≥>，当且仅当1a b ==时取“=”，
()()a c b c ++≥a b c ==时取“=”，
(1)(1)()()16a b a c b c abc ++++∴≥，当且仅当1a b c ===时取“=”，
因此，当a b c +∈R ，，，有
2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥．
（Ⅱ）3b c a a b c R a b c +∈∴++≥ ，
，，，当且仅当a b c ==时取“=”， 36c b a b c a c b a
a c
b a b
c a c b
∴++≥∴+++++≥，， 因此，1113b c c a a b a a b b c c ??????
+-++-++-≥ ? ? ???????
，
即
3b c a c a b a b c
a b c
+-+-+-++≥． 【考点】基本不等式.
【方法点睛】基本不等式求最值的常见的方法和技巧：①利用基本不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造；②利用基本不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造；③用基本不等式求最值等号不成立。求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法.