二元一次方程及方程组解 法 Last revision on 21 December 2020
二元一次方程和二元一次组的解法 一、知识结构图 二、具体知识点 1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如 513,11=+=+y x y x 等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。 2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。 3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如： 等都是二元一次方程组。 4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。 5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解 检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。 x=a y=b 2x-y=1 x+y=2 3x-y=5 x=2 x+2y=3 3x-y=1 x=2
第四章联立方程计量经济学模型 一、填空题： 1.在联立方程结构模型中一个随机变量可能在结构方程中是因变量，而在另一个结构方程中又是解释变量。于是造成__________，违背了OLS的基本假定。 2.在联立方程模型中，__________既可作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。 3.在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于__________，每个__________变量都分别由一个方程来描述。 4.在联立方程结构模型中，模型中的结构方程可以分类为__________和__________，在对模型结构式进行识别时，只需要识别前一种方程。 5.如果某一个随机方程具有__________组参数估计量，称其为恰好识别；如果某一个随机方程具有__________组参数估计量，称其为过渡识别。 6.联立方程计量经济学模型的估计方法有__________估计方法与__________估计方法两大类。 7.单方程估计方法按其原理又分为两类____________________和__________。 8.二阶段最小二乘法是__________和__________的结合。 9.联立方程计量模型在完成估计后，还需要进行检验，包括__________检验和__________检验。 10.联立方程计量模型的系统检验主要有__________检验、__________检验、__________检验和__________检验。 11.在联立方程计量经济学模型的单方程估计方法中，参数估计量
1001000000)(())()((Y X X X Y X X B ''=??? ?????Γ*-*ΛΛ为__________估计方法的结果； 110000))((Y X X Y X B ''=??? ?????Γ-ΛΛ为__________估计方法的结果； 1001000000)(())()((Y X Y X Y X Y B ''=????????ΓΛ-ΛΛΛ__________估计方法的结果。 12.将下面的二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计结果等价的证 明补齐。 证：显然只需证明 )())()((0010000''Λ-ΛX Y X Y X Y =X X Y X ''-100))(( 两端同时左乘))((00X Y X '，则有 ______________________________X '= 两端同时右乘)(00X Y ，则有 __________=__________ 二、单选题： 1.（）是具有一定概率分布的随机变量，它的数值由模型本身决定。 A.外生变量 B.内生变量 C.先决变量 D.滞后变量 2.在联立计量模型中，被认为是具有一定概率分布的随机变量是（）。 A.内生变量 B.外生变量 C.虚拟变量 D.先决变量 3.先决变量是（）的合称。 A.外生变量和滞后内生变量 B.内生变量和外生变量
? 陈强,《高级计量经济学及Stata 应用》课件，第二版，2014 年，高等教育出版社。 第 24 章联立方程模型 24.1 联立方程模型的结构式与简化式 经济理论常常推导出一组相互联系的方程，其中一个方程的解释变量是另一方程的被解释变量，这就是联立方程组。 例农产品市场均衡模型，由需求函数、供给函数及市场均衡条件组成，参见第10 章。 例简单的宏观经济模型，参见第10 章。 1
2 ? 即使我们只关心单个方程，但如果该方程包含内生解释变量， 则完整的模型仍然是联立方程组。 由M 个方程构成的联立方程模型的“结构式”(structural form)： ? γ11 y t 1 + γ 21 y t 2 + + γ M 1 y tM + β11x t 1 + + βK 1x tK = εt 1 ? γ y + γ y + + γ y + β x + + β x = ε ? 12 t 1 22 t 2 M 2 tM 12 t 1 K 2 tK t 2 ? ??γ1M y t 1 + γ 2M y t 2 + + γ MM y tM + β1M x t 1 + + βKM x tK = εtM {y ti }为内生变量，{x tj }为外生变量，第一个下标表示第t 个观测值 (t = 1, , T )，第二个下标表示第i 个内生变量(i = 1, , M )，或第 j 个 外生变量( j = 1, , K )。
内生变量的系数为{γik }，其第一个下标表示它是第i 个内生变量的系数，而第二个下标表示它在第k 个方程中(k =1, , M )。 外生变量的系数为{βjk }，其第一个下标表示它是第j 个外生变量的系数，而第二个下标表示它在第k 个方程中。 结构方程的扰动项为{εtk }，其第一个下标表示第t个观测值(t =1, , T )，而第二个下标表示它在第k 个方程中。 “完整的方程系统”(complete system of equations)要求，内生变量个数等于方程个数M 。 将上述方程组写成更简洁的“横排”矩阵形式 3
第六章 联立方程计量经济学模型案例 1、下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，已经判断消费方程式恰好识别的，投资方程是过度识别的。对模型进行估计。样本观测值见表6.1 01211012t t t t t t t t t t t C Y C u I Y u Y I C G αααββ-=+++?? =++??=++? 表6.1 中国宏观经济数据 单位：亿元 （1） 用狭义的工具变量法估计消费方程 选取方程中未包含的先决变量G 作为内生解释变量Y 的工具变量，过程如下：
结果如下： 所以，得到结构参数的工具变量法估计量为： 012???582.27610.2748560.432124α αα===，， （2） 用间接最小二乘法估计消费方程 消费方程中包含的内生变量的简化式方程为： 1011112120211222t t t t t t t t C C G Y C G πππεπππε--=+++?? =+++? 参数关系体系为：
11121210012012122000 παπαπααππαπ--=?? --=??-=? 用普通最小二乘法估计，结果如下： 所以参数估计量为： 101112???1135.937,0.619782, 1.239898π ππ=== 202122???2014.368,0.682750, 4.511084π ππ=== 所以，得到间接最小二乘估计值为： 12122??0.274856?π α π ==
211121????0.432124α παπ=-= 010120????582.2758α παπ=-= （3）用两阶段最小二乘法估计消费方程 第一阶段使用普通最小二乘法估计内生解释变量的简化方程，得到 1?2014.3680.68275 4.511084t t t Y C G -=++ 用Y 的预测值替换消费方程中的Y ，直接用OLS 估计消费方程，过程如下：
*基础知识 "2x - y = 5 1、方程组＜ y"'的解是() x + y =1 卩x-6y =1, \x = -3 y +5; !3x+5y =5, I 3x —4y =23; {3m = 5n, gm —3 n =1; 消元---- 二元一次方程组的解法 x=0 y=1 C. a ：2 D. [y =1 "x = 2 — 2、下列二元一次方程组以 x = 0, y=7 为解的是( ) A. fx"7, X +2y =14. B. j x + y = -7, X - y = 7. C p x + 2y=14, .：x-3y = —21. 3、将方程5x-2y+12=0写成用含 D. [5x + y = 7, i 3x -2y =14. 的代数式表示y 的形式 「2x-7y =8, (1) 4、 用代入消元法解方程组I y '，可以由 得 [y -2x = 4.⑵ —— ，把(3)代入 ___________ 中，得一元一次方程 _____________________ ，解得 求得的值代入(3)中，求得 ___________ ，从而得到原方程组的解为 __________ 5、 用代入法解下列方程组： (3) ，再把 (1) |x=2y, I x + y =3; y = 1-x, i3x + 2y =5; |x-4y =-1, I 2x + y =16;
(3)， *能力提升 二、加减消元法 *基础知识 l x - y =3(1) 2、方程组Q y 八丿 若用加减消元法解，可将方程(1)变形为 3 4 i x +y=2； 12 3 ； (8) 『X y +1 1 gw 1, [3x + 2y =0. 」-7、”m, 3m -2n 6、已知 7x y 和一 3x 2n_2 y 是同类项，求m,n 的值. 7、如果(2x *探索研究 8、已知方程组 [ax + by =2 jCx-7y =8 中 y - 2| = 0，求 10x — 5y + 1 的值. I x = 3 I x = —2 '的解为I "'而小明粗心地把C 看错了，解得I "'请 2. l y = 2. 你求出正确的 a,b,c 的值. 1、方程组戸+4厂5,中， 3x-7y =6 x 的系数的特点是 「2x + 5y = 1 ，方程组? y '中y 的系 i3x -5y = 4 数特点是 ，这两个方程组用 法解较简便。
第10章联立方程模型 一、单选 1、如果联立方程中某个结构方程包含了所有的变量，则这个方程为（） A、恰好识别 B、过度识别 C、不可识别 D、可以识别 2、下面关于简化式模型的概念，不正确的是（） A、简化式方程的解释变量都是前定变量 B、简化式参数反映解释变量对被解释的变量的总影响 C、简化式参数是结构式参数的线性函数 D、简化式模型的经济含义不明确 3、对联立方程模型进行参数估计的方法可以分两类，即：( ) A、间接最小二乘法和系统估计法 B、单方程估计法和系统估计法 C、单方程估计法和二阶段最小二乘法 D、工具变量法和间接最小二乘法 4、在结构式模型中，其解释变量( ) A、都是前定变量 B、都是内生变量 C、可以内生变量也可以是前定变量 D、都是外生变量 5、如果某个结构式方程是过度识别的，则估计该方程参数的方法可用（） A、二阶段最小二乘法 B、间接最小二乘法 C、广义差分法 D、加权最小二乘法 6、当模型中第i个方程是不可识别的，则该模型是( ) A、可识别的 B、不可识别的 C、过度识别 D、恰好识别 7、结构式模型中的每一个方程都称为结构式方程，在结构方程中，解释变量可以是前定变量，也可以是( ) A、外生变量 B、滞后变量 C、内生变量 D、外生变量和内生变量 8. 在完备的结构式模型 A、Y t B.Y t – 1 C.I t D.G t 9. 在完备的结构式模型 A.方程1 B.方程2 C.方程3 D.方程1和2 10.联立方程模型中不属于随机方程的是（） A.行为方程 B.技术方程 C.制度方程 D.恒等式 11.结构式方程中的系数称为（） A.短期影响乘数 B.长期影响乘数 C.结构式参数 D.简化式参数 12.简化式参数反映对应的解释变量对被解释变量的 A.直接影响 B.间接影响 C.前两者之和 D.前两者之差 13.对于恰好识别方程，在简化式方程满足线性模型的基本假定的条件下，间接最小二乘估 计量具备（） A.精确性 B.无偏性 C.真实性 D.一致性 二、多选 1、当结构方程为恰好识别时，可选择的估计方法是（） A、最小二乘法 B、广义差分法 C、间接最小二乘法 D、二阶段最小二乘法 E、有限信息极大似然估计法 2、对联立方程模型参数的单方程估计法包括( ) A、工具变量法 B、间接最小二乘法 C、完全信息极大似然估计法 D、二阶段最小二乘法 E、三阶段最小二乘法
练 习 六 （虚拟变量与联立方程模型综合练习） 一、单项选择题（每题1分，共18分） 1. 虚拟变量（ A ）。 A. 主要来代表质的因素，但在有些情况下可以用来表示数量因素 B. 只能代表质的因素 C. 只能代表数量因素 D. 只能代表季节因素 2. 某商品需求函数为i i i u X Y ++=10ββ，其中Y 为需求量，X 为价格。为了考虑“地区”（农村、城市）和“季节”（春、夏、秋、冬）两个因素的影响，拟引入虚拟变量，则应当引入虚拟变量的个数为（ C ）。 A. 2 B. 4 C. 5 D.6 3. 根据样本资料建立某消费函数如下：i i i X D C 45.035.5550.100?++=，其中C 为消费，X 为收入，虚拟变量???--=农村家庭 城镇家庭01D ，对所有参数均检验显著，则城镇家庭的消费函数 为（ A ）。 A. i i X C 45.085.155?+= B. i i X C 45.050.100?+= C. i i X C 35.5550.100?+= D. i i X C 35.5595.100?+= 4. 设消费函数为i i i i i u X D X Y +++=210βββ，其中虚拟变量?? ?--=农村家庭 城镇家庭01D ，当统 计检验表面下列哪项成立时，表示城镇家庭与农村家庭有一样的消费行为（ A/C ）。 A. 0021==ββ， B. 0021≠=ββ， C. 0021=≠ββ， D. 0021≠≠ββ， 5. 假定月收入水平在1000元之内时，居民边际消费倾向维持在某一水平，当月收入水平达到或超过1000元时，边际消费倾向将明显下降，则描述消费C 依收入I 变动的线性关系宜采用（ C ）。 A. ?? ?≥--=---+++=1000 010001,210I I D u I D I C i i i i i ＜ βββ B. ?? ?≥--=---+++=1000 010001,210I I D u D I C i i i i ＜ βββ C. ? ??≥--==---+-++=1000010001,1000 ,)* * 210I I D I u I I D I C i i i i i ＜ （βββ D. 1000,* 210=---+++=I u I I C i i i i βββ 6. 具有一定概率分析的随机变量，其数值由模型本身决定的变量是（ B ）。 A. 外生变量 B. 内生变量 C. 先决变量 D. 滞后变量
方程组解法综合 教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识精讲 知识点说明： 一、方程的历史 同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。 方程的英语是equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。 二、学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。 三、解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。 消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法： ⒈取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①； ⒉将①代入另一个方程，得一元一次方程； ⒊解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ⒋将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 加减消元法： ⒈变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； ⒉将两条方程相加或相减消元； ⒊解一元一次方程； ⒋代入法求另一未知数． 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．
第十章 联立方程组模型 第一节 联立方程组模型概述 一、问题的提出 1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。 2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。 3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。 二、联立方程组的概念 1、联立方程组模型的定义。 由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。 联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。 2、联立方程组模型的例子。 （1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。 ) 3()2(0 )1(012101110s i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联
立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。 （2）一个凯恩斯宏观经济模型。 011012(4)(5)(6) t t t t t t t t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。 三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性） 1、内生解释变量与随机误差项的相关性。 2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。 例如，设凯恩斯收入决定模型为 [][]01) (11)1() 0)(())(())())(((),cov(1)(11) 1(11)(111)1(1 01 2 21 11 1 1011101 1100110110≠-=-=-==-=--=-= -∴-+-=-+-+-=-+ -+-= ∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。 对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）
2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略t-下标） t t t t t u A S N P ++++=3210αααα t t t t v M P N +++=210βββ （1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。 （2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与μ相关的解释变量吗？有与υ相关的解释变量吗？ （4）如果使用OLS 方法估计α，β会发生什么情况？ （5）可以使用ILS 方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。对β回答同样的问题。 （6）逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS 方法。 解答： （1）内生变量：P 、N ；外生变量：A 、S 、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵 P N 常量 S A M ()??? ? ??-------=Γ20 1 32010 1 01βββααααβ 对第1个方程，()()200ββ-=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方程内生变量个数减1，即4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。 对第二个方程，()()32 00ααβ--=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数 减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于该方程内生变量个数减1，即4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。 该模型对应于13.3届中的模型4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的识别状况，该联立模型是过渡识别的。 （3）S,A,M 为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。而P,N 为内生的，所以他们与μ，υ都相关。具体说来，N 与P 同期相关，而P 与μ同期相关，所以N 与μ同期相关。另一方面，N 与v 同期相关，所以P 与v 同期相关。 （4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的OLS 估计量有偏且是不一致的。 （5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS ）进行估计。对第二个方程，由于是过渡识别的，因此ILS 法在这里并不适用。 （6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下： 第1阶段，让P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值t P ?；同理，让N 对常量，S,A,M 回归并保存预测值t N ?。 第2阶段，让t N 对常量、t P ?、t M 作回归求第2个方程的2SLS 估计值 6-1 1) 联立问题：经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多情况下，不是单一 方程所能描述的那种简单的单向因果关系，而是相互依存，互为因果的，这时，就必须
第七章联立方程模型和两阶段最小二乘法 建立一个OBJECT。确定内外生变量： cc=c(1)+c(2)*PP+c(3)*PP(-1)+c(4)*(WP+WG) ii=c(5)+c(6)*PP+c(7)*PP(-1)+c(8)*KK WP=c(9)+c(10)*XX+c(11)*XX(-1)+c(12)*AA INST WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C 回归结果： System: KLEINMODEL Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 07/13/11 Time: 15:29 Sample: 1921 1941 Included observations: 21 Total system (balanced) observations 63
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 16.55476 1.467979 11.27725 0.0000 C(2) 0.017302 0.131205
0.131872 0.8956 C(3) 0.216234 0.119222 1.813714 0.0756 C(4) 0.810183 0.044735 18.11069 0.0000 C(5) 20.27821 8.383249 2.418896 0.0192 C(6) 0.150222 0.192534
0.780237 0.4389 C(7) 0.615944 0.180926 3.404398 0.0013 C(8) -0.157788 0.040152 -3.929751 0.0003 C(9) 1.500297 1.275686 1.176070 0.2450 C(10) 0.438859 0.039603
第八章 联立方程的识别和估计 第一部分 学习指导 一、本章学习目的与要求 1．了解联立方程的概念，能正确区分联立方程中的外生变量、内生变量和前定变量； 2．理解联立方程模型估计时会出现什么问题，掌握联立方程模型的结构式和简化式的定义； 3．掌握联立方程模型识别的概念，能用识别的阶条件和秩条件判断模型是不可识别、恰好识别还是过度识别； 4．掌握联立方程模型的估计方法，重点掌握单方程估计方法——间接最小二乘法（ILS 法）、二阶段最小二乘法（2SLS 法），了解系统估计方法——三阶段最小二乘法（3SLS 法）。 二、本章内容提要 联立方程计量经济学模型是相对于单方程计量经济学模型而言的。它以经济系统为研究对象，以提示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征为目标，用于经济系统的预测、分析和评价，是计量经济学模型的重要组成部分。其主要内容有： 1．联立方程计量经济学模型的提出：经济研究中的联立方程计量经济学问题，计量经济学方法中的联立方程问题。 2．联立方程计量经济学模型的若干基本概念：变量，结构式模型，简化式模型，参数关系体系。 3．联立方程计量经济学模型的识别：识别的概念，结构式识别条件，简化式识别条件，实际应用中的经验方法。 假设联立方程组中共含有g 个内生变量以及k 个外生变量构成的完备联立方程组，第i 个方程含有i g 个内生变量以及i k 个外生变量，∏为联立方程组的简化型系数矩阵，()B Γ，为联立方程组的结构型系数矩阵，以第i 个方程为代表，则有关的识别条件如下： （1）识别的必要条件 1-≥-i i g k k 其中：k 表示联立方程组中外生变量的个数，g 表示联立方程组中内生变量的个数，i k 表示第i 个方程含有的外生变量个数，i g 表示第i 个方程含有的内生变量个数。该条件的直观意思为该方程所排除的外生变量个数不小于其排除的内生变量的个数，也称为阶条件。 （2）识别的充要条件 在一个g 含有个内生变量的g 个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，能从模型（其他方程）所含而该方程未含的诸变量（内生变量或前定变量）的系数矩阵中构造出至少一个(g -1)×(g -1)阶的非零行列式来。充要条件是从矩阵的秩出发而得出，因而又称为秩条件。 （3）结构方程可以识别的两种情况 （1）恰好识别：求解的结构参数值唯一，当1i i k k g -=-时，则该方程就是恰好识别； （2）过度识别：求解的结构参数值不唯一，当1i i k k g ->-时，则该方程就是过度 识别。 4．一种特殊的联立方程模型——递归系统模型：递归系统模型，递归系统模型的估计。 5．联立方程计量经济学模型的单方程估计方法：狭义的工具变量法，间接最小二乘法，二阶段最小二乘法；对于恰好识别的结构方程，三种方法是等价的。
解析几何综合题 联立方程组（设而不求六步走） ①设点1122()()A x y B x y ，，，； ②设直线方程m kx y +=（注意k 是否存在） ③联立方程组?????=++=122 22b y a x m kx y 012)1(2222222=-+++b m b kmx x b k a ④判别式0?≥或0?>（22 2 2222144()k m b ac a b a b ?=-=+-） ⑤韦达定理a c x x a b x x = -=+2121， ⑥逆向思维求解 例1、已知椭圆方程122 22=+b y a x )0(>>b a 与直线方程m kx y +=相交于1122()()A x y B x y ，，，，试求弦长AB 长度。 变式训练：设椭圆方程：C )0(12222>>=+b a b y a x ，已知右焦点坐标为)05(，，且离心率为3 5.且过点)05(，斜率为1的直线方程与椭圆交于B A 、两点，求弦长AB 的长度。 3、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2 212 x y +=有两个不同的交点P 和
Q 。 （1）求k 的取值范围； （2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为B A 、，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。 23、设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)、B (0,1)是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与直线AB 相交于点 D ，与椭圆相较于F E 、两点. (1)若 DF ED 6=,求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值. 例2、已知椭圆方程122 22=+b y a x )0(>>b a 与动直线l 只有一个交点P ，且点P 在第一象限 （1）已知直线方程斜率为k ，用k b a ，，表示点P 的坐标； （2）若过原点O 的直线1l 与动直线l 垂直，证明点P 到直线1l 的距离为a b - 1、设椭圆C ()22 2210x y a b a b +=>>：，已知右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22 （1）求椭圆方程； （2）过左焦点1F 的直线与椭圆分别交于A B 、两点，若AOB ?的面积为 324 ，求直线方程 已知，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°. （1）求椭圆C 的离心率；
第六章联立方程计量经济学模型案例 1、下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，已经判断消费方程式恰好识别的，投资方程是过度识别的。对模型进行估计。样本观测值见表6.1 选取方程中未包含的先决变量G作为内生解释变量Y的工具变量，过程如下： 结果如下： 所以，得到结构参数的工具变量法估计量为： （2）用间接最小二乘法估计消费方程 消费方程中包含的内生变量的简化式方程为： 参数关系体系为： 用普通最小二乘法估计，结果如下： 所以参数估计量为： 所以，得到间接最小二乘估计值为： （3）用两阶段最小二乘法估计消费方程 第一阶段使用普通最小二乘法估计内生解释变量的简化方程，得到 用Y的预测值替换消费方程中的Y，直接用OLS估计消费方程，过程如下： 也可以用工具变量法估计消费方程，过程如下： 结果如下： 综上所述，可知道，对于恰好识别方程，三种方法得到的结论是一样的。 （4）用两阶段最小二乘法估计投资方程，过程同上。 （5）投资方程是过度识别的方程，也可以用GMM估计，选择的工具变量为先决变量C01、G。 估计结果如下： 与2SLS结果比较，结构参数估计量变化不大。残差平方和由变为，显著减少。为什么？利用了更多的信息。 2.以表6.2所示的中国的实际数据为资料，估计下面的联立模型。 表6.2
建立联立模型，并命名为MY 在SYSTEM窗口里面定义联立方程组和使用的工具变量。 选择两阶段最小二乘法进行估计。 得到如下输出结果： 所以得到联立方程计量经济学模型的估计表达式为： 3、以Klein（克莱因）联立方程模型为例介绍两阶段最小二乘估计。首先建立工作文件，数据如表7。
第11章 联立方程组模型 一、选择题 1．结构式模型 01101212t t t t t t t t t t t C Y I Y Y Y C I G ααμβββμ-=++??=+++??=++?中的滞后内生变量为（ ）。 A ．C t B ．Y t 和G t C ．Y t －1 D ．I t 【答案】C 【解析】在联立方程模型中，C t 、Y t 和I t 是内生变量，G t 是外生变量，Y t －1是滞后内生变量，G t 和Y t －1一起构成先决变量。 2．结构式模型 11221111221223323323 3113223333Y Y X X Y Y X Y Y Y X βγγμβγμββγμ=+++??=++??=+++?中，外生变量是指（ ）。 A ．Y 1，Y 2，Y 3
B ．Y 1，X 2，X 3 C ．Y 1，Y 2，X 3 D ．X 1，X 2，X 3 【答案】D 【解析】外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。其中，X 1，X 2，X 3是外生变量，Y 1，Y 2，Y 3是内生变量，μ1，μ2，μ3随机干扰项。 二、简答题 1．什么是识别问题？为什么它很重要？ 答：联立方程中方程的识别问题，就是判断方程是否可以估计和方程所估计的是不是要研究的对象。例如，如果单纯地对销售量和价格进行回归，就无法判断所估计的是需求函数还是供给函数，这时我们就面临方程识别的问题。识别问题之所以重要，是因为如果不知道所估计的对象是什么，那么估计就没有意义了。 2．为什么说间接最小二乘法（ILS ）和二阶段最小二乘法（2SLS ）也是工具变量方法？答：采用狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法的估计量分别为： ① ()()()100000000??t IV B X X Y X X X Y -** ????''= ??? ???Γ??
第八章联立方程模型 第1节、联立方程模型的概念 1、什么是联立方程模型 联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。 但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。 联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。 例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统： 如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。可以建立如下模型： Yt=Ct+It+Gt Ct=a0+a1Yt+u1t It=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t 其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。 2、联立方程模型的特点 1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量； 2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互 为因果； 3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民 消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决 定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的
t t (β Γ)= ? ? ? t ? ? t 2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略 t-下标） P = α 0 + α1N t + α 2 S t + α 3 A t + u t N t = β 0 + β1P + β 2 M t + v t （1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。 （2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与 μ 相关的解释变量吗？有与 υ 相关的解释变量吗？ （4）如果使用 OLS 方法估计 α，β 会发生什么情况？ （5）可以使用 ILS 方法估计 α 吗？如果可以，推导出估计值。对 β 回答同样的问题。 （6）逐步解释如何在第 2 个方程中使用 2SLS 方法。 解答： （1）内生变量：P 、N ；外生变量：A 、S 、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵 P N 常量 S A M ? 1 ? - β1 - α1 1 - α 0 - β 0 - α 2 0 - α 3 0 0 ? - β 2 ? 对第 1 个方程， (β 0Γ0 )= (- β 2 )，因此， 秩(β 0Γ0 )= 1，即等于内生变量个数减 1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于 该方程内生变量个数减 1，即 4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。 对第二个方程， (β 0Γ0 )= (- α 2 - α 3 )，因此， 秩(β 0Γ0 )= 1，即等于内生变量个数 减 1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大 于该方程内生变量个数减 1，即 4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。 该模型对应于 13.3 届中的模型 4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的 识别状况，该联立模型是过渡识别的。 （3）S,A,M 为外生变量，所以他们与 μ，υ 都不相关。而 P,N 为内生的，所以他们与 μ，υ 都相关。具体说来，N 与 P 同期相关，而 P 与 μ 同期相关，所以 N 与 μ 同期相关。 另一方面，N 与 v 同期相关，所以 P 与 v 同期相关。 （4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α 与 β 的 OLS 估计量有偏且是不一致的。 （5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS ）进行估计。 对第二个方程，由于是过渡识别的，因此 ILS 法在这里并不适用。 （6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下： 第 1 阶段，让 P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值 P ；同理，让 N 对常量，S,A,M 回 归并保存预测值 N t 。 第 2 阶段，让 N t 对常量、 P 、 M t 作回归求第 2 个方程的 2SLS 估计值 6-1
Chapter4 联立方程模型 本章关注的目标Y 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量i X 从另一方面考察可能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为i X 中有Y 的成分，从而()0i E U X 不成立，产生内生性问题的第3种情形，联立性问题。 在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量，所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容有，联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM 方法是本章的特色。它把2SLS 的方法又提高了一步。 一、基本概念和模型 系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。 变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时，（1）（2）不加区分统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。 线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。 模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种： 1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。 2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式有以确定的经济内内涵，它们从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类： （1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程 （4） 定义方程 每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。 系统的描述： Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y X 表示先决变量，设有M 个先决变量：1X ……M X U 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。 例：简单的宏观消费－投资模型： 可加随机项 不可加随机项
【专题九】登峰造极,唯我独尊 ——谈直线和双曲线的位置关系之（1）联立 方程法 直线与双曲线的位置关系题型包括①判断交点个数②判断相切、相交、相离三种位置关系③求弦长及三角形面积等问题；用到的思想是数形结合思想，方法是联立方程法，具体做法如下： ① 联立方程： 直线l ：)0(≠+=m m kx y 双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）??????=-+=12222b y a x m kx y ②消去y(或x) ，得到关于x(或y)的方程 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b a) 讨论二次项系数为零和不为零两种情况 ⅰ）为零，相交，且只有一个交点 当0222=-k a b ，即a b k ±=时，直线l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C 相交于一点； ⅱ）不为零时，利用判别式△来判断 当2220 b a k -≠，即a b k ±≠时，2222(2)4()()(a m k b a k a k a ?=------ ①0?>时，直线l 与双曲线相交，有两个公共点 ②0=?时，直线l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③0?<时，直线l 与双曲线相离，无公共点 【点拨】①直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么? ?（不一定） ②直线与双曲线相交，必有两个公共点?（对吗，为什么?） ③弦长公式： ⅰ） 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=21（含x
的方程） ⅱ）2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=211()k a ?=+（含y 的方程） ④相交两点时，首先0?>，ⅰ）若120x x >直线与双曲线交与单支；ⅱ）120x x <直线与双曲线交与两支；ⅲ）若120x x +>，且120x x >直线与双曲线交于右单支；ⅳ）若120x x +<，且120x x >直线与双曲线交于左单支。 【针对训练】 1. 过（4,0）的直线与双曲线221169 x y -=①只有一个公共点，求直线的方程②相切，求切线的方程③相交，求斜率k 的取值范围。 2. 已知双曲线233x y -=，直线l 过右交点2F ，且倾斜角为045，与双 曲线交与A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长。 3. 设双曲线22 1916 x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交与点B ，则△AFB 的面积为 。 4.已知曲线C ：221x y -=及直线l: 1y kx =- (1).若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围。 （2）若l 与C 交与A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 面积为2，求实数k 的值。 5.直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）若0OA OB ?= ，求a 的值。 （2）若A 、B 在双曲线的左右两支上，求a 的取值范围。 6.(1)求直线330x y -+=与双曲线221x y -=的交点坐标， (2)求直线2x-3y=0被双曲线22132 x y -=截得的弦长。 7.已知双曲线C ：22 221x y a b -=（0,0a b >>）的两个焦点为1F （-2,0），2F (2,0),点P （3，7）在曲线上，（1）求双曲线的方程