数列的求和
高考要求
等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法
知识点归纳
1等差数列的前n 项和公式：
S n =d n n na 2)1(1-+
S n =2
)(1n a a n + S n =d n n na n 2)
1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式
2等比数列的前n 项和公式：
当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；
当q≠1时，S n =q
q a n --1)
1(1 S n =q q a a n --11
3拆项法求数列的和，如a n =2n+3n
4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5分裂项法求和，如a n =1/n(n+1)111
n n =
-+ （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）
6反序相加法求和，如a n =n
nC 100
7求数列{a n }的最大、最小项的方法：
①a n+1-a n =……???
??<=>000 如a n = -2n 2+29n-3
②
??
?
??<=>=+1
11
1 n
n a a (a n >0) 如a n =n
n n 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n 156
2+n n
题型讲解
例1 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=---- 解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S =
②当a=b 时，n n a n S )1(+=；
③当a ≠b 时，b
a b
a S n n n --=++11
例2（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求
.242n a a a +++
解：首先由31452
91010110=?=??+
=d d
a S 则12(1)32322n n
n a a n d n a =+-=-?=?-
2
2423(222)2n n
a a a n ∴+++=+++- 12(12)
3
2322612
n n n n +-=-=?---
例3（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋1
3
n 的各项的和 解：其和为：
(1＋3＋ (3)
)＋(13132+＋……＋13n )=312132
1n n +--+-=12(3n ＋1-3-n
)
例4（裂项求和法）)(,3211
4321132112111*N n n
∈+++++++++++++++
解：)1(2
211+=+?++=
k k k a k ，
])
1n (n 1321211[
2S n ++?+?+?=∴ 1
21112111
3121211[2+=
??? ??+-=??? ??+-
+?+??
?
??-+??? ?
?-=n n n n n 例5（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：
∑=+n
i i i a a 11
1
解：首先考虑=∑=+n
i i i a a 111∑=+-n
i i i
a a d 11)1
1(1
则
∑=+n
i
i i a a 111
=1
111)11(1++=-n n a a n a a d 点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和
1
1
n
n
i i ===也可用裂项求和法
例6（错位相减法）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和
解：①若a=0时，S n =0
②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=
)1n (n 2
1
-
③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），
S n =
]na a )1n (1[)
a 1(a 1
n n 2
+++-- 例7（错位相减法）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令
)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S
解：,lg n n n n a a b n a a ==?
232
3
4
1
(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a na
a +∴=++++=++++ ……①……②
①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-
[]
n n a na n a a
a S )1(1)
1(lg 2
-+--=
∴ 点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法
例8（组合化归法）求和：)12)(1(532321++++??+??=n n n S n
解：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了
21
3
2
2
1
326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n C
C
a C n n C n n n
)(6)(122
12322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S
32
4
3
2
12333323444612)
(6)(12++++-=+++-+++=n n n n C
C
C C C C C C
12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!
n n n n n n n n
S +++++∴=
-
2(3)(2)(1)(2)(1)2
1
(1)(2)2n n n n
n n n
n n n +++=
-++=++
点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将
通项(1)(243)n a n n n =++-展开为n 的多项式，再用分部求和法
例9（逆序相加法）设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：
n
n
n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解：因为n
n
n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 0
0111n
n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ n n
n n n n C a C a C a 0110+++=- 01101102()()()n
n n n n n n n
S a a C a a C a a C +-∴=++++++ 0100()()()2n
n n n n n n a a C C C a a =++++=+
110()2n n n S a a -+∴=+?
点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=n
n ，是否
存在等差数列{}n b 使得n n n n n n C b C b C b a +++= 221
1对一切自然数n 都成立
例10（递推法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：
2
1
,,-
n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S 解：由题意：2
1(),2
n n n S a S =-
1n n n a S S -=-
∴2
11111
()()()22
n n n n n n n n S S S S S S S S ---=--?
-= 11
11112(1)2211
.21
n n n n n n S S S S S n -∴
-=?=+-=-∴=
-
点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法
例11 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *
N n ∈
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
⑶设n b =
)
12(1
n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，
使得对任意*
N n ∈，均有>
n T 32
m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，
}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，
由题意得2382-=?+=d d ，
n n a n 210)1(28-=--=∴
（2）若50210≤≥-n n 则，5,n ≤时
12||||||n n S a a a =+++
21281029,2
n n
a a a n n n +-=+++=?=- 6n ≥时，
n n a a a a a a S ---+++= 76521
4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n
故229940
n n n S n n ?-=?-+? 65
≥≤n n
（3）)1
11(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n
∴n T )]111()111(
)4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)
1(2+=n n
若32m T n >
对任意*N n ∈成立，即16
1m n n >+对任意*
N n ∈成立，
)(1*N n n n ∈+
的最小值是21，,2
1
16<∴m m ∴的最大整数值是7 即存在最大整数,7=m 使对任意*
N n ∈，均有.32
m T n >
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题
小结：
1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列
2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思
想的理论基础
3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法
练习
1设S n 和T n 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有
71
427
n n S n T n +=
+，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是( ) A 4∶3 B 3∶2 C 7∶4 D 78∶71
2一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最
大时，n 等于（ ）
A 5
B 6
C 7
D 8
3若数列{}n a 中，13a =，且21n n a a += *()n N ∈，则数列的通项n a =
4设在等比数列{}n a 中，,126,128,66121==?=+-n n n S a a a a 求n 及q
5根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式
⑴==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+ ⑵==+11,1n a a 1
+n n
)(*N n a n ∈ ⑶=
=+11,1n a a 12
1
+n a )(*N n ∈ 6数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0，1的常数)，求其通项公式n a
7某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%
从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为,10
3
1=
a 经过n 年绿化总面积为.1+n a 求证
.5
42541n n a a +=
+ （2）至少需要多少年（年取整数，3010.02lg =）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ 8 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若
不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为500(1+
1
2n
)万元(n 为正整数) (Ⅰ)设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式
(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不不进行技术改造的累计纯利润？
参考答案:
1解：设这两个等差数列分别为{a n}和{b n }
故选择A
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项a n 与前2n-1项和S 2n-1的内在联系
2解：依题意知数列单调递减，公差d ＜0因为
S 3=S 11=S 3+a 4+a 5+…+a 10+a 11 所以 a 4+a 5+…+a 10+a 11=0
即 a 4+a 11=…=a 7+a 8=0，
故当n=7时，a 7＞0，a 8＜0选择C
3解：多次运用迭代，可得
211
2222221221()[()]()()3n n n n n n a a a a a -----======
4解：128,128112=∴=?-n n a a a a ，
又661=+n a a ，由以上二式得
12,64n a a ==或164,2n a a ==；由此得2,6==g n 2
1 5解：（1）n a a n n 21+=+ ，n a a n n 21=-∴+，
)
()()(123121--++-+-+=∴n n n a a a a a a a a
1
)1(1)1(2221212
+-=-?+=-?++?+?+=n n n n n
（2）1
1+=
+n n
a a n n
1
23121-????
=∴n n n a a a a a a a a =n n n 1
132211=-?
??? 又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，
11)1(11=?==-=∴-a a n na n n
.1
n
a n =
∴ （3）}2{)2(2
1212
111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a
公比为
21的等比数列，.)2
1(2,)21(1211---=∴?-=-∴n n n n a a 说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法
6解：由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，
)(11---=-∴n n n n a a r S S ，1--=∴n n n ra ra a ，,)1(1-=-∴n n ra r a
,1≠r ∴
1
1-=
-r r
a a n n ，0≠r ，}{n a ∴是公比为1-r r 的等比数列 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=
111，1
)1
(11---=
∴n n r r r a 说明：本例复习由有关n S 与n a 递推式求n a ，关键是利用n S 与n a 的关系进行转化
7（1）证明：由已知可得n a 确定后，1+n a 表示如下：
1+n a =n a %16)1(%)41(?-+-?n a
即1+n a =80%n a +16%=54n a +25
4 （2）解：由1+n a =
54n a +25
4
可得： -
+1n a 54=54（-n a 54）=（54）2（--1n a 54）=…=)5
4
()54(1-a n 故有1+n a =54)54(21+-n ，若1+n a .5
3≥则有54)54(21+-n .53
≥ 即
1)5
4
(21-≥n 两边同时取对数可得)12lg 3)(1()5lg 2lg 2)(1(2lg --=--≥-n n
故412
lg 312
lg >+-≥
n ，故使得上式成立的最小*N n ∈为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%
8 (Ⅰ)依题意，
A n =(500-20)+(500-40)+……+(500-20n)=490n-10n 2
B n =500??
??????? ??
++??? ??++??? ??+
n 2112112112 -60=500n-n 2500-100 (Ⅱ) B n - A n =(500n-
n 2500-100)-(490n-10n 2)=10n 2
+10n-n
2500-100 =10()??
?
???--
+102501n n n 因为函数y=x(x+1)-
x
2500
-10在(0，+∞)上为增函数 当1≤n ≤3时，n(n+1)-
n
250-10≤12-850-10＜0
当n ≥4时，n(n+1)-
n
2
50-10≥20-1650
-10＞0 ∴仅当n ≥4时，B n ＞A n