山东省枣庄市2016届高三上学期期末质量检测（一调）（理）数学试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项 是符合题目要求的.
1.设集合{}{}
2
2,0,2,|20A B x x x =-=--≤，则A B = （ ）
A ．{}0
B ．{}2
C ．{}2,0-
D ．{}02， 2.
直线30x -=的倾斜角的大小是（ ） A ．
6π B ．56π C ．3
π D ． 23π
4.已知实数，x y 满足120x y x y ≥??
≤??-≤?
，则x y +的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5.设0.3.0.33log 2,log 2,2a b c ===，则这三个数的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．b c a >>
6.已知命题(
):1,1p x ?∈+∞>；命题()q :0,1a ?∈，函数x
y a =在(),-∞+∞上为
减函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ?∧
C ．p q ∧?
D ．p q ?∧? 7. 若函数()()sin 04f x x πωω??
=+
> ??
?
的图象向左平移
4
π
个单位，得到的函数图象的对称中心与()f x 图象的对称中心重合，则ω的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
8.已知ABC ?，若对,|||2|t R BA tBC BA BC ?∈-≥-
，则ABC ?的形状为（ ）
A ．必为锐角三角形
B ．必为直角三角形
C ．必为钝角三角形
D ．答案不确定
9.函数()1|lg |cos 2f x x x ?
?
=-
- ???
的零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
10.已知圆C ：221x y +=，点P 在直线:2l y x =+上，若圆C 上存在两点A ，B 使得
3PA PB =
，则点P 的横坐标的取值范围为（ ）
A ．112，??-????
B ．122，??-????
C ．[]10，-
D ．[]20，
- 第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知随机变量(),-X B n p ，且()()2,1E X D X ==，则p = . 12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[)0,1x ∈时，()f x x =，则
21log 22f ??
- ???
= . 13.观察下列等式：
11
2349
3456725
4567891049
++=++=++=++++++=
……
照此规律，第n 个等式为 .
14.某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，
则此几何体的体积是 .
15.已知直线()y k x m =-与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB 于D ，点D 在曲线2240x y x +-=上，则p = .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分） 已知直线4
x π
=
与直线54x π=
是函数()()sin 0,22f x x ππω?ω??
?=+>-<< ??
?的图象的两条相邻的对称轴. （1）求,ω?的值； （2）若3,4
4ππα??
∈-
- ???，()45f α=-，求sin α的值.
17. （本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =，公比0q >，113322,,S a S a S a +++成等差数列. （1）求n a ； （2）设()
()22
21
,1log n n n n n b c n b b a +=
=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18. （本小题满分12分）
甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，甲做对的概率为
1
2
，乙、丙做对的概率分别为(),m n m n >，且三位学生是否做对相互独立，记X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
（1）求至少有一位学生做对该题的概率； （2）求,m n 的值； （3）求X 的数学期望. 19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
2PD DC ==，E 是PC 的中点.
（1）求证：PA //平面EDB ； （2）求锐二面角C PB D --的大小.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点与它的左、右两个焦点12,F F 的距离之和为
222x y -=的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点.
(i)当直线AB 的斜率存在时，求证：直线AB 与BC 的斜率之积为定值；
(ii)求△ABC 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程.
21. （本小题满分14分）
已知函数()()
44
ln 1,f x x x a x a R =--∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）若当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）()f x 的极小值为()a ?,当0a >时，求证：
()1
141
4104a a e e a ?--??-≤< ???
.( 2.71828e =???为自然对数的底)
二○一六届高三第一学期期末质量检测
高三数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DBDA AACC BD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.
12 12.1
2
- 13. 2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- 14.
8π
3
15. 2 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.解：(1)因为直线π4x =
、5π4
x =是函数()sin()f x x ω?=+图象的两条相邻的对称轴，
所以
πππ,42k k ?+=+∈Z ，
即π
π,4
k k ?=+∈Z .………………………………………5分 又因为ππ22?-
<<，所以π
.4
?=………………………………………………………6分 (2)由(1)，得π()sin()4f x x =+.由题意，π4
sin()45
α+=-.………………………………7分
由3ππ(,)44α∈-
-，得ππ(,0)42α+∈-.从而π3cos()45
α+=.…………………………8分
ππππππ
sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444
αααα=+-=+-+…………………………10分
4355=-=………………………………12分
17.解：(1)因为113322,,S a S a S a +++成等差数列，
所以33112233S a S a S a S a +--=+--.…………………………………………1分 化简得314a a =.……………………………………………………………………3分 所以23114a q a =
=. 因为0q >，所以1
2
q =.………………………………………4分 故111111
()().222n n n n a a q --==?=……………………………………………………6分
(2) 2222221111.1(log )()
[log ()]2
n n n b a n n =
===-…………………………………………8分 22222
1111
(1)[].4(2)(2)n n n n c n b b n n n n ++=+=
=-?++…………………………………10分
1231n n n T c c c c c -=+++++
2222222222
11111111111
[()()()(
)()]4132435(1)(1)(2)n n n n =-+-+-++-+--++
222
1111[1]42(1)(2)n n =+--++ 22
1511[]44(1)(2)n n =--++………………………………………………………12分 18.解：（1）至少有一位学生做对该题的概率为13
1(0)1.44
P X -==-
=………………4分 （2）由题意，得11(1)(1)(1),2411.224
m n mn ?---=????=??………………………………………………6分 又m n >，解得13m =，1
.4n =………………………………………………………8分
（3）由题意，12311312111
.23423423424
a =??+??+??=………………………………9分
11111
1(0)(1)(3)1.424244b P X P X P X =-=-=-==---=……………………10分
()E X =1111113
0123.42442412
?+?+?+?=…………………………………………12分
19. （1）解法一：如图，以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP
所在的方向为,,x y z 轴轴轴的正方向，建立空间直角坐标系.D xyz -
则(2,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)A P D B C E .…………………2分
法一：(2,0,2),(2,2,0),(0,1,1).PA DB DE =-==
设,PA DB DE λμ=+
即(2,0,2)(2,2,0)(0,1,1).λμ-=+ 解得1, 2.λμ==-
所以2.PA DB DE =-
又PA ?平面EDB ，所以PA 平面EDB .…………4分
法二：取BD 的中点G ，则(1,1,0).G
(2,0,2)PA =- ，(1,0,1)EG =-
.
所以2PA = EG
，所以.PA EG
又PA ?平面EDB ，EG ?平面EDB ， 所以PA 平面EDB .……………………4分
法三：(2,2,0),(0,1,1).DB DE ==
设=(,,)x y z n 为平面EDB 的一个法向量，
则0,0DB DE ?=?=
n n ，即220,0.x y y z +=+=
取1y =-，则 1.x z ==于是=(1,1,1).-n
又(2,0,2)PA =- ，所以=102)0.2(1)1(PA ?+-?+-?=?
n 所以PA ⊥ n . 又PA ?平面EDB ，所以PA 平面EDB .……………………………………4分 解法二：连接AC ，设.AC BD G =
因为ABCD 是正方形，所以G 是线段AC 的中点. 又E 是线段PC 的中点，所以，EG 是△PAC 的中位线.
所以.PA EG …………………………………………2分 又PA ?平面EDB ，EG ?平面EDB ，
所以PA 平面EDB .………………………………4分
（2）解法一：由（1）中的解法一，(2,2,2)PB =- ，(2,0,0)CB =
.
设111(,,)x y z =m 为平面CPB 的一个法向量，
则1112220z B y P x ?=+=- m ，102x CB ?==
m . 取11y =，则11z =.于是(0,1,1).=m ………………7分 因为ABCD 是正方形，所以.AC BD ⊥ 因为PD ⊥底面ABCD ，所以.PD AC ⊥
又PD BD D = ，所以AC ⊥平面.PDB
所以(2,2,0)AC =-
是平面PDB 的一个法向量 (10)
分
所以1
cos ,2
AC ><=
=
m .…………………………………………11分
所以，锐二面角C PB D --的大小为60?. …………………………………12分
解法二：如图，设.AC BD G =
在Rt △PDB 中，过G 作GF PB ⊥于F ，连接.FC …………………………5分 因为四边形ABCD 是正方形，
所以CA BD ⊥，即.CG BD ⊥…………………………6分 因为侧棱PD ⊥底面ABCD ，CG ?平面ABCD ，
所以.CG PD ⊥…………………………………………7分 又CG BD ⊥，PD BD D = ，所以CG ⊥平面.PDB 所以.CG PB ⊥………………………………………8分 又PB GF ⊥， CG GF G = ，所以PB ⊥平面.CGF
所以.PB FC ⊥从而GFC ∠就是二面角C PB D --的一个平面角…………………9分 在Rt △PDB
中，sin PD FG BG GBF BG PB =?∠=?
==……11分
在Rt △FGC
中，tan GC
GFC FG
∠=
==所以60.GFC ∠=?
所以二面角C PB D --的大小为60.?………………………………………………12分
20.解：（1）设椭圆的半焦距为.c
因为双曲线2210x y -=
，即
c a =………………………………………………1分
由题意，得2a =解得a =……………………………………………………2分 于是1c =， 2
2
2
211b a c =-=-=.故椭圆的方程为2
212
x y +=.……………………3分
（2）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222
1122
22,22x y x y =-=-. 由于点A 与点C 关于原点对称，所以11(,)C x y --.
222222
212121212122222221212121121.2
(22)(22)2()AB BC
y y y y y y y y y y k k x x x x x x y y y y -+---?=?====--+----- 故直线AB 与BC 的斜率之积为定值1
2-.…………………………………………6分
（ii ）设直线AB 的方程为1x ty =-，11(,)A x y ，22(,).B x y
由22
1,22x ty x y =-???+=??消去x 并整理，得22(2)210.t y ty +--=………………………7分 因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点，所以121222
21
,.22
t y y y y t t -+==++…………8分
法一：||AB =
=
=
=
=………………………………9分
点O 到直线AB
的距离d =
.………………………………………………10分
因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2.d
2211)||222ABC
t S AB d t +=?==+△.……………………………11分
u ，则1u ≥
.
ABC S u u =
=+△，………………………………………………12分 当且仅当1
u u
=
，即1u =，亦即0t =时，ABC △
此时直线AB 的方程为1x =-.…………………………………………………………13分
法二：由题意，ABC S =△2ABO S =△1121
2(||||)2
OF y y ???-
12||y y =-……………9分
==11分
以下过程同方法一
.
21.解：(1) 333()4ln 4f x x x x ax '=+-.………………………………………………1分
则(1)14f a '=-.又(1)0f =，
所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(14)(1)y a x =--.…………3分 (2)解法1：由(1)得3()(4ln 14)f x x x a '=+-. ① 当1
4
a …
时，因为4ln 14y x a =+-为增函数，所以当1x …
时， 4ln 144ln11414x a a a +-+-=-…0?，因此()0f x '….
当且仅当1
4
a =
，且1x =时等号成立.所以()f x 在(1,)+∞上为增函数.
因此，当1x …
时，()(1)0f x f =…. 所以，1
4
a …
满足题意.………………………………………………………………6分 ② 当14a >时，由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1
ln 4
x a =-. 解得1
4e a x -=.
因为14a >，所以1
04
a ->，所以1
04e e 1.a ->=
当1
4(1,e
)
a x -
∈时，()0f x '<，因此()f x 在1
4(1,e
)a -
上为减函数.
所以当14(1,e )
a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是1
(,]4
-∞.………………………………………………9分
解法2：44()ln (1)0f x x x a x =--…?41
ln (1)0x a x --….
令41
()ln (1)g x x a x
=--，则455
144()a x a g x x x x -'=-=.…………………………4分 ① 当1
4
a …时，41a …. 由1x …，得41x …. 因此，当1x …
时，()0g x '…， 当且仅当1
4
a =
，且1x =时等号成立. 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数.
因此，当1x …
时，()(1)0g x g =…，此时()0f x …. 所以，1
4
a …满足题意.…………………………………………………………………7分
② 当1
4
a >
时，由()0g x '=，得x 1>.当x ∈时，()0g x '<，
因此()g x 在(1,上为减函数.所以，当x ∈时，()(1)0g x g <=.
此时()0f x <，不合题意. 综上，实数a 的取值范围是1
(,]4-∞.……………………9分
方法3：当1x =时，(1)0f =满足题意.
1x >时，4
4
()ln (1)0f x x x a x =--…?44
ln 1
x x
a x -….…………………………4分 令4x t =，则1
ln ln 4
x t =,1t >.上述不等式可化为ln 4(1)t t a t -….
令ln ()4(1)t t h t t =
-，则()a h t …在(1,)+∞上恒成立. 2
ln 1
()4(1)t t h t t -+-'=-. 令()ln 1p t t t =-+-，则当1t >时，1
()10p t t '=-+>，()p t 在(1,)+∞上为增函数.
因此，当1t >时, ()(1)0p t p >=. 所以，当1t >时,2
()
()04(1)
p t h t t '=
>-，所以()h t 在(1,)+∞上为增函数.……………6分 令()ln q t t t =，由导数定义得1()(1)(1)lim 1
t q t q q t →-'==-1ln lim
1t t t
t →-. 又1(1)(ln )|1t q t t =''==，所以1ln lim
11t t t
t →=-.
因此，当1t >时，ln ()4(1)t t h t t =-恒大于1
4.………………………………………8分
所以，实数a 的取值范围是1
(,]4
-∞.………………………………………………9分
(3) 由3
()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1
ln 4
x a =-，1
4e a x -=.
当1
4(0,e
)a x -
∈时，()0f
x '<，()f x 为减函数；当14(e
,
)a x -
∈+∞时，()0f x '>，()f x 为
增函数. 所以()f x 的极小值14()(e )
a a f ?-=411
e 4
a a -=-.………………………………10分
由()a ?'=411e 0a --=，得14
a =
. 当1(0,)4a ∈时，()0a ?'>,()a ?为增函数；当1
(,)4a ∈+∞时，()0a ?'<,()a ?为减函数.
所以1
()()=04
a ??….………………………………………………………………………11分
1
14141()(e e )4a a a ?----1
14141411e (e e )44a a a a ---=---1
141e 4a a -
=-.
下证：0a >时，
1
141e 04
a a -- (1)
141e 04a a --…?1
144e a a -…?1ln(4)14a a -…?1
ln(4)104a a
+-….………………12分
令
1
()ln(4)1
4
r a a
a
=+-，则
22
1141
()
44
a
r a
a a a
-
'=-=.
当
1
(0,)
4
a∈时，()0
r a
'<，()
r a为减函数；当
1
(,)
4
a∈+∞时，()0
r a
'>,()
r a为增函数.
所以
1
()()=0
4
r a r
…，即
1
ln(4)10.
4
a
a
+-…
所以
1
1
4
1
e0
4
a
a-
-…，即
1
1
41
4
1
()(e e)0.
4
a
a
a
?--
--…所以
1
1
41
4
1
()(e e).
4
a
a
a
?--
-
…
综上所述，要证的不等式成立.……………………………………………………14分