一、选择题
1．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )． A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2? ????
1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .
当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1
q ≥1＋2q ·1q ＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－? ?
?
??－q －1q ≤1－2(－q )·? ??
??
－1q ＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案 D
2．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )． A. 2 B ．2 2 C. 3
D ．2
解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →
⊥CB →，
∴O ，A ，C ，B 四点共圆．
∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →
|＝ 2. 答案 A
3．若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )． A ．f (2)＜f (3)＜g (0) B ．g (0)＜f (3)＜f (2) C ．f (2)＜g (0)＜f (3)
D ．g (0)＜f (2)＜f (3)
解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2
，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x
2在R 上是
增函数，且f (3)＞f (2)＝e 2－e －2
2＞0，因此g (0)＜f (2)＜f (3)． 答案 D
4．若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2
(a ＋1)2
＝1的离心率e 的取值范围是( )．
A ．(1，2)
B ．(2，5)
C ．[2，5]
D ．(3，5)
解析 e 2
＝? ????c a 2＝a 2＋(a ＋1)2
a 2
＝1＋? ?
?
??1＋1a 2，因为当a ＞1时，0＜1a ＜1，所以2＜e 2＜5，即2＜e ＜ 5. 答案 B 二、填空题
5．已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )＜0的x 的取值范围是________．
解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )＜0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
答案 (－1,0)∪(0,1)
6．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．
解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称，所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2
＋a ＝－(a －12)2＋14≤1
4.
答案 (－∞，1
4]
7．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．
解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4，由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角．
由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0， ∴x ＝0(舍去)或x ＝10.
∴S ΔABC ＝1
2×(10－4)×10×sin 120°＝15 3. 答案 15 3
8．函数f (x )＝(1
2)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．
解析 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(1
2)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(1
2)x 与y ＝sin x 交点的个数，根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2. 答案 2 三、解答题
9．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围． 解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈????
??
12，3.
原题转化为当m ∈??????
12，3时，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)
＋(x －2)2＞0恒成立．
令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2
，m ∈????
??
12，3，
问题转化为g (m )在m ∈??????
12，3上恒大于0，
即?????
g (12)＞0，
g (3)＞0，
即?????
12
(x －2)＋(x －2)2＞0，
3(x －2)＋(x －2)2＞0.
解得x ＞2或x ＜－1.
10．已知平面向量a ＝? ????32，－32，b ＝? ????
12，32，且存在实数x ，y ，使得m ＝a ＋(x 2
－3)b ，n ＝－y a ＋x b 且m ⊥n . (1)求y ＝f (x )的关系式；
(2)已知k ∈R ，讨论关于x 的方程f (x )－k ＝0的实根个数． 解 (1)a·b ＝32·12－
32·3
2＝0，|a |＝3，|b |＝1. 因为m ⊥n ，所以m·n ＝0，
即[a ＋(x 2－3)b ](－y a ＋x b )＝0，化简整理得y ＝1
3x 3－x ，
即f (x )＝1
3x 3－x .
(2)方程f (x )－k ＝0实根个数由两函数y ＝f (x )，y ＝k 的图象交点个数确定．由f ′(x )＝x 2－1＝(x －1)(x ＋1)知：
f (x )在(－∞，－1)及(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，极大值f (－1)＝23，极小值f (1)＝－23. 作y ＝f (x )和y ＝k 的图象如图，
知当k ＜－23或k ＞2
3时，两图象有一个交点，原方程有一个实根； 当k ＝±
2
3时，原方程有两个实根； 当－23＜k ＜2
3时，原方程有三个实根．
11．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为2
2，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →
. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．
解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，设
c ＞0，c 2＝a 2－b 2， 由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝2
2. 故椭圆C 的方程为y 2
＋x 2
12
＝1.
即y 2＋2x 2＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由???
y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1) ＝4(k 2－2m 2＋2)＞0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1
k 2＋2.
因为AP →＝3 PB →
，所以－x 1＝3x 2. 所以???
x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 2
2. 所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·? ????－2km k 2＋22
＋4·m 2－1k 2＋2＝0.
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0. 当m 2＝1
4时，上式不成立；
当m 2
≠14时，k 2＝2－2m 2
4m 2－1
，
由(*)式，得k 2＞2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2
＝2－2m 2
4m 2－1
＞0.
解得－1＜m ＜－12或1
2＜m ＜1.
即所求m 的取值范围为? ?
???－1，－12∪? ??
??12，1.