2.4 晶格振动与声子
绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系状态n ，原子实系统经受的有效势场
()
()
()
N LL n V V E =+
R R R
，
原子实间的库伦相互作用()
LL V
R + 依赖于核构型的电子能()
n E
R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为：
()()()()()
22
12I n LL S I I
X E V X E X M ??-?++=??∑ R R R R R
（2.4-1）
2.4.1 简谐近似和正则振动模
上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，
第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+
， n R 和R α
分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。
原子相对平衡位置的瞬时位移的直角分量为()n i s t α （1,2,3i =）。
将有效势场()
N
V
R 在平衡核构型{}
0n R α=
R 处作泰勒展开：
()
()
201
......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα'''''''''
?=++??∑
R R
（2.4-2）
取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的
简谐近似。可以证明，由这样的简谐势场联系在一起的N υ个粒子构
成的体系的运动，可通过适当的坐标变换，变为3N υ
个独立的正
则坐标的一维简谐运动。每个正则坐标的简谐运动描述的是体系所有粒
子的集体运动，正则运动模式各粒子的运动彼此间有确定的关系对周期排布的原子体系(晶体)，固体物理中给出，这种正则运动模式为如下形式的格波：
{}
()()
1
(,)()exp()
j j
n i i n j
s q t e q i q R q t
αα
ω
??
=?-
??
，（2.4-3）其中
()()
j
i
e q
α
满足正交归一关系：
*()()
()()
j j
i i jj
i
e q e q
αα
α
δ
'
'
=
∑ 。（2.4-4）
这相当于正则运动模式的标准化条件：
12()*12()
[(,)][(,)]
j j
n i n i jj
n i
M s q t M s q t
αααα
α
δ
'
'
=
∑ 。（2.4-5）
它描述的是晶格原子振动的一种基本模式，是以波矢为q
和频率为()
j
q
ω 的波的形式传播的格波。
格波的频率与波矢有一定的关系()
j
q
ω （后面常简记为jq
ω ），称为色散关系。每个格波可由,j q 标记。这种由,j q
确定的格波分为3υ支（由j标记），每支都有N个不同波矢q 的格波，共有3Nυ种格波。这3Nυ种格波就是晶体中原子振动的正则运动模式。
一般的晶格振动可以表示为这些正则运动模式（或格波）的线性叠加
这些正则模还可以分为不同类型。按照长波极限的振动特征，
3υ支格波分成 3支声学波（acoustic ）和
33υ-支光学波（optical ）。
前者是晶格振动中整个原胞的所有核或原子实同位相一起振动，后者是原胞内原子实的相对振动。按照振动方向是与波矢方向平行还是垂直，格波又分为横波
（transverse ）和纵波（longitudinal ）。上述不同类型的正则模（格
波），常用TA,TO,LA,LO 来标记，其中的字母是相关英文单词的第一个字母。
局域振动模
当杂质原子替代了基质原子，上述理想晶体的振动模式受到了扰动而有所变化。不过可以想到，杂质浓度很低时，对大多数振动模式的扰动是很小的。不过这时会出现个别的局域模，在这样的模式中，离杂质原子的距离越大，那里的原子振动越弱。这种模式的振动频率也不在原先的连续谱带内。由于这种模式的局域特性，它往往与杂质的局域电子态有较强的相互作用。
2.4.2 晶格振动的量子化
原子振动（3N υ个位移()n i s t α）的一般情形，可
以用（ 2.4-3）式那样的基本格波的线性叠加表示
：
(
)
(()()),()()exp([()])()s j j i q t i q t j j j n n q j
q e q e t Q Q e q i q R ααωω-+-=
+?
（()j Q q ±
为复振幅）
考虑归一化和实数化
()1()(,)()exp()
j n i j i n jq
s t Q q t e q iq R αα=
?∑
（2.4-6）
因为位移坐标()n i s t α是实数，它要求()*()()()j j i i e q e q αα-= 和*(,)(,)j j Q q t Q q t -= 。
→
(
))()
()
()()(,)j j i q t i q t j j j q Q e e t Q Q q q ωω--+*++-=
（2.4-6）这样的表示式相当于一个坐标变换，把N υ个原子的三维振动（由3N υ个位移坐标描述）转换成3N υ个正则坐标
()j Q q 的一维简谐运动(,)j Q q t
。
每个正则坐标描述的是N υ个原子的一种集体运动模式。
利用上述那些关系，经过一系列计算，可得用正则坐标表示的体系哈密顿量：
*2**2*1(,)(,)(,)(,)21(,)(,)(,)(,)2j j j j j jq
j j j j j jq
H Q q t Q q t Q q t Q q t P q t P q t Q q t Q q t ωω??=+????≡+??∑∑
（2.4-7）
其中，(,)(,)j j
P q t Q q t ≡ 为与*j Q 共轭的正则动量。可见哈密顿量是3N υ个独立项之和。
上面已表明描述晶格振动的哈密顿量
*2*
12j j j j j jq
H P P Q Q ω??=+??∑ ， 包含
3N υ
个独立的组分，每个组分都具有典型的线
谐振子哈密顿量的形式。
这与电磁辐射场的情形类似，可以用同样的方法量子化。
将正则坐标和正则动量转换为算符，它们满足对易关系
??[(),()]j j qq jj
Q q P q i δδ''''= （2.4-8）
引进湮灭和产生算符
()(
)
12
*???2a
Q iP
ωω-≡+ ，
()(
)
12
*???2a
Q
iP ωω-≡-?
。 （2.4-9）
于是，哈密顿算符变为
?1??()()()2j j j jq
H q a
q a q ω??
=+????∑ 。 （2.4-10）
【注：得到这一表达式时，利用了：
()
()
**
,,()()0j jq jq jq jq
j jq jq j q j q jq
jq
i q Q P Q P i q Q P Q P ωω----=-=∑∑
，因为两项求和都取到所有的q
，正好抵消】。
其每一项对应一个由（,j q ）确定的模式：
一个频率为()j q ω ，波矢为q
的格波。
式中?()()j j
a q a q 为粒子数算符，它的本征值为()j n q
， 也即能量本征值为：1()()2j j n q q ω??
+ ??
? 。类似于辐射场的情形，
能量量子()j q ω 称为声子，()j n q 称为该模式中的声子数，
该模式的状态可用其中的声子数表示，写成()j n q
。
一个正则模中可以有任意数量的声子，也即声子是波色粒子。
系统的总能量为所有模的能量之和：1()()2j
j jq
E q n q ω??
=+????∑ 。 与谐振子情形类似，产生与湮灭算符作用在声子态上有如下结果：
?
()()()1j
j j a q n q n q =+
和
()()()1j j j a q n q n q =-
。 （2.4-11）
由式（2.4-9）可得：
()
12
?
,???(,)2j jq j q
jq Q q t a a ω-??=+ ? ??? （2.4-12）
(
)
12
?,???(,)2j j q jq
jq P q t a a ω-??=- ? ??
?
于是，原子（实）位移（2.4-6）就可以用产生和湮灭算符表示。
()
12
?
(),1??()()exp()2j n i jq
j q
i
n jq jq s t a
a
e q iq R ααω-??
=
+? ? ???
∑
（2.4-13）
2.4.3 声子的热平衡
在所用的简谐近似下，各正则振动模相互独立。没有相互作用也就没有模式间的热平衡。实际上，由于势能展开式中还存在高次项(称为非谐项)，它意味着不同振动模式间存在相互作用，称之为声子-声子相互
作用，它可以导致不同振动模式间的能量交换，即振动状态（声子状态）的改
变，使不同模式间达到热平衡。这种达到热平衡的过程比光跃迁的速率快得多，在光跃迁的问题中，通常都可以认为光跃迁是在振动
态热平衡条件下进行的。
在热平衡条件下，一个频率为q
ω 的振动模处于本征态n ，或模中有n 个声子的几率n P 正比于玻尔兹
曼（Boltzmann ）因子：exp()B n k T ω- ，B k 是玻尔兹曼常数。因为总几率1n n
P =∑，n P 可表示成：
exp()
exp()
(1)(1)B B B n B
n k T
n k T
n
n k T P n k T e
e
r r
ωωωω∞
=---=
-=-≡-∑ （2.4-14）
上式最后一个等号右边引进了简化符号()exp B r
k T ω≡- 。
频率为q
ω 的振动模中的热平均声子数可以表示为：
()00
exp()
exp()
1exp 11B
n B
n B n n k T n n k T r k T r
ωωω∞
=∞
=-=
-==--∑∑ （2.4-15）
2.4.4 电子-声子相互作用
在绝热近似下，由大量重粒子原子实和轻粒子电子组成的固体的运动状态问题，简化为两个相对较小的准独立的系统的问题：大量电子在固定原子实中的运动和给定电子态下大量原子实的运动。固体系统的定态具有乘积波函数的形式：
(
)()(
)
,,nl
nl n X ψ=
ΨR r R R r 。如2.1中所述，在这一近似中，省略了哈密
顿方程中的
2
212I I I I I
X X m ψψ??
???+? ???
∑ 项。
考虑这一项的存在，电子和晶格原子实的运动不再独立，是偶合在一起的。换言
之，电子和声子间存在相互作用，因而，所得到的电子态和声子态不再是严格的定态，它们的状态将随时间变化，或说是发生状态间的跃迁，从
()()(),,nl
nl n X ψ= ΨR r R R r
跃迁到能量相同的另一个状态
()()()
,,n l n l n X ψ''
''
'
= ΨR r R R r 。这里，电子态的变化是伴随声子
态的变化，没有光子的参与，常称之为非（无）辐射跃迁。
即使在绝热近似下，电子系与原子实的运动也相互关联，或说也存在电子-声子相互作用。如2.1节中所述，原子实运动的有效势场包含了“电子态”的能量，它包含了电子系与原子实相互作用的贡献，因而原子实的运动依赖于电子态。我们在标记原子实的本征波函数和本征能时，已用下标指明其相应的电子态。这种关联导致了光跃迁过程中可以有声子参与。在后面相应章节，我们将会针对具体情况，采用具体模型进行讨论。
小结：
通过上面的回顾，我们看到，通过若干基本的近似，可以把本课程要讨论的问题归结为三个子系统：辐射场，固体的电子体系和声子体系：三者之间的相互作用所引发的他们状态的变化过程 各种辐射和非辐射过程。本书关注的主要是，与光跃迁直接有关的辐射场与固体的电
子系的相互作用以及协同参与各种过程的电子-声子相互作用。辐射场与声子系相互作用会引发红外波段的跃迁，因为涉及的量
子能量小得多，不在本书讨论的范围。此外，电子-电子和声子-声子相互作用在体系达到热平衡的过程中起重要作用，但也不是本课程的中心议题。
2.4 晶格振动与声子 绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场 ()()() N LL n V V E =+R R R ， 原子实间的库伦相互作用() LL V R + 依赖于核构型的电子能() n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为： ()()()()() 2 2 12I n LL S I I X E V X E X M ??-?++=??∑R R R R R （2.4-1） 2.4.1 简谐近似和正则振动模 上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。 设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。 第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+， n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。 原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i s t α （1,2,3i =）。 将有效势场() N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开： ()() 201......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα''''''''' ?=++??∑R R （2.4-2） 取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的 简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成
晶格振动与声子 2010-04-24 16:38:01| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅 （什么是声学波？什么是光学波？什么是声子？） 作者：Xie M. X. (UESTC，成都市) （1）格波： 晶格振动(Crystal lattice vibration) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述。由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。格波可区分为声学波和光学波两类——两种模式。 声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波；对于波矢比较小的长声学波，与弹性波一致，它表示着原胞中所有原子的一致运动[相位和振幅都相同]；声学波的能量虽然较低，但是其动量却可能很大，因此在对于载流子的散射与复合中，声学波声子往往起着交换动量的作用。 光学波是复式晶格振动中频率比较高的、而且频率随波矢变化较小的那一支格波；对于长光学波，它表示着相位相反的两种原子的振动，即表示着两种格子的相对振动[但质心不变]。光学波声子具有较高的能量，而高能量声子的动量往往很小，所以光学波声子在与载流子的相互作用中往往起着交换能量的作用。 （2）声子： 格波的能量是量子化的: 频率ω的格波具有谐振子一样的分离能量：E = ( n + 1/2 ) ?ω, n = 0,1,2,2,…。则当格波与载流子相互作用时, 格波能量的改变只能是?ω的整数倍; 该晶格振动能量?ω的量子即称为声子（Phonon ）。当格波能量减少?ω时, 就说晶格放出一个声子; 如格波能量增加?ω时, 就说晶格吸收一个声子. 因此晶格与载流子的相互作用可看成是格波对载流子的散射(碰撞)。 由于晶格振动有声学波和光学波两种模式，所以相应的就有两种声子——声学波声子和光学波声子。一个格波,即一种振动模,就称为一种声子；当这种振动模处于(nq+1/2) ?ωq 本征态时，就说有nq个声子, nq是声子数。晶格中共有3Nr个格波,即有3Nr种声子;共有3支声学波声子和(3r－3)支光学波声子；又可有纵向声子和横向声子。 声子本身不导电，但是它能够传热，并且还对载流子产生散射作用——声子散射。晶体的比热、热导、电导等都与声子有关。 用声子可以简明地描述晶格振动,它反映的是晶体原子集体运动状态的激发单元（元激发），因此声子是固体中的一种典型的元激发。声子是Bose子, 则每一个晶格振动的状态可被很多声子所占据；而声子的数目仅与晶格振动的能量有关(决定于温度)，一个晶格振动模式平均的声子占据数目为nj(q) = {exp[?ωj(q) /kT]－1}-1 . 因此,系统中声子的数目随着温度的上升而增加。由于声子的动量q不确定（q和q+ Gn表示相同的晶格振动状态，Gn是倒格子矢量），而且系统中的声子数不守恒(与温度有关), 因此,声子并不是真实的粒子, 而是所谓“准粒子”。 光学波的能量较高（最高能量的格波量子——声子，称为拉曼声子），但是较高能量光学波的动量却很小，因此在载流子的散射和复合过程中往往起着交换能量的作用。晶体中声子的相互作用，有一种过程是两个声子碰撞而产生第三个声子的过程，但声子的动量没有发生变化，即有? q1 + ? q2 = ? q3 （q1、q2和q3分别是第一、第二和第三个声子的动量），这种碰撞就常常简称为正规过程（Normal process）或者N过程。因为正规碰撞过程只改变动量的分布，而不影响热流的方向，故对热阻没有贡献。
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射
第三章 晶格振动 参考答案 2011 3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。 试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频 支，其格波频率为? ? ??????????????+-±+=212 21221212 )2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明： 第2n 个原子所受的力 1 21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ 第2n+1个原子所受的力 n n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++ 这两个原子的运动方程：
n n n n n n n n u u u u m u u u u m 221211221121 211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+&&&& 方程的解 ? ???? ? +-+? ???? ? -==q a n t i n q a n t i n Be u Ae u 2)12(122)2(2ωω 代入到运动方程，可以得到 B A e e B m A B e e A m q a i q a i q a i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-??? ? ??+=-+-??? ? ??+=--- 经整理，有 0)(0)(22122212221221=-+-??? ? ?? +=??? ? ??+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q a i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足 ,.,2 212 22 12 22 1221=-+++-+--ω ββββββωββm e e e e m q a i q a i q a i q a i 根据上式，有 ? ? ??????????????+-±+=212 2122 1212)2(sin 411M ）（ββββββωqa
3.6 晶格振动的实验观测 一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brilouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 参考黄昆36Kitt l 845五. 非弹性中子散射 六. 隧道谱 参考：黄昆书3.6 节, Kittel 8 版4.5 节 P .Bruesch Phonons: Theory and Experiments Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ其中第2卷是测量方法。 由于多种原因我国晶格振动的实验观测相对落后由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后，各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。
一.一般描述： 从上面讨论中我们已经看到晶格振动是影响固体很多从上面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体很多性质的重要因素，而且只要T ≠0K ，原子的热运动就是理解。所以从实验上观测晶格振动的固体性质时不可忽视的因素所以从实验观测晶格振动的规律是固体微观结构研究的重要内容，是固体物理实验方法的核心内容之一。（晶体结构测定；晶格振动谱测定；费米面测定缺陷观测等）面测定；缺陷观测；等。） ： 晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映 1.晶格振动色散关系： ()j q ωω=f 2.态密度：()() g ωω= 实验观测就围绕着这两条曲线的测 定进行,包括各种因素对它们的影响以及 声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格 振动的相互作用来完成。
其中最重要、最普遍的方法是： Far-Infrared and (FIR)Infrared Spectroscope (IR) 远红外和红外光谱Raman Spectroscope (R) 电磁波Raman Spectroscope (R) 喇曼光谱Brillouin Spectroscope (B) 布里渊散射谱Diffuse X-Ray Scattering X 射线漫散射Inelastic neutron Scattering (INS) e ast c eut o Scatte g (S) 非弹性中子散射Ultrasonic methods (US) 超声技术 （IETS)非弹性电子隧道谱
第二章 晶格振动和晶格缺陷 上一章里，把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。 §2-1 一维均匀线的振动 为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向运动，如图2-1所示。 若在线段x ?上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。此时在x 处的 相对伸长，即形变为x u x e ??=)(，在x x ?+处的形变则为x x u x e x x e ???+=?+22)()(。 因此在线元x ?上的作用力 []x x u K x e x x e K F x ???=-?+=?22)()( （2-1） 此作用力还可表示为线元质量x ?ρ乘上加速度22t u ??，即 22t u x F x ???=?ρ （2-2） 从而有 22t u ??=22 222x u x u K ??=??υρ （2-3） 式中，ρ υK = 是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。（2-3）式 称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波 [ ])(e x p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4） 式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，ν为振动频率，λ π 2=q 为波矢（波数 λ 1 π2?）， λνυ=为波速，从而有 q υλπυπνω===/22 （2-5）
1.1 一维简振模式的总能量 绝对0度时，格波还存在，剩下零点能，声子消失。 （四）简谐振动方程、求解、应用
（四）简谐振动方程、求解、应用 一维原子链的振动 2、晶格振动可以看成是简谐振动 m a x n x n+1 x n-1（四）简谐振动方程、求解、应用 、讨论：一维简单晶格的色散关系 （四）简谐振动方程、求解、应用 4、一维复式原子链的色散关系 （四）简谐振动方程、求解、应用
（四）简谐振动方程、求解、应用 w 1 w 2 光学波的最小值比声学波的最大值还大 1．空间点阵：为了研究方便，我们将晶体中的原子、分种布拉菲格子） 取晶格的某一格点做顶点，边长等于三个方向上 的周期的平行六面体，称为晶体的一个原胞。 立方晶系的固体物理学原胞 立方晶系晶体结构的共同特征是： 结晶学原胞的三个基矢，且 1．简立方（c b a r r r ⊥⊥ c b a r r r ==3 a r a 2 a r 3a r 1 r 结晶学原胞的3个基矢：结晶学原胞的体积=α3 固体物理学原胞体积 )k r r +
3．体心立方(body-centered cubic) 结晶学原胞的基矢：k a c j a b i a a r r r r r r ===结晶学原胞的体积=a 3 固体物理学原胞的基矢：) (2 ) (2 ) (2 321k j i a a k j i a a k j i a a r r r r r r r r r r r r ?+=+?=++?=固体物理学原胞体积 ＝3 3212 1a a a a =×?r r r 本课程所涉及到的原胞是指固体物理学原胞.
《晶格振动光谱学》课程教学大纲 课程英文名称：Lattice Vibration Spectroscopy 课程编号：0332282002 课程计划学时：32 学分：2 课程简介： 本课程地阐述了晶格振动光谱学的基本理论、实验和研究进展.课程包括两大部分,第一部分为晶格动力学基础,主要包括晶体结构及其对称性、晶格动力学基础和晶格振动的对称性等内容,第二部分为晶格振动光谱,主要包括晶格振动的电磁理论和量子理论、晶格振动的布里渊谱、拉曼光谱、红外反射光谱、二级红外吸收光谱和拉曼光谱等内容.本书介绍了晶格振动光谱研究方面的新进展,并吸收及其插入化合物、单管壁碳纳米管拉曼光谱等方面的研究成果,有利于学生了解、分析物质结构，是材料物理学生必修的一门课程。 本课程的授课对象为数理系材料物理专业的学生。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章晶格动力学基础（2学时） 本章重点：热力学行为的简单近似处理；双原子链的振动；晶格振动的频谱和比热；光学支的长波晶格振动；长波光学振动和红外色散的原子理论；离子晶体红外色散的实验研究。 本章难点：晶格振动的频谱和比热；光学支的长波晶格振动；红外色散及晶格振动的推迟效应；长波光学振动和红外色散的原子理论；离子晶体红外色散的实验研究。 第一节热力学行为的简单近似处理 本节要求掌握热力学行为的简单近似处理，掌握长波光学振动和红外色散的原子理论，以及红外色散及晶格振动的推迟效应。了解晶格的基本振动形式。本节建议采用的主要教学形式（讲授、习题）。 第二节双原子链的振动 本节要求掌握热双原子链的振动基本形式(考核概率10%)。 第三节晶格振动的频谱和比热 本节要求掌握晶格振动的频谱和比热(考核概率10%)。 第四节光学支的长波晶格振动 本节要求掌握光学支的长波晶格振动(考核概率10%)。 第五节红外色散及晶格振动的推迟效应 本节要求掌握红外色散及晶格振动的推迟效应(考核概率10%)。 第六节长波光学振动和红外色散的原子理论 本节要求掌握长波光学振动和红外色散的原子理论(考核概率10%)。
Lattice vibrational modes and Raman scattering spectra of strained phosphorene Ruixiang Fei and Li Yang Citation: Applied Physics Letters 105, 083120 (2014); doi: 10.1063/1.4894273 View online: https://www.doczj.com/doc/8f5755144.html,/10.1063/1.4894273 View Table of Contents: https://www.doczj.com/doc/8f5755144.html,/content/aip/journal/apl/105/8?ver=pdfcov Published by the AIP Publishing Articles you may be interested in Direction dependent thermal conductivity of monolayer phosphorene: Parameterization of Stillinger-Weber potential and molecular dynamics study J. Appl. Phys. 117, 214308 (2015); 10.1063/1.4922118 Silicon nanocrystals with high boron and phosphorus concentration hydrophilic shell—Raman scattering and X-ray photoelectron spectroscopic studies J. Appl. Phys. 115, 084301 (2014); 10.1063/1.4866497 Vibrational mode and dielectric function spectra of BGaP probed by Raman scattering and spectroscopic ellipsometry J. Appl. Phys. 109, 053504 (2011); 10.1063/1.3549806 Raman scattering on quadrupolar vibrational modes of spherical nanoparticles J. Appl. Phys. 104, 073519 (2008); 10.1063/1.2981083 Raman spectra of P 4 at low temperatures J. Chem. Phys. 119, 5918 (2003); 10.1063/1.1602062
§3-9 确定晶格振动谱的实验方法 3. 9. 1 中子非弹性散射 晶格振动频率与波数矢量之间的函数关系ω(q )，称为格波的色散关系，也称为晶格振动谱。晶体的许多性质都与函数ω(q )有关，因此确定晶格振动谱是很重要的。可能利用波与格波的的相互作用，以实验的方法来直接测定ω(q )。最重要的实验方法是中子的非弹性散射，即利用中子的德布洛依波与格波的相互作用。另外，还有X 射线散射，光的散射等。目前，最常用的方法是中子非弹性散射。 设想有一束动量为p 、能量为2 2n M =p E 的中子流入射到样品上，由于中子仅仅和原子核之间有相互作用，因此它可以毫无困难地穿过晶体，而以动量p ′、能量2 2n M ''=p E 射出。当中子流穿过晶体时，格波振动可以引起中子的非弹性散射，这种非弹性弹射也可以看成是吸收或发射声子的过程。散射过程首先要满足能量守恒关系： ()22 22n n p p M M ω'-=± q …………………………………………………（3-9-1） ?ω( q )表示声子的能量，“+”号和“-”号分别表示吸收和发射声子的过程。散射过程同时要满足准动量守恒关系： n '-=±+ p p q G ………………………………………………………（3-9-2） 其中12233n n n n =++G b b b 1为倒格子矢量，?q 称为声子的准动量。一般说来，声子的准动量并不代表真实的动量，只是它的作用类似于动量，如式（3-9-2）所示，在中子吸收和发射声子过程中，存在类似于动量守恒的变换规律，但是，多出n G 项。动量守恒是空间均匀性（或者称为完全的平移不变性）的结果，而上述准动量守恒关系实际上是晶格周期性（或者称为晶格平移不变性）的反映。一方面，由于晶格也具有一定的平移对称性（以布拉伐格子标志），因而存在与动量守恒相类似的变换规律； 另一方面，由于晶体平移对称性与完全的平移对称性相比，对称性降低了，因而变换规则与动量守恒相比，条件变弱了，可以相差n G 。 如果我们固定入射中子流的动量p （和能量E ），测量出不同散射方向上散射中子流的动量p ′（即能量E ′），就可以根据能量守恒和准动量守恒关系确定出格波的波矢q 以及能量?ω(q )。图3-9-1中示意地画出了一个典型的中子散射谱仪的结构，叫做三轴中子谱仪。中子源是反应堆产生出来的慢中子流，单色器是一块单晶，利用它的布喇格反射产生单色的动量为p 的中子流，经过准直器入射到样品上。随后再经过准直器用于选择散射中子流的方向，分析器也是一块单晶，利用它的布喇格反射来决定散射中子流的动量值（即能量）。利用中子散射谱仪测定晶格振动谱的工作开始于50年代，但因一般的反应堆中子流密度太小，使用实验工作受到很大限制。近年来高能量的中子反应堆（流量大于14-2-1 10cm -s ）比较普
第三章晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。 11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学
波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ωη ，准动量为 q ρ η 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 )2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 2 ) 2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间 中的波矢密度为：π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c ) 2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
§3-6 晶格振动的模式密度 3. 6. 1 晶格模式密度定义 为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj (q )，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g (ω)也就确定了。但是，一般来说，ω与q 之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g (ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。 了解晶格振动模密度的意义不仅局限于晶格热容的量子理论。实际上，计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。以后还会看到，在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。根据式（3-5-12），我们可以定义： ()0lim n g ωωω ?→?=?…………………………………………………………（3-6-1） Δn 表示在ω—ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目，如果在q 空间中，根据ω (q )=常数作出等频面，那么在等频面ω和ω+Δω之间的振动模式的数目就是Δn 。由于晶格振动模（格波）在q 空间分布是均匀的，密度为V/3 (2)π（V 为晶体体积），因此有： 3 ((2) V n ωωωπ?= ??频率为和+的等频率面间的体积)…………（3-6-2） 图3-6-1 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较
固体物理晶格振动与晶体的热力学函数 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第三章晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。 11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。