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同济大学 高等数学B 第三章习题课(一)

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高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。

二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。

同济大学_高数B_第1章习题课

同济大学_高数B_第1章习题课

1. y
练习题 f x x , 的图像关于直线 x a , x b都对称,
b a , 证明 : f ( x )是一个周期函数.
x0 x0
x2 2. f x x
求复合函数 3. 用定义证明 4. 计算极限:
,
2 x g x x 2
2
2
x 2 ax b 5. 已知 lim 5, 求a , b 1 x x 1
6.
x
lim
x
ax 2 bx c 1, 求a , b

a 0
7 .用夹逼原理方法计算
1
2
1 2 n lim n n2 n 1 n2 n 2 n2 n n
第一章
1.(1) 集合,映射,函数
习题课一
(2) 函数的单调性,奇偶性,有界性(有界, 无界函数) (3) 基本初等函数与初等函数 2. 数列 极限 (1) 极限的定义( N ) (2) 收敛 极限唯一 有界
(3) 局部保号性 (4) x n a n 任一子数列 x n k a
2

n n n n
2

1 2 n n n1
2
1 nn 1 1 lim 22 n n n n 2
1 nn 1 1 lim 22 n n n 1 2
1 2 n 1 lim 2 2 2 n n n 1 n n 2 n n n 2
1 c x 1 a b 2 x x
1
必有 a 1,
bx c 上式 lim x 1 c x 1 1 b 2 x x

高等数学(同济大学)2013.11.19-习题课

高等数学(同济大学)2013.11.19-习题课
习题课
第三章
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
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一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
y F (x)y xf (x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
则 (x) ex[ f (x) f (x) ] 0
故在
上此 f (x) 也至多只有一个零点 .
思考: 若题中
改为 f (x) f (x) 0,
其它不变时, 如何设辅助函数?
(x) ex f (x)
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3、未定式:
解决方法:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明 利用洛必达法则求极限，注意 (1) 两种基本形式的解题方法要熟悉 (2) 其它类型的未定式转化为基本形式的方法要明确 (3) 要结合以前学过的各种方法，灵活解题.
例4. 求数列
的最大项 .
证:
设
f (x)
1
xx
(x 1), 用对数求导法得
f
(
x)
x
1 x
2
(1
ln
x
)
极大值
令 列表判别:
因为
得
[ 1, e )
( e, )
0
1
ee
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出

有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
3 / 91
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
6 / 91
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
4 / 91
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台
a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），

同济高数课后习题答案解析

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同济大学高等数学一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim sin 3x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

大一上学期同济版高数第三章习题课xgPPT课件

微分中值定理的主要应用有： (1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论 5
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
高等数学
第二十一讲
1
整体概述
概述一
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பைடு நூலகம்
概述二
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2
习题课
第三章
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
3
一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f(a)f(b) 拉格朗日中值定理
(n 1 1 )!f(n 1 )()x ( x0)n 1 4
2. 微分中值定理的主要应用 微分中值定理是揭示函数及其导数之间的内在联系
的公式。 这些公式对于利用某函数导数所具有的性质 去推断函数本身应具有的性质是极为重要的。
微分中值定理也构成微分学基本理论的重要内容。 有关中值定理的证明题和计算题是它的重要组成部分。
xa
这表明左端点不取最小值：
同样 f b0, f b x l b im fx x b fb 0
由极限的保号性定理知，必存在 b2,b 使
fxfb0 则有 fxfb,
xb
12
这表明右端点也不取最小值：
fx C 1[a,b]必有最小值，且必有极小值 f ,
a,b. 由费马定理可知，f 0 a ,b .

第六版同济大学高等数学上下课后答案详解

1
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )

同济大学线性代数课件__第三章[1]

矩阵的等价关系满足：
(i) 反身性 A ～ A ； (ii) 对称性 若A ～ B ，则B ～ A ； (iii) 传递性 若A ～ B ， B ～ C ，则A ～ C 。
2021/10/10
9
线性方程组 2x1 x2 x3 x4 2, ①
x1
4 x1
x2 6x2
2 x3 2 x3
0
00
0
0
00 4
∴ R(B) = 3
2021/10/10
36
定理 3 若A ~ B, 则 R(A) = R(B) .
事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。
(1) A ri rj B
(2) A r i k B (3) A ri krj B
2 3 4
5 1 3
1
r2 2r1 r3 3r1
0 0
2 2 2
3 5 6
2 1 2
5 9 12
1
r1 r2 r3 r2
0 0
0 2 0
2 5 1
1 1 1
4 9 3
r12r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 6 3
2021/10/10
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2021/10/10
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
1
2021/10/10
18
1
E(i, j(k))
1 k
第i行
1

同济高等数学第三章第一节课件


即 设
f ( x ) sin x x=x
F ( x ) = f ( x ) sin x
=0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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铃
2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 , x1 < x2 ,
直线AB的斜率
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) 简要证明 令j(x)=f (x)f (a) f (b) f (a) (xa) ba 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即
1 由于 f (0)=0 f (x) = 因此上式即为 1 x ln(1 x) = x 1x 又由0<x<x 有 x < ln(1 x) < x 1 x
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铃
例4. (p132 6)证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
由此得
f (b) f (a) =0 j (x)=f (x) ba f(b)f(a)=f (x)(ba)
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且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,
' ''
那末(1)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值;
''
(2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值.
''
4. 最大值、最小值问题 步骤: 1.求驻点和不可导点;
1 . 弧微分
0
ds
(dx ) (dy )
2
2
1 对于直角坐标曲线 y f x
2 对于参数曲线
2 . 曲率
0
ds
1 y dx .
2

x t y t
ds
2 2 t dt .
.
y
3
1 k
'
有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值.
'
(3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x ) 符号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
'
定理3(第二充分条件) 设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数,
那末函数 y f ( x ) 在 [ a , b ]上单调减少 .
2. 曲线的凹凸与拐点
设f ( x )在区间I上内连续,
如果对I上任意不同的
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
两点 x1 , x2 , 恒有 f (
x1 x2 2
)
,
那末称 f ( x )在I上的图形是(向上)凹的 ;
曲率和凹 向, 并写出 M 点处两曲线 Nhomakorabea公共曲率圆方 程.
4.
证明不等式
x y 2 , ( x 0, y 0, x y ).
x ln x y ln y ( x y ) ln
5 . 作半径为
r 的球体的外接 h 为何
圆锥 , 问此锥体的高
h
值时 , 该锥体的体积最小 ,
并出此体积
且 f a f b f b
a , b 使得 f
n 1
f
b 0 .
证明
0
3.
过正弦曲线 y sin x 上点 M (
2

2
,1) 处 , 求作一抛物线
y ax bx c 使抛物线与正弦曲线在M 点具有相同的
(1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 a , b上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 a , b 上的图形是凸的 .
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
如果 f ( x )在 ( x0 , x0 )内存在二阶导数,
如果对I上任意不同两点 x1 , x 2 , 恒有
x1 x2 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2
f(
,
那末称 f ( x )在I上的图形是(向上)凸的 ;
定理
如果 f ( x ) 在 a , b 上连续 , 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内
2
,
曲率半经

1 k

(1 y ) 2 y
,


二.
1 . 设 f ( x ) ax
求
2.
n
3
练习题
bx
2
cx d
有拐点（1，2），
并在该点有水平切线，
f (x)
若 f x 有 n 1 阶导数 ,
f ( x ) 交 x 轴于 3 , 0 点 ,
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,
那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值, 则这个极值就 是最值(最大值或最小值). 实际问题求最值: 1)建立目标函数;
2)求最值: 若目标函数只有唯一驻
函数值即为所求的最大
点，则该点的
（或最小）值．
5 弧微分 曲率 曲率圆
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) ,
'
有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x 0 处取得极大值.
'
(2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 )
第三章
习题课二
导数的应用
1 函数单调性的判定法
设函数 y f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，在
0 1 如果在 ( a , b )内 f ( x ) 0，
( a , b )内可导 .
那末函数 y f ( x ) 在 [ a , b ]上单调增加；
2
0
如果在 ( a , b )内 f ( x ) 0，
.
6
若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微, 且 f (0) f 1,
f ( x ) 1, 证明 : f ( x ) 1 2 ( x [0,1])
.
2 k

3
(1 y
2 2 )
( ) 2
2 2
3 . 曲率圆
0
*
( x x0 ) ( y y0 )
曲率圆圆心 :
2
2
1 k
2

2
x0 x
y 1 y y

2

,
2
y0 y
3
1 y y
则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f ( x0 ) 0 .
"
3. 函数的极值及其求法
y
极大值
y
极小值
o
x0
x
o
x0
x
定理1(必要条件) 设 f ( x )在点 x0 处具有导数,
且在 x0 处取得极值,
那末必定 f ( x0 ) 0 .
'
定理2(第一充分条件) 设 f ( x ) 连续 ,