第三章
1、 已知()ij A a =是
n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量
1212(,,
,),(,,
,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=
（1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2）
写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --??
=?
?-??
，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知
308126(1)316,(2)103205114A A --??
??
????=-=-??
??
????----????
试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子
4、 试证：在n
C
上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U
，使H U AU 为对角矩阵，已知
1
31(1)612A ?????
=?????????
?
01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i
i i A i i i i i +--????=----?
???+--??
11(4)11A -??
=??
??
6、 试求正交矩阵Q ，使T
Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-??
，11011110(2)01111011A -??
??-?
?=??
-??-??
7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知
11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -??
??=-??
??--??
8、 设
n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且
1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则
E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满秩。()()1
1()()()--=-+=-+-H
H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，
只要()()1
1
()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U
故H H H =
由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0+≠E iH ，即E iH +满秩。
111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E
9、 若,S T
分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证：
1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。
证明：
1111
[()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS
11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
10、 设,A B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的
特征值相同。
证明：相似矩阵有相同的特征值。A 与B 正交相似?A 与B 的特征值相同。 若A 与B 的特征值相同，又,A B 均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q ，P 使
()()T T T T T Q AQ P BP QP A QP B Λ==?=其中T QP 为正交阵。
11、 设,A B 均是
Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的
特征值相同。 证明：同上一题。
12、 设,A B 均是正规矩阵，试证：与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征
值相同。 同上
13、 设A 是Hermite 矩阵，且2
A A =，则存在酉矩阵U ，使得00
0r H
E U AU ??=?
???
14、 设
A 是Hermite 矩阵，且2A E =，则存在酉矩阵U ，使得
00
r
H
n r E U AU E -??
=?
?-??
。
15、 设
A 为正定Hermite 矩阵，
B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的
特征值实部为0。
证：A 为正定Hermite 矩阵H A L L ?=，L 为满秩的。
1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，()H H H H H LBL LB L LBL ==-
H LBL 是反Hermite 矩阵，
反Hermite 矩阵的特征值实部为0,所以AB 的特
征值实部为0。
16、 设,A B 均是
Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是
实数。
证明：同上题。1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，
()H H H H H LBL LB L LBL ==，H LBL 是Hermite 矩阵，Hermite 矩阵的特征值
为实数,所以AB 的特征值是实数。
17、 设
A 为半正定Hermite 矩阵，且0A ≠，试证：1A E +>。
证明：A 的特征值为0i λ≥，矩阵的行列式等于特征值之积。A E +特征值为1i λ+，(1)1+=+>∏i A E λ
18、 设
A 为半正定Hermite 矩阵，0A ≠，
B 是正定Hermite 矩阵，试证：
A B B +>。
证明：H B L L =，L 为满秩的。
11111
1
()()()------+=+=+=+=+H H H H H H A B A L L L L AL E L L AL E L L L AL E B
11()--H L AL 为半正定Hermite 矩阵，由上题11()1--+>H L AL E ，
11()--+=+>H A B L AL E B B
19、 设
A 为正定Hermite 矩阵，且n n A U ?∈，则A E =。
证明：存在,?∈n n U U H A U U Λ=，1(,
,),0n i diag λλλΛ=>。又n n A U ?∈，
()
2H
H H
H E A A U U U U ΛΛΛ===211i i λλ?=?=H H A U U UEU E Λ?===
20、 试证：（1）两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；（2）半正定
Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的。
提示：考查()H X A B X +
21、 设
A 是正定Hermite 矩阵，
B 是反Hermite 矩阵，试证：A ＋B 是可逆
矩阵。
提示：A 为正定Hermite 矩阵H A L L ?=，L 为满秩的。
11()H H A B L E L BL L --+=+
11
()H L BL --是反Hermite
矩阵，特征值i
λ实部为
0,11()(1)0H i E L BL λ--+=+≠∏，所以0A B +≠
22、 设
A ，
B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相
似。
证明：充分性，酉相似?相似。
必要性，A ，B 是n 阶正规矩阵，111222,,H H n n i A U U B U U U U ΛΛ?==∈，又A 与B 相似, A 与B 的特征值相同,可设
=12ΛΛ，?===∈111122121,H H H H n n A U U U U BU U U U U Λ
23、 设H
A A =，试证：总存在0t >，使得A tE +是正定
Hermite 矩阵，A tE
-是负定Hermite 矩阵。
提示：A 的特征值为i λ，则A tE +的特征值为i t λ+
24、 设
A 是正定Hermite 矩阵，且A 还是酉矩阵，则A E =。
提示：
25、 设
A 、
B 均为正规矩阵。且AB BA =，则AB 与BA 均为正规矩阵。
提示：用Ｐ１５０定理，,A B 可以同时酉对角化。
26、 设H
A A =-，试证：1
()()
U A E A E -=+-是酉矩阵。
提示：
111111[()()]()()()()()()()()()()------=+-+-=---++-=++--=H H U U A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E E
27、 设
A 为n 阶正规矩阵，12,,,n λλλ为A 的特征值，试证：H A A 的特征
值为22212||,||,,||n λλλ。
提示：1
H n U AU λλ??
??=?
?
???
?，11H H n n U A AU λλλλ??
?
?=?????
?
，所以H A A 的特征值为2
i i i λλλ=
28、 设n n
A C
?∈，试证：（1）H A A 和H AA 都是半正定的Hermite 矩阵；（2）
H A A 和H AA 的非零特征值相同。
提示：（1）()()0=≥H H H X A AX AX AX
（2）=?=H H i i A AX X AA AX AX λλ，特征值的重数也相同，参见P191
29、 设
A 是正规矩阵，试证：（1）若0r A =（r 为自然数），则0A =；（2）
若2A A =，则H A A =；（3）若32A A =，则2A A =。
30、 设,H
H
A A B
B ==-，求证以下三条件等价：
（1）A B +为正规矩阵 （2）=AB BA （3）()H AB AB =-
解：（1）?（2）()()()()++=++H H A B A B A B A B H H H H A B B A AB BA ?+=+由,H H A A B B ==-AB BA ?=。
（2）?（3）AB BA =,由,H H A A B B ==-()H H H AB B A AB ?=-=- （2）?（1）()()()()++=-+H A B A B A B A B ,由
AB BA =()()()()A B A B A B A B ?-+=+-
31、设n n A C ?∈，则A 可以唯一的写为A S iT =+，其中,S T 为Hermite 矩阵。且A 可以唯一的写为A B C =+，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵。
解：设A S iT =+，其中,S T 为Hermite 矩阵，则=-=-H H H A S iT S iT 。
,22H H A A A A S T i
+-?==。唯一性（略）
波士顿矩阵案例分析—东芝集团有限公司 东芝集团有限公司简介 东芝（TOSHIBA）是日本最大的半导体制造商，亦是第二大综合电机制造商，隶属于三井集团旗下。东芝原名东京芝浦电气株式会社，1939年由株式会社芝浦制作所和东京电气株式会社合并而成；从1875年开创至今，已经走过了133年的漫长历程。 在民用方面：东芝从一个以家用电器、重型电机为主体的企业转变为包括通讯、电子在内的综合电子电器企业。进入20世纪90年代，东芝在数字技术、移动通信技术和网络技术等领域取得了飞速发展，东芝已成功地从家电行业的巨人转变为IT行业的先锋。在军用方面：东芝从二战至现今依然是负责为日本生产各类坦克、机枪、导弹大炮。 2000年，东芝半导体的销售额继INTEL之后，位居世界第二位。笔记本电脑的市场占有率连续7年保持世界第一。至2000年底，IT产值在东芝总产值中所占的比例已经达到了74%。 相关产品分类： ◆明星产品：手机。这类产品在中国市场中增长率和相对市场占有率都比较高。该 品牌有着很高的市场渗透率和占有率，强势品牌特征非常明显，绝对优势。而且拥有了稳定的顾客群，这类产品可能成为企业的金牛产品，因而需要加大投资以支持其迅速发展。 ◆金牛产品：电脑、电池。上述两个产品低销量增长率，相对市场占有率高，已进入成 熟期。可以为企业提供资金，因而成为企业回收资金，支持其他产品尤其明星产品投资的后盾。 ◆瘦狗产品：微波炉、吸尘器。这类商品在人们心中的含量都不是很高，因为含金量 更高的同样作用的商品大有所在。该品牌销售增长率低，竞争对手强大，相对市场占有率也偏低，采用撤退战略，首先应减少批量，逐渐撤退，对那些销售增长率和市场占有率均极低的产品应立即淘汰。其次是将剩余资源向其它产品转移。 ◆问题产品：多功能条码打印机。这类产品需要更多的资源投入，以赶上最大竞争 者和适应迅速增长的市场，但是又是前途未卜、难定远景。 ?明星型业务转移分析： 手机这类产品还是占有不错的市场，可以向金牛类的产品转移。不过，也有越来越多的新产品新品牌的入侵，应加大宣传力度。 ?金牛型业务转移分析： 电脑、电池。由于竞争对手相对比较多，这类产品还是需要加入一定量的投资去确保它们不落后于其他品牌，所以这类产品在一定程度上会向明星类的业务转移。 ?问题型业务转移分析： 多功能条码打印机的技术还是达不到很成熟的境界，而且分布的范围不是很广，广告在这方面做得也不是很好。不过只要宣传力度足够，是可以向明星类业务转
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
波士顿矩阵分析在实际案例中的运用[1] 上海和达汽车零部件有限公司是由某国内上市公司与外商合的生产汽车零部件的企业。公司于1996年正式投产．配套厂海大众发、一汽大众、上海通用、东风柳汽、吉利、湖南长风武等。 和达公司的主要产品分成五类，一是挤塑和复合挤塑类(密封嵌条、车顶饰条等)；二是滚压折弯类(车门导槽、滑轨、车架管；三是普通金属焊接类(汽车仪表板横梁模块)；四是激光焊接镁合金横梁模块)；五是排档杆类(手动排档总成系列)。 和达公司产品波士顿矩阵分析 A 问题型业务(Question Marks．指高增长、低市场份额) 处在这个领域中的是一些投机性产品。这些产品可能利润率但占有的市场份额很小。公司必须慎重回答“是否继续投资．业务?”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。 从和达公司的情况来看。滚压折弯类产品由于技术含量不高．褴低，未来市场竞争程度必然加剧。所以对于这类产品．最好就是舍弃。由于目前还能带来利润，不必迅速退出，只要目前持必要的市场份额，公司不必再增加投入。当竞争对手大举,可以舍弃。 B 明星型业务(8tsx8，指高增长、高市场份额) 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位份额。但也许不会产生正现金流量。但因为市场还在高速成业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。 对于和达公司来说，铝横梁的真空电子束焊接系统是国内第一家。具有技术上的领先优势。因此企业应该加大对这一产品的投入．以继续保持技术上的领先地位。对于排档杆类产品．由于国内在这个领域的竞争程度还不太激烈，因此可以考虑进入。和达公司应该把这类产品作为公司
矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24． 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则 ),,,(4321ααααR =2． 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值 范围是22< <-a ． 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵， 记????? ??=1000110011P ，??? ?? ??=010*******P ，在则=A （ D ） 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为（B ） )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3
S W O T 1.波士顿矩阵、企业战略分析方法 SWOT是一种分析方法，用来确定企业本身的竞争优势，竞争劣势， 机会和威胁，从而将公司的战略与公司内部资源、外部环境有机结合。因此，清楚的确定公司的资源优势和缺陷，了解公司所面临的机会和挑战，对于制定公司未来的发展战略有着至关重要的意义。 目录 简介 基本规则 主要步骤 SWOT矩阵分析包括组合分析和综合分析两步 分析要点 缺陷 常见错误 其他应用 ?SWOT模型的局限性 ?SWOT分析四种不同类型的组合 展开 简介 SWOT是一种战略分析方法，通过对被分析对象的优势、劣势、机会和 威胁的加以综合评估与分析得出结论，通过内部资源、外部环境有机结合 来清晰地确定被分析对象的资源优势和缺陷，了解所面临的机会和挑战， 从而在战略与战术两个层面加以调整方法、资源以保障被分析对象的实行 以达到所要实现的目标。 SWOT分析法又称为态势分析法，也称波士顿矩阵，它是由旧金山大学 的管理学教授于20世纪80年代初提出来的，是一种能够较客观而准确地 分析和研究一个单位现实情况的方法。
SWOT分别代表：strengths（优势）、weaknesses（劣势）、opportunities(机会)、threats（威胁）。 SWOT分析通过对优势、劣势、机会和威胁的加以综合评估与分析得出结论，然后再调整企业资源及企业策略，来达成企业的目标。 SWOT分析已逐渐被许多企业运用到包括：企业管理、人力资源、产品研发等各个方面。 SWOT分析方法从某种意义上来说隶属于企业内部分析方法，即根据企业自身的既定内在条件进行分析。SWOT分析有其形成的基础。按照企业竞争战略的完整概念，战略应是一个企业“能够做的”（即组织的强项和弱项）和“可能做的”（即环境的机会和威胁）之间的有机组合。著名的竞争战略专家迈克尔.波特提出的竞争理论从产业结构入手对一个企业“可 能做的”方面进行了透彻的分析和说明，而能力学派管理学家则运用价值链解构企业的价值创造过程，注重对公司的资源和能力的分析。SWOT分析，就是在综合了前面两者的基础上，以资源学派学者为代表，将公司的内部分析（即20世纪80年代中期管理学界权威们所关注的研究取向，以能力学派为代表）与产业竞争环境的外部分析（即更早期战略研究所关注的中心主题，以安德鲁斯与迈克尔.波特为代表）结合起来，形成了自己结构化的平衡系统分析体系。与其他的分析方法相比较，SWOT分析从一开始就具有显著的结构化和系统性的特征。就结构化而言，首先在形式上，SWOT分析法表现为构造SWOT结构矩阵，并对矩阵的不同区域赋予了不同分析意义；其次内容上，SWOT分析法的主要理论基础也强调从结构分析入手对企业的外部环境和内部资源进行分析。另外，早在SWOT诞生之前的20世纪60年代，就已经有人提出过SWOT分析中涉及到的内部优势、弱点，外部机会、威胁这些变化因素，但只是孤立地对它们加以分析。SWOT方法的重要贡献就在于用系统的思想将这些似乎独立的因素相互匹配起来进行综合分析，使得企业战略计划的制定更加科学全面。 SWOT方法自形成以来，广泛应用于战略研究与竞争分析，成为战略管理和竞争情报的重要分析工具。分析直观、使用简单是它的重要优点。即使没有精确的数据支持和更专业化的分析工具，也可以得出有说服力的结论。但是，正是这种直观和简单，使得SWOT不可避免地带有精度不够的缺陷。例如SWOT分析采用定性方法，通过罗列S、W、O、T的各种表现，形成一种模糊的企业竞争地位描述。以此为依据作出的判断，不免带有一定程度的主观臆断。所以，在使用SWOT方法时要注意方法的局限性，在罗列作为判断依据的事实时，要尽量真实、客观、精确，并提供一定的定量数据弥补SWOT定性分析的不足，构造高层定性分析的基础。 基本规则 进行SWOT分析的时候必须对公司的优势与劣势有客观的认识；
波士顿矩阵案例应用 摘要:对于同时经营多项业务的企业来说，为了使企业的发展能够与千变万化的市场机会之间取得切实可行的适应，就必须合理地在各项业务之间分配资源。波士顿矩阵作为一个有效的工具，能够在分析企业业务单元的基础上，通过对企业业务的优化组合实现企业的现金流量平衡，从而优化公司的投资组合。关键词: 波士顿矩阵投资组合业务单元汽车零部件 1 、波士顿矩阵的概念 波士顿矩阵是由美国大型商业咨询公司——波士顿咨询集团( Boston Consulting Group )首创的一种规划企业产品组合的方法。波士顿矩阵认为一般决定产品结构的基本因素有二个:即市场引力与企业实力。以上两个因素相互作用，产生四种不同性质的产品类型: A 销售增长率和市场占有率“ 双高” 的产品群(明星类产品); B 销售增长率和市场占有率“ 双低” 的产品群(瘦狗类产品); C 销售增长率高、市场占有率低的产品群(问号类产品); D 销售增长率低、市场占有率高的产品群(现金牛类产品)。 2 、实际案例运用 上海和达汽车零部件有限公司是由某国内上市公司与外商合资经营的生产汽车零部件的企业。公司于 1996 年正式投产，配套厂家有上海大众发、一汽大众、上海通用、东风柳汽、吉利、湖南长风武汉神龙等。 和达公司的主要产品分成五类，一是挤塑和复合挤塑类(密封条、侧嵌条、车顶饰条等);二是滚压折弯类(车门导槽、滑轨、车架管梁等) ;三是普通金属焊接类(汽车仪表板横梁模块);四是激光焊接类(铝镁合金横梁模块);五是排档杆类(手动排档总成系列)。 和达公司产品波士顿矩阵分析
A 问题型业务( Question Marks ，指高增长、低市场份额) 处在这个领域中的是一些投机性产品。这些产品可能利润率很高，但占有的市场份额很小。公司必须慎重回答“ 是否继续投资，发展该业务, ” 这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。 从和达公司的情况来看，滚压折弯类产品由于技术含量不高，进入门槛低，未来市场竞争程度必然加剧。所以对于这类产品，最好的选择就是舍弃。由于目前还能带来利润，不必迅速退出，只要目前依然保持必要的市场份额，公司不必再增加投入。当竞争对手大举进入时，可以舍弃。 B 明星型业务( stars ，指高增长、高市场份额) 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位的市场份额，但也许不会产生正现金流量。但因为市场还在高速成长，企业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。 对于和达公司来说，铝横梁的真空电子束焊接系统是国内第一家，具有技术上的领先优势。因此企业应该加大对这一产品的投入，以继续保持技术上的领先地位。对于排档杆类产品，由于国内在这个领域的竞争程度还不太激烈，因此可以考虑进入。和达公司应该把这类产品作为公司的明星业务来培养，要加大对这方面的
【全集】波士顿矩阵的来源与案例分析 波士顿咨询集团法（又称波士顿矩阵、四象限分析法、产品系列结构管理法等）是由美国大型商业咨询公司——波士顿咨询集团（Boston Consulting Group）首创的一种规划企业产品组合的方法。 60年代中后期，美国在经历了第二次世界大战后普遍的繁荣时期之后，进入了一个低速、缓慢增长阶段。多数企业面临的问题是：市场容量逐渐趋于饱和；市场需求变化大，产品寿命周期缩短；劳务费用上升，资金流动性差，使企业面临的经营不确定性与不稳定性增强；竞争加剧导致企业平均收益下降。而其中对跨行业，多种经营类型的企业影响最为显著。为了寻找其中原因，波士顿咨询集团对美国57个公司的620种产品进行了历时三年的调查，从中发现一个普遍规律，即市场占有有率高的公司，质量高，研究开发及促销费用占销售额的比重高，资金利润率也高；反之，市场占有率低的公司，资金利润率也低。而在差别较大的行业中，可能存在市场占有率低而收益高，或者市场占有率高而收益低的企业类型。问题的关键在于要解决如何使企业的产品品种及其结构适合市场需求的变化，只有这样企业的生产才有意义。同时，如何将企业有限的资源有效地分配到合理的产品结构中去，以保证企业收益，是企业在激烈竞争中能否取胜的关键。 对于一个拥有复杂产品系列的企业来说，一般决定产品结构的基本因素有二个：即市场引力与企业实力。市场引力包括企业销售量（额）增长率、目标市场容量、竞争对手强弱及利润高低等。其中最主要的
是反映市场引力的综合指标——销售增长率，这是决定企业产品结构是否合理的外在因素。企业实力包括市场占有率，技术、设备、资金利用能力等，其中市场占有率是决定企业产品结构的内在要素，它直接显示出企业竞争实力。销售增长率与市场占有率既相互影响，又互为条件：市场引力大，销售增长率高，可以显示产品发展的良好前景，企业也具备相应的适应能力，实力较强；如果仅有市场引力大，而没有相应的高销售增长率，则说明企业尚无足够实力，则该种产品也无法顺利发展。相反，企业实力强，而市场引力小的产品也预示了该产品的市场前景不佳。 通过以上两个因素相互作用，会出现四种不同性质的产品类型，形成不同的产品发展前景：①销售增长率和市场占有率“双高”的产品群（明星类产品）；②销售增长率和市场占有率“双低”的产品群（瘦狗类产品）；③销售增长率高、市场占有率低的产品群（问号类产品）；④销售增长率低、市场占有率高的产品群（现金牛类产品）。 对于企业来说，如果能同时具有问号产品，明星产品和现金牛产品这三类，就有希望保持企业当前的利润和长远利润的稳定，形成合理的产品结构，维持资金平衡。 1．基本原理与基本步骤 （1）基本原理。本法将企业所有产品从销售增长率和市场占有率角度进行再组合。在座标图上，以纵轴表示企业销售增长率，横轴表示市场占有率，各以10%和20%作为区分高、低的中点，将座标图划分为四个象限，依次为“问号（？）”、“明星（★）”、“现金牛（￥）”、
BCG矩阵分析及实例 问题：碧浪明星：朵朵现金牛：海飞丝瘦狗类：伊卡璐明星问题现金牛瘦狗类 0 产品市场增长率相对市场占有率销售额碧浪 18% 0.4 1亿朵朵 13% 7 5亿海飞丝 8% 4 15亿伊卡璐 3% 0.7 2亿分析与建议： 1、对于问题类产品碧浪而言，现在洗衣粉市场充斥着各种各样的品牌，碧浪已经渐渐没入人们的眼球，已渐渐不再是碧浪的时代。公司对碧浪的投资上面，广告等投入的减少使其占有市场率降低，而对于其他品牌来看，它也不再有了独特的竞争优势。如果想要提高其市场占有率，大量投入广告费用是必要的，但是也需要再度研发出和其他洗衣粉不同的优势出来，否则应该是无法起死回生了。 2、对于明星类产品朵朵而言，公司在它身上的投资是其发展的一个重要基石。赠品，体验装等的发放使它迅速在消费者之间流传开来，知道它的存在。对于一个新产品而言，大量的投资花在体验品上提高知名度而非在广告上的确是一个非常好的选择，不仅让消费者知道了这个产品，还用到了这个产品，比广告的空洞更具有说服力。但是宣传是要周期的，如果一直是体验装的话那么正装怎么大量销售呢？ 3、对于现金牛类产品海飞丝而言，不得不说它取得了巨大的成功。很多消费者为头屑而烦恼，而海飞丝正是根据这个问题而生产的，不仅去屑效果好，还不伤发质，在这点上就打败了很多去屑产品了。海飞丝有着固定的客源，存在时间也较长了，所以它的市场增长率不会太高，但是因为它已经深入了客户的心，所以处于市场的领先地位。但是市场纷繁复杂，产品多如牛毛，如果海飞丝一直固守着去屑而不发展的话，相信不久也会没落，所以也该不定 20% 10% 市场增长率 0 10 1 0.1 相对市场增长率时研究注入新的活力才好。 4、对于瘦狗类产品伊卡璐而言，它已经进入了下市的边缘。起初，伊卡璐是以香气打开了洗护的市场，但是由于除了香之外，没有太多效果，不久就被市场淹没。现在的消费者已不再只追求香味，更重要的是护法，去屑等多重功效，所以只以香气文明的伊卡璐沦为瘦狗类产品是可以预见的。伊卡璐的香仍是独树一帜的，但是必须加入更多的元素才行。但相信更可取的是让伊卡璐退市，集中精力在其他产品上面，将它的特色和其他产品融合相信也是不错的选择
第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由
案例: 案例: 华东某糖果企业(以下简称A企业),产品主要有鲜奶企业), 华东某糖果企业(以下简称企业),产品主要有鲜奶喜糖,喉糖,咖啡糖,水果糖, 糖,喜糖,喉糖,咖啡糖,水果糖,软糖分析步骤: 分析步骤首先我们应该将产品在波士顿矩阵中按要求标明分析: 分析: 一:单个产品分析通过产品在波士顿矩阵中的位置, 通过产品在波士顿矩阵中的位置,我们可以很清楚的看到不同产品所处的位置奶牛类:水果糖,咖啡糖,这两种产品市场增长率不高, 奶牛类:水果糖,咖啡糖,这两种产品市场增长率不高, 但是市场相对占有率较高, 但是市场相对占有率较高,可以为企业提供较好的利润来源,这类产品通常并不需要进行过多的市场维护和资源投其产品销量主要来自于消费者的习惯性消费, 入,其产品销量主要来自于消费者的习惯性消费,产品的自然流动性较好,但是这类产品要随时注意竞争者的动态, 自然流动性较好,但是这类产品要随时注意竞争者的动态, 以竞争为营销策略的导向; 以竞争为营销策略的导向; 明星类:鲜奶糖,软糖,这两种产品处于高速增长期,需要企业投入明星类:鲜奶糖,软糖,这两种产品处于高速增长期, 较大的资源去扶持和提升,这类产品通常会有两种情况, 较大的资源去扶持和提升,这类产品通常会有两种情况,一种是产品随行业性普遍的增长而增长,俗语说是"搭了顺风船" 随行业性普遍的增长而增长,俗语说是"搭了顺风船",第二种是行业性没有增长,而本企业产品在高速成长. 业性没有增长,而本企业产品在高速成长.两种不同的增长必定是采用不用的营销策略的,所以必须要分清楚.对于A企业来奶糖这个品用不用的营销策略的,所以必须要分清楚.对于企业来奶糖这个品类的增长是行业性的增长,那么奶糖的竞争相对来说较弱, 类的增长是行业性的增长,那么奶糖的竞争相对来说较弱,资源投入也可以相对较小些,可以做些普通的促销推广工作就可以了, 也可以相对较小些,可以做些普通的促销推广工作就可以了,而软糖这个品类是企业产品的增长,而非行业性增长, 这个品类是企业产品的增长,而非行业性增长,那么这个增长意味着A企业需要从竞争对手处抢夺市场份额,则资源投入相对来说要大得企业需要从竞争对手处抢夺市场份额, 企业需要从竞争对手处抢夺市场份额而能否保持持续增长也并不只是取决于A企业自身的市场资源投多,而能否保持持续增长也并不只是取决于企业自身的市场资源投同时要考虑的因素还有竞争对手对于市场的投入情况,所以A企入,同时要考虑的因素还有竞争对手对于市场的投入情况,所以企业的鲜奶糖可以为企业提供一定的现金流, 业的鲜奶糖可以为企业提供一定的现金流,而软糖则是需要投入大量的资源,为企业贡献的现金流和利润相对来说就小很多了. 的资源,为企业贡献的现金流和利润相对来说就小很多了.所以对于这两个产品来说,鲜奶糖是一个可以重点培养的产品, 这两个产品来说,鲜奶糖是一个可以重点培养的产品,而软糖则是应该是费用控制型的产品; 该是费用控制型的产品; 问题类:喉糖,这个产品有较高的市场增长率, 问题类:喉糖,这个产品有较高的市场增长率, 但是市场占有率很低, 但是市场占有率很低,通常这种增长更多的是行业性的增长,所以对于A企业来说企业来说, 业性的增长,所以对于企业来说,喉糖是一个机会, 机会,但是这个机会大小取决于竞争对手实力的强弱,资源投入的大小. 企业在喉糖的营销策强弱,资源投入的大小.A企业在喉糖的营销策略方面应该是在企业资源条件具备的前提下重点投入,有效投入; 投入,有效投入; 劣狗类:喜糖,对于企业来说,喜糖是一个相劣狗类:喜糖,对于A企业来说企业来说, 对市场占有率很低,市场增长率也很低的产品, 对市场占有率很低,市场增长率也很低的产品, 对于这个产品, 企业进行资源投入的成效也不对于这个产品,A企业进行资源投入的成效也不所以喜糖这个产品对于A企业来说应该放弃企业来说应该放弃. 大,所以喜糖这个产品对于企业来说应该放弃. 二,产品规划策略分析结合产品的生命周期来看,企业最理想的状态是没有劣狗类产品, 结合产品的生命周期来看,企业最理想的状态是没有劣狗类产品, 奶牛类产品,明星类产品占绝大多数, 奶牛类产品,明星类产品占绝大多数,同时还应该有相当的问题类产品预备,那么,对于A企业来说现在的产品结构是否合理, 企业来说, 品预备,那么,对于企业来说,现在的产品结构是否合理,产品的中长期规划应该如何去进行,这同样在波士顿矩
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
一、填空题 1、4[]R x 表示实数域R 上所有次数小于或等于3的多项式构成的向量空间,则微分算子 D 在4[]R x 的基 321234(),(),(),()1p x x p x x p x x p x ====下的矩阵表示______________。 2、λ-矩阵 322(1)()(1)A λλλλλλ??- ?=- ? ??? 的初等因子组为______________________ _______________, Smith 标准形是___________________________ 3、已知矩阵210024120A -??? ?=??????，则 1____,A =____,A ∞= _____F A = 其中1,∞??分别是由向量的1-范数和∞-范数诱导出来的矩阵范数（也称算子范数）， F ?是矩阵的Frobenius 范数。 4. 已知函数矩阵222()2x A x x ??= ???，则22()d A x dx =___________, 5、已知n 阶单位矩阵I , 则 sin _______,2I π= 2______,i I e π=cos _______.I π= 6、设()m J a 表示主对角元均为 a 的m 阶Jordan 块。则 ()k m J a 的Jordan 标准形为________ _______, ()k m J a 的最小多项式为___________，这里0,a ≠ ,m k 是整数且 1,1m k >≥. 二、 已知 220260114A -????=?????? ， （1）求矩阵的Jordan 标准形和最小多项式； （2）求矩阵函数 sin ,.t A A e 30(())_______.t A x dx '=?
2014矩阵分析试卷 一、判断题（不要求证明）（20分） 1.设n 是大于1的整数，{()|()}V f x f x n F =是次数小于的域上的多项式，V 关于多项式的加法与数乘是一个域F 上的线性空间。 （ √ ） 2.设a r 为XOY 面上的非零向量，V 为XOY 面内所有不平行于a r 的向量构成的集合，V 关于向量的加法与数乘是一个域R 上的线性空间。 （ × ） 3.设V 是域F 上的线性空间, V α∈不是零向量，映射:,()V V ξξα→=+A A 是V 上的线性变 换。 （ × ） 4. 设A 是数域R 上的对称阵，映射:,()n n R R A αα→=A A 是n R 上的对称变换。 （ √ ） 二、计算题 1. （1,1,1,1）T 2. 已知1 12212W ={,},W ={,}Span a a Span b b ，而 1212(0,1,1,1),(1,0,2,0);(0,3,3,1),(1,2,0,0)a a b b =-==-=。 12W W ?的基为(1,1,3,1)T --与维数1； 12122212W +W ={,,}={,,}span span ααβαββ的基122,,ααβ或212,,αββ与维数3 3. 23:,()R R A ββ→=A A ，基 123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1) ααα===及基 12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵为110=211T B ?? ? ?? 。 4. （10分）设线性变换22:R R →A ，在基12(1,0),(0,1)ββ==的矩阵为12=24A ?? ??? ，求A 的核为{k(-2,1)| k}T ?、值域的基1 2+2β β，维数1。 6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ?? ? ? ??? 的满秩分解 7.（24分）设矩阵308=3-16-20-5A ?? ? ? ??? ，求可逆矩阵P ，使得1 P AP -为约当阵。 A E -λ = ??? ? ? ??+-+---502613803 λλλ→ ????? ??++2)1(0001 0001λλ，
22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 12 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差1 11 X σ=的方差 21X g = 1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.83511 00.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ?? ?
波士顿矩阵案例应用 摘要：对于同时经营多项业务的企业来说，为了使企业的发展能够与千变万化的市场机会之间取得切实可行的适应，就必须合理地在各项业务之间分配资源。波士顿矩阵作为一个有效的工具，能够在分析企业业务单元的基础上，通过对企业业务的优化组合实现企业的现金流量平衡，从而优化公司的投资组合。 关键词：波士顿矩阵投资组合业务单元汽车零部件 1 、波士顿矩阵的概念 波士顿矩阵是由美国大型商业咨询公司——波士顿咨询集团（Boston Consulting Group ）首创的一种规划企业产品组合的方法。波士顿矩阵认为一般决定产品结构的基本因素有二个：即市场引力与企业实力。以上两个因素相互作用，产生四种不同性质的产品类型： A 销售增长率和市场占有率“ 双高” 的产品群（明星类产品）；B 销售增长率和市场占有率“ 双低” 的产品群（瘦狗类产品）； C 销售增长率高、市场占有率低的产品群（问号类产品）； D 销售增长率低、市场占有率高的产品群（现金牛类产品）。 2 、实际案例运用 上海和达汽车零部件有限公司是由某国内上市公司与外商合资经营的生产汽车零 部件的企业。公司于1996 年正式投产，配套厂家有上海大众发、一汽大众、上海通用、东风柳汽、吉利、湖南长风武汉神龙等。 和达公司的主要产品分成五类，一是挤塑和复合挤塑类（密封条、侧嵌条、车顶饰条等）；二是滚压折弯类（车门导槽、滑轨、车架管梁等）；三是普通金属焊接类（汽车仪表板横梁模块）；四是激光焊接类（铝镁合金横梁模块）；五是排档杆类（手动排档总成系列）。 和达公司产品波士顿矩阵分析 A 问题型业务（Question Marks ，指高增长、低市场份额） 处在这个领域中的是一些投机性产品。这些产品可能利润率很高，但占有的市场份额很小。公司必须慎重回答“ 是否继续投资，发展该业务？” 这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。
波士顿矩阵案例及习题 1波士顿矩阵 波士顿矩阵（BCG Matrix），又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等，是由美国著名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创的一种用来分析和规划企业产品组合的方法。这种方法以发展率和相对市场份额为坐标，将企业业务分为：明星业务、奶牛业务、瘦狗业务和问题业务四种。这种方法的核心在于，要解决如何使企业的产品品种及其结构适合市场需求的变化，只有这样，企业的生产才有意义。同时，如何将企业有限的资源有效地分配到合理的产品结构中去，以保证企业收益，是企业在激烈竞争中能否取胜的关键. 它用来帮助管理层实现他们对多种产品的组合进行分析，以提高企业整体的财务业绩。两个指标的计算： 市场增长率＝（本期的销售额－上期的销售额）÷上期的销售额（高低分界点无绝对的标准） 市场份额是指一个企业的产品或者服务在特定市场中的销售收入占所有在这个市场中销售收入总额的百分比。相对市场份额能够通过比率来评估，同最大竞争者的市场份额进行比较。 相对市场占有率＝本企业某产品的市场占有率÷该产品最大竞争对手的市场占有率（以1为高低分界点） 产品1：20%÷40%=0.5 产品2：20%÷10%=2 波士顿矩阵的纵坐标表示产品的市场增长率，横坐标表示本企业的相对市场份额。根据市场增长率和市场份额的不同组合，可以将企业的产品分成四种类型：明星产品、金牛产品、问号产品和瘦狗产品。一个企业的所有产品，都可以归入这四种类型，依据其所处的地位采取不同的战略。 明星产品。（双高产品） 明星产品代表在高增长的市场中占有高份额。市场占有率高使得产品可以获得较多利润和营业现金流入；市场增长率高使得产品具有投资价值，短期需要资本投入超过产生的现金，以便保持它们的市场地位，但是未来会带来高额的回报。市场份额有足够大的开发机会，但高增长率将吸引新来者或竞争者。因此，必须再次大量投入现金以维持企业现有的地位并加
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0 的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此 即对称矩阵组成(1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间， 只需找出(1) 2 n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这 (1) 2n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=????+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++= 1210,3x x x +==