1.（2014?菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数是
2. 如图，DE分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=?CE，?则 AC与 BC的大小关系是（）
A．＞B．= C．＜D．不能确定
3．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①
AD CD BC
==；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合. 正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
4. 如图，在⊙O中，
AB AC
=，∠B=70°，则∠C=_____．
5.如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且
AD BC
=，?那么与∠AOE?相等的角有_____，与∠AOC相等的角有_________．
6.如图，AB是⊙O 的直径，，∠COD=35°，∠AOE= .
B
A
9-§3.1 圆 一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.） 1.圆的对称性： （1）轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 （2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 2. 圆的相关性质： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 如图1，⊙O 和⊙O 1是两等圆，111AOB AO B ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. 如图2，在⊙O 中，11AOB AOB ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 如图3所示，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，根据圆心角、弧、弦之间的关系填空： ① 若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ； ②若CD ，则AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，AB ＝CD ． 二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.） 1.圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。（圆的中心对称性是旋转不变性的特例） 2.在运用本节课所学的圆的相关性质时，一定要抓住“同圆，等圆”这一重要前提。 3.本节课采用的几何图形研究方法总结：折叠，轴对称，旋转，推理证明等。 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.） 【典例】如图，在⊙O 中，AB ，CD 为是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ． 图1 图2 B D A C O 图3
第2章圆 2．1 圆的对称性 基础题 知识点1 圆的有关概念 1．下列说法正确的是(C) A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．直径只有一条 2．下列命题中正确的有(A) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图，已知AB是⊙O的弦，且AB＝OA，则∠AOB＝60度． 4．如图，在⊙O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上． (1)图中共有几条弦？请将它们写出来； (2)请任意写出两条劣弧和两条优弧． 解：(1)2条，它们是弦AE，AD.
(2)答案不唯一，如：劣弧有AC ︵，DE ︵等，优弧有ACE ︵，AEC ︵ 等． 知识点2 点与圆的位置关系 5．已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是(C) A ．点A 在⊙O 上 B ．点A 在⊙O 内 C ．点A 在⊙O 外 D ．点A 与圆心O 重合 6．已知⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是(A) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是(D) A ．(3，4) B ．(4，4) C ．(4，5) D ．(4，6) 8．已知⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则点P 与圆O 的位置关系是点P 在⊙O 上或⊙O 外． 9．(教材P46练习T2变式)已知⊙O 的半径为5 cm ，A 为线段OP 中点，试判断点A 与⊙O 的位置关系： (1)OP ＝6 cm ；(2)OP ＝10 cm ；(3)OP ＝14 cm. 解：(1)点A 在圆内．(2)点A 在圆上．(3)点A 在圆外． 知识点3 圆的对称性 10．下列图形中，不是轴对称图形的是(A)
3．2 圆的对称性 课时安排 2课时 从容说课 圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念． 本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理． 本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明． 第二课时 课题 §3．2．1 圆的对称性(一) 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的 计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过 程，进一步体会和理解研究几何图形的各种 方法． 2．培养学生独立探索，相互合作交流的 精神． (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 教学重点 垂径定理及其逆定理． 教学难点 垂径定理及其逆定理的证明． 教学方法 指导探索和自主探索相结合． 教具准备 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1 A) 第二张：想一想(记作§3．2．1 B) 教学过程 I．创设问题情境，引入新课， [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?， [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?
圆的对称性与性质 【重点知识】 1.弦心距：圆心到弦的距离. 2.圆周角：顶点在圆上，它的两边分别和圆相交的角，叫做圆周角. 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 5.直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径. 【归纳总结】 1.在同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等.此四项中任何一项成立，则其余对应的三项都成立. 【典型例题】 例1.①如图1，在⊙O 中，,AB AC = 070,A ∠=则C ∠=______. ②如图2，已知,,A B C 在⊙O 上，且040,BAC ∠=则OCB ∠=_____. ③如图3，已知AB 是⊙O 的直径，,,C D E 都是⊙O 上的点，则12∠+∠=_____. ④如图4，已知圆心角AOB ∠的度数为0100，则圆周角ACB ∠的度数是______. (图1) （图2） （图3） （图4） (图5) ⑤如图5，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点,,,,8,1,G B F E GB cm AG cm == 2,DE cm =则EF =_______cm ． ⑥如图6，在⊙O 中，0 60,3,ACB D AC ∠=∠==则ABC ?的周长为________． ⑦（2008湘潭）如图7，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 ． 图6 图7
⑧（2008重庆）已知，如图8，AB 为⊙O 的直径，,AB AC BC =交⊙O 于点,D AC 交⊙O 于点0,45.E BAC ∠=给出以下五个结论：①0 22.5;EBC ∠=②;BD DC =③2;AE EC = ④劣弧? AE 是劣弧?DE 的2倍；⑤.AE BC =其中正确结论的序号是 . ⑨（2008黄石）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ． 图8 图9 ⑩如图10，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= . 例2.①在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为AOB ∠=______. ②⊙O 的半径2,OA =弦,AB AC 的长为一元二次方程20x x -+=的两 个根，则BAC ∠=_____. ③如图，在⊙O 中，AB 是直径， CD 是一条弦，//,AB CD 圆周角030,10,CAD AB cm ∠==则弦CD 的长是______. ④如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ） A. COE DOE ∠=∠ B. CE DE = C.OE BE = D. BD BC = ⑤（2008上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 ③图 ④图 ⑤图 ⑥图 B ?E D C B A O 20 题图 图10
圆的对称性 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝ 4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形， 利用勾股定理求解。 解： 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第8题 3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ， 则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，则CD ＝___________。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为 ，你能求 出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 第5题 第11题
学上教育 数学 学科个性化导学案 学生 教师 左老师 班主任 日期 2018/7/ 时间段 8:00-10:00 年级 八年级 课时 2小时 课题 2.2 圆的对称性（2） 课堂类型 学情分析 重点 (学习目标) 圆的对称性 难点 圆的对称性 教学辅助设备 教案 教学过程 教学内容 第2章 对称图形——圆 2.2 圆的对称性（2） 【基础提优】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ．CB ⌒=BD ⌒ C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD 第1题 第2题 2．如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） A ．42 B ．82 C ．25 D ．45 3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ） A ．4m B ．5m C ．6m D ．8m
第3题第4题 4．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为（） A．25 6 cm B．5cm C．4 cm D． 19 6 cm 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM 的长不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5 第5题第6题 6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=23，OC=1，则∠B= ． 7．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ． 第7题第8题 8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm． 9．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长．
第27章圆 27.1.2．圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。
第一环节 课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境，引入新课 活动内容： 问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？ 活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容： （一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性； 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： 它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。 （二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。
圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒
【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？
【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝
湘教版九年级数学下册第2章圆§2.1圆的对称性教案 教学目标： 【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.点与圆的位置关系. 【过程与方法】 通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】 结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 教学过程： 一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象. 1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形. 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识. 二、思考探究，获取新知 1.圆的定义 问题如教材P 图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？ 43
由此你能得到什么结论？ 【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象. 如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心 的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”. 注意:圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.点与圆的位置关系 一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有 （1）点P在⊙O内d＜r （2）点P在⊙O上d=r （3）点P在⊙O外d＞r 3.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC) 直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径. 注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB. 注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. ②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧. 小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧. 等圆:能够重合的两个圆叫做等圆. 注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等. 等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧. 注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等. ②等弧只存在于同圆或等圆中. 【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打
2 圆的对称性 一、选择题（共 10 小题） 1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与 坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和 120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴于点 A ，则点 A 的坐标为（ ） ） C ．（ ，0） D ．（1， ） 2．已知 ⊙O 中，弦 AB 长为 ，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 3．下列说法： ① 若∠1 与∠2 是同位 角， 则 ∠1=∠ 2 ② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④ 等腰梯形是轴对称图形， 但不是中心对称图形 ⑤ 平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ． 2 D ． 3 4．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若 ∠AOB= α，则弦 AB 的长为（ ） A ． B ． 2Rsin α C ． D ． Rsin α 5．已知矩形 ABCD 的边 AB=3 ，AD=4 ，如果以点 A 为圆心作 ⊙ A ，使 B ，C ，D 三点中在圆内和在圆外都至少 有一 个点，那么 ⊙ A 的半径 r 的取值范围是（ ） A ． 3 圆的对称性测试题1（含答案） 27.1.2圆的对称性1 农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题） 1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且A B⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm或 cm 4．如图，⊙O的直径CD 垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（） A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90° 6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（） A．4 B． C． D． 7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（） A．3 B．3 C． D． 8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（） A． B． C．3 D．2 二．填空题（共6小题） 9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B 两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= _________ ． 10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是_________ ． 11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC 的最小值为_________ ． 12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为_________ cm． 13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N 是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________ ． 14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1， 2 圆的对称性 关键问答 ①在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都具有什么关系？ ②弧、弦、圆心角之间的相等关系成立的前提是什么？ 1.① 下列命题中正确的有( ) (1)相等的圆心角所对的弧相等；(2)圆是中心对称图形；(3)长度相等的两条弧是等弧；(4)圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 2．如图3－2－1，已知AB 是⊙O 的直径，D ，C 是劣弧EB 的三等分点，∠BOC ＝40°，那么∠AOE 的度数是( ) 图3－2－1 A ．40° B ．60° C ．80° D ．120° 3．② 如图3－2－2，ABD ︵＝BDC ︵，若AB ＝3，则CD ＝________． 图3－2－2 命题点 1 利用圆的对称性解题 [热度：81%] 4.③如图3－2－3所示，三个大小不同的圆的圆心都为O ，AB ＝4 cm ，CD ⊥AB 于点O ，则图中阴影部分的面积为________cm 2. 图3－2－3 方法点拨 ③求解不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形. 5．学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，如图3－2－4，你认为符合设计要求的图案是________．(将所有符合设计要求的图案的序号都填上) 图3－2－4 命题点 2 圆心角、弧、弦之间的关系 [热度：74%] 6.④如图3－2－5，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么( ) A .A B ︵>2CD ︵ B .AB ︵<2CD ︵ C .AB ︵＝2C D ︵ D .AB ︵与2CD ︵ 的大小关系不能确定 易错警示 ④注意弧与弦的对应关系. 7．如图3－2－6，C ，D 为半圆的三等分点，则下列说法正确的有( ) 图3－2－6 ①AD ︵＝CD ︵＝BC ︵ ；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8．如图3－2－7，在三个等圆上各有一条劣弧：AB ︵，CD ︵，EF ︵，如果AB ︵＋CD ︵＝EF ︵ ，那么AB ＋CD 与EF 的大小关系是( ) 图3－2－7 A ．A B ＋CD ＝EF B ．AB ＋CD ＜EF C ．AB ＋C D ＞EF D ．大小关系不确定 命题点 3 利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明 [热度：100%] 9.⑤ 如图3－2－8，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若BC ＝CD ＝DA ＝4 cm ，则⊙O 的周长为( ) 图3－2－8 A ．5π cm B ．6π cm C ．8π cm D ．9π cm 解题突破 ⑤利用同圆中，等弦所对的圆心角相等，再结合圆的性质，即可解决. 10. ⑥⑦形如半圆的量角器的直径为4，把它放在如图3－2－9所示的平面直角坐标系中(量 角器的中心与坐标原点O 重合，零刻度线在x 轴上)，连接60°和120°刻度线的端点P ，Q ，线段PQ 交y 轴于点A ，则点A 的坐标为( ) 2.1 圆的对称性 【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.点与圆的位置关系. 【过程与方法】 通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】 结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象. 1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形. 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识. 二、思考探究，获取新知 1.圆的定义 问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象. 如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做 半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”. 注意:圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.点与圆的位置关系 一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有 （1）点P在⊙O内d＜r （2）点P在⊙O上d=r 3.2 圆的对称性 01 基础题 知识点1 圆的对称性 1．下列语句中，不正确的是( ) A ．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合 D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 2．(泰安中考)下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为____________(结果保留π)． 知识点2 圆心角、弧及弦之间的关系 4．在同圆或等圆中，如果AB ︵＝CD ︵ ，那么AB 和CD 的关系是( ) A ．A B ＞CD B ．AB ＝CD C ．AB ＜C D D ．AB ＝2CD 5．(厦门中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠A ＝30°，则∠B＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15° 6．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( ) ①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵ ；③AC＝BD ；④∠BOD＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等．其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③ 8．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空： (1)若AC ＝BC ，则____________； (2)若AC ︵＝BC ︵ ，则____________； (3)若∠AOC＝∠BOC ，则____________． 9．如图，BD 是⊙O 的直径，AB ＝CD ，且∠AOB＝50°，则∠AOC 的度数为____________． 10．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵ 的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由． 02 中档题 11．(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵ ，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( ) A ．51° B ．56° C ．68° D ．78° 12．形如半圆形的量角器直径为4 cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O 重合，零刻度线在x 轴上)，连接60°和120°刻度线的两个端点P 、Q ，线段PQ 交y 轴于点A ，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，3) B ．(0，3) C ．(3，0) D ．(1，3) 13．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵ ，则下列结论正确的是( ) A ．AB>2CD B ．AB ＝2CD 27.1.2 圆的对称性（1） 【学习目标】 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 【学习重难点】 重点：理解圆的中心对称性及有关性质 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 【学法指导】 通过观察、动手操作、合作交流等方法探索圆中的圆心角、弦、弧之间的关系，运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。 【自学互助】 1、自学教材p37-38内容 2、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' ⑵在⊙O 和⊙O ' 中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、' 'B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O ' 重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA ' 重合 在操作的过程中，你有什么发现？___________________________ 3、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 4、圆心角、弧、弦之间的关系： ___________________________________________________________________。 5、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O ' 半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦填空： （1）若AB=CD （2）若AB= CD （3）若∠ AOB=∠6那么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 【展示互导】 活动1．学生展示自主学习内容并相互交流 活动2． 如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ，∠ABC 与∠BAC 相等吗？ 为什么？ ’ ’ C ︵ ︵ 课题 圆的对称性（二） 学科 数学 课型 新课 年级 九 主备人 张勇博 审核人 班级 姓名 2.通过动手操作发现圆中圆心角、弧、弦、弦心距的关系。 3、根据所学知识能解决具体问题。 学习重点：圆心角所对的弧 所对的弦，及弦心距之间的关系。 学习过程： 一、回顾引入： （1）圆是 对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 。 （2）根据圆的轴对称性我们得到了垂径定理为： 结合图形用几何语言叙述此定理： 二、预习导学：自学课本102—105页后填空： 1、圆是 对称图形，它的对称中心是 。 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦、两条弦上的弦心距中有一组量相 等，那么其它他量相等吗？你能说明吗？ 结合104页例2的图形用几何语言叙述它的用法，和合同伴交流。 三、研讨展示： 1.重点研讨：如图，在⊙O 中，弦CD AB =，AB 的延长线与CD 的延长线相交于点P ， 直线OP 交⊙O 于点E ，F ，你以为APE ∠与CPE ∠有什么大小关系？为什么？ 2.巩固性训练： A 组：1、下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等 2．下列命题中，不正确的是（ ） A ．圆是轴对称图形 B ．圆是中心对称图形 C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D ．以上都不对 3、下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直 径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A.3个 B.2个 C.1个 D.4个 4、同圆中，两条弦长分别为a 和b ，它们的弦心距分别为c 和d ，若c >d ，则有（ ） A.a >b B.a §3.2 圆的对称性（第二课时） 学习目标: 圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学习重点: 圆心角、弧、弦之间关系定理． 学习难点: “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．学习方法: 指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由. 【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？ 【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2． 二、课内练习： 1、判断题 （1）相等的圆心角所对弦相等（） （2）相等的弦所对的弧相等（） 2、填空题 ⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度． 3、选择题 如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点， OE ⊥AB ，垂足为E ，若AC ＝2.5 cm ，ED ＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，则AB 长度是___________． A 、6 cm B 、8 cm C 、7 cm D 、7.5 cm 4、选择填空题 如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ， 求证：OP 平分∠BPD ． 证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ． A OM⊥P B B OM⊥AB C ON⊥C D D ON⊥PD 三、课后练习： 1．下列命题中，正确的有（ ） A ．圆只有一条对称轴 B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等 3．下列命题中，不正确的是（ ） A ．圆是轴对称图形 B ．圆是中心对称图形 C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D ．以上都不对 4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ） A ．43R B ．23R C ．3R D ．23R 5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（ ） A ．23 B ．3 C ．5 D ．25 2.2圆的对称性（1）教案 【教学目标】 1、知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 2、理解圆的对称性；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系；会运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。 3、经历用“叠合法”、旋转的思想探索圆的对称性的过程，引出圆心角、弧、弦之间的相等关系定理，体现了知识之间的密切联系。 4、通过分析、观察、归纳、类比等数学活动，激励学生努力探求未知知识的积极性，并从中获取解决具体问题的方法。 【重点、难点】 重点：认识圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，同时圆还具有旋转不变性，从而得出圆心角、弧、弦之间的相等关系。 难点：如何运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。 【教学过程】 一、情境创设： 情境1：（1）我们在八年级已经学过中心对称图形，那什么是中心对称图形呢？ （2）我们采用的是什么方法来研究中心对称图形的呢？ 让几位学生回答（直至有学生回答中有“旋转”一词） 通过引出“旋转”的概念，为下面的操作、思考埋下伏笔。 情境2：操作、思考： 把学生分四个学习小组学生动手活动、折叠、旋转圆的图片，多媒体演示，引导学生观察、归纳探究本节课的第一个知识点。 将其中一个圆旋转任意角度，两个圆还能重合吗？ 利用旋转的方法可以得到：一个圆绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。特别是：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 设计意图：以复习中心对称的概念作为情境创设，并指出旋转变换是我们研究中心对称图形的常用方法，引起学生思考：是否可以用类似的方法研究圆的中心对称性呢？ 二、探索活动： 活动一：尝试与交流 请同学们拿出课前准备好的两张透明白纸，（操作步骤） （1）分别作半径都为5㎝的⊙O、⊙O/； （2）在⊙O、⊙O/中，分别作相等的圆心角∠AOB、∠A/O/B/ 连接AB、A/B/； （3）将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O/重合； （4）用图钉固定圆心，将其中的一个圆旋转某个角度，使得OA与O/A/重合。 你发现了什么？请与同学交流。 ；AB=A/B/；OA=OB=O/A/=O/B/；∠OAB=∠OBA=∠O/A/B/= ∠O/B/ A/ A A' n 0的弧 5.2（1）圆的对称性教学设计 教学目标： 1．经历利用旋转变换探索圆的中心对称性的过程，理解圆的中心对称性及其相关性质； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间的关系定理及其简单应用； 3．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观念、推理能力等等。 教学重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其简单应用。 教学难点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其简单应用。 教学过程: 一、自学质疑：自学课本P 111-112的内容。 思考：1．什么是中心对称图形？2．我们采用什么方法研究中心对称图形？ 3．课本中如何探索出圆心角、弧、弦之间的关系？结论是什么？ 二、交流展示: 1．按照书上步骤进行小组活动： 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流，你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 符号语言：（在同圆或等圆中） （1）∠AOB=∠''' AO B ? ''AB A B =，''AB A B = （2）'' AB A B = ?' ' AB A B =，∠AOB=∠' '' AO B （3）'' AB A B = ?'' AB A B = ，∠AOB=∠' '' AO B 试一试： 2．如图,已知⊙O 、⊙O ' 半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦.填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若 AB= CD ，则 ， （3）若∠AOB=∠CO ' D ，则 ， . 3．在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ 结论：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. C ’ ’圆的对称性测试题1(含答案)
2 圆的对称性
2.1 圆的对称性.1 圆的对称性
北师大版数学九年级下册3.2 圆的对称性
27.1.2 圆的对称性(1)
40圆的对称性2
数学：3.2圆的对称性(第2课时)教学案(北师大版九年级下)
2.2圆的对称性(1)教案
圆的对称性教学设计(1)
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