曲线半径、弦长、正矢之间的关系：
当 时，
（mm ） 当 时， （mm ） 式中
—圆曲线正矢（mm ） —圆曲线半径（m ）
现场正线曲线取弦长为20 m 计算正矢值。 现场站线曲线取弦长为10 m 计算正矢值。 （一）圆曲线上各测点计划正矢
圆曲线计划正矢 （mm ）
圆曲线始终点的计划正矢 （mm ） （二）缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变大的，由直缓点向缓圆点方向变化的大小，叫缓和曲线的正矢递增率。
1.缓和曲线始终点计划正矢
R
L f 82
=
m L 20=R
f 50000
=m L 10=R f 12500=
f R R
f c 50000
=2
c
）
（f f =终始()()()
N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢缓和曲线的正矢递增率=()6
N f ）（f 缓和曲线正矢递增率
缓和曲线始点正矢始=
()
始终
缓和曲线始点正矢缓和曲线终点正矢f f ）（f
c -=
2.缓和曲线中间各测点计划正矢
式中 —缓和曲线中间各测点的计划正矢
（ ）；
—测点距缓和曲线始点的段数 —缓和曲线的正矢递增率
【例题】 已知曲线半径R=300m ，缓和曲线长为70 m （如图3所示）求缓和曲线上各测点计划正矢值。
【解】
mm
mm
mm
mm
ZH
0123
4
5
678
HY QZ
YH
HZ
缓和曲线中间各测点的计划正矢为
N
i i f N f =i f 1,21-=N i ，i N N f 167300
50000
50000≈==R f c ()()247
167
≈==N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢()46
24
6===N f ）（f ZH 始正矢直缓点()1634167=-=-=始终
正矢缓圆点f f ）（f
HY c
图2缓和曲线
mm
mm
mm mm mm mm
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
24
24111=?==N f N f 4824222=?==N f N f 7224333=?==N f N f 9624444=?==N f N f 12024555=?==N f N f 14424666=?==N f N f
第二章 曲线正矢计算公式的理论局限 由图中可知：AD ＝f ，即曲线正矢；BD ＝L/2，即弦长的一半。 正矢计算公式为：f ＝（L/2）2/（2R －f ）＝L2/4（2R －f ）。 在（2R －f ）中，由于f 与2R 相比甚小，可忽略不计， 则公式可近似写成为：f ＝L 2/8R 弦长L 现场一般取为20m ,当L ＝20m 时，有f ＝50000/R 而精确的的正矢数值应当为：f ＝R （1－cos(α/2)） 假定有一曲线，半径R ＝500米，用近似公式求得的正矢为： f ＝50000/R ＝50000/500＝100mm 精确的正矢值为： f ＝R （1－cos(α/2)）＝500×（1－cos(10/500)）=99.99666mm 二者相差不到0.1mm ，所以利用简便公式不影响计算结果，该公式完全可以在日常生产中使用。 但以简便公式为基础推导出的公式是否也适用便值得商榷了，以一个近似的 A ｆ 2 Ｌ B C D R α 图一 O
公式推导出的公式可能会使误差扩大，以致于影响到计算结果的正确，下面就我们常用的两个推导公式进行试算，以观察其结果的差异。 第一个推导公式是计算道岔导曲线支距的公式 以50kg/m 型9号道岔为例： 自导曲线起点至终点全长15.793米，K ＝2115mm ，尖轨长6.25米，导曲线半径R ＝180717.5mm 。 如图二示，由尖轨跟端（导曲线起点）处作两条辅助线，一线与基本轨平行，一线为尖轨的延长线。显然，各点支距都被截为三段，ｙ０、A 、Ｂ。用化简法将各点的ｙ０、A 、Ｂ计算相加，即是其各点的支距。 计算公式为：Y ｉ＝ｙ0+ A ｉ+ B ｉ A ｉ＝ｕ×2000÷ｌ尖×ｉ B ｉ＝（2×支距点横距）2/(8R)=(2×2000×ｉ)2/(8R)=20002/(2R 外)×ｉ2 导曲线起点ｙ０＝ｕ 导曲线终点ｙ终＝S －Ksin α≈S －K/ N S ———轨距 N ———道岔号数 K 2m 2m Y 终 Y 0 Y 0 A 1 A 2 B 1 B 2 Y 0 B ｉ A ｉ R R 起点 1 2 L 尖 ｉ 终点 α S 图二：导曲线支距计算示意图
第一讲：曲线正矢计算 一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R L=20M时，F C=50000/R F ZY=F YZ= F C/2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Fμ=（FC/2）*（δ/10）2 ZY后点：Fη=FC-{（FC/2）*（τ/10）2} FC：圆曲线正矢δ：ZY点到后点的距离τ：ZY点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F0=F1/6（缓和曲线起点）F终= F C-F0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算： F1=F S= F C/N （N=L0/B：缓和曲线分段数） F2=2 F1 F3=3F1 F I=IF1（I为中间任意点） 四、半点（5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算： F后=25/48*F1 因为ZH点正矢f0=f1/6,很小一般为1~2MM，其前半点很小（小于1MM）因此不作计算。 b)HY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1/2{[L03+（L0-15）3]/6R L0+[5L0+25]/2R}-（L0-5）3/6R L0 c)HY（YH）点后半点计划正矢的计算 F后=1/2{[ （L0-5）3 -L03]/6R L0+[5L0+175]/2R} d)中间点（5米桩）正矢的计算
F中=（F前+F后）/2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ=αυF S(直缓点外点) αυ=1/6(δ/B)3 Fη=αηF S(直缓点内点) αη=1/6[(1+δ/B)3-(δ/B)3] (2) 缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C-αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ= F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内) (αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二) (3)缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 F I=(F C/L0)L I（I为中间任意点） 说明：B：半弦长δ：缓和曲线内点到ZH、HY（YH）距离 L0：缓和曲线长F C：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 1、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变，或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 （2）假定曲线上某点拨动时，其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 2、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等； （2）拨动曲线时，某点的正矢增（减）X，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3）只要铺设时曲线圆顺，养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总和不变，即拨道前后量得的正矢总和相等。
绳正法曲线拨道计算 一、基本原则 1. 为了保证曲线两端的直线在拨道后方向不变，既使曲线的转角不变，在整个曲线上的实量正矢之和应该与计划正矢总和相等。既： ① 实量正矢和=计划正矢和。 ② 实量正矢-计划正矢=正矢差，正矢差的总和应该等于0，由此得到的拨道最后的一点正矢差累计也应该等于0。 2. 保证曲线两端的直线位置不变，即：使曲线或拨道控制点的头尾半拨量和拨量通过修正等于0。使正矢实量总和与计划正矢总和相等是调整以及安排计划正矢的唯一依据；使曲线的首尾拨道量等于0是计算拨道量时的基本要求。 二、整正曲线时的两个基本要求 1. 拨量要小 在整正计算的过程中，要考虑现场以及劳力的实际情况尽量减少拨道量和拨道点数量，一般情况下两者成反比，既调整点数越少拨量越大，调整点数越多拨量越小。在桥梁护轨、路堤、路堑、缺碴地段、信号墩台处所应事先调查好可以的拨道量和点号作为调整和计算的依据。在困难条件下一般不得大于40毫米，电气化铁路不得大于30毫米，超过该标准的应根据《安规》要求设置防护和慢行计划。 2. 拨后的曲线要圆顺 拨后的正矢应该符合《维规》中对缓和曲线正矢差、圆曲线连续差和最大最小差的要求，即拨后缓和曲线正矢要尽量的递增递减一致，圆曲线正矢尽量均匀一致。 三、曲线整正计算 ⑴曲线中央点位置(QZ )： ? ? ?? ? ? ? ? ?= +==∑∑∑∑=-i n i i i i f f i f f f QZ 1 1)(现场正矢合计现场正矢到累计合计,i 为测点号，n 为总测点数
⑵圆曲线平均正矢（p f ）： 已知曲线半径，R f p 50000= （20米弦）或R f p 12500 =（10米弦） 不知曲线半径，n f f i p ∑= = 测量正矢的测点数 现场正矢合计 式中，n 为相对应的正矢测点数。 ⑶圆曲线分段数M ： p i f f M ∑= =圆曲线平均正矢 现场正矢合计 ⑷圆曲线长度(y L ):m M L y 10?= ⑸圆曲线头尾位置(ZY ,YZ )： 2M QZ ZY - = 2M QZ YZ += ⑹缓和曲线的分段数(m ): 10 10h L m == 缓和曲线长度 如不知缓和曲线的长度，可根据公式max 9Hv L h =先求缓和曲线长度。 式中 h L -------缓和曲线长度 H -------曲线超高值 m ax v ------线路容许速度 ⑺缓和曲线始终点位置(ZH ,HY ,YH ,HZ ) 2m ZY ZH - =，2m ZY HY += 2m YZ YH -=，2m YZ HZ += 说明：在圆曲线上设缓和曲线，是将缓和曲线长度的一半放在圆曲线上，另一半放在直线上。所以，圆曲线的直圆点和圆直点分别是两个缓和曲线的中央点。 ⑻无缓和曲线时，整桩上圆曲线始终点正矢：
第一讲：曲线正矢计算 一、曲线的分类: 目前我段主要曲线类型有: １、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线.容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线. 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R Ｌ＝２０M时,F C=５００00/R ＦZY＝FＹZ= F C/2 ２、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Ｆμ＝（FC/２) ＊（δ/10）２ ZY后点：Ｆη＝ＦC—{（ＦＣ／2）＊（τ/10）2｝ FC:圆曲线正矢δ:ＺY点到后点的距离τ：ZＹ点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点) （1）缓和曲线头尾的计算： Ｆ0＝F1/6（缓和曲线起点) F终＝ FＣ—Ｆ0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算: F1=F S＝FＣ/N （N=L0／B：缓和曲线分段数) Ｆ2＝2 F1 F3＝3F１ＦＩ=ＩF1（I为中间任意点) 四、半点(5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算: Ｆ后=25/４8＊F1 因为ＺH点正矢ｆ0=ｆ１/6，很小一般为1～2MＭ，其前半点很小(小于1MM）因此不作计算。 b)ＨY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1／2｛［L03+（L0－1５）3］/6R Ｌ0＋［５L0+2５］/2R｝－（Ｌ０-5）3/６R Ｌ0 c)HＹ(YH)点后半点计划正矢的计算 F后=1／2｛［ (Ｌ0-5）３ -L03］/6R L0＋［5L0+1７５］/2R｝
d)中间点(5米桩）正矢的计算 F中＝(Ｆ前+Ｆ后）／2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ＝αυF S (直缓点外点）αυ=1/6（δ/B）３ Ｆη=αηF S （直缓点内点）αη＝１/６［（1＋δ/B）３—（δ/B）3］（2）缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C—αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ＝ F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内） （αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二） (３）缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 ＦI＝（ＦC／L0）L I（I为中间任意点) 说明:Ｂ:半弦长δ:缓和曲线内点到ZH、ＨY(YH）距离 L0:缓和曲线长ＦC：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 １、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变,或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 (２)假定曲线上某点拨动时,其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 ２、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等; （２)拨动曲线时，某点的正矢增（减)Ｘ，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3)只要铺设时曲线圆顺,养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总
一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C =L 2/8R L=20M 时， F C =50000/R F ZY =F YZ = F C /2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY 前点： F μ=（FC/2） * （δ /10 ）2 ZY 后点： F η=FC-{（FC/2） * （τ /10 ）2} FC ：圆曲线正矢 δ： ZY 点到后点的距离 τ： ZY 点到前点的距离三、 缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F =F /6 （缓和曲线起点） F 终 =F-F （缓和曲线终点） 01 C （2）缓和曲线中间点正矢的计算： F=F= F /N （N=L/B ：缓和曲线分段数） 1SC F 2=2 F 1 F 3=3F 1F I =IF 1（I 为中间任意点） 四、 半点（ 5 米桩）正矢的计算： a) ZH 点后半点正矢的计算： F 后=25/48*F 1 因为 ZH 点正矢 f 0=f 1/6, 很小一般为 1~2MM ，其前半点很小（小于 1MM ）因 此不作计算。 b) HY （YH ）点前半点计划正矢的计算 F =1/2{[L 3 +（L -15 3 +25]/2R}- 3 /6R L 前 0 ） ]/6R L +[5L （L-5） 0 0 c) HY （YH ）点后半点计划正矢的计算 F 后=1/2{[ （L 0-5 ）3 -L 03]/6R L 0+[5L 0+175]/2R} d) 中间点（ 5 米桩）正矢的计算 F 中=（F 前+F 后）/2 五、 测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a) 缓和曲线始点 (ZH 点) 处相邻测点的计划正矢
曲线正矢计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
曲线半径、弦长、正矢之间的关系： 当 时， （mm ） 当 时， （mm ） 式中 —圆曲线正矢（mm ） —圆曲线半径（m ） 现场正线曲线取弦长为20 m 计算正矢值。 现场站线曲线取弦长为10 m 计算正矢值。 （一）圆曲线上各测点计划正矢 圆曲线计划正矢 （mm ） 圆曲线始终点的计划正矢 （mm ） （二）缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变大的，由直缓点向缓圆点方向变化的大小，叫缓和曲线的正矢递增率。 1.缓和曲线始终点计划正矢 2.缓和曲线中间各测点计划正矢 R L f 82 = m L 20=R f 50000 =m L 10=R f 12500=f R R f c 50000 =2 c ）（f f =终始()()() N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢缓和曲线的正矢递增率=()6 N f ）（f 缓和曲线正矢递增率 缓和曲线始点正矢始= () 始终 缓和曲线始点正矢缓和曲线终点正矢f f ）（f c -=
式中 —缓和曲线中间各测点的计划正矢（ ）； —测点距缓和曲线始点的段数 —缓和曲线的正矢递增率 【例题】 已知曲线半径R=300m ，缓和曲线长为70 m （如图3所示）求缓和曲线上各测点计划正矢值。 【解】 mm mm mm mm ZH 0123 45 678 HY QZ YH HZ 缓和曲线中间各测点的计划正矢为 图2缓和曲线 mm N i i f N f =i f 1,21-=N i ，i N N f 167300 50000 50000≈== R f c ()()247 167 ≈== N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢()4 6 246===N f ）（f ZH 始正矢直缓点()163 4167=-=-=始终 正矢缓圆点f f ）（f HY c 24 24111=?==N f N f
曲线正矢计算 曲线半径、弦长、正矢之间的关系: 2L f, 8R 50000 f, 当时， (mm) L,20m R 12500 当时， (mm) f,L,10m R f式中—圆曲线正矢(mm) —圆曲线半径(m) R 现场正线曲线取弦长为20 m计算正矢值。现场站线曲线取弦长为10 m计算正矢值。 (一)圆曲线上各测点计划正矢 50000f圆曲线计划正矢 (mm) ,cR fcf,圆曲线始终点的计划正矢 (mm) 始，终，2 (二)缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变 大的，由直缓点向缓圆点方向变化的大小，叫缓和曲线的正 矢递增率。 圆曲线计划正矢f，，c缓和曲线的正矢递增率f, ，，N，，一端缓和曲线分段数N1.缓和曲线始终点计划正矢 ，，缓和曲线正矢递增率fN，f，,缓和曲线始点正矢始6 ，，缓和曲线终点正矢，f，,f,缓和曲线始点正矢fc 终始
2.缓和曲线中间各测点计划正矢 f,Nf iiN fi,1，2？,N,1式中—缓和曲线中间各测点的计划正矢i ( ); fN —测点距缓和曲线始点的段数 Ni —缓和曲线的正矢递增率 【例题】已知曲线半径R=300m，缓和曲线长为70 m(如 图3所示)求缓和曲线上各测点计划正矢值。 【解】 5000050000mm f,,,167cR300 圆曲线计划正矢f167，，cmm f,,,24N，，一端缓和曲线分段数N7 f24Nmm ，，直缓点ZH正矢，f，,,,4始87654663QZHYYH210ZHHZ mm ，，缓圆点HY正矢，f，,f,f,167,4,163c终始 缓和曲线中间各测点的计划正矢为 图2缓和曲线 f,Nf,1，24,24mm 11N mm f,Nf,2，24,4822N mm f,Nf,3，24,7233N mm f,Nf,4，24,9644N mm f,Nf,5，24,12055N
铁路轨道曲线正矢计算(修正) 第一讲: 曲线正矢计算 一、曲线的分类: 目前我段主要曲线类型有: 1、由两端缓与曲线与圆曲线组成的曲线,如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L 2/8R L=20M 时,F C=50000/R F ZY=F YZ= F C/2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY 前点:F 卩=(FC/2) *( S/10)2 ZY 后点:F n =FC-{(FC/2) *( T /10)2} FC:圆曲线正矢S :ZY点到后点的距离T :ZY点到前点的距离 三、缓与曲线上整点正矢的计算(起始点正好就是测点) (1)缓与曲线头尾的计算: F o=F i/6(缓与曲线起点)F终二F c-F o (缓与曲线终点) (2)缓与曲线中间点正矢的计算: F I=F S=F C/N(N=L o/B：缓与曲线分段数) F2=2 F1 F3=3F1 F I=IF1(I 为中间任意点) 四、半点(5米桩)正矢的计算: a)ZH 点后半点正矢的计算: F 后=25/48*F i 因为ZH点正矢f o=f i/6,很小一般为1~2MM,其前半点很小(小于1MM)因此不作计算。 b)HY(YH) 点前半点计划正矢的计算 F 前= 1/2{[L o3+(L o-15)3]/6R L o+[5L o+25]/2R}-(L o-5)3/6R L o c)HY(YH) 点后半点计划正矢的计算 F 后=1/2{[ (L o-5)3 -L o3]/6R L o+[5L o+175]/2R} d)中间点(5米桩)正矢的计算 F 中=(F 前+F 后)/2 五、测点不在曲线始终点时缓与曲线计划正矢的计算
曲线绳正法拨道及正失计算 一、曲线绳正法概述 曲线圆度通常是用半径来表达，如果一处曲线，其圆曲线部分各点半径完全相等，而缓和曲线部分从起点开始按照同一规律从无限大逐渐减少，到终点时和圆曲线半径相等，那就说明这处曲线是圆顺的。但是铁路曲线半径都是很大的。现场无法用实测半径的方法来检查曲线圆度，通常以曲线半径(R)、弦长(L)、正矢(f)的几何关系来检验，如图1一1。 图1－1 以弦线测量正矢的方法，即用绳正法来检查曲线的圆度，用调整正矢的方法，使曲线达到圆顺。测量现场正矢时，应用20m弦，在钢轨踏面下16mm处测量正矢，其偏差不得超过《修规》规定的限度。
注：曲线正矢用20m 弦在钢轨踏面下16mm 处测量。 《修规》绳正法拨正曲线的基本要求 一、曲线两端直线轨向不良，应事先拨正；两曲线间直线段较短时，可与两曲线同时拨正。 二、在外股钢轨上用钢尺丈量，每10m 设置1个测点(曲线头尾是否在测点上不限)。 三、在风力较小条件下，拉绳测量每个测点的正矢，测量3次，取其平均值。 四、按绳正法计算拨道量，计算时不宜为减少拨道量而大量调整计划正矢。 五、设置拨道桩，按桩拨道。 二、曲线整正的基本原理 (一)两条假定 1、假定曲线两端切线方向不变，即曲线始终点拨量为零。 切线方向不变，也就是曲线的转角不变。即∑f 现=∑f 计 式中：∑f 现——现场正矢总和 ∑f 计——计划正矢总和 同时还要保证曲线两端直线不发生平行移动，即始终点拨量为零，即 e 始=e 终=∑∑--=10 1 002n n df
式中：e 始——曲线始点处拨量 e 终——曲线终点处拨量 df ——正矢差，等于现场正矢减计划正矢 ∑∑--10 1 02n n df —-全拨量。即为二倍的正矢差累计的合计。 2、曲线上某一点拨道时，其相邻测点在长度上并不随之移动，拨动后钢轨总长不变。 (二)四条基本原理 1、等长弦分圆曲线为若干弧段，则每弧段正矢相等。 即等圆等弧的弦心距相等(平面几何定理)。 2、曲线上任一点拨动，对相邻点均有影响，对相邻点正矢的影响量为拨点处拨动量的二分之一，其方向相反。 这是由于线路上钢轨是连续的，拨动曲线时，某一点正矢增加，前后两点正矢则各减少拨动量的二分之一值；反之，某一点正矢拨动量减少，前后两点正矢则随之增加拨量的二分之一值。如图1—2所示。i 点处由f i 拨至i ＇点，此时，i i i e f f +'＝ (此时仅限于i —l 及i+l 点保证不动)。i 点的拨动对i 一1点和i+1点正矢产生影响均为 2 i e - 。同理，若i 一1点和i+1点分别拨动e i 一1和e i+1，则对i 点影响各为21-- i e 和2 1+-i e 。 ∴2 1 1'+-+- +=i i i i i e e e f f
第一讲:曲线正矢计算 一、曲线得分类: 目前我段主要曲线类型有: 1、由两端缓与曲线与圆曲线组成得曲线,如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成得曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢得计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L２/8Ｒ L=2０Ｍ时,ＦC=50００0/R F ZY=ＦYZ= F C/2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ＺY前点:Fμ=（ＦC/2) *（δ／１0)2 ZY后点:Fη=FC－{（ＦC/２) *(τ/10)2} FC：圆曲线正矢δ：ZY点到后点得距离τ:ZＹ点到前点得距离 三、缓与曲线上整点正矢得计算(起始点正好就是测点) （1）缓与曲线头尾得计算: Ｆ0＝F1/6（缓与曲线起点) F终=F C－F0 (缓与曲线终点） (2)缓与曲线中间点正矢得计算: Ｆ1=F S= F C/N (Ｎ＝L0/B:缓与曲线分段数) Ｆ２=２Ｆ１F3=3Ｆ1 ＦI=IF1(I为中间任意点) 四、半点(5米桩)正矢得计算: a)ZH点后半点正矢得计算： F后＝25/４８*Ｆ1 因为ＺH点正矢ｆ0＝f1／６,很小一般为1~２MM，其前半点很小(小于1ＭM)因此不作计算。 b)HY(YH)点前半点计划正矢得计算 Ｆ前=１/2{[L03+(L0－１5)3]/６R L0+[5L０+2５］／2R}-(L0－５）3/６R L０ c)HY(YH）点后半点计划正矢得计算 F后＝1/２｛[(L０-５)3－L０３]/６R L０+［5L0+17５]/２R} d)中间点(５米桩）正矢得计算 F中＝（Ｆ前+F后)/2 五、测点不在曲线始终点时缓与曲线计划正矢得计算
a)缓与曲线始点(ZH点)处相邻测点得计划正矢 Fμ=αυF S(直缓点外点）αυ＝1/6（δ/Ｂ)３ Fη=αηＦＳ(直缓点内点) αη＝1/6[(1+δ/B)３-(δ／B)3] (2）缓圆点处相邻测点得计划正矢 Fφ=ＦC－αυＦS (缓圆点外点,缓与曲线之外) Fθ=FＣ－αηF S (缓圆点内点,缓与曲线之内) （αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二) （3)缓与曲线中间点各点计划正矢得计算 F I=(F C／L0)L I(I为中间任意点) 说明：B：半弦长δ:缓与曲线内点到ZH、ＨＹ(YH)距离 L0:缓与曲线长F C:圆曲线正矢 第二讲:曲线拨道 一、绳正法基本原理 １、基本假定: (1)假定拨道前后两端切线方向不变,或起始点位置不变,即曲线终点拨量为零。 (2)假定曲线上某点拨动时,其相邻点不随之发生移动,拨后钢轨总长不变。 2、由以上假定得出以下基本原理： （1)用等长得弦测量圆曲线正矢，正矢必相等; (２)拨动曲线时，某点得正矢增(减)X，其前后两点得正矢各减少(增加）X ／2。 （3)只要铺设时曲线圆顺，养护维修中无论拨成任何不规则曲线,其正矢总与不变,即拨道前后量得得正矢总与相等。 （4)拨道时,整个曲线各测点正矢增减量得总与(代数与)等于零。 二、曲线拨道计算: (1)求曲线曲中点位置
曲线半径、弦长、正矢之间的关系: 当 时, (mm) 当 时, (mm) 式中 —圆曲线正矢(mm) —圆曲线半径(m) 现场正线曲线取弦长为20 m 计算正矢值。 现场站线曲线取弦长为10 m 计算正矢值。 (一)圆曲线上各测点计划正矢 圆曲线计划正矢 (mm) 圆曲线始终点的计划正矢 (mm) (二)缓与曲线正矢就是从直线往圆曲线方向逐渐由小变大的,由直缓点向缓圆点方向变化的大小,叫缓与曲线的正矢递增率。 1、缓与曲线始终点计划正矢 R L f 82 =m L 20=R f 50000=m L 10=R f 12500=f R R f c 50000=2 c ）（f f =终始()()() N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢缓和曲线的正矢递增率=()6 N f ）（f 缓和曲线正矢递增率缓和曲线始点正矢始=() 始终缓和曲线始点正矢缓和曲线终点正矢f f ）（f c -=
2、缓与曲线中间各测点计划正矢 式中 —缓与曲线中间各测点的计划正矢( ); —测点距缓与曲线始点的段数 —缓与曲线的正矢递增率 【例题】 已知曲线半径R=300m,缓与曲线长为70 m(如图3所示)求缓与曲线上各测点计划正矢值。 【解】 mm mm mm mm ZH 012345678HY QZ YH HZ 缓与曲线中间各测点的计划正矢为 图2缓与曲线 mm mm mm mm mm mm N i i f N f =i f 1,21-=N i ，i N N f 1673005000050000≈== R f c ()()247167≈==N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢()46246===N f ）（f ZH 始正矢直缓点()1634167=-=-=始终正矢缓圆点f f ）（f HY c 2424111=?==N f N f 4824222=?==N f N f 7224333=?==N f N f 9624444=?==N f N f 12024555=?==N f N f 14424666=?==N f N f
复曲线中间缓和曲线正矢计算新方法 摘要：通过实例提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，并对该方法作了简要分析和论证 关键词：复曲线 中间缓和曲线 正矢计算方法 一、引 言 目前铁路线路仍有相当数量的复曲线存在，其中间缓和曲线的正矢计算方法，很多教科书以及铁路专业书，包括《铁路工务技术手册（线路业务）》，以及崔恩波、娄永录所著论述曲线的专著《曲线设备与曲线整正》（中国铁道出版社）等，均没有提及。本文在此提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，即计算曲线上任一点的直角坐标，来间接计算曲线上任意弦长、任意两点间的正矢。这种方法的优点在于原理简单，计算精确，消除了传统计算方法的误差，可以将计算结果控制在任意需要的精度。 二、复曲线中间缓和曲线正矢的计算方法推导 对于复曲线的中间缓和曲线，无论采用哪种布设方法，均应满足如下条件： 1、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处半径相等。 2、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处具有公共的切线。 我国采用的常用缓和曲线其长度和半径的关系为： 00 00l R l R l R l R l ?=?----缓和曲线上距始点长度为处的半径缓和曲线上任意一点距始点的距离 缓和曲线终点处半径缓和曲线长度 如图1，两圆半径为1R ，2R 且12R R >；延长中间缓和曲线至ZH '，使
其半径从2R 渐变到R =+∞，则可求得中间缓和曲线的全长L 21()n L R L l R ?=-? ∴ 1 12 n R L l R R = ?- L -中间缓和曲线全长 n l -中间缓和曲线长度 图1 如图1，曲线上A B C 、、均为测点，有两各情况： 1、测点的始、终点均不位于中间缓和曲线上。则正矢的计算与普通曲线一样，在此不作论述。 2、测点的始、终点有一个或均位于中间缓和曲线上，其正矢的计算在此提出如下的方法，假设A B C 、、的位置如图所示。 如果A B C 、、在同一坐标系内的坐标能够求出，则A B 、（或B C 、） 点的正矢可以用坐标计算。连接A B 、及B C 、，AB 的中点为1 P ， AB 的中点为D ，BC 的中点为2P ， BC 的中点为E ，则1P D 、2 P E 即为A B 、及B C 、点的正矢。采用这一方法计算正矢，关键在于计算曲线上各点的坐标。
曲线半径、弦长、正矢之间的关系： 当 时， （mm ） 当 时， （mm ） 式中 —圆曲线正矢（mm ） —圆曲线半径（m ） 现场正线曲线取弦长为20 m 计算正矢值。 现场站线曲线取弦长为10 m 计算正矢值。 （一）圆曲线上各测点计划正矢 圆曲线计划正矢 （mm ） 圆曲线始终点的计划正矢 （mm ） （二）缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变大的，由直缓点向缓圆点方向变化的大小，叫缓和曲线的正矢递增率。 1.缓和曲线始终点计划正矢 R L f 82 = m L 20=R f 50000=m L 10=R f 12500=f R R f c 50000 =2 c ）（f f =终始()() () N f f c N 一端缓和曲线分段数 圆曲线计划正矢缓和曲线的正矢递增率= () 6 N f ）（f 缓和曲线正矢递增率 缓和曲线始点正矢始 = () 始 终 缓和曲线始点正矢 缓和曲线终点正矢 f f ）（f c -=
2.缓和曲线中间各测点计划正矢 式中 —缓和曲线中间各测点的计划正 矢（ ）； —测点距缓和曲线始点的段数 —缓和曲线的正矢递增率 【例题】 已知曲线半径R=300m ，缓和曲线长为70 m （如图3所示）求缓和曲线上各测点计划正矢值。 【解】 mm mm mm mm 12 345678 HY QZ YH HZ 缓和曲线中间各测点的计划正矢为 N i i f N f =i f 1,21-=N i ，i N N f 167 300 5000050000≈== R f c ()()24 7 167 ≈== N f f c N 一端缓和曲线分段数 圆曲线计划正矢()4 6 246 == = N f ）（f ZH 始 正矢 直缓点 ()1634167=-=-=始终 正矢缓圆点f f ）（f HY c
第 一 讲 ： 曲 线 正 矢 计 算 一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C =L 2/8R L=20M 时， F C =50000/R F ZY =F YZ = F C /2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY 前点： F μ=（FC/2） * （δ /10 ）2 ZY 后点： F η=FC-{ （FC/2） * （τ /10 ）2} FC ：圆曲线正矢 δ： ZY 点到后点的距离 τ： ZY 点到前点的距离三、 缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F 0=F 1/6 （缓和曲线起点） F 终= F C -F 0 （缓和曲线终点） （2）缓和曲线中间点正矢的计算： F 1=F S = F C /N （N=L 0/B ：缓和曲线分段数） F=2 F 1 F 3 =3F F =IF （I 为中间任意点） 2 1 I 1 四、 半点（ 5 米桩）正矢的计算： a) ZH 点后半点正矢的计算： F 后=25/48*F 1 因为 ZH 点正矢 f 0=f 1/6, 很小一般为 1~2MM ，其前半点很小（小于 1MM ）因此不作计算。 b) HY （YH ）点前半点计划正矢的计算 F 前 =1/2{[L 3 3 ]/6R L 0+[5L 0+25]/2R}- 3 0 +（L 0-15 ） （L 0-5 ） /6R L 0 c) HY （YH ）点后半点计划正矢的计算 F 后=1/2{[ （L 0-5 ） 3 -L 3 0 ]/6R L 0+[5L 0+175]/2R} d) 中间点（ 5 米桩）正矢的计算
曲线正矢设置讲义 曲线正矢设置讲义 讲解关于曲线的基础知识，主要有以下三方面的内容：
1.曲线绳正法、 2.曲线正矢设置。 绳正法： 利用曲线正矢与曲线之间关系，改正正矢，使其恢复原来设计曲率，通过相应拨量，拨正到原来位置。 一、曲线整正的基本原理 （一）两条假定 1．假定曲线两端切线方向不变，即曲线始终点拨量为零。 2．曲线上某一点拨道时，其相邻测点在长度上并不随之移动。 （二）四条基本原理 1．现场正矢的合计等于计划正矢的合计。 2．曲线上任意点的拨动，对相邻点正矢的影响量为拨动点拨动量的二分之一，其方向相反。 3．曲线上各点正矢之和为一常数。 4．曲线上各点正矢差之代数和为零，即曲线终点的拨量等于零。 （三）绳正法拨正曲线基本要求 1.曲线两端直线轨向不良，一般应事先拨正，两曲线间直线段较短时，可与两曲线同时计算拨正； 2.在外股钢轨上用钢尺丈量，每10m设置一个测点（曲线头围是否在测点上不限）；
3.在风力较小条件下，拉绳测量每个测点正矢，测量三次取平均值； 4.按绳正法计算拨道量，计算时不宜为减少拨道量而大量调整计划正矢； 5.设置拨道桩，按桩拨道。 二、曲线正矢容许偏差 三、圆曲线计划正矢计算 （一）圆曲线半径、弦长、正矢之间的关系 （二）头尾标桩齐全的曲线计划正矢计算 1.圆曲线上中间各点计划正矢 （1）圆曲线计划正矢的计算 fc=50000/R fc=现场实量正矢合计/圆曲线分段数 （2）测点正好在圆曲线始终点时的计划正矢计算 圆曲线始终点正矢f始（终）=fc/2 （3）测点在圆曲线始终点附近时的计划正矢计算 圆曲线始终点附近测点的计划正矢=f c×该点纵距率 2.缓和曲线正矢 （1）圆曲线计划正矢计算
第一讲：曲线正矢计算一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R L=20M时，F C=50000/R F ZY=F YZ= F C/2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Fμ=（FC/2） *（δ/10）2 ZY后点：Fη=FC-{（FC/2） *（τ/10）2} FC：圆曲线正矢δ：ZY点到后点的距离τ：ZY点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F0=F1/6（缓和曲线起点） F终= F C-F0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算： F1=F S= F C/N （N=L0/B：缓和曲线分段数） F2=2 F1 F3=3F1 F I=IF1（I为中间任意点） 四、半点（5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算： F后=25/48*F1 因为ZH点正矢f0=f1/6,很小一般为1~2MM，其前半点很小（小于1MM）因此不作计算。 b)HY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1/2{[L03+（L0-15）3]/6R L0+[5L0+25]/2R}-（L0-5）3/6R L0 c)HY（YH）点后半点计划正矢的计算 F后=1/2{[ （L0-5）3 -L03]/6R L0+[5L0+175]/2R} d)中间点（5米桩）正矢的计算
F中=（F前+F后）/2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ=αυF S (直缓点外点) αυ=1/6(δ/B)3 Fη=αηF S (直缓点内点) αη=1/6[(1+δ/B)3-(δ/B)3] (2) 缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C-αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ= F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内) (αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二) (3)缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 F I=(F C/L0)L I（I为中间任意点） 说明：B：半弦长δ：缓和曲线内点到ZH、HY（YH）距离 L0：缓和曲线长 F C：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 1、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变，或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 （2）假定曲线上某点拨动时，其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 2、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等； （2）拨动曲线时，某点的正矢增（减）X，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3）只要铺设时曲线圆顺，养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总和不变，即拨道前后量得的正矢总和相等。
二、算例 1、圆曲线长度为10m整数倍的曲线计划正矢的计算 已知某曲线半径R=600m，两端缓和曲线长l0=50m，求曲线各测点的计划正矢 解： （1）圆曲线计划正矢： fc=L2/8R=20*20/8R=50000/R=50000/600=83.3mm，取84mm （2）缓和曲线正矢递增率： fs= fc/n=84/5=16.8mm （3）直缓（缓直）点正矢： f0=fs/6=16.8/6=2.8mm，取3mm （4）缓和曲线中间各点的正矢： 缓和曲线第1点的正失 f1=fs=16.8mm，取17mm 缓和曲线第2点的正失 f2=2fs=2*16.8=33.6mm，取34mm 缓和曲线第3点的正失 f3=3fs=3*16.8=50.4mm，取50mm 缓和曲线第4点的正失 f4=4fs=4*16.8=67.2mm，取67mm （5）缓圆（圆缓）点正矢： fhy=fc- f0=84-3=81mm 2、圆曲线长度不是10m整数倍的曲线计划正矢的计算已知某曲线半径R=600m，两端缓和曲线l0=50m，圆曲线长304m,求各测点的计划正矢解： （1）第一缓和曲线和圆曲线的计划正矢算法同上； （2）第二缓和曲线各点计划正矢的计算： ①第二缓和曲线始（HZ）点相邻测点的计划正矢因为圆曲线长L=304m，故第二缓和曲线始（HZ）点距缓和曲线和直线上相邻点（40点、41点）的距离分别为b≈4m，a≈6m，为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=则f40=1/6 fs[（1+b/）3-2（b/）3]=1/6*16.8*[（1+4/10）3-2*（4/10）3]=7.32mm，取7mm f41=1/6 fs（b/）3=1/6*16.8*（4/10）3=0.18mm，取0mm ②第二缓和曲线终点（YH）相邻测点的计划正矢第二缓和曲线终点（YH）距圆曲线和缓和曲线上相邻点（35点、36点）的距离分别为a≈4m，b≈6m，为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=则f35 = fc－1/6 fs（b/）3=84－1/6*16.8*（6/10）3=84－0.6=83.4mm，取84mm f36= fc－1/6 fs[（1+b/）3-2（b/）3]=84－1/6*16.8*[（1+6/10）3-2*（6/10）3]= 73.74mm，取74mm ③第二缓和曲线上其他各点计划正矢的计算其他各点计划正矢，可根据各点正矢与其距终点（HZ）距离成直线比例的关系，按下式求取：fi=fc/l0*li 则第37点、38点、39点的计划正矢分别为： f37=fc/l0*l37=84/50*34=57.12mm，取57mm f38=fc/l0*l38=84/50*24=40.32mm，取40mm f39=fc/l0*l39=84/50*14=23.52mm，取24mm 3、辅助点计划正矢的计算辅助点计划正矢的计算按圆曲线长度不是10m整数倍时缓和曲线的算法计算（1）圆曲线长度为10m整数倍时辅助点计划正矢的计算已知某曲线半径 R=600m，两端缓和曲线长l0=50m，求缓和曲线辅助点的计划正矢解：辅助点与测点相距5m，即a=b=5m，①缓和曲线上与始点（ZH、HZ）相邻辅助点计划正矢为： f=1/6 fs[（1+b/）3-2（b/）3]=1/6*16.8*[（1+5/10）3-2*（5/10）3]=8.75mm，取9mm ②缓和曲线上与终点（YH、HY）相邻辅助点计划正矢为：f= fc－1/6 fs[（1+b/）3-2（b/）3]=84－1/6*16.8*[（1+5/10）3-2*（5/10）3 ]= 75.25mm，取75mm ③缓和曲线其
曲线计划正矢的计算 一、计算方法 1、圆曲线计划正矢的计算 f c=L2/8R 式中：L----弦长，一般为20m，当曲线状态不良为确保曲线圆顺，增加正矢点时，为10m； f c----圆曲线正矢（mm）； R----曲线半径（m）。 当L=20m时，f c=L2/8R=20*20/8R=50000/R； 当L=10m时，f c=L2/8R=10*10/8R=12500/R； 2、缓和曲线计划正矢的计算 （1）缓和曲线正矢递增率 f s= f c/n 式中：f c----圆曲线正矢（mm）； n----缓和曲线的分段数，其值为l0/λ, 其中l0为缓曲长，λ为测点间的距离，一般为10m。 （2）缓和曲线各点的计划正矢 缓和曲线始点0点（ZH）点的正矢f0=f s/6 缓和曲线第1点的正失f1=f s 缓和曲线第2点的正失f2=2f s 缓和曲线第3点的正失f3=3f s 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 缓和曲线终点(HY)的正矢f hy=f c- f0 3、测点不在曲线始、终点时计划正矢的计算 前述缓和曲线和圆曲线的长度都假定是10m的整数倍，但在实际工作中，缓和曲线的长度一般都设置成10m的整数倍，而圆曲线的长度一般都不是10m的整数倍，因此第二缓和曲线的始、终点就不可能恰好落在测点上。这样缓和曲线始、终点左右相邻测点的计划正矢，都要作为一种特殊情况另行计算。 （1）第二缓和曲线始点（HZ）左右邻点计划正矢的计算 HZ不在测点上，位于缓和曲线上的n点和直线上的n+1点之间，n点距HZ点的距离为b，n+1距HZ点的距离为a，相应的正矢分别为f n和f n+1，λ为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=λ，则： f n=1/6 f s[（1+b/λ）3-2（b/λ）3] f n+1=1/6 f s（b/λ）3 （2）第二缓和曲线终点（YH）左右邻点计划正矢的计算 第二缓和曲线终点（YH）不在测点上，位于圆曲线上的n点和缓和曲线上的n+1点之间，n点距YH点的距离为a，n+1点距YH点的距离为b,相应的正矢分别为f n和f ，则： n+1 f n = f c－1/6 f s（b/λ）3 f n+1= f c－1/6 f s[（1+b/λ）3-2（b/λ）3] （3）第二缓和曲线上其他各点计划正矢的计算 第二缓和曲线上其他各点计划正矢，可根据各点正矢与其距终点HZ距离成直线比例的关系，按下式求取： f i= f c/ l0*l i 式中：f i----缓和曲线上距HZ点为l i的测点正矢；