方差分析公式
(2012-06-26 11:03:09)
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分类：统计方法
杂谈
方差分析
方差分析（analysis of variance，简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。
一、完全随机设计的多个样本均数的比较
又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6.
表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS 自由度v 均方MS F 总ΣX2-C* N-1
组间（处理组间）k-1 SS组间/v组间MS组间/MS组间
组内（误差）SS总-SS组间N-k SS组内/v组内
*C=（ΣX）2/N=Σni，k为处理组数
表19-7 F值、P值与统计结论
αF值P值统计结论
0.05 ＜F0.05（v1.V2）＞0.05 不拒绝H0，差别无统计学意义
0.05 ≥F0.05（v1.V2）≤0.05 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义
0.01 ≥F0.01（v1.V2）≤0.01 拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义
方差分析计算的统计量为F，按表19-7所示关系作判断。
例
19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有
无差别？
表19-8 某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）
X ij
春夏秋冬22.6 19.1 18.9 19.0 22.8 22.8 13.6 16.9 21.0 24.5 17.2 17.6 16.9 18.0 15.1 14.8
20.0 15.2 16.6 13.1
21.9 18.4 14.2 16.9 21.5 20.1 16.7 16.2 21.2 21.2 19.6 14.8
ΣX ij
j
167.9 159.3 131.9 129.3 588.4（ΣX）n i8 8 8 8 32（N）
X i20.99 19.91 16.49 16.16
ΣX2ijj
3548.51 3231.95 2206.27 2114.11
11100.84（ΣX2）H0：湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4
H1：四个总体均数不等或不全相等
α=0.05
先作表19-8下半部分的基础计算。
C= （Σx）2/N=（588.4）2/32=10819.205
SS总=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635
V总=N-1=31
V组间=k-1=4-1=3
SS组内=SS总-SS组间=281.635-141.107=140.465
V组内=N-k=32-4=28
MS组间=SS组间/v组间=141.107/3=47.057
MS组内=SS组内/v组内=140.465/28=5.017
F=MS组间/MS组内=47.057/5.017=9.380
以v1（即组间自由度）=3，v2（即组内自由度）=28查附表19-2，F界值表，得F0.05（3，28）=2.95，F0.01（3，28）=4.57.本例算得的F=9.380＞F0.01（3，28），P＜0.01，按α=0.05检验水准拒绝H0，接受H1，可认为湖水不同季节的氯化物含量不等或不全相等。必要时可进一步和两两比较的q检验，以确定是否任两总体均数间不等。
资料分析时，常把上述计算结果列入方差分析表内，如表19-9.
表19-9 例19.9资料的方差分析表
变异来源SS v MS F P
组间141.170 3 47.057 9.38 ＜0.01
组内140.465 28 5.017
总281.635 31
二、随机区组（配伍组）设计的多个样本均数比较
又称两因素方差分析。把总变异分解为处理间变异、区组间变异及误差三部分。除推断k个样本所代表的总体均数，μ1，μ2，……μk是否相等外，还要推断b个区组所代表的总体均数是否相等。也就是说，除比较多个处理的差别有无统计学意义外，还要比较区组间的差别有无统计学意义。该设计考虑了个体变异对处理的影响，故可提高检验效率。
表19-10随机区组设计的多个样本均数比较的方差分析公式
变
异来源离均差平方和SS
自由
度v
均
方
MS
F
总ΣX2-C N-1 处
理间k-1
SS处
理/v
处理
MS处
理
/MS
误差
区
组间b-1
SS区
组/v
区组
MS区
组MS
误差
C、k、N的意义同表19-6，b为区组数
H1：四个总体均数不等或不全相等
α=0.05
区组间：
H0：八个区组的总体均数相等，即μ1=μ2=……μ8 H1：八个区组的总体均数不等或不全相等