3．4．1
基本不等式（1）
【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习, 体会数学来源于生活, 提高学习数学的兴趣 【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2
a b
ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2
a b
ab +≤
的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色 的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。 2 合作探究
（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b , 那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：22a b +, 2
2
a b +
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab 提问4：好, 根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积, 我们可得容易得到一个不等式, 2
2
2a b ab +≥。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形, 即a b =时, 正方形EFGH 变成一个点, 这时有
222a b ab +=
结论：（板书）一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有2
2
2a b ab +≥, 当且仅当a b =时,
等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: 22222
2(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，
当时, 所以 2
2
2a b ab +≥ 注意强调 当且仅当a b =时, 2
2
2a b ab +=
(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成
(0,0)2
a b
ab a b +≤
>>,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演):
要证:
(0,0)2
a b
ab a b +≥>> ① 即证 a b +≥ ② 要证②,只要证 a b +- 0≥ ③
要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④ 显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤
探究：课本中的“探究”
在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE, 连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本
不等式2
a b
ab +≤的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB , 那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为
2
b
a +, 显然, 它大于或等于CD , 即a
b b
a ≥+2
, 其中当且仅当点C 与圆心重合, 即a ＝b 时, 等号成立. 因此：基本不等式2
a b
ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把
2
b
a +看作是正数a 、
b 的等差中项, ab 看作是正数a 、b 的等比中项, 那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
即学即练:
1若0a b <<且1a b +=, 则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．
1
2
Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a
2 a ,b 是正数, 则
2,,
2
a b
ab
ab a b
++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab
ab a b
+≤≤
+ Ｃ．
22ab a b
ab a b +≤≤
+ Ｄ．22
ab a b
ab a b +≤
≤
+ 答案 B C 例题分析：
(1)
x
y
y x x y y x ?≥+2＝2即x y y x +≥2.
(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥22
2
y x ＞0 x 3＋y 3≥23
3
y x ＞
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·22
2
y x ·23
3
y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
变式训练：
Ｘ＞0, 当Ｘ取何值时Ｘ+x
1
有最小值, 最小值是多少 解析：因为Ｘ＞0, Ｘ+
x
1
≥2x x ?1=2 当且仅当Ｘ=
x
1
时即x=1时有最小值2 点评：此题恰好符合基本不等式的用法, 1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A ）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B ）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C ）若两个数的和为常数, 则它们的积有最大值 （D ）若两个数的积为常数, 则它们的和有最小值 12下面给出的解答中, 正确的是（ ）. （A ）y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2, ∴y 有最小值2
（B ）y ＝|sin x |＋4
|sin x |≥2
|sin x |·4
|sin x |＝4, ∴y 有最小值4
（C ）y ＝x （－2x ＋3）≤（x －2x ＋3
2
）2
＝（
－x ＋32
）2
, 又由x ＝－2x ＋3得x ＝1, ∴当x ＝1时, y 有最大值（
－1＋32）2
＝1 （D ）y ＝3－x －
9
x ≤3－2
x ·
9
x
＝－3, y 有最大值－3
3.已知x ＞0, 则x ＋4
x
＋3的最小值为（ ）.
（A ）4 （B ）7 （C ）8 （D ）11 4.设函数f （x ）＝2x ＋1
x
－1（x ＜0）, 则f （x ）（ ）.
（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数 1 B 2.D 3 B 4 .A
基本不等式
第一课时 课前预习学案
一、预习目标
不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理。
二、预习内容
一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有2
2
2a b ab +≥, 当 , 等号成立。 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数, 字母表示： 。
三、提出疑惑
同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中
课内探究学案
教学目标 222a b ab +≥, 不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义 教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2
a b
ab +≤
等号成立条件 合作探究 1 证;2
2
2a b ab +≥ 强调：当且仅当a b =时, 2
2
2a b ab +=
特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成
(0,0)2
a b
ab a b +≤
>>,引导学生利用不等式的性质推导 证明: 结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤
探究2：课本中的“探究”
在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE, 连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式2
a b
ab +≤
的几何解释 练习
1若0a b <<且1a b +=, 则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．1
2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab
Ｄ．a 2 a ,b 是正数, 则
2,,
2
a b
ab
ab a b
++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab
ab a b
+≤≤
+ Ｃ．
22ab a b
ab a b +≤≤
+ Ｄ．22
ab a b
ab a b +≤
≤
+ 答案 B C 例题分析：
已知x 、y 都是正数, 求证：
(1)
y
x
x y +≥2； ( 2） Ｘ＞0, 当Ｘ取何值时Ｘ+
x
1
有最小值, 最小值是多少 分析：2
2
2a b ab +≥, 注意条件a 、b 均为正数, 结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件), 进行变形. 1正2定3相等
变式训练：1已知x ＜54, 则函数f （x ）＝4x ＋14x －5的最大值是多少？
2 证明：（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
分析：注意凑位法的使用。 注意基本不等式的用法。 当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A ）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B ）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C ）若两个数的和为常数, 则它们的积有最大值 （D ）若两个数的积为常数, 则它们的和有最小值 2下面给出的解答中, 正确的是（ ）. （A ）y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2, ∴y 有最小值2
（B ）y ＝|sin x |＋4
|sin x |≥2
|sin x |·4
|sin x |＝4, ∴y 有最小值4
（C ）y ＝x （－2x ＋3）≤（x －2x ＋3
2
）2
＝（
－x ＋32
）2
, 又由x ＝－2x ＋3得x ＝1, ∴当x ＝1时, y 有最大值（
－1＋32）2
＝1 （D ）y ＝3－x －
9
x ≤3－2
x ·
9
x
＝－3, y 有最大值－3
3.已知x ＞0, 则x ＋4
x
＋3的最小值为（ ）.
（A ）4 （B ）7 （C ）8 （D ）11 4.设函数f （x ）＝2x ＋1
x
－1（x ＜0）, 则f （x ）（ ）.
（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数
答案 1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高
1 已知x 、y 都是正数，求证：
① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值② 如果和2
x y S +1
是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值4
[拓展探究]
2. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1, 求证：111
(1)(1)(1)8.a b c
---≥
答案：1略 2 提示可用a +b +c 换里面的1 , 然后化简利用基本不等式。
§3.4.2 基本不等式的应用
【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3 能综合运用函数关系, 不等式知识解决一些实际问题． 教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件 教学过程：
一、创设情景, 引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式, 我们常把
2
a b
+叫做正数a b 、的算术平均数,
叫做正数a b 、的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。 讲解：已知y x ,都是正数, ①如果xy 是定值p , 那么当y x =时, 和y x +有最小值
p 2；
②如果和y x +是定值s , 那么当y x =时, 积有最大值
24
1s 二、探求新知, 质疑答辩, 排难解惑
1、 新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所
用的篱笆最短, 最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜
园的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时, 问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时, 求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）
由
2
x y
+≥
可得 x y +≥2（x
y +）40≥
等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时, 因此, 这个矩形的长、宽为10 m 时, 所用篱笆最短, 最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x
y +）=36, x y +=18, 矩形菜园的面
积为xy 2m ,
由18
9,22
x y +≤
==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时
点评：此题用到了 如果xy 是定值p , 那么当y x =时, 和y x +有最小值p 2；
如果和y x +是定值s , 那么当y x =时, 积有最大值
2
4
1s 变式训练： 用长为4a 的铁丝围成矩形, 怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为(02)x x a <<, 则宽为2a x -, 矩形面(2)S x a x =-, 且0,20x a x >->．
(2)
2
x a x a +-≤
=．
（当且近当2x a x =-, 即x a =时取等号）,
由此可知, 当x a =时, (2)S x a x =-有最大值2
a ．答：将铁丝围成正方形时, 才
能有最大面积2
a ．
例2（教材89P 例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4800m 3
,深为3m, 如果
池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2
的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化, 即建立函数关系式, 然后求函数的最值, 其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm , 水池的总造价为l 元, 根据题意, 得
)1600
(720240000x
x l +
+=x x 16002720240000??+≥ 297600402720240000=??+=
当.2976000,40,1600有最小值时即l x x
x ==
因此, 当水池的底面是边长为40m 的正方形时, 水池的总造价最低, 最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用, 应注意不等式性质的适用条件。
变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶, 它的容积是π2
3立方分米, 用来做底的金属每平方分米价值3元, 做侧面的金属每平方米价值2元, 按着怎样的尺寸制造, 才能使圆桶的成本最低。
解：设圆桶的底半径为r 分米, 高为h 分米, 圆桶的成本为m 元, 则
=m 3rh r ππ222?+
求桶成本最低, 即是求m 在r 、h 取什么值时最小。将2
23
r h =
代入m 的解析式, 得 r r r
r r m ππππ63)23)(
2(232
2
2+=+==ππ
πππππ933)3(3333322=??≥++
r
r r r r r 当且仅当r
r r r π
πππ33332
=
+=
时, 取“=”号。 ∴当=r 1（分米）, =h 2
3
（分米）时, 圆桶的成本最低为9π（元）。
点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解,
归纳整理, 整体认识
1．求最值常用的不等式：a b +≥, 2
(
)2
a b ab +≤, 222a b ab +≥． 2．注意点：一正、二定、三相等, 和定积最大, 积定和最小． 3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测：
1 下列函数中, 最小值为4的是： （ ） Ａ．4y x x
=+
Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．
3log 4log 3x y x =+
2. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D.
3函数y =的最大值为 .
4建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池, 如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元, 那么池的最低造价为 元.
5某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需要面粉6吨, 每吨面粉的价格为1800元, 面
粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元, 购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案：1C 2 D 3
1
2
4 3600
5 10x =时, y 有最小值10989, 基本不等式的应用 课前预习学案
一、预习目标
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题 二、预习内容
1如果xy 是定值p , 那么当y x =时, 和y x +有最 2如果和y x +是定值s , 那么当y x =时, 积有最 3若1->x , 则x =_____时,1
1
++
x x 有最小值, 最小值为_____. 4.若实数a 、b 满足a+b ＝2,则3a +3b 的最小值是_____. 三、提出疑惑
课内探究学案
一、学习目标
1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心. 教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件 二、学习过程 例题分析： 例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所
用的篱笆最短, 最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜
园的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时, 问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时, 求长与宽取何值时两者乘积最大
解：
变式训练：1用长为4a 的铁丝围成矩形, 怎样才能使所围的矩形面积最大？
2一份印刷品的排版面积（矩形）为A 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底
部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使用纸量最少？
变式训练 答案 1 x a =时面积最大。 22a 和
2b ． 例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4800m 3
,深为3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2
的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化, 即建立函数关系式, 然后求函数的最值, 其中用到了均值不等式定理。
答案：底面一边长为40时, 总造价最低2976000。
变式训练：建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池, 如果池底和池壁每m 2 的造
价为200元和150元, 那么池的最低造价为 元. 答案：3600
当堂检测：1若x , y 是正数, 且
14
1x y
+=, 则xy 有 （3 ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116
2已知0,0x y >>且满足
28
1x y
+=,求x y +的最小值.4 Ａ．16 Ｂ20． Ｃ．14 Ｄ．18
3 某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需要面粉6吨, 每吨面粉的价格为1800
元, 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元, 购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案:1 C 2 D 3 10x =时, y 有最小值10989,
课后复习学案
1已知x>0, y>0, 且3x+4y=12, 求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．
2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元, 每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元, 年维修费用第一年是0.2万元, 以后逐年递增0.2万元。问这种汽车使用多少年时, 它的年平均费用最小？最小值是多少？
3某公司租地建仓库, 每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比, 而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比, 如果在距车站10公里处建仓库, 这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元, 那么要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站多少公里处?
《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过
2．2基本不等式第1课时基本不等式 教材考点学习目标核心素养 基本不等式 理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理 利用基本不等式求最 值 能够运用基本不等式求函数或代数式的 最值 数学运算 问题导学 预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 1．重要不等式与基本不等式 ■微思考1 (1)不等式a2＋b2≥2ab和 a＋b 2≥ab成立的条件相同吗？ 提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与 a＋b 2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4） 2≥ （－3）×（－4）是不成立的． 2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2 4． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2 通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a b ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1 x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+
3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数
【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习 一、选择题 1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为 ( ) A.2 5 B ．1 2 C.2 2 D ．1 [答案] B [解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2， ∴f(x)＝x x ＋1＝t t2＋1. 当t ＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤1 2 B ．ab≥1 2 C ．a2＋b2≥2 D ．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C. 3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B ．a2＋b2 C ．2ab D ．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜1 2， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，
∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则 2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小 值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 [答案] B [解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ?1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12??? ?b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 a ＋ b 2cd 的最小值是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a ＋ b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题
9.2 一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 要点感知1含有__________未知数,并且未知数的次数是__________的不等式,叫做一元一次不等式. 预习练习1-1下列不等式中，属于一元一次不等式的是( ) A.4＞1 B.3x-24＜4 C.1 x <2 D.4x-3＜2y-7 要点感知2 解一元一次不等式,要依据__________,将不等式逐步化为__________的形式. 预习练习2-1不等式-x＞3的解集是( ) A.x＞-3 B.x＜-3 C.x＜3 D.x＞3 要点感知3解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(根据不等式的__________)； (2)去括号(根据__________)； (3)移项(根据不等式的__________)； (4)合并(根据__________)； (5)系数化为1(根据不等式的__________). 预习练习3-1 解不等式2(x-1)-3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来. 知识点1 一元一次不等式及其解法 1.(2021·沈阳)一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是( ) 2.(2021·桂林)不等式x+1>2x-4的解集是( ) A.x<5 B.x>5 C.x<1 D.x>1 3.不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是( ) A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-1 5.(2021·郴州)解不等式4(x-1)+3≥3x,并把解集在数轴上表示出来. 知识点2 一元一次不等式与方程(组)的互相转化
【基本要求】 掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些不等式。 【重点】 基本不等式的及其证明。 【难点】 用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。 【知识精要】 1、 基本不等式 若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 均值不等式：若a 、b 为正数，则 2 a b ab +≥a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则 12n a a a n +++ 称为这n 个正数的算术平均数， 12n n a a a ??? 称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是： 12n a a a n +++ ≥12n n a a a ??? ，当且仅当12n a a a === 时等号成立。 利用不等式求最值： （1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P （2）“和定积最大”：2 2?? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值 2 14 S 。 2、 不等式的证明 比较法：要证明a b >，只需要证明0a b ->。 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够肯定这些条件都已成立，那么可以断定原不等式成立。 综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的不等式为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式。
课题:§3.4 2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课 教学目标： 1、知识与技能目标：（12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：2 a b +≤ 求最值的前提条件。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？ 引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正 方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab += （2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
（3）推理证明：作差法 二、讲授新课 1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条 件？ 2 a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法 3.(1)探究:(课本P98) 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 引导学生发现： 2 a b +CD,得到 2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。 (2),a b 的几何平均数，称2 a b +为正数,a b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解 例1:若0>x ，求1y x x =+ 的最小值。 变1：若0x >，求123y x x =+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b =+的最小值。 变3：若3x >，求13 y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧：（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧 五、作业 自编的练习
课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是： v 40 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.评价设计
8.2 解一元一次不等式 第1课时 不等式的解集 教学目标 本节在介绍不等式的基础上，介绍了不等式的解集并用数轴表示，介绍了解简单不等式的方法，让学生进一步体会数形结合的作用。 知识与能力 1．使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式。 2．使学生育能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想。 过程与方法 1．通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念。 2．教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集。 情感、态度与价值观 1．通过反复的训练使学生认识到数轴的重要性，培养其数形结合的思想。 2．通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满探索性与创造性。 教学重、难点及教学突破 重点 1．认识不等式的解集的概念。 2．将不等式的解集表示在数轴上。 难点 学生对不等式的解是一个集合可能会不太理解。 教学突破 由于受方程思想的影响，学生对不等式的解集的接受和理解可能会有一定的困难，教学时要注意结合简单的不等式和实际问题让学生体会不等式的解可以是一个集合，并组织学生讨论举例，加深理解。 另外，应在本节的过程中让学生能理解在数轴上表示不等式的解集，让他们熟悉数形结合的思想。 一、复习与练习 1、用不等式表示： （1）x 的 2 1与3的差是正数； （2）2x 与1的和小于0；（3）a 的2倍与4的差是正数； （4）b 的--21与的和是负数； （5）a 与b 的差是非正数；（6）x 的绝对值与1的和不小于1； 2、下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？ --3，--2，--1，0，1.5, 3，3.5 ,5,7。 二、新课探究： 如图：请你在数轴上表示： （1） 小于3的正整数； （2） 不大于3的正整数； （3） 绝对值小于3大于1的整数； （4） 绝对值不小于--3的非正整数； 由复习（2）可知，大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于3的每一个数都不是它的解。不等式x+2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来，如图 概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的。解集。
基本不等式（第一课时） 授课教师：浙江省温州市第十四高级中学陈芝飞 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养------数学抽象与直观想象。 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养----逻辑推理论与数学运算。 3．通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。 4．借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式 2b a a b + ≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程． 难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值． 三、教学过程： 1．由形及数，发现新知 师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标） 问题1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？ 师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？ 这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看 上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002年8月20—28在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．
[基本知识] 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 ? ???? (1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a b ≥2，ab >0； (3)ab ≤??? ? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R ；(4)a 2 ＋b 2 2≥ ???? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时 等号成立.
3．算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a ＋b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则： (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋ 4 cos x ,x ∈????0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0,y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0,则a 3＋1 a 2的最小值为2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题 1．当x >0时,函数f (x )＝2x x 2＋1 的最大值为________． 答案：1 2．已知a ,b ∈(0,＋∞),若ab ＝1,则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1,则ab 的最大值为________． 解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2,当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤????a ＋b 22 ＝14,当且仅当a ＝b ＝1 2 时取到等号． 答案：2 1 4 3．若a ,b ∈R,ab >0,则a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为________． 解析：∵a ,b ∈R,ab >0, ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋ 1ab ≥2 4ab · 1 ab ＝4,
基本不等式教学设计-
《基本不等式》教学设计 刘敏 教材分析： 这节课是必修5第三章第四节的第一课时，主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用。不等关系和相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。 学情分析： 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，逻辑能力不强，很难用数学的观点和思想提炼生活中的实际问题。所以这节课应通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解一些不等式产生的实际背景的前提下，学习基本不等式的有关内容使学生感受到不等式的广泛应用，增强学习的兴趣，动员学生实际参与能力。 教学目标：1.理解并掌握基本不等式的证明及其应用。 2. 探索基本不等式的证明过程，进一步领悟不等式 2b a a b + ≤ 成立的条件，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。 3.体验探究的乐趣，培养学生主动运用数形结合的思想，去分析问题，解决问题和应用问题的能力。 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度 探索基本不等式 2b a a b + ≤的证明过程。
教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。 教学方法：引导，启发与讲授相结合 教学过程： 一、 问题情境（5分钟） 北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表ab 2中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为)(,b a b a ≠，这样，4个直角三角形的面积和为ab 2，正方形的面积为22b a +。由于正方形大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式ab b a 222>+。当直角三角形为等腰直角三角形，即b a =，正方形中空白处缩为一个点。这是有ab b a 222=+。 一般的，对于任意实数b a ,，我们有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2 ＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋ 1 x 2 ＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4 －x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－???? ? ?4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝ x 2－2x ＋1＋x － ＋3x －1 ＝ x －2 ＋x －＋3 x －1 ＝x － 1＋ 3 x －1 ＋2≥2 x － 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝ 1a －2x ＋a －2x 2－a 2 ≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 . 题型2 基本不等式反用ab ≤ a ＋b 2 例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0
§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售
2．4 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式、不等式的解集、解不等式等概念； 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点，难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】 一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A ．5x －2＞0 B ．－3＜2＋1 x C ．6x －3y ≤－2 D ．y 2＋1＞2 解析：选项A 是一元一次不等式，选项B 中含未知数的项不是整式，选项C 中含有两个未知数，选项D 中未知数的次数是2，故选项B ，C ，D 都不是一元一次不等式，所以选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③不等号的两边都是整式． 【类型二】 根据一元一次不等式的概念求值 已知－1 3x 2a － 1＋5＞0是关于x 的一元一次不等式，则a 的值是________． 解析：由－13x 2a － 1＋5＞0是关于x 的一元一次不等式得2a －1＝1，计算即可求出a 的值， 故a ＝1. 方法总结：利用一元一次不等式的概念列出相应的方程求解即可．注意：如果未知数的系数中有字母，要检验此系数可不可能为零． 探究点二：一元一次不等式的解法 【类型一】 一元一次不等式的解或解集 下列说法：①x ＝0是2x －1＜0的一个解；②x ＝－3不是3x －2＞0的解；③－2x ＋1＜0的解集是x ＞2.其中正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧 【基本知识】 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； )(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “=”号成立. 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。
【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 3：设2 3 0<
2.2基本不等式 第一课时 基本不等式 课标要求素养要求 1.掌握基本不等式ab≤ a＋b 2(a>0，b>0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证 明、比较大小问题. 通过学习掌握基本不等式及其简单应 用，重点发展数学运算、逻辑推理素养. 新知探究 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会 的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦 图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 提示由图可知 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”. 1.?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0， b>0，我们用a，b分别代替上式中的a，b，可得ab≤ a＋b 2，当且仅当a＝b
时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数. 2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 拓展深化 [微判断] 1.a ＋b 2≥ab 对任意实数a ，b 都成立.(×) 提示 只有当a >0且b >0时，a ＋b 2≥ab 才能成立. 2.若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .(√) 3.若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .(√) [微训练] 当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号). ①b a ＋a b ≥2；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 解析 根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 答案 ③ [微思考] 1.不等式a 2＋b 22≥ab 和a ＋b 2≥ab 中“＝”成立的条件相同吗？ 提示 不相同.前者仅需a ＝b 即可，后者要求a ＝b ≥0. 2.“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示 a ＝b ?a 2＋b 22＝ab ；a ＝b >0?a ＋b 2＝ab .
基本不等式 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤ 的几何解释吗？