华杯赛决赛试题A（小学中年级组） 1 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题
小学中年级组
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一、填空题（每小题10分，共80分）
1.在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017 个数中有个三位数。
【答案】2016
【考点】抽屉原理的基础：最不利原则
【启智数学春季班四年级第 8 讲内容】
【解析】
假设这些自然数中有2个数不满足三位数的条件，则与“任意两个数至少有一个三位数”相矛盾，因此只有 1 个数不是三位数，三位数有：2017-1=2016（个）
2.如下图（1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线，在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方。如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么
图中 x 代表的数字为。
1344 1
1 2 2 3 A
2
A
x
2
1
1 B
3
（1）
4 B
（2）
【答案】2
【考点】平面图形找规律
【启智数学秋季班三年级第 6 讲内容】
【解析】
每个格子都在某一行某一列上，所以行上的数字和与列上的数字和相等，故：
x=（1+3+4+4+1）-（3+1+3+4）=13-11=2（路线如上图）
1
3.用[x]表示不超过 x 的最大整数，例如[10.2]=10，则：
[ 2017×3 ] + [ 2017×4 ] + [ 2017×5 ] + [ 2017×6 ] + [ 2017×7 ] + [ 2017×8 ]等于。
11 11 11 11 11 11
【答案】6048
【考点】定义新运算
【启智数学春季班五年级第 15 讲内容】
2017×3 2017×8 2017×（3+8）
【解析】11 + 11 = 11 = 2017
又[x]表示不超过 x 的最大整数，所以[2017×311] + [2017×811] = 2017 ? 1 = 2016
原式=2016×3=6048.
4.盒子里有一些黑球和白球，将黑球数量变成原来的 5 倍，总的球数将会变成原来的 2 倍。如果将白球数量变成原来的 5 倍，则总的球数将会变成原来的倍。
【答案】4
【考点】倍数关系
【启智数学春季班四年级第 6 讲内容】
【解析】黑球数量变成原来的5倍：5黑+白=2（黑+白）→白=3
黑白球数量变成原来的5倍：（黑+5白）÷（黑+白）
=（黑+5×3黑）÷（黑+3黑）
=16÷4
=4
5.能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有个。
【答案】5
【考点】位值原理
【启智数学春季班四年级第 3 讲内容】
【解析】奇×奇=奇，因此数字和为奇数，又各位为奇数，因此十位只能为偶数。经过枚举发现，满足条件的两位数有：21,27,45,63,81，共 5 个。
6.如右图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角
形，最后剩下一个长方形。正方形边长和三角形直角边长都是整数。
若剪去部分的总面积为 40 平方厘米，则长方形的面积是平方厘
米。
【答案】24
【考点】图形的割补法
【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】
【解析】设边长分别是a和b，则a2+b2=40
b
经枚举知：22+62=40
所以，长方形面积=（2+6）2-40=24（平方厘米）。
2 a
7.小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场，从家到商店距离是 500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，
走的速度是 60 米/分钟。那么小龙从家到学校的平均速度是米/分钟。
【答案】72
【考点】平均数
【启智数学秋季班四年级第 7 讲内容】
【解析】平均速度=总路程÷总时间
=（500+80×8+300）÷（7+8+300÷60）
=1440÷20
=72（米/分钟）
8.亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 名朋友。他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友。
亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）。
【答案】6
【考点】乘法原理
【启智数学春季班四年级第 14 讲内容】
【解析】从兰斯洛特开始，按逆时针顺序标上字母ABCDEF以及数字123456，题目意思为：重新排序之后，相邻字母不能在一起，用A 来定位，若A在1号位，那么B,F只能在345号位，共有3×2=6种方式，而每一种方式定下来之后，剩下的 CDE 均只有 1 种排列方式（或用枚举法）。故答案为 6 种。
A
F
1 6
B 2 5
C
3 4 D
二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）
9.如右图所示，两个边长为 6 的正方形 ABFE 和 CDEF 拼成长方形ABCD。G 为 DE 的中点，连接 BG 交 EF 于 H。求图中五边形CDGHF 的面积。
【答案】6
【考点】图形分割
【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】
【解析】按图示分割，得出每个小长方形的面积为：6×6÷6=6五边形CDGHF的面积=6×6-6÷2=33 A E G D
H
B F C
10.乌龟和兔子进行 1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 10 米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？
【答案】802
【考点】追及问题
3
【启智数学春季班四年级第 10 讲内容】
【解析】兔子最后还差 10 米到达，假设兔子跑这 10 米需要 t 分钟，则她跑完 1000 米需要 100t 分钟，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，乌龟跑完全程需要 500t 分钟。实际上兔子跑了 100t-t=99t 分钟，睡了 500t-99t=401t 分钟。 这 401t 分钟内，乌龟跑了 401t ÷500t ×1000=804（米）
11.如右图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？ 【答案】27 【考点】图形计数
【启智数学暑假班四年级第 7 讲内容】 【解析】边长为 1 的正六边形：
边长为 2 的正六边形：
3+4+5+4+3=19（个）
2+3+2=7（个）
边长为 3 的正六边形：1 个，总共 19+7+1=27（个）
12.如右图，将 1 至 9 这九个数字填入网格中，要求每个格
子填一个数字，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格
子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍，已知左右格子已经填有数字 4 和 5，
4 x 5
那么标有字母 x 的格子可以填的数字最大是多少？ 【答案】6 【考点】数阵图
【启智数学秋季班四年级第 8 讲内容】
【解析】x =6 是可行的，4 上面放 7，下面放 1，5 上面放 8，下面放 2，中间从上至下分别
是 3,6,9.
x 与周围 6 个数的和应该是 1+2+3+6+7+8+9=36，所以 x 的可能取值为 1,2,3,6,9。
这里仅需考虑 x =9 是否可行即可。
考虑 2,6,8 所在的位置。
4
若 4 旁边的数都是偶数，那么必然是 2 和 6，考虑 2 和 6 周围的数的和必须是偶数，而x=9，所以上下两个空格必然也是奇数，所以 8 必然在 5 旁边，且周围全是奇数，所有奇数的和1+3+5+7+9=25，去掉一个必须是8的倍数，则只能去掉1或者9，x=9，所以只能去掉1，而7 一定在 8 边上，而 2+8+9=19,6+8+9=23。所以 7 只能挨着 5，而
8+5+9+1=23，不是 9 的倍数。
因此 4 旁边的必须是 2 个奇数。此时 8 若在最上或者最下，则周围三个数必然是奇数，奇数偶数，因此挨着 5 的那个数，必然是偶数，考虑这个数周围的和，得到挨着 5 的另外一个数也必然是偶数，所以只能是 2 和 6，而 2+6=8 不是 5 的倍数，舍掉。所以 8 不在最上面或者最下面，只能挨着 5，那么挨着 5 的另一个数只能是 2，5+9+2=116，挨着 8 的最后一个数无论如何取值均不可能使得四个数的和是 8 的倍数。
故 x 不可能等于9.
综上所述，x 最大值为6.
5
第二届“华杯赛”初赛试题 1.“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次。今年(1988年)是第二届。问2000年是第几届？ 2.一个充气的救生圈（如图1）。虚线所示的大圆，半径是33厘米。实线所示的小圆，半径是9厘米。有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行。问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁。 3.图2是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？ 图2 4.有一个四位整数。在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81。求 这个四位数。
5.图3是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？ 6.图4是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字。问：这六个方框中的数字的连乘积等于多少？ 7.图5中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点。问：这个正方形 和四个圆盖住的面积是多少平方米？ 8.有七根竹竿排成一行。第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半。问：这七根竹竿的总长是几米？ 9.有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米。以它们作为上底、下底和高，可以作出三 个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？
10.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。中午12点整，电子钟既响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？ 11.一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张。从中任意抽牌。问：要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？ 12.有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正 好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？ 13.四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后再左右两排交换。第三次再上下两排交换第四次再左右两排交换……这样一直换下去。问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？
第一讲 等差数列 知 1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8， ，100 2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d 例如：等差数列： 3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么？） 练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ?-+=)1(1 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：()21321÷?+=+++n a a a a a a n n 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例1、计算2+4+6+……+96+98+100。 练习：1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。 2、计算12+13+14+……+29+30+31。 3、试用两种方法计算以下题目： （1）、73+77+81+85+89+93 （2）、995+996+997+998+999
全国第十届华杯赛决赛 试题及解答 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第十届华杯赛决赛试题 一、填空（每题10分，共80分） 1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 公元历2005 1985 1910 希伯莱历5746 伊斯兰历1332 印度历1927 2．计算： ① ×+÷ = ();②= ()。 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中 1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。（精确到分钟） 4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=()。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。 6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为
元，一个集装箱可以节省元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。 7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表： 0 3 8 15 … 1 2 7 14 … 4 5 6 13 … 9 10 11 12 … …………… 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。 图2 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分） 9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度 10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数， ①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质； ②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。
第十届华杯赛决赛小学 组试题及解答 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
第十届华杯赛决赛小学组试题及解答 一、填空（每题10分，共80分） 1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 2．计算： ① ×+÷ = ( ); ②= ( )。 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。（精确到分钟） 4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。
6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为元，一个集装箱可以节省元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。 7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表： 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。 8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 决赛试题A （小学高年级组） （时间2019年4月20日10：00～11：30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1．计算: 19×0.125+281×8 1-12.5=________. 解析：原式=（19+281-100）×0.125 =200×0.125 =25 2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2019年12月21日是冬至, 那么2019年的元旦是________九的第________天. 解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2019年的元旦是二九的第3天. 3．某些整数分别被119977553，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是92725232，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________. 解析：设整数为A, 分别被119977553，，，除后, 所得的商分别为A A A A 911795735，，，; )1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。所以A-1=315，A=316。 4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD 中, 以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰 三角形PAB . 则三角形PAC 的面积等于________平方厘米. 解析:过P 点做PE ⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以AE=EB=6cm 。 根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm 。 S △PAB=12×8÷2=48cm 2，S △PCB=12×6÷2=36cm 2， S △PAC=48+36-12×12÷2=12 cm 2。 5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个. 解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以3,4,5都余2， [3，4，5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个. 6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木 的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长 为3, 则这个立体图形的表面积为________. 解析：如图所示，四个三角形面积都是1×2÷2=1， 所以小积木一个面的面积是32-1×4=5。 这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。 所以面积为6×32+4×5=74。 7．设n 是小于50 的自然数, 那么使得4n +5和7n +6有大于1 的公约数的所有n 的可能值之和 为 . E
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题C （小学高年级组） （时间: 2015年4月11日10:00～11:30） 一、 填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 计算：10.7540.3+0.1121.252 1.845 -?++-= ( ). 2.将自然数1至8分为两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有（ ）种不同的分法. 3.将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到一个自然数20153；将新数的十位、百位和千位数字相加，得到的和写 在20153个位数字之后，得到201536；再次操作2次，得到201536914，如 此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有 数字的和等于（ ）. 4.图1中，四边形ABCD 是边长为11厘米的正方形，G 在CD 上，四边形CEFG 是边长为9厘米的正方形，H 在AB 上，∠EDH 是直角，三角形EDH 的面积是（ ） 平方厘米. 5.图2是网格为 的长方形纸片，长方形纸片正面是灰 色，反面是红色，网格是相同的小正方形.沿网格线将长方形裁剪 为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相同，则视为相同类型的卡片，则能裁剪出（ ）种不同类型的卡片. 6.一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88厘米，问这 个长方体总的侧面积最大是( )平方厘米. 图1 图2
7. 1352x x ??-=-??? ?，这里[]x 表示不超过x 的最大整数，则x =（ ）. 8.右边是一个算式，9个汉字代表数字1至9， 不同的汉字代表不同的数字，则该算式可能的 最大值是( ). 二、 解答下列各题（每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9.已知C 地为A, B 两地的中点. 上午7点整，甲车从A 出发向B 行进，乙车 和丙车分别从B 和C 出发向A 行进. 甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的38 ，上午10点丙车到达A 地，10点30分当乙车走到A 地时，甲车距离B 地还有84千米，那么A 和 B 两地距离是多少千米？ 10. 将2015个分数 111111,,,,,234201420152016 ??? 化成小数，共有多少个有限小数？ 11. a , b 为正整数, 小数点后第3位经四舍五入后，式子 .a b +≈15157 ，求a + b =？ 12. 已知算式abcd aad e =?, 式中不同字母代表不同的数码，问四位数abcd 最大 值是多少？ 三解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程） 13.在图3中，ABCD 是平行四边形，F 在AD 上,△AEF 的面积=8cm 2，△DEF 的面积=12cm 2，四边形BCDF 的面积=72cm 2，求出△CDE 的面积？ 14.将530本书分给48名学生，至少有几名学生分到的 书的数量相同？ 图 3
第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题A 解析 1. 用[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3.14]=3，则： 201732017420175201762017720178 [ ][][][][][]111111111111 ??????+++++的值为 。 【考点】取整运算 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】直接计算即可 比较麻烦的简算方法： 先看第一项 20173(200215)361001454545 [ ][][][691]691[]1111111111 ?+??+===?+=?+ 第二项： 20173(200215)481001606060 [ ][][][891]891[]1111111111 ?+??+===?+=?+ 所以原式= 45607590105120 691[ ]891[]1091[]1291[]1491[]1691[]111111111111 ?++?++?++?++?++?+=(6810121416)914568910+++++?++++++ =6048 2. 从4个整数中任意选出3个, 求出它们的平均值, 然后再求这个平均值和余 下1个数的和, 这样可以得到4个数：8，12，2 103 和193, 则原来给定的4
个整数的和为 。 【考点】平均数与求和 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】假设这四个数为,,,a b c d 每三个数的平均值为：()3,()3,()3,()3a b c a b d a c d b c d ++÷++÷++÷++÷ 分别与余下的数的和为： 21 ()38,()312,()310,()39 33a b c d a b d c a c d b b c d d ++÷+=++÷+=++÷+=++÷+=将这四个式子左右两边分别相加得到： 21 ()3()3()3()381210933 a b c d a b d c a c d b b c d d ++÷++++÷++++÷++++÷+=+++ ()340a b c a b d a c d b c d a b c d +++++++++++÷++++= 3()3()40a b c d a b c d ?+++÷++++= 2()40a b c d ?+++= 20a b c d +++= 3. 在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子, 共有 种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合, 则把它们视为同一种摆放方法）. 【考点】 【专题】杂题
“华杯赛”小高组每日一题 【做题要求】：孩子在草稿纸上把解答过程书写下来，然后拍照上传给小高组王老师。答案将于明日下午3点左右公布。（周五、六、日的每日一题答案将于下周一下午3点左右统一公布。） 11．4每日一题——《计算综合》 计算： 35 2871512354121 147963321??+??+????+??+?? 答案：7 775413335415417 77321333321321?????+?????+???????+?????+??= ()() 3 33 3731541731321++???++???= 5413 21????= 10 3= 【表扬】11.4每日一题做对的同学： 董成 吴柯轩 李睿豪 肖雨欣 闵爱薇 廖运豪 彭冲 熊博远 刘承昊 陈凯欣 蔡昊言 程熙裕 徐哲睿 陈海旻 吴悠 周震霆 李启申 杨奕涵 熊天睿 吴皓东 郭睿岩 文思博 陈泽昊 胡嘉树 孙玉 付宁增 其他没有做对的同学再接再厉！！！ 请所有传送图片的同学在上面附上自己的姓名 谢谢。 11
观察图1所示的图表： 根据前五行数所表达的规律，说明：1949 1991 这个数位于由上而下的第几行？在这一行 中，它位于由左向右的第几个？ 答案：从上而下：发现规律第一个的和是2然后是 6,5,4,3逐一 增加，所以 1949 1991 的和等于3940。但由于第一个数是从2开始，所以 1949 1991 的个数为：39391219491991=+-+ 从左向右：发现规律分母是从1开始逐渐增加的，1949 1991 的分母是1949所以1949 1991 从左向右的个数为：1949111949=+- 综上所诉：1949 1991 位于由上而下的第3939行，在这一行位于由左向右的第1949个。 【表扬】11.5每日一题做对的同学： 孙玉 陈佳卉 徐博文 黄文浩 吴柯轩 万晓羽 文思博 郭睿岩 刘礼嘉 蔡昊言 阙子述 杨奕涵 彭冲 黄姚 陈子平 刘博文 付宁增 龚开远 李启申 刘承昊 程熙裕 宋子恒 陈凯欣 周震霆 黄子聪 李睿豪 胡嘉树 吴皓东 付溢捷 程昌实 其他没有做对的同学继续加油哟！！ 1 1 12 2 1 13 22 31 1 4 2 3 3 2 4 1 15 24 33 42 5 1
第9届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 (2004.3.7) 1、 下面算式里，“华杯”所代表的两位数是多少？ 1 9 1 0 + 华杯 2 0 0 4 2、长方形的各边长增加10 %，那么它的周长和面积分别增加百分之几？ 3、图中是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使对面两数之和为7，则A 、B 、C 处填的数各为多少？ 4、在一列数： ，，，，，，13 11 11997755331中，从哪一个数开始，1与每个数 之差都小于 1000 1？ 5、“神舟五号”载人飞船绕地球共飞行14圈，后10圈沿离地面343 千米的圆形轨道飞行，请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米？（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14） 6、如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形， 用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问：共有 几种不同的涂法？ 7、在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后
时针的位置相同，问：此时刻是9点几分？ 8、一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？ 9、任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数，将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？ （9 AB ABABABAB ） 10、一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，再拼成一个正方形，你能做到吗？ 11、如图，大小两半圆的直径在同一直线上，弦AB 与小半圆相切，且与直径平行，弦AB 长12厘米，求图中红色部分面积？（圆周率π=3.14） 12、半径为25厘米的小铁环沿着半径为50滑动地滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问：小铁环自身转了几圈？
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛A 试题（小学高年级组） （时间：2015年3月14日10：00-11：00） 一、选择题（每小题10分，共60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请讲表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1、现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动。规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去。最后参加活动的两个人是（ ）。 （A ）甲、乙（B ）乙、丙（C ）甲、丙（D ）乙、丁 2、以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（ ）个。 （A ）5（B ）2（C ）4（D ）3 3、桌上有编号1至20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（ ）张卡片。 （A ）12（B ）14（C ）16（D ）18 4、足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（ ）。 （A ）10（B ）2 25（C ）350（D ）25 5、一只旧钟的分针和时针重合一次，需要经过标准时间66分钟，那么，这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（ ）。 （A ）快12分（B ）快6分（C ）慢6分（D ）慢12分 6、在右图的6×6方格中，每个方格中只能填A 、B 、C 、D 、E 、F 中的某个字母，要求每行、 每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复。那么，第四行除了首尾两个方格 外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（ ）。 （A ）E ，C ，D ，F （B ）E ，D ，C ，F （C ）D ，F ，C ，E （D ）D ，C ，F ，E 二、填空题（每小题10分，共40分） 7、计算： 56 557034241160302918420190412126561481---++=______ 8、过正三角形ABC 内一点P ，向三边作垂线，垂足依次为D 、E 、F ，连结AP 、 BP 、CP 。如果正三角形ABC 的面积是2028平方厘米，三角形PAD 和三角形PBE 的面积都是192平方厘米，则三角形PCF 的面积为______平方厘米。 9、自然数2015最多可以表示成______个连续奇数的和。 10、由单位正方形拼成的15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于5的正方形有______个。
第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题 A 解析 1.用［x ］表示不超过x 的最大整数，例如［3.14］=3，则: ,2017 3,『2017 4] [2017 5] [2017 6] [2017 7] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ] 【考点】取整运算 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】直接计算即可 比较麻烦的简算方法： 先看第一项 第二项： 「2017 3 r (2002 15) 4 r 8 1001 60 60 60n [ ][ ][ ][8 91 ] 8 91 [] 11 11 11 11 11 所以原式= =6048 2. 从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余 2 1 下1个数的和，这样可以得到4个数：8，12，10-和9-,则原来给定的4 3 3 个整数的和为 ________ [2017 3] [ (2002 15) 3, ,6 1001 45, 11 11 11 [6 91 91 [鲨 11 2017 8 11 ］的值为 6 91 [45] 8 11 91 [60] 11 10 91 [75] 12 11 91 禺14 11 91 [遁]16 91 [空] 11 11 =(6 8 10 12 14 16) 91 4 5 6 8 9 10
【考点】平均数与求和 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】假设这四个数为a,b,c,d 每三个数的平均值为：(a b c) 3,(a b d) 3,(a c d) 3,(b c d) 3 分别与余下的数的和为： 2 1 (a b c) 3 d 8,(a b d) 3 c 12,(a c d) 3 b 10—,(b c d) 3 d 9- 3 3 将这四个式子左右两边分别相加得到： (a b c) 3 d (a b d) 3 c (a c d) 3 b (b c d) 3 d 8 12 10- 9 3 3 (a b c a b d acdbcd)3abcd 40 3 (a b c d) 3 (a b c d) 40 2 (a b c d) 40 a b c d 20 3. 在3 X3的网格中(每个格子是个1 X1的正方形)放两枚相同的棋子，每个格 子最多放一枚棋子,共有 ___________ 种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋 转而重合，则把它们视为同一种摆放方法) 【考点】 【专题】杂题 【难度】☆
2018最新华杯赛决赛模拟试题（1） 一、填空题（每题10分）。 1.计算：。 __________72.01 72.01 72.0=++?????? 2. 如图，在5×7的方格表中有_______个“ ”图形。 3.今年小明父亲的年龄是小明年龄的5倍，几年后，小明父亲年龄是小明的4倍。又过几年，小明父亲年龄是小明年龄的3倍。如果小明父亲今年56岁，那么小明今年_______岁。 4. 从1,2,3,4,……，98,99,100这100个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被9整除，最多可取______个数。 5. 如图，两个矩形，它们的边长都是整数，且有一边的长分 别是9厘米和7厘米。矩形的面积之差是100平方厘米，则 两个矩形面积之和最小为_______平方厘米。 6. 最小正整数n=__________，使得2n+1和16n+1都是平方数。 7. 有一个杯子装满了浓度为16%的盐水,有大、中、小铁球各一个,它们的体积比为10:4:3,首先将小球沉入盐水杯中,结果盐水溢出10%,接着取出小球,再把中球沉入盐水杯中,又将它取出；最后将大球沉入盐水杯中后取出,此时在杯中倒入纯水，倒满为止,此时杯中盐水的浓度是_________%。（精确到一位小数） 8.甲、乙、丙三人练习打靶，靶子及环数如图所示，甲和乙共命 中95环，乙和丙共命中84环，甲和丙共命中81环。丙最多命 中_______环。
二、简答题（每题10分，要求写出解题简要过程）。 9.如图，ABCD 是正方形，E,F 是BC 上的点，BE=EF=FC,G 是CD 上的中点，AF 与EG 交于H ，已知三角形AEH 的面 积比三角形HFG 的面积多15平方厘米。求正方形ABCD 的面积。 10.任意50个自然数排成一列，从中可否找出一个或若干个连续的项的和能被50整除？说明理由。 11. 甲乙两辆汽车先后从A 地出发到B 地,当甲车到达AB 的中点时,乙车走了全程的61；当甲车到达B 地时,乙车走了全程的4 3 ;甲车行完全程要6小时，那么乙车行完全程需要几小时？ 12.一蓄水池有甲、乙两个进水管和丙、丁两个排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开乙管需要5小时；要排光一池水，单开丙管需要6小时，单开丁管需要8小时.现在池中无水，如果按甲、丙、乙、丁，甲、丙、乙、丁……的顺序循环开各水管，各管每次开1小时，那么经过多少小时后，水开始溢出水池？
总分 第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 决赛试题A（小学中年级组） （时间2013年4月20日10：00～11：30） 一、填空题（每小题10分,共80分） 1．计算:(2014×2014+2012)-2013×2013________. 解析：(2014×2014+2012)-2013×2013 =（2013+1）×（2013+1）+2013—1-2013×2013 =2013×2013+2013+2013+1+2013-1-2013×2013 =6039 考试中最直接的方法，死算也OK。 2．将长方形的纸片ABCD 按右图的方式折叠后压平,使三角形DCF 落 在三角形DEF 的位置,顶点E 恰落在边AB 上.已知∠1＝20°,那么 ∠2是________度. 解析：因为翻折，∠CFD=∠E FD=90°-20°=70° ∠2=180°-70°-70°=40° 3．鸡兔同笼,共有40个头,兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只,那么兔有________只. 解析：逼近法列表枚举，由于兔脚是鸡脚的9倍多，而鸡兔数量相同时，兔脚是鸡脚两倍，因此兔比鸡多，我们可以假设兔有35只，上下调整，检验得答案兔子 353433兔脚 140136132鸡脚 101214 兔脚与鸡脚的倍数>10倍>10倍可列方程求解。设兔有x 只，则鸡有（40-x ）只，根据脚的倍数关系可列方程： 4x+8=10×2×（40-x ） 解得x=33。 4．第一次操作将图a 左下角的正方形分为四个小正方形,见图b;第二次操作再将图b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形,见图c;这样继续下去,当完成第六次操作时,得到的图形中共有________个正方形. 解析：找规律。图a 有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形。所以答案为5+6×4=29。 本题略有点歧义。如果图a 中认为有4个正方形，则答案为4+6×3=22。题意在两种理解都合理的情况下，竞赛不能让学生去猜题意应该是那种理解。 5．右面的加法竖式中,相同的汉字代表1至9中的相同数字,而不同的汉字代表不同的数字.则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个. 解析：根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3 种可能。 图a 图b 图c …
全国第十届华杯赛决赛试 题及解答 Prepared on 22 November 2020
第十届华杯赛决赛试题 一、填空（每题10分，共80分） 1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 公元历2005 1985 1910 希伯莱历5746 伊斯兰历1332 印度历1927 2．计算： ① ×+÷ = ();②= ()。 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中 1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。（精确到分钟） 4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=()。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。 6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为
元，一个集装箱可以节省元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。 7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表： 0 3 8 15 … 1 2 7 14 … 4 5 6 13 … 9 10 11 12 … …………… 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。 图2 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分） 9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度 10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数， ①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质； ②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。
第二十 届华罗 庚金杯 少年数 学邀请 赛
初赛 A 卷解析（小 学高年级 组）
总分：100 分 时间：60 分钟
一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个
是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1. 现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙 也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的
两个人是（ ）．
（A）甲、乙
（B ）乙、丙
（C）甲、丙
（D ）乙、丁
【答案】B
【题型】逻辑推理、逆否命题
【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也
成立．
（1）甲去则乙去，逆否命题： 乙不去则甲也不去 （2）丙不去则乙不去，逆否命题：乙去则丙去 （3）丙去则丁不愿意去，逆否命题：丁去则丙不 去从（2）出发可以看出答案为 B.
题目要求有两个人去，可以使用假设法，若甲去，则乙去，乙去则丙也去．三个人去，矛盾，所以 甲不去．若丙不去则乙不去，那么只有丁去，矛盾，所以丙去．丙去则丁不去，由两个人去得到结 论，乙 要去．所以答 案是 B，丙和乙去．
2. 以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（ ）个．
（A）5
（B ）2
（C）4
（D ）3
【答案】C 【题型】最值、构造 【解析】4 个点，最多可以构造 C43 ? 4 个三角形．
如图所示，共有图中四个三角形均为钝角三角形．
3. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是
另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（
片．
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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共80 分） 1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆和扇形 【答案】B 【分析】拴在B 处活动区域最大，为 4 3 圆。 2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700 【分析】[]14014,20=，141402014=?? ? ???，()1470014321140=+++?Λ. 3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20 【分析】解法一：枚举法 （1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个； （3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种. 解法二：排除法 1~8中任取三个数，有5638=C 种不同的取法 其中三个连续数有6种（123~678） 两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.
4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为平方厘米. 【考点】格点和面积 【答案】56.5 【分析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。
一、填空（每题10分，共80分） 1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 公元历2005 1985 1910 希伯莱历5746 伊斯兰历1332 印度历1927 2．计算： ① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ();②= ()。 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B，1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。（精确到分钟） 4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=()。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。 6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。 7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表： 0 3 8 15 … 1 2 7 14 … 4 5 6 13 … 9 10 11 12 … …………… 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。 8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A （小学高年级组） 一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行． A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 2. 某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小 龙最多答对了（ ）道试题． A ．40 B ．42 C ．48 D ．50 3. 用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的16个方格分别填入1，3，5， 7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A ，B ，C ，D 四个方格中数的平均数是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4. 小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ）． A ．2:3 B ．3:4 C ．4:5 D ．3:7 5. 某学校组织一次远足活动，计划10点10分从甲地出发，13点10分到达乙地，但出发晚了5分钟，却早到 达了4分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（ ）． A ．11点40分 B ．11点50分 C ．12点 D ．12点10分 6. 如右图所示，7AF =cm ，4DH =cm ，5BG =cm ，1AE =cm ．若正方形ABCD 内的四边形EFGH 的面积为 78cm 2，则正方形的边长为（ ）cm ． A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
2018年华杯赛初赛模拟（3）姓名______________ 一、选择题。 1、袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，篮球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，如果要使一次摸出的球中，至少有15个同色的球，那么从袋中摸出的球的个数至少有（）个。 A.87 B. 75 C. 46 D. 32 2、一个表面积为56平方厘米的长方体如图，切成27个小长方体，这27 个小长方体的表面积和是（）平方厘米。 A.84 B. 112 C. 168 D. 224 3、对于任意两个自然数x,y定义新运算*,x*y=2（x+2xy+y）。若自然数a,b满足a*b=9990，则有序数对（a,b）有（）对。 A.1 B. 2 C. 4 D. 8 4、一套书共有14本，编号1—14，从中任选5本，则这5本书编号都不相邻的取法有（）种。 A.126 B. 210 C. 252 D. 2002 5、在数列 12320102011 ,,,, 20112010200921 L中共有（）个整数。 A.6 B.5 C. 2 D.0 6、黑板上写着从1开始的n个连续正整数，擦去其中一个数后，其余各数的平均值是 7 35 17 ，则擦去的数 是（） A.7 B.12 C. 34 D.35 二、填空题。 7、A和B爱吃火锅，每次他们两人去都能吃完三份套餐且正好吃饱，这一次，C跟他们一起去吃，一共吃了11份套餐且正好吃饱。已知C的到来使他们俩的饭量各自增加了125%，A和B原来的饭量比2:1,那么这次__________吃的最多。 8、如图，ABCD是正方形，阴影部分的面积是________。 9、有一个以数字6开头的1001位数，它的任意相邻的两位数可以被17或23整除。请 问这个数的最末六位数是__________。 10、一根树枝的左端有5只间隔相等的瓢虫，它们正以一个相同的速度向右爬行；树枝的右端有7只间隔相等的瓢虫，它们也在以相同的速度向左爬行。如果两个瓢虫相向而行撞在了一起，它们会同时掉头往回爬行，速度大小不变。如果某只瓢虫爬出了树枝的端点，它会从树枝上飞走。那么，到所有的瓢虫都飞走的时候，瓢虫与瓢虫之间一共发生了________次碰撞。