一阶倒立摆控制器仿真
摘要
倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，研究倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制有这重要的工程应用价值。
本文对仿真的分类、过程、发展、应用及仿真环境等作了简单的介绍，同时也介绍了倒立摆系统的特性、分类、应用、发展等基本情况。
本文采用牛顿--欧拉方程建立一阶倒立摆的数学模型，对精确模型在工作点附近进行线性化和降阶处理，利用固高公司的一阶倒立摆参数，计算出传递函数。在数学模型的基础上进行了PID控制的理论分析，利用MATLAB中的simulink仿真工具对一阶倒立摆的单回路PID控制进行仿真分析，在仿真中正定出合理的PID参数，仿真证实，单回路PID控制方案能满足对倒立摆摆杆角度的控制要求。
关键词：倒立摆；PID控制；仿真；MATLAB-simulink
Simulation of single inverted pendulum
Abstract: The inverted pendulum system is characterized as a fast multi-variable nonlinear essentially unsteady system .The research on precise control of the inverted pendulum is of great practical engineering value for control problems of complicated industrial object.
In this paper, the classification, process, development,application of simulation and simulation environment are simply introduced. The basic situation include characterstics, classification application development and so on of the inverted pendulum system is introduced.
This text uses the Newton-the-Eule method to establishing the mathematical model of single inverted pendulum,carries on the linearization and fall step processing to the precise model nearby the work-point, uses the parameters of googol’s single inverted pendulum,calculates its transferred function. And do theoretical analysis oh the PID control based on the mathematical model. This text uses the MATLAB simulink simulation tools to do simulation analysis of the single inverted pendulum’s single loop PID control,collated reasonable PID controlled parameters in simulation,Simulation proves that the single loop simulink PID controlled plans can satisfied to the control of the single of pendulum rod.
Keywords: inverted pendulum;PID control; simulation; MATLAB-simulink
1、引言
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。经典控制理论控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。
2、一阶倒立摆动力学建模
倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：
图1：直线一级倒立摆模型
系统的相关参数定义如下： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆质量
F 加在小车上的力 x 小车位置
Φ 摆杆与垂直方向上方向的夹角
θ 摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）
图2为小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图2：小车和摆杆受力分析图
应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：
M x F b x N ??
=--
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：
2
2(sin )d N m x l dt
θ=+
将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：
2
()cos sin M m x b x ml ml F θθθθ?????
?+++-=
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：
2
2(cos )d P mg m l dt
θ-=-
力矩平衡方程如下：
sin cos Pl Nl I θθθ??
--=
因为此方程中力矩的方向，由于
cos cos sin sin θπφ
φθφθ
=+=-=- 故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：
2
()sin cos I ml mgl ml x θθθ????
++=-
微分方程模型
设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）
相比很小时，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理：
2
cos 1sin ()0d dt
θθφθ=-=-= 线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：
2
()()I ml mgl ml x
M m x b x ml u
φφφ???
?????
?+-=???++-=? 传递函数模型
对上述方程组进行拉氏变换后得到：
22222
()()()()()()()()()
I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s ml s s U s φφ?+-=?
?++-Φ=?? 解上述方程可得输入量为加速度，输出量为摆杆摆角的传递函数：
22
()
()
()s ml
V s I ml s mgl
φ=
+- 其中v x ??
=。
输入量为力，输出量为摆角的传递函数：
2
2
432()()()()
ml s
s q
b I ml M m mgl bmgl U s s s s s
q q q
φ=+++-- 其中22[()()()]q M m I ml ml =++-
状态空间数学模型
控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
X AX Bu Y CX Du
?
=+=+ 解代数方程可得如下解：
2222222
222()()()()()()()()()x x
I ml b m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb mgl M m ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ???????
????=??-++=++?++++++?
??=?-+?=++?++++++?
整理后可得系统的状态空间方程：
222
2
2
2
2
2
2
20
1
00()00()()()00010()00()()()x x I ml b
m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb
mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ??????????????????????-++??????????????++++++??=+??????????????
?????
???-+?????????????++++++?
???
u ?1000000100x x x y u φφφ??????
????????==+??????
????????
????????
对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：
21
3
I ml =
代入微分方程模型中得：
22
1()3
ml ml mgl ml x φφ????+-= 化简后可得：
3344g x l l
φφ??
??=+
设[],T
X x x u x φφ??
??
==则有：
'0
10
0000
00100
01033
0441000000100x x x x u g l
l x x x y u φφφφφφφ????????????????????????????????????=+????????????
????????????????????????
????
????
????????==+??????????????
????????
实际系统参数如下：
M 小车质量，0.5Kg; m 摆杆质量，0.2Kg;
b 小车摩擦系数，0.1N/m/se
c ；
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度，0.3m; I 摆杆质量，0.006Kg ·m ·m ； T 采样时间，0.005s 。
将上述系统参数代入可得系统实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：
2
2
()
0.06()0.0240.588
s s X s s φ=- 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：
2
()
0.06
()
0.0240.588
s V s s φ=
- 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
2
432()
4.545()0.18231.18 4.45s s U s s s s s
φ=
+-- 以外界作用力作为输入的系统状态方程：
0100000.182 2.67270 1.81820001000.454531.1820 4.5454x x x x u φφφφ????????????????-????????=+????????????????-????????
10000
00100x x x y u φφφ????????????==+??????????????
????
以小车加速度作为输入的系统状态方程：
'0100000001000100
024.5
0 2.5x x x x u φφφφ????????????????????????=+????????????????????????
'10000
00100x x x y u φφφ??
??????????==+??????????????
????
在固高科技提供的控制器设计和程序中，采用的是以小车的加速度作为系统的输入，如
果采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的格式。
3、一阶倒立摆控制系统设计和数字仿真
3.1阶跃响应分析
由上面得到的系统状态方程，对其进行阶跃响应分析。得到如下的阶跃响应结果：
图3：直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真
由阶跃响应曲线可以看出在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。
3.2直线一级倒立摆PID 控制器设计
PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成偏差值。将偏差的比例、积分、微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为PID 控制器。
其控制律为：
1
()()()()t
P D
I de t u t K e t e t dt T T dt ??
=+
+???
?
?
K P 比例系数； K I 积分系数；
T D 微分时间常数。
PID 控制器设计要求：
设计PID 控制器，使得当在小车上施加0.1N 的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒；
（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。
图4：直线一级倒立摆PID 控制MATLAB 仿真模型
通过不断地调整PID 控制器的参数可得，当K P =100，K I =100，K D =15时，系统的指标如下：
系统的飞升时间tp=0.07s ；
系统的调整时间ts=0.92s(Δ=5%)； 系统的调整时间ts=1.5s(Δ=2%)； 系统的超调量δ=19%。
图5：直线一级倒立摆PID控制仿真结果图（K P=100，K I=100，K D=15）
如图5所示为摆杆角度响应曲线，在0.07s时其超调量δ=19%；当Δ=5%时，其调整时间ts=0.92s；当Δ=2%时，其调整时间ts=1.5s。
由以上系统指标分析可知，当K P=100，K I=100，K D=15时系统可以较好地稳定，其调整时间在5s以内，10s之后在系统稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化在0.1rad附近，其稳态误差较小。由以上可以看出，整个系统性能基本上满足设计要求。
图6：直线一级倒立摆PID控制仿真—小车位置曲线
由图6可以看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会朝一个方向运动。现代控制理论中的多输入多输出系统可以在控制摆杆角度的同时控制小车的位置。
3.3直线一级倒立摆状态空间极点配置控制器设计
现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。
设计要求：
用极点配置方法设计控制器，使得在小车上施加0.1N 的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）要求系统调整时间小于3s （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度
状态方程为：
X AX Bu ?
=+
选择控制信号：
u KX =-
可解得：
()()()x t A BK x t ?
=-
直接利用MATLAB 极点配置函数[K ，PREC ，MESSAGE]=PLACE(A ，B ，P)来计算。选取调整时间ts=2.0s ，阻尼比为ξ=0.5，可得期望的闭环极点：
12331010223223
u u u j u j =-=-=-+=--
u 3，u 4为一对主导极点，u 1，u 2距离闭环主导极点5倍，所以可忽略其对主导极点的影
响。
图7：倒立摆极点配置仿真框图
由Place （A ，B ，P ）函数计算出的反馈矩阵：
[65.306129.3878114.322421.3551]K =--
图8可以看出，在干扰的情况下，系统在3s 之内基本上可以恢复到新的平衡位置。
图8：直线一级倒立摆状态空间极点配置 SIMULINK仿真结果图
4、结论
本次设计运用控制系统数字仿真CAD，PID控制理论和现代控制理论的极点配置方法对直线一级倒立摆控制进行了分析，并用Simulink进行了倒立摆的系统仿真和实物仿真。通过实验，得到如下结论：
(1) 对于具有非线性、多变量等特点的倒立摆系统进行系统分析，分析其非线性因素，在误差允许的范围内忽略某些次要因素将其线性化。
(2) PID控制方法可以实现倒立摆的良好控制，但是PID控制的不足在于单变量控制，不能同时控制小车的位移和摆角。而状态空间极点配置控制器可以实现多输入多输出系统，既能实现对摆杆角度的控制，又能控制小车位移。
(3) 在倒立摆系统仿真试验的基础上，实现了倒立摆的实物控制。将设计的控制器嵌入到固高公司设计的倒立摆控制中，实现对倒立摆的实时控制。在实物控制时，有时会产生震荡听到啪啪的声响，这可能是PID参数设置不当、摆杆刚度不够或者皮带太松造成的，
可以通过拉紧皮带，修改PID参数等措施解决问题。
参考文献：
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